2023年北京八十中初二（下）期中數(shù)學試卷（教師版）

第1頁/共1頁2023北京八十中初二（下）期中數(shù)學一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1.下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（）A.1，1，1 B.2，3，4 C.1，2，3 D.5，12，132.下列二次根式中，最簡二次根式是（）A. B. C. D.3.如圖，在中，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.4.如圖，矩形，，對角線，交于，若，則的長為（）A.4 B. C. D.165.如圖，在ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于點E，AE=3，ED=1，則ABCD的周長為（）A.10 B.12 C.14 D.166.下列計算正確的是（）．A.2+＝2 B. C. D.7.如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點，若EF=2，則菱形ABCD的周長為()A.4 B.8 C.16 D.208.把一個平面圖形分成面積相等的兩部分的線段稱作這個圖形的等積線段，菱形中，，，則菱形的等積線段長度取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題（本題共24分，每小題3分）9.當x_____時，二次根式有意義．10.已知，則__________．11.如圖，在數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是______．12.一個三角形的兩邊的長分別是3和5，要使這個三角形為直角三角形，則第三條邊的長為_____．13.如圖，公路、互相垂直，公路的中點與點被湖隔開，若測得的長為，則，之間的距離是__________．14.如圖，將長方形沿折疊，使點落在邊的點處，已知，，則的長是______．15.如圖，在中，，，，則__________．16.閱讀下面的情景對話，然后解答問題：（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，小敏提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是__________命題（填“真”或“假”）．（2）在中，，，，，且，若是奇異三角形，則__________．三、解答題（本題共60分，第17題10分；第18題8分；第20、23題每題4分；第19、21、22題每小題5分，第24、25題每題6分；第26題7分）17.（1）；（2）．18.已知，，求下列各式的值：（1）；（2）．19.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，AB∥CD，，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．20.下面是小東設計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程已知：直線l及直線l外一點P．求作：直線PQ，使得PQ∥l．作法：如圖，①在直線l上取一點A，作射線AP，以點P為圓心，PA長為半徑畫弧，交AP的延長線于點B；②以點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交l于點C（不與點A重合），連接BC；③以點B為圓心，BP長為半徑畫弧，交BC于點Q；④作直線PQ．所以直線PQ就是所求作的直線．根據(jù)小東設計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明證明：∵PB＝PA，BC＝，BQ＝PB，∴PB＝PA＝BQ＝．∴PQ∥l（）（填推理的依據(jù)）．21.如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．22.上午10時，一條船從處出發(fā)，以每小時15海里的速度向正北航行，12時到達處．從處望燈塔為北偏東，從處望燈塔為北偏東，求輪船繼續(xù)航行多長時間在燈塔的正西方向？并求出此時輪船和燈塔的距離．（結果保留根號）23.如圖是由邊長為1的正方形單元格組成的網(wǎng)格，的三個頂點都在網(wǎng)格中的格點上，（1）的面積為__________；（2）若以點A，，，為頂點畫平行四邊形，請在網(wǎng)格中標出所有點的位置．24.如圖，在ABCD中，BD＝AD，延長CB到點E，使BE＝BD，連接AE.（1）求證：四邊形AEBD是菱形；（2）連接DE交AB于點F，若，，求AD的長.25.如圖，在正方形中，，是邊上的一動點（不與點A，重合），連接，點A關于直線的對稱點為，連接并延長交于點，連接，過點作交的延長線于點，連接．（1）求證：；（2）判斷線段與的數(shù)量關系，并說明理由；（3）連接，點在邊上運動（不與點A，重合）時，求的最小值．26.在平面直角坐標系中，若，為某個矩形不相鄰的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點，的“相關矩形”．圖1為點，的“相關矩形”的示意圖．已知點A的坐標為（1）如圖2，點的坐標為．①若，則點A，的“相關矩形”的面積是_____________；②若點A，的“相關矩形”的面積是8，則的值為_____________．（2）如圖3，點在過點且平行軸的直線上，若點A，的“相關矩形”是正方形，直接寫出點的坐標；（3）如圖4，等邊的邊在軸上，頂點在軸的正半軸上，點的坐標為，點的坐標為，若在的邊上存在一點，使得點，的“相關矩形”為正方形，請直接寫出的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1.【答案】D【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【詳解】解：A、12＋12≠12，不能構成直角三角形，不符合題意；B、22＋32≠42，不能構成直角三角形，不符合題意；C、1＋2＝3，不能構成三角形，不符合題意；D、52＋122＝132，能構成直角三角形，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．2.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念：如果二次根式的被開方式中都不含分母，并且也都不含有能開的盡方的因式，像這樣的二次根式叫做最簡二次根式，據(jù)此逐一進行判斷即可得到答案．【詳解】解：A、，原式不是最簡二次根式，不符合題意，選項錯誤；B、，原式不是最簡二次根式，不符合題意，選項錯誤；C、，原式不是最簡二次根式，不符合題意，選項錯誤；D、是最簡二次根式，符合題意，選項正確，故選D．【點睛】本題考查了最簡二次根式的識別，熟記最簡二次根式的概念是解題關鍵．3.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對角相等以及鄰角互補，即可得出答案．【詳解】∵平行四邊形ABCD，∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，∵∠A+∠C=140°，∴∠A=∠C=70°，∴∠B=110°，故選C．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，靈活的應用平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關鍵．4.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明是等邊三角形，再根據(jù)勾股定理即可求出的長．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，是等邊三角形，，在中，，故選B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，靈活運用相關知識解決問題是解題關鍵．5.【答案】C【解析】【分析】由角平分線的定義和平行四邊形的性質(zhì)可求得AB=AE，再結合平行四邊形的性質(zhì)，即可解答．【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE=3，∵AB=3，AD=4，∴四邊形ABCD的周長=2（AD+AB）=2×7=14，故選C．【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義求得AB=AE是解題的關鍵．6.【答案】D【解析】【分析】直接利用二次根式的加減運算法則計算得出答案．【詳解】A、2+，無法合并，故此選項錯誤；B、，故此選項錯誤；C、，不是同類二次根式，無法合并；D、，正確．故選：D．【點睛】本題考查二次根式的化簡，注意二次根式必須是同類二次根式時，才可加減運算．7.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形的中位線定理求出BC，再根據(jù)菱形的四條邊都相等解答．【詳解】∵E、F分別是AB、AC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴BC＝2EF＝2×2＝4，∴菱形ABCD的周長＝4×4＝16．故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關鍵．8.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)過菱形對角線交點的直線l將該菱形分成面積相等的兩部分，設直線l交于點F，交于點E，則的長即為a的值．根據(jù)當時a最小，當線段與線段重合時a最大，結合題干所給條件和含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求解即可．【詳解】解：∵過菱形對角線交點的直線l將該菱形分成面積相等的兩部分，設直線l交于點F，交于點E，∴“等積線段”即為線段，即的長即為a的值．∵當直線時，最短，∴的最小值即為此時的長．過點作于點N，∵四邊形為菱形，∴，∴．∵，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵，，∴，∴，∴，∴，即的最小值為；∵當線段與線段重合時，最長，∴的最大值即為的長．∵，∴，∴，∴，∴，即的最大值為，∴的取值范圍是．故選D．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．理解當時a最小，當線段與線段重合時a最大是解題關鍵．二、填空題（本題共24分，每小題3分）9.【答案】≥1【解析】【分析】根據(jù)二次根式的定義可知被開方數(shù)必須為非負數(shù)，列不等式求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：x﹣1≥0，解得x≥1．故答案為：x≥1．【點睛】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．10.【答案】－2【解析】【分析】根據(jù)絕對值和算術平方根的非負性求出字母的值，再代入計算即可．【詳解】解：因為，所以，，解得，，所以．故答案為：．【點睛】本題主要考查了根據(jù)絕對值和算術平方根的非負性求代數(shù)式的值，求出字母的值是解題的關鍵．11.【答案】【解析】【分析】如圖，利用勾股定理求出，即可得解．【詳解】解：如圖，，∴，∴，∴點表示的實數(shù)是：．故答案為：．【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸．熟練掌握實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應，是解題的關鍵．本題還考查了勾股定理．12.【答案】4或【解析】【詳解】解：①當?shù)谌吺切边厱r，第三邊的長的平方是：32+52=34；②當?shù)谌吺侵苯沁厱r，第三邊長的平方是：52-32=25-9=16=42，故答案是：4或．13.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)，可得，即可得到答案．【詳解】解：為直角三角形，，點D為AB的中點，，，即，之間的距離是，故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)，解題關鍵是掌握直角三角形斜邊中線的性質(zhì)．14.【答案】3cm##3厘米【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得到AD=AF=10cm，根據(jù)勾股定理求出BF，設EC=xcm，在Rt△EFC中，利用勾股定理即可得解．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴cm，cm，=90°，由題意可知：AD=AF=10cm，∴在Rt△ABF中，cm，∴FC=BC-BF=10?6=4（cm），設EC=xcm，則DE=EF=(8?x)cm，在Rt△EFC中，有，即，解得，即EC=3cm．故答案為：3cm．【點睛】本題主要考查了矩形與折疊問題、勾股定理解直角三角形的知識，熟練運用勾股定理計算是解題的關鍵．15.【答案】##【解析】【分析】過點A作交于點D，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到，進而得到，再利用勾股定理求得，然后根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊一半，得到，結合勾股定理，求得，即可求出的長．【詳解】解：過點A作交于點D，，，，在中，，，，，，在中，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等角對等邊，勾股定理，30度角所對的直角邊等于斜邊一半，熟練掌握勾股定理是解題關鍵．16.【答案】①.真②.【解析】【分析】（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義與等邊三角形的性質(zhì)，求證即可；（2）根據(jù)勾股定理與奇異三角形的性質(zhì)，可得與，用表示出與，即可求得答案．【詳解】解：（1）設等邊三角形的一邊為，則，符合奇異三角形”的定義．是真命題，故答案為：真；（2），則①，是奇異三角形，且，②，由①②得：，，．故答案為：．【點睛】此題考查了新定義的知識，勾股定理的運用，解題的關鍵是理解題意，抓住數(shù)形結合思想的應用．三、解答題（本題共60分，第17題10分；第18題8分；第20、23題每題4分；第19、21、22題每小題5分，第24、25題每題6分；第26題7分）17.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后進行加減運算，即可得到答案；（2）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后進行乘除運算，即可得到答案；【詳解】解：（1）；（2）．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的化簡是解題關鍵．18.【答案】（1）8（2）【解析】【分析】（1）將、的值代入原式計算即可；（2）將、的值代入原式計算即可．【小問1詳解】解：當，時，原式；【小問2詳解】當，時，原式．【點睛】本題主要考查二次根式的化簡求值，解題的關鍵是掌握二次根式的混合運算順序和運算法則．19.【答案】見解析【解析】【分析】要證四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的判定，和已知條件，只需證AB=CD，繼而需求證△ABO≌△CDO，由已知條件很快確定ASA，即證．【詳解】證明：∵AB∥CD，

∴∠ABO=∠CDO．

∵AO=CO，

∠AOB=∠COD，

∴△ABO≌△CDO．

∴AB=CD，

又∵AB∥CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點睛】平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．20.【答案】（1）詳見解析；（2）BA，QC，三角形的中位線定理【解析】【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形．（2）利用三角形的中位線定理證明即可．【詳解】解：（1）直線PQ即為所求．（2）證明：∵PB＝PA，BC＝BA，BQ＝PB，∴PB＝PA＝BQ＝QC．∴PQ∥l（三角形的中位線定理）．故答案為：BA，QC，三角形的中位線定理【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，熟練掌握三角形的中位線定理是解題的關鍵．21.【答案】四邊形的面積為36．【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)勾股定理的逆定理得到是直角三角形，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：在△ABD中，，，，∴，，在中，∵，，，∴，∴是直角三角形，∴．∴四邊形的面積．【點睛】此題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，求三角形面積，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理．22.【答案】輪船繼續(xù)航行小時在燈塔在正西方向，此時輪船和燈塔的距離為海里．【解析】【分析】求出，，可證，進而求出、的長即可．【詳解】如圖，輪船與燈塔的距離是線段的長，由題意得，，，∴，，∴．∵海里，∴海里，∴海里，∴海里，小時．所以輪船繼續(xù)航行小時在燈塔在正西方向，此時輪船和燈塔的距離為海里．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，證明是解答本題的關鍵．23.【答案】（1）5（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)割補法即可求出的面積；（2）根據(jù)平行四邊形的判定，畫出圖形，即可得到點的位置．【小問1詳解】解：的面積，故答案為：5；【小問2詳解】解：如圖所示，即為所有點的位置．【點睛】本題考查了割補法求三角形面積，平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定條件是解題關鍵．24.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證四邊形AEBD是平行四邊形，再因為BE＝BD，即可由菱形的判定定理得出結論；（2）連接DE交AB于F，根據(jù)四邊形AEBD是菱形，得出AB⊥DE，從而證得∠EDC＝∠EFB＝90°.得用勾股定理即可求解．【小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC，AD＝BC，∵DB＝DA，BE＝BD，∴AD＝BE，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∵BE＝BD，∴四邊形AEBD是菱形【小問2詳解】解：如圖，連接DE交AB于F，∵四邊形AEBD是菱形，∴AB⊥DE，∴∠EFB＝90°.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABDC.∴∠EDC＝∠EFB＝90°.∵DC＝，DC：DE＝1：3，∴DE＝.在Rt△EDC中，根據(jù)勾股定理可得∴AD＝.【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)是解題詞的關鍵．25.【答案】（1）證明見解析（2），理由見解析（3）【解析】【分析】（1）連接，由軸對稱和正方形的性質(zhì)易證，即得出．又可求出，結合，即可證，即得出；（2）在上取點M使得，連接．由全等三角形的性質(zhì)可得出，，從而可求出，進而得出，結合，，即可證明，得出．最后由勾股定理解答即可；（3）由題意易求出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出，從而可求出，即說明點H在直線上運動．根據(jù)垂線段最短可知當時，最小，結合等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【小問1詳解】證明：如圖，連接．∵點A關于直線的對稱點為，∴．又∵，∴，∴．∵，∴．又∵，∴，∴；【小問2詳解】．理由：如圖，在上取點M使得，連接．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴為等腰直角三角形，∴．∵,∴，即．∵，，∴，∴，∴．在中，，，∴，∴．【小問3詳解】解：∵，，∴．由（2）可知，∴，∴，∴點H在直線上運動，∴當時，最小，如圖．∵，，∴．∵，即，∴（舍去負值），即最小值為．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識．正確作出輔助線構造全等三角形是解題關鍵．26.【答案】（1）6，或5（2）或（3）或【解析】【分析】（1）①由矩形的性質(zhì)結合圖形和“相關矩形”的定義即可得出點A，B的“相關矩形”的面積為6；②分類討論：當點B在點A左側時和當點B在點A右側時，畫出圖形，結合矩形的性質(zhì)結合“相關矩形”的定義即可得出的值為或5；（2）由題意可知點A到直線l的距離為，即得出點A，的“相關矩形”是正方形時的邊長為3．分類討論：當點C在點A左側時和當點C在點A右側時，畫出圖形，結合正方形的性質(zhì)和“相關矩形”的定義即可得出點C的坐標；（3）由題意可求出，，．分類討論：①當點N在邊上時，求出此時m的取值范圍為或；②當點N在邊上時，求出此時m的取值范圍為或；③當點N在邊上時，求出此時m的取值范圍為或，即得出答案．【小問1詳解】解：①當時，點的坐標為，如圖．∵，∴由矩形的性質(zhì)可得：點A，B的“相關矩形”的面積為．故答案為：6；②分類討論：當點B在點A左側時，如圖點，由矩形的性質(zhì)可得：點A，B的“相關矩形”的面積為，解得：；當點B在點A右側時，如圖點，由矩形的性質(zhì)可得：點A，B的“相關矩形”的面積為，解得：．綜上可知的值為或5．故答案為：或5；【小問2詳解】解：∵點在過點且平行軸的直線上，，∴點A到