數學自主訓練：6棱柱、棱錐、棱臺和球的表面積7柱、錐、臺和球的體積

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標1．過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面,則所得截面的面積與球的表面積的比為（）A。B.C.D.思路解析:設球的半徑為R，過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，由勾股定理可得一個半徑為的圓，所以.答案：A2。正方體的內切球與其外接球的體積之比為（）A.1∶B。1∶3C.1∶3D.1∶9思路解析：設正方體的棱長為a，則它的內切球的半徑為a，它的外接球的半徑為a，故所求的比為1∶3，選C.答案：C3.如圖11-（6,7）—5,半徑為2的半球內有一內接正六棱錐P—ABCDEF，則此正六棱錐的側面積是____________。圖11—（6，7）-5思路解析：顯然正六棱錐P—ABCDEF的底面的外接圓是球的一個大圓，于是可求得底面邊長為2。依題意可得正六棱錐P—ABCDEF的高為2，以此可求得側面積為.答案：4。如圖11-（6,7）-6，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，所有棱長均為1,則點B1到平面ABC1的距離為___________圖11—(6,7）-6思路解析:利用等體積法，易知，所以點B1到平面ABC1的距離為h=.答案：5.正四棱錐底面邊長為4，側棱長為3,則其體積為__________________。思路解析:如圖，在△OPA中,因為PA=3,OA=,所以正四棱錐的高h==1，故正四棱錐的體積為V=Sh=。圖11—（6,7）-7答案：6。一塊長方體木料，長、寬、高分別為8厘米、4厘米、6厘米,把它切削成一個體積最大的圓柱體，求這個圓柱體的體積是多少？(π取3.14)思路分析:根據此題提供的條件，削成圓柱體有三種情況，要按條件比較一下哪一種削法削成的圓柱體最大。解：(1）以長8厘米,寬4厘米的面為底,6厘米為高，圓柱的體積為V=π×（)2×6=24π（立方厘米).(2）以長8厘米，寬6厘米的面為底,4厘米為高,圓柱的體積為V=π×（)2×4=36π(立方厘米).（3)以長6厘米，寬4厘米的面為底,8厘米為高,圓柱的體積為V=π×(）2×8=32π（立方厘米).通過比較，以長8厘米，寬6厘米的面為底，以4厘米為高，削出的圓柱體體積最大，Vmax=π×（)2×4=36π=113.04(立方厘米)。7.在正四棱臺內作一個內接棱錐，該棱錐以這個棱臺的上底面正方形作底，以下底面正方形的中心作頂點。如果棱臺上、下底面的邊長分別為a和b，棱臺和這個內接棱錐的側面積相等，求這個內接棱錐的高，以及本題有解的限制條件。思路解析：可以根據側面積相等建立方程，解方程或者根據方程判斷解的情況即可得出結論。解：設內接棱錐的高為x,則棱錐的斜高h1=,棱臺的斜高h2=.由棱臺和內接棱錐的側面積相等可得關于x的方程·4a·=·4(a+b）·.解方程可得x=.答：這個內接棱錐的高為。當a，b滿足0<a<b〈a時，本題有解.我綜合我發(fā)展8。圖11-(6，7)—8所示圖形是一個底面直徑為20厘米的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6厘米、高為20厘米的圓錐體鉛錘,當鉛錘從水中取出后,杯里的水將下降幾厘米?(π=3。14)圖11-(6，7）-8思路分析：因為玻璃杯是圓柱形的,所以鉛錘取出后，水面下降部分實際上是一個小圓柱,這個圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣,是一直徑為20厘米的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積,這個小圓柱的高就是水面下降的高度。解：因為圓錐形鉛錘的體積為×π×（）2×20=60π(立方厘米)。設水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為π×()2×x=100πx（立方厘米）。所以有下列方程60π=100πx，解此方程得x=0.6(厘米）。答:鉛錘取出后,杯中水面下降了0。6厘米。9。有位油漆工用一把長度為50cm,橫截面半徑為10cm的圓柱形刷子給一塊面積為10m2思路分析:本題雖然是實際問題，但是通過仔細分析后，還是歸為圓柱的側面積問題。解決此題的關鍵是注意到圓柱形刷子滾動一周所經過的面積就相當于把圓柱的側面展開的面積，即滾動一周所經過的面積等于圓柱的側面積。從而使問題迎刃而解.解：圓柱形刷子滾動一周涂過的面積就等于圓柱的側面積，∵圓柱的側面積為S側=2πrl=2π·0.1·0.5=0。1πm2,又∵圓柱形刷子以每秒5周勻速滾動，∴圓柱形刷子每秒滾過的面積為0。5π.因此油漆工完成任務所需的時間t=≈6.37(秒).10。斜三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是邊長為a的正三角形，側棱長為b，AA1思路分析：求幾何體的側面積可以計算每個側面積,然后相加，也可以根據側面展開圖的特點計算展開圖的面積。另外，棱柱的直截面(與側棱垂直的截面）的面積與側棱的乘積也是棱柱的側面積.圖11—(6,7）—9解法一：如圖，作A1O⊥面ABC于O，∵AA1與AB、AC都成45°角,∴AO是∠BAC的平分線.又△ABC為正三角形，∴AO⊥BC。由三垂線定理知AA1⊥BC,又AA1∥BB1∥CC1,圖11-(6,7)—10∴四邊形BB1CS側=2absin45°+ab=（2+1)ab.解法二:如圖，作BM⊥AA1于M，連結CM,可證得△BMA≌△CMA.∴CM⊥AA1,△BMC是棱柱的直截面.∵∠MAB=∠MAC=45°,∴CM=BM=a,C直截面=a+a+a=（2+1）a?！郤側=（+1）ab。11。如圖1—1—（6，7)—11，ABCD—A′B′C′D′是一個無底無蓋的紙皮箱，AB=a,BC=b,BB′=c,且a>b>c,如果一只螞蟻從A點出發(fā)爬行到點C′,那么它走過的最短路程是多少?圖11—（6,7)-11思路分析：解決多面體表面兩點的最短距離問題，通常要把多面體表面展開，從而轉化為求平面兩點間的距離問題，在展開表面時，要注意考慮是否可以有多種展開方式.本題中由于長方體的三條棱長不相等，所以有三種展開方式,把這三種情況的最后結果求出來,再比較他們的大小，就可得出最小值。解：