浙江省杭州市二中錢江校區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期寒假作業(yè)檢測(cè)（開學(xué)考試）數(shù)學(xué)試卷

杭州二中錢江學(xué)校高一數(shù)學(xué)寒假作業(yè)檢測(cè)一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.已知集合，集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}，利用集合C＝{x|mx+1＞0}，（A∪B）?C，分類討論，可得結(jié)論．【詳解】由題意，A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}，∵集合C＝{x|mx+1＞0}，（A∪B）?C，①m＜0，x，∴2，∴m，∴m＜0；②m＝0時(shí)，C＝R,成立；③m＞0，x，∴1，∴m≤1，∴0＜m≤1，綜上所述，m≤1，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了并集及其運(yùn)算，以及集合間的包含關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．2.三角函數(shù)值，，的大小順序是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先估計(jì)弧度角的大小，再借助誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化到上的正弦值，借助正弦函數(shù)在的單調(diào)性比較大小．【詳解】解：∵1弧度≈57°，2弧度≈114°，3弧度≈171°．∴sin1≈sin57°，sin2≈sin114°＝sin66°．sin3≈171°＝sin9°∵y＝sinx在上是增函數(shù)，∴sin9°＜sin57°＜sin66°，即sin2＞sin1＞sin3．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性及弧度角的大小估值，是基礎(chǔ)題．3.設(shè)a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，則（）A.a＜c＜b B.b＜c＜a C.a＜b＜c D.b＜a＜c【答案】D【解析】【詳解】∵a＝log54＜log55＝1，b＝（log53）2＜（log55）2＝1，c＝log45＞log44＝1，所以c最大單調(diào)增，所以又因?yàn)樗詁<a所以b<a<c.故選D．4.已知函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先作出的圖像，結(jié)合圖像利用對(duì)稱性即可求得結(jié)果.【詳解】先作出函數(shù)的圖象，如圖，令，可得和，所以由對(duì)稱性可得，故，故選：C．5.設(shè)，，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)半角公式得出正切值，繼而得出其正弦值和余弦值，再根據(jù)的取值范圍和題意判斷出，并得出的余弦值，最后根據(jù)恒等變換公式計(jì)算即可.【詳解】，因?yàn)?，，且，又，?因?yàn)?，則，又，所以，，.故選：A.6.設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且最小正周期大于，則A.， B.， C.， D.，【答案】A【解析】【詳解】由題意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故選A．【考點(diǎn)】求三角函數(shù)的解析式【名師點(diǎn)睛】有關(guān)問題，一種為提供函數(shù)圖象求解析式或某參數(shù)的范圍，一般先根據(jù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定，再根據(jù)周期或周期或周期求出，最后再利用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)坐標(biāo)滿足解析式，求出滿足條件的值，另一種時(shí)根據(jù)題目用文字形容的函數(shù)圖象特點(diǎn)，如對(duì)稱軸或曲線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意自己畫出圖象，再尋求待定的參變量，題型很活，求或的值或最值或范圍等.7.設(shè),且,則下列關(guān)系中一定成立的是A3c＞3b B.3b＞3a C.3c+3a＞2 D.3c+3a＜2【答案】D【解析】【分析】畫出的圖象，利用數(shù)形結(jié)合，分析可得結(jié)果.【詳解】作出的圖象，如圖所示，要使，且成立，則有且，，，又，，即，故選D.【點(diǎn)睛】通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個(gè)數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)．8.已知是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.[﹣2，1] B.[﹣5，0] C.[﹣5，1] D.[﹣2，0]【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可得|ax+1|≤|x﹣2|對(duì)恒成立，再分離參數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值即可求解【詳解】由題意可得|ax+1|≤|x﹣2|對(duì)恒成立，得x﹣2≤ax+1≤2﹣x對(duì)恒成立，從而且對(duì)恒成立，又單調(diào)遞增∴a≥﹣2單調(diào)遞減，所以a≤0，即a∈[﹣2，0]，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是不等式、函數(shù)性質(zhì)以及恒成立有關(guān)的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)的性質(zhì)、恒成立的思想以及問題轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．二、多選題：本題共4小題，共20分．每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.存在函數(shù)滿足：對(duì)任意都有（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】分別取、可得、，A錯(cuò)誤；同理，取、可得、，B錯(cuò)誤；利用三角恒等變換將整理為關(guān)于的二次函數(shù)可判斷C；同理可判斷D.【詳解】A：取時(shí)，，，取時(shí)，，，故A不正確；B：取時(shí)，，，取時(shí)，，，故B錯(cuò)誤；C：，令，則，C正確；D：令，則，D正確.故選：CD10.下列不等式中，正確的是（）．A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的單調(diào)性判斷A、B，利用三角函數(shù)線證明當(dāng)時(shí)，即可判斷C、D.【詳解】對(duì)于A：，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，所以，故B正確；對(duì)于C、D：首先證明當(dāng)時(shí)，構(gòu)造單位圓，如圖所示：則，設(shè)，則，過點(diǎn)作直線垂直于軸，交所在直線于點(diǎn)，由，得，所以，由圖可知，即，即，所以，，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC11.關(guān)于函數(shù)，下列描述正確的有（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.若則 D.有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，由圖象觀察性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】根據(jù)圖象變換作出函數(shù)的圖象（，作出的圖象，再作出其關(guān)于軸對(duì)稱的圖象，然后向右平移2個(gè)單位，最后把軸下方的部分關(guān)于軸翻折上去即可得），如圖，由圖象知在是單調(diào)遞增，A正確，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；，直線與函數(shù)圖象相交可能是4個(gè)交點(diǎn)，如圖，如果最左邊兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別是，則不成立，C錯(cuò)誤，與軸僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，即函數(shù)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，D正確．故選：ABD．12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】因?yàn)?，可得，分段求解析式，結(jié)合圖象可得．【詳解】解：因?yàn)?，，函?shù)圖象如下所示：，時(shí)，，，，時(shí)，，，，；，時(shí)，，，，，當(dāng)，時(shí)，由解得或，若對(duì)任意，，都有，則．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解；三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷即可求得單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】因?yàn)樗越獾靡驗(yàn)闉閱握{(diào)遞減函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷可知應(yīng)該取的單調(diào)遞增區(qū)間，即結(jié)合定義域可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，屬于基礎(chǔ)題．14.已知，，且，則的最小值為___.【答案】【解析】【分析】由等式可得出，以及，代入可得出，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】，，且，得，以及，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，解題時(shí)注意對(duì)定值條件進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15.函數(shù)f（x）＝log2（kx2+4kx+3）．①若f（x）的定義域?yàn)镽，則k的取值范圍是_____；②若f（x）的值域?yàn)镽，則k的取值范圍是_____．【答案】①.[0，）②.k【解析】【分析】（1）根據(jù)的定義域?yàn)?，?duì)分成三種情況分類討論，結(jié)合判別式，求得的取值范圍.（2）當(dāng)值域?yàn)闀r(shí)，由求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)f（x）＝log2（kx2+4kx+3）．①若f（x）的定義域?yàn)镽，可得kx2+4kx+3＞0恒成立，當(dāng)k＝0時(shí)，3＞0恒成立；當(dāng)k＞0，△＜0，即16k2﹣12k＜0，解得0＜k；當(dāng)k＜0不等式不恒成立，綜上可得k的范圍是[0，）；②若f（x）的值域?yàn)镽，可得y＝kx2+4kx+3取得一切正數(shù)，則k＞0，△≥0，即16k2﹣12k≥0，解得k．故答案為：(1).[0，）(2).k【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義和值域求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.16.函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值是1，則__________．【答案】【解析】【分析】令，即求在上的最大值，需要根據(jù)對(duì)稱軸的位置進(jìn)行分類討論即可求出結(jié)果.【詳解】，令，則，對(duì)稱軸，若，即時(shí)，在處取得最大值，即，解得，與矛盾，故不合題意，舍去；若，即時(shí)，在處取得最大值，即，即，解得或，因?yàn)椋?；若，即時(shí)，在處取得最大值，即，解得，與矛盾，故不合題意，舍去；綜上：.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知，集合，．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)條件求出集合，最后根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；（2）依題意可得，則問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【小問1詳解】由，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，所以【小問2詳解】因?yàn)?，所以，關(guān)于的方程，因?yàn)?，所以關(guān)于的方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，依題意關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，解得，所以實(shí)數(shù)取值范圍為.18.設(shè)集合，．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若中只有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分和兩種情況討論，結(jié)合列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），解出即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求出集合，由題意得知，且有，解該不等式組即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）集合，.①當(dāng)時(shí)，，解得，符合要求；②當(dāng)時(shí)，若，，則，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）集合，或，若中只有一個(gè)整數(shù)，則必有，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，同時(shí)也考查了利用交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算求參數(shù)，解題時(shí)要結(jié)合題意列出不等式組進(jìn)行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.19.設(shè)函數(shù).（1）已知函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由函數(shù)的解析式結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)即可確定的值；(2)首先整理函數(shù)的解析式為的形式，然后確定其值域即可.【詳解】(1)由題意結(jié)合函數(shù)的解析式可得：，函數(shù)為偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，即，結(jié)合可取，相應(yīng)的值為.(2)由函數(shù)的解析式可得：.據(jù)此可得函數(shù)的值域?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題主要考查由三角函數(shù)的奇偶性確定參數(shù)值，三角函數(shù)值域的求解，三角函數(shù)式的整理變形等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20.已知函數(shù)的最小正周期是．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若對(duì)任意的，都有，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)周期公式求出，即可得到函數(shù)解析式，最后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由的取值范圍求出的范圍，即可求出的值域，由恒成立得到關(guān)于的不等式組，解得即可.【小問1詳解】因?yàn)?，又且函?shù)的最小正周期是，所以，解得，所以，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)，則，所以，則，因?yàn)閷?duì)任意的，都有，即對(duì)任意的，都有，即對(duì)任意的，都有，所以，解得，即的取值范圍為.21.已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性證明，再利用零點(diǎn)存性定理即可知零點(diǎn)個(gè)數(shù).（2）將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，即，即，求解即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明如下：任取，且，∵，∴，∴，即.所以函數(shù)在上單詞遞減.又∴在區(qū)間上存在零點(diǎn)，且為唯一的零點(diǎn).∴函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)【小問2詳解】可化為.可化為.可化為.令，可知在R單調(diào)遞增，所以有，即令，可知在上單調(diào)遞增.即在上單調(diào)遞增，，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問題，不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖像在上方即可)；③討論最值或恒成立.22.已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）對(duì)于給定的負(fù)數(shù)，若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)（且）使得，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或；（Ⅲ）見解析【解析】【分析】（Ⅰ）由題可知當(dāng)時(shí)，，分別討論該函數(shù)在各段上的最小值和區(qū)間端點(diǎn)值，進(jìn)而求出在整個(gè)定義域上的最小值；（Ⅱ）因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，分，，三種情況討論即可（Ⅲ）因?yàn)?，則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，令，分，兩種情況具體討論即可．【詳解】解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)有最小值為；當(dāng)時(shí)，由得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（Ⅱ）因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，若