12一定是直角三角形嗎(備作業(yè))2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊（北師大版）

1.2一定是直角三角形嗎一、單選題1．下列各組數(shù)據(jù)，是勾股數(shù)的是（）A．，， B．32，42，52C．0.5，1.2，1.3 D．12，16，20【答案】D【解析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．A、，不能構(gòu)成直角三角形，故錯誤；

B、92+162≠252，不能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故錯誤；

C、0.52+1.22=1.32，能構(gòu)成直角三角形，但不是整數(shù)，故錯誤；

D、122+162=202，能構(gòu)成直角三角形，故正確．

故選D．【點(diǎn)睛】考查了勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形．2．滿足下列條件的，不是直角三角形的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、勾股定理的逆定理對各個選項分別進(jìn)行計算即可．A.,則a2+c2=b2,△ABC是直角三角形,故A正確，不符合題意；B.52+122=132，△ABC是直角三角形，故B正確，不符合題意；C.∠A：∠B：∠C=3：4：5，設(shè)∠A、∠B、∠C分別為3x、4x、5x，則3x+4x+5x=180°，解得，x=15°，則∠A、∠B、∠C分別為45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故C選項錯誤，符合題意；D.∠A∠B=∠C，則∠A=∠B+∠C，∠A=90°，△ABC是直角三角形，故D正確，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．3．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a(chǎn)2＝（b+c）（b﹣c）C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a(chǎn)：b：c＝3：4：5【答案】C【解析】由三角形的內(nèi)角和定理求解可判斷由勾股定理的逆定理可判斷由三角形的內(nèi)角和定理求解可判斷設(shè)則利用勾股定理的逆定理可判斷解：故不符合題意；故不符合題意；不是直角三角形，故符合題意，設(shè)則故不符合題意，故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．已知a，b，c是三角形的三邊長，且(a?5)2A．以a為斜邊的直角三角形 B．以c為斜邊的直角三角形C．等腰直角三角形 D．銳角三角形【答案】B【解析】根據(jù)絕對值、偶次方的非負(fù)性質(zhì)，分別求出a，b，c的值；利用勾股定理的逆定理，判斷△ABC的形狀，即可得到答案.∵(a?5)2根據(jù)絕對值、偶次方的非負(fù)性質(zhì)，

∴c=13，b=12，a=5，

∵52+122=132，

∴△ABC是以c為斜邊的直角三角形．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，絕對值、偶次方的性質(zhì)，掌握勾股定理的逆定理，絕對值、偶次方的非負(fù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5．下列選項中（圖中三角形都是直角三角形），不能用來驗證勾股定理的是（）A． B． C．D．【答案】D【解析】根據(jù)圖形的面積得出a，b，c的關(guān)系，即可證明勾股定理，分別分析得出即可．A，B，C都可以利用圖形面積得出a，b，c的關(guān)系，即可證明勾股定理；故A，B，C選項不符合題意；D、不能利用圖形面積證明勾股定理，故此選項正確．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的證明方法，根據(jù)圖形面積得出是解題關(guān)鍵．6．下列說法中正確的是（）A．在中，.B．在中，.C．在中，，.D．、、是的三邊，若，則是直角三角形.【答案】D【解析】根據(jù)勾股定理以及勾股定理的逆定理逐項分析即可.A.因為不一定是直角三角形，故不正確；B.沒說明哪個角是直角，故不正確；C.在中，，則，故不正確；D.符合勾股定理的逆定理，故正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，熟練掌握定理是解答本題的關(guān)鍵.直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方;如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.7．下列命題①如果a，b，c為一組勾股數(shù)，那么4a，4b，4c仍是勾股數(shù)；②如果三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比是3：4：5，那么這個三角形是直角三角形；③如果一個三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一個等腰直角三角形的三邊是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】C【解析】分別利用勾股數(shù)的定義、勾股定理以及等腰直角三角形的邊的關(guān)系分別判斷得出即可．解：①如果a，b，c為一組勾股數(shù)，那么4a，4b，4c仍是勾股數(shù)，是真命題；②如果三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比是3：4：5，則這三角形的三個內(nèi)角度數(shù)為：45°，60°,75°，因此這個三角形不是直角三角形，原命題是假命題；③如果一個三角形的三邊是12、25、21，因為，故此三角形不是直角三角形，故原命題是假命題；④一個等腰直角三角形的三邊是a，b，c，（a＞b＝c），那么a2：b2：c2＝2：1：1，是真命題；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了命題與定理，熟練掌握勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．如圖，兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形恰好構(gòu)成一個梯形．甲說：梯形的面積可以表示為，乙說：梯形的面積可以表示為，則有()A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)梯形的面積的兩種求法，構(gòu)建關(guān)系式即可解決問題．解：根據(jù)題意得，，

∴a2+b2=c2，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的證明、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法解決問題，屬于中考?？碱}型．9．給出下列四個說法：①由于0.3，0.4，0.5不是勾股數(shù)，所以以0.3，0.4，0.5為邊長的三角形不是直角三角形；②由于以0.5，1.2，1.3為邊長的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股數(shù)；③若，，是勾股數(shù)，且最大，則一定有；④若三個整數(shù)，，是直角三角形的三邊長，則，，一定是勾股數(shù).其中正確的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】C【解析】根據(jù)勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股數(shù)的定義分別判斷各說法即可.①由于，所以以0.3，0.4，0.5為邊長的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整數(shù)，所以0.3，0.4，0.5不是勾股數(shù)，故①說法錯誤；②雖然以0.5，1.2，1.3為邊長的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整數(shù)，所以0.5，1.2，1.3不是勾股數(shù)，故②說法錯誤；③若，，是勾股數(shù)，且最大，則一定有，故③說法正確；④若三個整數(shù)，，是直角三角形的三邊長，則，所以，所以，，一定是勾股數(shù)故④說法正確.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股數(shù)：滿足a2＋b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．注意：①三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2＋b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到的三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…．10．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是64，小正方形的面積為4，直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，且a>b.那么下列結(jié)論：（1）a2+b2=64，（2）a－b=2，（3）ab=30，（4）a+b=2.正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】分別求出小正方形及大正方形的邊長，然后根據(jù)面積關(guān)系和勾股定理得出a與b的關(guān)系式，依次判斷所給關(guān)系式即可．解：根據(jù)題意，大正方形的面積是64，小正方形的面積為4，∴大正方形的邊長為8，小正方形的邊長為2；∵，∴，故（2）正確；直角三角形的兩直角邊長分別為，∴，故（1）正確；∵，∴，∴，故（3）正確；∴，∴，故（4）正確；∴正確的結(jié)論有4個；故選擇：D.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及完全平方公式變形求值問題，根據(jù)所給圖形，利用面積關(guān)系判斷a與b的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．11．意大利著名畫家達(dá)·芬奇用下圖所示的方法證明了勾股定理．若設(shè)左圖中空白部分的面積為，右圖中空白部分的面積為，則下列表示的等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】左圖中空白部分的面積=兩個邊長分別為a、b的正方形的面積+兩個直角邊長分別為a、b的直角三角形的面積，右圖中空白部分的面積=一個邊長為c的正方形的面積+兩個直角邊長分別為a、b的直角三角形的面積，據(jù)此解答即可．解：，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明、直角三角形和正方形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解圖形提供的信息，正確表示出．12．如圖，四個全等的直角三角形圍成一個正方形ABCD和正方形EFGH，即趙爽弦圖，連接AC，F(xiàn)N交EF，GH分別于點(diǎn)M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，則圖中陰影部分的面積之和為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用勾股定理求出DH和AH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2，根據(jù)全等三角形的判定可證AEM≌CGN，AHN≌CFM，從而得出S△AEM=S△CGN，S△AHN=S△CFM，即可求出S四邊形MFGN，最后根據(jù)S陰影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN即可求出結(jié)論．解：∵AH=3DH，且S正方形ABCD，∴AH2＋DH2=AD2=21即（3DH）2＋DH2=21解得：DH=，∴AH=由全等三角形的性質(zhì)可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2∴正方形EFGH的邊長EH=AH－AE=，S△FGN=2S△CGN∵AH∥CF∴∠HEN=∠FCM∵∠AEM=∠CGN=90°，AE=CG，∠AHN=∠CFM=90°，AH=CF∴AEM≌CGN，AHN≌CFM∴S△AEM=S△CGN，S△AHN=S△CFM∴S四邊形MFGN=S△CFM－S△CGN=S△AHN－S△AEM=S四邊形EMNH=S正方形EFGH=×=∵S△FGN=2S△CGN∴S陰影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN=S△MNF＋2S△CGN=S△MNF＋S△FGN=S四邊形MFGN=故選B．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)和各圖形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．二、填空題13．若三角形的三邊長是6，8，，當(dāng)?shù)闹禐開_______時，該三角形是直角三角形.【答案】100或28【解析】三角形是直角三角形，這里給出三邊的長，只要用兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可求解，所以要分情況討論，當(dāng)最長邊為8時，和最長邊不是8時，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算.①最長邊為8時，8262=，則=28；②最長邊不是8時，82+62=，則=100.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是分情況討論最長邊.14．一個三角形的三邊長分別是，，，則此三角形是________.【答案】直角三角形【解析】利用勾股定理的逆定理進(jìn)行計算即可得到答案.因為=+，則此三角形是直角三角形，故答案為直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理.15．如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長都為1，則△ABC是_____三角形．【答案】直角因為AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，所以AC2+AB2=BC2，所以△ABC是直角三角形．故答案為直角.16．如圖，△ABC是邊長6cm的等邊三角形，動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上均速移動，它們的速度分別為Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為ts，則當(dāng)t=___s時，△PBQ為直角三角形．

【答案】或.【解析】先分別表示出BP，BQ的值，當(dāng)∠BQP和∠BPQ分別為直角時，由等邊三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=6cm，∠A=∠B=∠C=60°，當(dāng)∠PQB=90°時，∠BPQ=30°，∴BP=2BQ．∵BP=62t，BQ=t，∴62t=2t，解得t=；當(dāng)∠QPB=90°時，∠PQB=30°，∴BQ=2PB，∴t=2（62t），解得t=，∵0<t≤3，∴t=或t=故答案為或.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，30°角的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，利用分類討論是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請按要求完成下列各題．（1）線段AB的長為__，BC的長為__，CD的長為__，AD的長為__；（2）連接AC，通過計算△ACD的形狀是__；△ABC的形狀是__．【答案】（1），5，2，2；（2）等腰三角形，直角三角形【解析】（1）利用勾股定理計算即可．（2）根據(jù)等腰三角形的定義，勾股定理的逆定理判斷即可．解：（1）由題意AB＝BCCDAD故答案為，5，2，2（2）∵AC∴AC＝AD，∴△ACD是等腰三角形，∵AB＝，AC＝，BC＝5，∴AB2+AC2＝25＝BC2，∴∠BAC＝90°∴△ABC是直角三角形，故答案為等腰三角形，直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．18．如圖，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是_____．【答案】【解析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出線段OB的長度，然后根據(jù)OA＝OB即可求出OA的長度，接著可以求出數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)．∵OC＝3，BC＝1，∴BO＝,∵OA＝OB，∴OA＝，∴數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)勾股定理求直角三角形第三邊，并在數(shù)軸表示無理數(shù)，正確的計算OB的長是本題的關(guān)鍵，并且要注意點(diǎn)A的符號問題．19．如圖，中，，，直線、、分別通過、、三點(diǎn)，且．若與的距離為3，與的距離為5，則的面積為___________．【答案】17【解析】先過點(diǎn)B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，由于EF⊥l2，l1∥l2∥l3，易知EF⊥l1⊥l3，那么∠ABE＋∠EAB＝90°，∠AEB＝∠BFC＝90°，而∠ABC＝90°，可得∠ABE＋∠FBC＝90°，根據(jù)同角的余角相等可得∠EAB＝∠FBC，根據(jù)AAS可證△ABE≌△BCF，于是BE＝CF＝3，AE＝BF＝5，在Rt△ABE中利用勾股定理可求AB2，進(jìn)而可求△ABC的面積．過點(diǎn)B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如圖，∵EF⊥l2，l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1⊥l3，∴∠ABE＋∠EAB＝90°，∠AEB＝∠BFC＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝90°，∴∠EAB＝∠FBC，在△ABE和△BCF中，∠AEB＝∠BFC，∠EAB＝∠FCB，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF＝3，AE＝BF＝5，在Rt△ABE中，AB2＝BE2＋AE2，∴AB2＝34，∴S△ABC＝AB?BC＝AB2＝17．故答案是17．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線之間的距離，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，并證明△ABE≌△BCF．20．如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個動點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)．當(dāng)時，的長為______．【答案】2.5或1【解析】如圖，設(shè)BM=x，首先證明BQ=AP，分兩種情況，利用勾股定理，構(gòu)建方程求解即可．如圖，設(shè)BM=x，在Rt中，AB=10，AC=6，BC=，，，O是AB的中點(diǎn)，OA=OB，在和中，（ASA）PA=BQ=61=5，OQ=OP，MQ=MP，解得x=2.5．當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長線時，同法可得，解得x=1，綜上所述，滿足條件的BM的值為2.5或1．故答案為2.5或1．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．21．曾任美國總統(tǒng)的加菲爾德曾經(jīng)給出了一種勾股定理的證明方法.如圖，該圖形整體上拼成了一個直角梯形，所以它的面積有兩種表示方法，既可以表示為_______，又可以表示為_______.對比兩種表示方法可得________，化簡，可得.【答案】；；.【解析】因為梯形的上底為a，下底為b，高為（a+b），則它的面積可表示為（a+b）?（a+b）；此梯形的面積還可以看成是三個直角三角形的面積和，即（ab×2+c2）；則（a+b）（a+b）=（ab×2+c2）．由題可知梯形面積為（a+b）（a+b）；此梯形的面積還可以看成是三個直角三角形的面積和，即（ab×2+c2）．因此（a+b）（a+b）=（ab×2+c2）即a2+b2=c2．【點(diǎn)睛】主要應(yīng)用了梯形的面積公式和三角形的面積公式．22．如圖在中，，，，為等邊三角形，點(diǎn)為圍成的區(qū)域(包括各邊)內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，作，交直線于點(diǎn)，則平行線與間距離的最大值為_________.【答案】【解析】當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時，EM與AB間的距離最大，由為等邊三角形和，可得∠DBA＝90o,則DB的長度即為EM與AB間的距離，根據(jù)勾股定理即可求得.當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時，EM與AB間的距離最大，∵，，，為等邊三角形，∴∠ABC=30o,∠CBD=60o,BC=,∴∠ABD=90o,BD=BC=,∴EM與AB間的距離為BD的長度.故答案是：.【點(diǎn)睛】考查了勾股定理，解題關(guān)鍵根據(jù)題意得到當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時，EM與AB間的距離最大和求得.三、解答題23．如圖所示的一塊地，AD＝9m，CD＝12m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC＝36m，求這塊地的面積．【答案】這塊地的面積是216平方米．【解析】連接AC，運(yùn)用勾股定理求出AC，再根據(jù)勾股定理逆定理可證△ABC為直角三角形，可求出兩直角三角形的面積，此塊地的面積為兩個直角三角形的面積差．解連接AC，則在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝122＋92＝225，∴AC＝15，在△ABC中，AB2＝1521，AC2＋BC2＝152＋362＝1521，∴AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB＝90°，∴S△ABC－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×15×36－×12×9＝270－54＝216.答：這塊地的面積是216平方米．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題關(guān)鍵．24．如圖18－2－9所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形嗎？借助于網(wǎng)格，證明你的結(jié)論.【答案】見解析試題分析：借助于網(wǎng)格，利用勾股定理分別計算OA、AB、OB的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷△OAB是否是直角三角形即可.試題解析：解：∵OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,∴OA2+AB2=OB2.∴△OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形.25．在解答“判斷由長為，2，的三條線段組成的三角形是不是直角三角形”一題中，小明是這樣做的，你認(rèn)為小明的解答正確嗎？請說明理由．解：設(shè)a=，b=2，c=．∵a2+b2=（）2+22=，c2=()2=，∴a2+b2≠c2，∴這三條線段組成的三角形不是直角三角形．【答案】見解析試題分析：根據(jù)勾股定理的逆定理，求出兩小邊的平方和和大邊的平方，看看是否相等即可．試題解析：小明的做法不正確，理由是：∵（）2+（）2=22，∴這三條線段組成的三角形是直角三角形26．觀察下列各組勾股數(shù)的組成特點(diǎn)，你能求出第7組勾股數(shù)a，b，c各是多少嗎？第n組呢？第1組:3=2×1+1，4=2×1×(1+1),5=2×1×(1+1)+1；第2組:5=2×2+1，12=2×2×(2+1),13=2×2×(2+1)+1；第3組:7=2×3+1，24=2×3×(3+1),25=2×3×(3+1)+1；第4組:9=2×4+1，40=2×4×(4+1),41=2×4×(4+1)+1；…；第7組:a，b，c.【答案】第7組：a=15，b=112，c=113.第n組：a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1.試題分析：通過觀察，得出規(guī)律：這類勾股數(shù)分別為2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可寫出第7組勾股數(shù)及第n組勾股數(shù)．試題解析：∵第一組：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，第二組：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，第三組：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，第四組：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，∴第七組勾股數(shù)是a=2×7+1=15，b=2×7×（7+1）=112，c=2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113；第n組勾股數(shù)是2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1．27．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，P為BC邊上任意一點(diǎn)．(1)求證：AP2＋PB·PC＝16.(2)若BC邊上有100個不同的點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)P1，P2，…，P100，設(shè)mi＝APi2＋PiB·PiC(i＝1，2，…，100)．求m1＋m2＋…＋m100的值．【答案】(1)16;(2)1600試題分析：（1）作AD⊥BC于D，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)和勾股定理得出AP2+BP?PC=AB2即可；

（2）根據(jù)勾股定理，得APi2=AD2+DPi2=AD2+（BDBPi）2=AD2+BD22BD?BPi+BPi2，PiB?PiC=PiB?（BCPiB）=2BD?BPiBPi2，從而求得mi=AD2+BD2，即可求解．試題解析：(1)過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AP2＋PB·PC＝AP2＋(PD＋BD)(CD－PD)＝AP2＋CD2－PD2.∵AP2－PD2＝AD2，∴AP2＋PB·PC＝AD2＋CD2＝AC2＝16.(2)由(1)知mi＝APi2＋PiB·PiC＝16，∴m1＝m2＝…＝m100＝16，∴m1＋m2＋…＋m100＝16×100＝1600.28．勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理創(chuàng)制的“趙爽弦圖”也流傳至今．迄今為止己有多種證明勾股定理的方法．下面是數(shù)學(xué)課上創(chuàng)新小組驗證過程的一部分．請認(rèn)真閱讀并根據(jù)他們的思路將后續(xù)的過程補(bǔ)充完整：將兩張全等的直角三角形紙片按圖所示擺放，其中，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在邊兩側(cè)，試證明：．【答案】見解析．【解析】首先連結(jié)，作延長線于，則，根據(jù)，易證，再根據(jù)，，兩者相等，整理即可得證．證明：連結(jié)，作延長線于，則即，∴∴即有：∴【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，用兩種方法表示出四邊形ADFB的面積是解本題的關(guān)鍵．29．如圖，在和中，，，．

（1）若，，，求的大?。唬?）猜想線段與的關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】（1）；（2），，見解析【解析】（1）用勾股定理逆定理判斷即可；（2）證≌，再延長交于點(diǎn)，證即可．解：（1）∵，，，∴，∵，∴，∴．（2）猜想：，，∵，∴，∵，，∴≌，∴，如圖，延長交于點(diǎn)，

∵≌，∴，∴∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及逆定理，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形全等的判定定理進(jìn)行證明，熟練的導(dǎo)角．30．勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一．中國古代最早對勾股定理進(jìn)行證明的是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽，趙爽創(chuàng)制了如圖1所示的“勾股圓方圖”，在該圖中，以弦為邊長所得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成的，其中，．（1）請利用面積相等證明勾股定理；（2）在圖1中，若大正方形的面積是13，，求小正方形的面積；（3）圖2是由“勾股圓方圖”變化得到的，正方形由八個全等的直角三角形和正方形拼接而成，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，．若，求邊的長度．【答案】（1）證明見解析；（2）1；（3）4【解析】（1）根據(jù)大正方形的面積=4個全等直角三角形的面積+小正方形的面積證明可得結(jié)論；（2）由勾股定理可得AF的長，從而可得小正方形的邊長，進(jìn)一步可求出小正方形的面積；（3）分別求出正方形，正方形，正方形的邊長，求出其面積，代入，進(jìn)一步整理可得解．解：（1）∵∴，∴小正方形的邊長=又大正方形的邊長為∴正方形的面積為，4個全等直角三角形的面積和為，正方形的面積為，由“大正方形的面積=4個全等直角三角形的面積+小正方形的面積”得;∴經(jīng)過整理可得（2）∵大正方形的面積是13，∴∵，且∴∴(負(fù)值舍去)∴∴小正方形的面積為1；（3）∵正方形由八個全等的直角三角形和正方形拼接而成，∴，，∴正方形的邊長為，∴正方形的面積為．而正方形的邊長為，正方形的邊長為，∴正方形的面積為，正方形的面積為，∴，整理得，，∴（負(fù)值舍去）【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理的證明和應(yīng)用，能夠準(zhǔn)確識圖是解答本題的關(guān)鍵．31．閱讀理解：（問題情境）教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1，利用此圖，可以驗證勾股定理嗎？（探索新知）從面