第六章第一節(jié)平面向量的概念及其運算

第六章平面向量、復數(shù)第一節(jié)平面向量的概念及其運算【課程標準】1.了解平面向量的實際背景,理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義,理解平面向量的幾何表示和基本要素.2.掌握平面向量加、減運算及運算規(guī)則,理解其幾何意義.3.掌握平面向量數(shù)乘運算及運算規(guī)則,理解其幾何意義,理解兩個平面向量共線的含義.4.了解平面向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.【考情分析】考點考法:高考命題常以共線向量基本定理與平面向量基本定理為載體考查向量的加、減、數(shù)乘運算以及它們的幾何意義,常以選擇或填空題的形式考查.核心素養(yǎng):直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理.【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.平面向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量;向量的大小稱為向量的長度(模)向量由方向和長度確定,不受位置影響零向量長度為0的向量記作0,其方向是任意的單位向量長度等于1個單位長度的向量與非零向量a共線的單位向量為±a平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量0與任意向量平行(共線)相等向量長度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量,平行向量不一定是相等向量相反向量長度相等且方向相反的向量若非零向量a,b互為相反向量,則a=b2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律:a+b=b+a;結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)減法求a與b的相反向量b的和的運算ab=a+(b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算|λa|=|λ||a|,當λ>0時,λa與a的方向相同;當λ<0時,λa與a的方向相反;當λ=0時,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb【微點撥】對平面向量加法抓住“共起點”或“首尾相連”.對平面向量減法應抓住“共起點,連兩終點,指向被減向量的終點”.3.共線向量定理向量b與非零向量a共線的充要條件是:存在唯一一個實數(shù)λ,使得b=λa.【微點撥】只有當a≠0時,定理中的實數(shù)λ才存在且唯一.【基礎小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號14321.(多維辨析)(多選題)下列說法錯誤的是 ()A.若a∥b,則a與b方向相同或相反B.若a∥b,b∥c,則a∥cC.若a=b,b=c,則a=cD.若兩個單位向量互相平行,則這兩個單位向量相等【解析】選ABD.對于A選項,因為a∥b,若a=0,則零向量的方向任意,A錯誤;對于B選項,取b=0,則a∥b,b∥c,但a,c不一定平行,B錯誤;對于C選項,a=b,b=c,則a=c,C正確;對于D選項,方向相反時,兩個單位向量不相等,D錯誤.2.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,點D在邊AB上,BD=2DA.記CA=m,CD=n,則CB=()A.3m2n B.2m+3nC.3m+2n D.2m+3n【解析】選B.如圖,因為CD=CA+AD=CA+12DB=CA+12(CBCD)=CA+所以12CB=32CDCA,即CB=3CD2CA=33.(共線與模的關(guān)系不明確致誤)已知非零向量a,b,那么“a=λb”是“|a+b|=|a||b|”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.由|a+b|=|a||b|及向量的減法法則,可得向量a與b平行且反向,由a=λb可得向量a,b平行,因此“a=λb”是“|a+b|=|a||b|”的必要不充分條件.4.(必修第二冊P15練習T2·變條件)點C在線段AB上,且ACCB=53,則AC=____AB,BC=____【解析】由已知畫圖如下,由圖形知AC=58AB,BC=答案:58【巧記結(jié)論·速算】1.中點公式的向量形式P為線段AB的中點,O為平面內(nèi)一點,則OP=12(OA+OB)2.向量三角不等式對于任意兩個向量a,b,都有||a||b||≤|a±b|≤|a|+|b|.【即時練】1.在△ABC中,D為AB的中點,E為CD的中點,設AB=a,AC=b,則AE= ()A.12a+14b B.12C.14a+12b D.14【解析】選C.因為D為AB的中點,E為CD的中點,所以AE=AC+CE=AC+1=AC+12(12ABAC)=14AB+12AC,又因為AB=a,AC=b,所以AE2.若a,b滿足|a|=5,|b|=8,則|a+b|的最大值為__________,最小值為__________.

【解析】由||a||b||≤|a+b|≤|a|+|b|,得|a+b|的最大值為13,最小值為3.答案:133【核心考點·分類突破】考點一平面向量的基本概念[例1](1)(2023·北京模擬)設a,b是非零向量,則“aa=bb”是“a=b”的 (A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B.由aa=bb表示單位向量相等,則a,b同向,但不能確定它們的模是否相等,即不能推出a=b,由a=b表示a,b同向且模相等,則aa=bb,所以“aa=bb”是“(2)在如圖所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的邊長為1),判斷是否存在下列關(guān)系的向量:①是共線向量的有____________;

②方向相反的向量有____________;

③模相等的向量有__________.

【解析】①a∥d,e∥b,故a和d,e和b是共線向量;②a和d,b和e是方向相反的向量;③由勾股定理可得,模相等的向量有a,c,d.答案:①a和d,e和b②a和d,b和e③a,c,d【解題技法】平面向量有關(guān)概念的關(guān)注點(1)共線向量即為平行向量;(2)向量的平行不具有傳遞性,只有非零向量平行具有傳遞性;(3)兩個非零向量的共線包含同向共線與反向共線,與向量長度、起點無關(guān);(4)與向量a同向的單位向量是aa【對點訓練】1.(2023·鄭州模擬)已知四邊形ABCD,下列說法正確的是 ()A.若AB=DC,則四邊形ABCD為平行四邊形B.若|AC|=|BD|,則四邊形ABCD為矩形C.若AD∥BC,且|AC|=|BD|,則四邊形ABCD為矩形D.若|AB|=|CD|,且AD∥BC,則四邊形ABCD為梯形【解析】選A.A選項,若AB=DC,則AB=DC且AB∥DC,則四邊形ABCD為平行四邊形,正確;B選項,對角線相等的四邊形不一定是矩形,錯誤;C選項,若AD∥BC,且|AC|=|BD|,則四邊形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形,故錯誤.D選項,若|AB|=|CD|,且AD∥BC,則四邊形ABCD可以是平行四邊形,也可以是梯形,故錯誤.2.向量AM∥AN,其中AN是單位向量且AM=2AN,則MN=________.

【解析】因為AM∥AN,其中AN是單位向量且AM=2AN,則MN=ANAM,①若AM=2AN,則MN=AN-AM=AN-②若AM=2AN,則MN=AN+2AN=3AN=3AN=3,因此,MN=1答案:1或3考點二平面向量的線性運算【考情提示】平面向量的線性運算主要考查平面向量加、減運算、運算規(guī)則及其幾何意義,常以平面向量為載體考查平行四邊形法則、三角形法則,題目多以選擇題、填空題形式出現(xiàn).角度1平面向量的加、減運算的幾何意義[例2]如圖所示,已知在矩形ABCD中,AD=43,設AB=a,BC=b,BD=c.則a+b+【解析】a+b+c=AB+BC+BD=AC+BD,延長BC至E,使CE=BC,連接DE,由于CE=BC=AD,所以CEAD,所以四邊形ACED是平行四邊形,所以AC=DE,所以AC+BD=DE+BD=BE,所以a+b+c=BE=2BC=2答案:83【解題技法】利用向量加、減法的幾何意義解決問題的常用方法(1)根據(jù)兩個向量的和與差,構(gòu)造相應的平行四邊形或三角形,再結(jié)合其他知識求解相關(guān)問題;(2)平面幾何中如果出現(xiàn)平行四邊形或可能構(gòu)造出平行四邊形或三角形的問題,可考慮利用向量知識來求解.角度2平面向量的線性運算[例3](1)如圖,在△ABC中,D是BC的中點.若BA=a,DA=b,則AC= ()A.3a2b B.12a+1C.a+2b D.a2b【解析】選D.AC=BCBA=2DCBA=2DA+ACBA=2b+2ACa,所以AC=a2(2)(多選題)(2023·河源模擬)如圖,在平行四邊形ABCD中,E為CD的中點,AF=13AE,則 (A.AE=BC13BA B.BE=BCC.BF=13BC+56BA D.AE【解析】選BCD.對A,由題意得AE=AB+BE=AB+BC+CE=AB+BC+12CD=BA+BC+12BA=12BA+對B,BE=BA+AE=BA12BA+BC=12BA+BC,對C,BF=BA+AF=BA+13AE=BA+13(12BA+BC)=56BA對D,AE+BE=12BA+BC+12BA+BC=2BC,【解題技法】向量線性運算的解題策略(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則,一般共起點的向量求和用平行四邊形法則,求差用三角形法則,求首尾相連的向量的和用三角形法則.(2)找出圖形中的相等向量、共線向量,將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解.角度3根據(jù)向量線性運算求參數(shù)[例4](1)(多選題)(2023·梅州模擬)如圖所示,四邊形ABCD為等腰梯形,CD∥AB,CD=12AB,E,F分別為DC,AE的中點,若AD=λAB+μBF(λ,μ∈R),則 (A.λ=72 B.μ=2 C.λ=74 D.【解析】選BC.因為CD∥AB,CD=12AB,所以AD=AE+ED=AE1因為F為AE的中點,所以AE=2AF=2(AB+BF)=2AB+2BF,所以AD=2AB+2BF14AB=74AB+2BF,所以λ=7(2)(2023·安慶模擬)如圖,在△OAB中,P為線段AB上一點,OP=xOA+yOB,且BA=4PA,則 ()A.x=13,y=23 B.x=23,C.x=34,y=14 D.x=14,【解析】選C.由BA=4PA可得BP=34BA,所以OP=OB+BP=OB+OB+34(OAOB)=34OA+14OB,所以x=3【解題技法】與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題解題策略一般是通過向量的運算將向量表示出來,然后通過比較或建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.提醒:有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質(zhì),把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解.【對點訓練】1.如圖,已知OA=a,OB=b,任意點M關(guān)于點A的對稱點為S,點S關(guān)于點B的對稱點為N,則向量MN= ()A.b2a B.bC.b-a2 D.2(【解析】選D.由題設及題圖知:MN=2AB且AB=OBOA=ba,所以MN=2(ba).2.(2023·贛州模擬)如圖,平行四邊形ABCD中,點E為BC的中點,點F在線段AE上,且AF=2FE,記a=AB,b=AD,則BF= ()A.13a23b B.14aC.58a+13b D.13a【解析】選D.因為在平行四邊形ABCD中,E是BC的中點,AF=2FE,AD=b,AB=a,所以BF=BEFE=BE13AE=BE13(AB+BE)=13AB+23=13AB+13BC=13AB+133.(2023·北京模擬)在平行四邊形ABCD中,點P滿足AP=12(AB+AC),若PD=λAB+μAD,則λ+μ的值是__________【解析】由AP=12(AB+AC)得出點P為BC的中點在平行四邊形ABCD中,AB=DC,BC=AD,PD=PC+CD=12BCAB=1所以λ=1,μ=12,則λ+μ=1答案:1【加練備選】(2023·福州模擬)在△ABC中,點P為BC邊上一點,且AP=13AC+λAB,則實數(shù)λ=(A.13 B.12 C.23【解析】選C.如圖,過點P作PD∥AB,交AC于點D,作PE∥AC交AB于點E,因為AP=13AC+λAB,所以AD=13AC,EP=13AC,所以EB=1所以AP=AD+AE=13AC+23AB,所以考點三向量共線定理及其應用[例5](1)(一題多法)(2023·連云港模擬)設e1,e2是兩個不共線的向量,已知AB=2e1ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1e2,若三點A,B,D共線,則k的值為 ()A.8 B.8 C.6 D.6【解析】選B.解法一(方程組法):由已知得DB=CBCD=e1+3e2(2e1e2)=e1+4e2,因為三點A,B,D共線,所以存在唯一實數(shù)λ使AB=λDB,所以2e1ke2=λ(e1+4e2)=λe1+4λe2,所以2=-λ-k解法二(比例法):由已知得DB=CBCD=e1+3e2(2e1e2)=e1+4e2,因為三點A,B,D共線,所以AB∥DB,所以2-1=-k4,解得(2)(2023·青島模擬)如圖,在△ABC中,AN=2NC,P是BN上一點,若AP=tAB+12AC,則實數(shù)t的值為【解析】由題意,P是BN上一點,設BP=λBN,則AP=AB+BP=AB+λBN=AB+λ(ANAB)=(1λ)AB+λAN,又AN=2NC,所以AN=23AC,所以AP=(1λ)AB+23λAC=tAB+12AC,所以1-答案:1【解題技法】利用共線向量定理解題的方法(1)a∥b?a=λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).若a=λb(b≠0),則a與b共線,且當λ>0時,a與b同向;當λ<0時,a與b反向.(2)若a與b不共線且λa=μb,則λ=μ=0.(3)要證明A,B,C三點共線,只需證明AB與BC共線,即證AB=λBC(λ∈R).若已知A,B,C三點共線,則必有AB與BC共線,從而存在實數(shù)λ,使得AB=λBC.(4)OA=λOB+μOC(λ,μ為實數(shù)),若A,B,C三點共線,則λ+μ=1.提醒:若點P在直線AB上,由三點共線一般要設AP=λAB或者設OP=λOA+(1λ)OB,再結(jié)合條件解題.【對點訓練】1.(2023·青島模擬)已知a,b是不共線