專題922菱形（分層練習(xí)）（提升練）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題9.22菱形（分層練習(xí)）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023上·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在菱形中，，的垂直平分線交對角線于點(diǎn)F，E為垂足，連接，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2022上·山西運(yùn)城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，菱形的對角線長分別為8和10，P是對角線上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），交于點(diǎn)F，連接，則陰影部分的面積是（）A．12 B．20 C．40 D．803．（2023上·陜西榆林·九年級?？茧A段練習(xí)）在下列條件中，能判定平行四邊形為菱形的是（

）A． B． C． D．4．（2022下·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．下列三種說法：①.四邊形EFGH一定是平行四邊形；②.若AC＝BD，則四邊形EFGH是菱形；③.若AC⊥BD，則四邊形EFGH是矩形．其中正確的是（

）A．① B．①② C．①③ D．①②③5．（2022上·廣東佛山·九年級校考期中）如圖，在菱形中，與交于點(diǎn)，，延長至點(diǎn)，使得，連接，則下列結(jié)論：①；②；③四邊形為菱形；④的面積為菱形面積的一半，其中正確的結(jié)論個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．16．（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，垂直交的延長線于點(diǎn)F，若，則菱形的邊長是（

）A．3 B．4 C．5 D．7．（2022下·重慶·八年級重慶一中?？计谀┤鐖D，菱形的邊長為4，，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)E，連接，F(xiàn)為的中點(diǎn)，H為的中點(diǎn)，連接和，交于點(diǎn)G，則的長為（）A．3 B． C． D．8．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，分別以、為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)、，連接，若直線恰好過點(diǎn)與邊交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論錯誤的是（

）

A． B．若，則C． D．9．（2020·山東泰安·中考真題）如圖，矩形中，相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)N，連接．則下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，四邊形是菱形．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．（2021·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，，過菱形ABCD的對稱中心O分別作邊AB，BC的垂線，交各邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH的周長為（

）A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023上·山東聊城·九年級校考階段練習(xí)）如圖，菱形的周長為16，對角線與相交于點(diǎn)O，，垂足為E，若，則的長為．12．（2022·黑龍江哈爾濱·校考一模）如圖，菱形中，，，點(diǎn)E為中點(diǎn)，點(diǎn)F在菱形的邊上，連接，若，則的值為．

13．（2023上·福建三明·九年級統(tǒng)考期中）如圖，現(xiàn)有一張矩形紙片，，，點(diǎn)，分別在矩形的邊，上，將矩形紙片沿直線折疊，使點(diǎn)落在邊上點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：；四邊形是菱形；，重合時，；點(diǎn)、、三點(diǎn)共線．其中正確的結(jié)論有．（寫出序號即可）

14．（2023上·山東青島·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形紙片中，，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，求折痕．

15．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·八年級校聯(lián)考期中）如圖所示，在矩形中，，，兩條對角線相交于點(diǎn)．以、為鄰邊作第1個平行四邊形，對角線相交于點(diǎn)，再以、為鄰邊作第2個平行四邊形，對角線相交于點(diǎn)；再以、為鄰邊作第3個平行四邊形…依此類推，第n個平行四邊形的面積是．16．（2022·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）如圖，四邊形ABCD為菱形，，延長BC到E，在內(nèi)作射線CM，使得，過點(diǎn)D作，垂足為F．若，則對角線BD的長為．17．（2022上·重慶·八年級西南大學(xué)附中校考期末）如圖，在菱形ABCD中，，，M，N分別是邊AB，AD的動點(diǎn)，滿足，連接CM、CN，E是邊CM上的動點(diǎn)，F(xiàn)是CM上靠近C的四等分點(diǎn)，連接AE、BE、NF，當(dāng)面積最小時，的最小值為．18．（2021·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在延長線上，、分別為、中點(diǎn)，，，則．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若求證：四邊形是菱形．20．（8分）（2020·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長．21．（10分）（2022下·江蘇南京·八年級?？计谥校┤鐖D，已知垂直平分，，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）若，，求的長．22．（10分）（2021·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，E、F分別是線段、上的點(diǎn)，點(diǎn)O是與的交點(diǎn)．若將沿直線折疊，則點(diǎn)E與點(diǎn)F重合．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求的值．23．（10分）（2023上·山西朔州·九年級校聯(lián)考期中）綜合與探究已知四邊形是菱形，，，的兩邊分別與射線相交于點(diǎn)，且．初步感知】（1）當(dāng)是線段的中點(diǎn)時（如圖1），與的數(shù)量關(guān)系為______．【深入探究】（2）如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，將圖2中的繞點(diǎn)繼續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)到的距離．24．（12分）（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過點(diǎn)C作BD的垂線交AB于點(diǎn)E，連接DE．（1）如圖1，若，求證：四邊形BCDE是菱形；（2）如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC相交于點(diǎn)F，DE垂直平分線段AC．（ⅰ）求∠CED的大小；（ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．參考答案：1．C【分析】先連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，再證明，進(jìn)而得出，，可知，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而得出答案．解：連接．∵是的垂直平分線，∴．∵四邊形是菱形，∴．，，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．2．B【分析】由四邊形是兩條對角線長分別為8和10的菱形得，則，設(shè)交于點(diǎn)O，可證明四邊形是平行四邊形，，則，于是得到問題的答案．解：如圖，,∵菱形的對角線互相垂直，且對角線長分別為8和10，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)交于點(diǎn)O，∵，∴PE∥AF，PF∥AE，∴四邊形是平行四邊形，，∴，在和中，，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、菱形的面積公式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定的應(yīng)用，注意：菱形的判定定理有：①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，②四條邊都相等的四邊形是菱形，③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．根據(jù)菱形的性質(zhì)逐個進(jìn)行證明，再進(jìn)行判斷即可．解：A、平行四邊形中，本來就有，故本選項(xiàng)錯誤；B、平行四邊形中，，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，即可判定平行四邊形是矩形，而不能判定平行四邊形是菱形，故本選項(xiàng)錯誤；C、平行四邊形中，，可利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定，故本選項(xiàng)正確；D、平行四邊形中，，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，即可判定平行四邊形是矩形，而不能判定平行四邊形是菱形，故本選項(xiàng)錯誤．故選：C．4．D【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到，EH=BD，EF=AC，根據(jù)平行四邊形、菱形、矩形的判定定理判斷即可．解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，∴，EH=BD，EF=AC，∴四邊形EHGF是平行四邊形，故①符合題意；若AC=BD，則EF=EH，∴平行四邊形EHGF是菱形，故②符合題意；若AC⊥BD，則EF⊥EH，∴平行四邊形EHGF是矩形，故③符合題意；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，掌握三角形中位線定理、平行四邊形、菱形、矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和，可得，是等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理可證①②正確，根據(jù)，可證得四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形性質(zhì)可得④正確，但，不能證明四邊形是菱形，即可得解．解：∵四邊形是菱形，∴，，,又∵，∴，∴是等邊三角形，∴，又∵，，∴，，，故①②正確；∵，，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，但，∴四邊形不是菱形，故③錯誤；∵四邊形為平行四邊形，四邊形是菱形，∴，故④正確；∴正確的結(jié)論個數(shù)為3個，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，熟練掌握菱形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】過C作CM⊥AB延長線于M，根據(jù)設(shè)，由菱形的性質(zhì)表示出BC=4x，BM=3x，根據(jù)勾股定理列方程計(jì)算即可．解：過C作CM⊥AB延長線于M，∵∴設(shè)∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)∴∵菱形∴，CE∥AB∵⊥，CM⊥AB∴四邊形EFMC是矩形∴，∴BM=3x在Rt△BCM中，∴，解得或（舍去）∴故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵在于熟悉各個知識點(diǎn)在本題的靈活運(yùn)用．屬于拔高題．7．D【分析】由菱形的性質(zhì)得，，，再由三角形中位線定理得，，然后證，得，進(jìn)而由勾股定理即可得出結(jié)論．解：∵菱形的邊長為4，，∴，，，∵F為的中點(diǎn)，H為的中點(diǎn)，∴，是的中位線，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，在中，由勾股定理得：，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】利用菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識逐項(xiàng)判斷即可．解：由作法得MN垂直平分CD，∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC=AD，∴AB=BC=AC，∴ΔABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°∴∠BCD=120°，即A選項(xiàng)的結(jié)論正確，不符合題意；當(dāng)AB=3，則CE=DE=，∵∠D=60°，∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120°∴∠BAE=∠BAD∠DAE=120°30°=90°在Rt△ABE中，BE=，所以B選項(xiàng)的結(jié)論錯誤，符合題意；∵菱形ABCD∴.BC=CD=2CE，即，所以C選項(xiàng)的結(jié)論正確，不符合題意；∵ABCD，AB=2DE，∴，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考作已知線段的垂直平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．9．D【分析】通過判斷△AND≌△CMB即可證明①，再判斷出△ANE≌△CMF證明出③，再證明出△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，進(jìn)而判斷出②，通過DF與EB先證明出四邊形為平行四邊形，再通過三線合一以及內(nèi)角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，進(jìn)而得到DE=BE，即可知四邊形為菱形．解：∵BF⊥AC∴∠BMC=90°又∵∴∠EDO=∠MBO，DE⊥AC∴∠DNA=∠BMC=90°∵四邊形ABCD為矩形∴AD=BC，AD∥BC，DC∥AB∴∠ADB=∠CBD∴∠ADB∠EDO=∠CBD∠MBO即∠AND=∠CBM在△AND與△CMB∵∴△AND≌△CMB（AAS）∴AN=CM，DN=BM，故①正確．∵AB∥CD∴∠NAE=∠MCF又∵∠DNA=∠BMC=90°∴∠ANE=∠CMF=90°在△ANE與△CMF中∵∴△ANE≌△CMF（ASA）∴NE=FM，AE=CF，故③正確．在△NFM與△MEN中∵∴△NFM≌△MEN（SAS）∴∠FNM=∠EMN∴NF∥EM，故②正確．∵AE=CF∴DCFC=ABAE，即DF=EB又根據(jù)矩形性質(zhì)可知DF∥EB∴四邊形DEBF為平行四邊根據(jù)矩形性質(zhì)可知OD=AO，當(dāng)AO=AD時，即三角形DAO為等邊三角形∴∠ADO=60°又∵DN⊥AC根據(jù)三線合一可知∠NDO=30°又根據(jù)三角形內(nèi)角和可知∠ABD=180°∠DAB∠ADB=30°故DE=EB∴四邊形DEBF為菱形，故④正確．故①②③④正確故選D．【點(diǎn)撥】本題矩形性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與證明、菱形的判定，能夠找對相對應(yīng)的全等三角形是解題關(guān)鍵．10．A【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的長，即可求出該四邊形的周長．解：∵HF⊥BC,EG⊥AB,∴∠BEO=∠BFO=90°，∵∠A=120°，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，由菱形的對邊平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，因?yàn)镺點(diǎn)是菱形ABCD的對稱中心，∴O點(diǎn)到各邊的距離相等，即OE=OF=OG=OH，∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，所以四邊形EFGH是矩形；設(shè)OE=OF=OG=OH=x，∴EG=HF=2x，，如圖，連接AC，則AC經(jīng)過點(diǎn)O，可得三角形ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB=2,∴OA=1,∠AOE=30°，∴AE=，∴x=OE=∴四邊形EFGH的周長為EF+FG+GH+HE=,故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，要求學(xué)生在理解相關(guān)概念的基礎(chǔ)上學(xué)會應(yīng)用，能分析并綜合運(yùn)用相關(guān)條件完成線段關(guān)系的轉(zhuǎn)換，考查了學(xué)生的綜合分析與應(yīng)用的能力．11．【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件可得，進(jìn)而推出，再根據(jù)30度角所對直角邊等于斜邊的一半求出，，最后利用勾股定理即可求出的長．解：菱形的周長為16，對角線與相交于點(diǎn)O，，，，，，，，，，，故答案為：．12．1或【分析】①當(dāng)點(diǎn)F與A重合時，易知，此時，可得，②當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時，即圖中點(diǎn)是的中點(diǎn)時，由，，推出，滿足條件．即可列式作答．解：如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)O．

∵四邊形是菱形，∴，∵，，∴，都是等邊三角形，∴，，∴，①當(dāng)點(diǎn)F與A重合時，∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，∴，由勾股定理得，此時，∴②當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時，即圖中點(diǎn)是的中點(diǎn)時，∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，∴是的中位線∴，滿足條件，此時，，∴，故答案為：1或【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．13．【分析】此題考查了折疊問題與菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合應(yīng)用，先判斷出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出②正確；假設(shè)，得，進(jìn)而得，這個不一定成立，判斷①錯誤；點(diǎn)與點(diǎn)重合時，設(shè)，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，進(jìn)而用勾股定理求得，判斷出③正確；結(jié)合矩形的性質(zhì)可知，進(jìn)而可證明，即可判斷④，熟練掌握菱形的判定定理和性質(zhì)定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．解：、∵，∴，由翻折可知：，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∴，，∴，∵，若，則，∴，這個不一定成立，故不符合題意，故符合題意；、點(diǎn)與點(diǎn)重合時，如圖，

設(shè)，則，在中，，即，解得，∴，∵，∵，∴，∴，故符合題意；、由折疊可知：，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，，三點(diǎn)一定在同一直線上，故符合題意，綜上所述：正確的結(jié)論有，故答案為：．14．【分析】連接，易得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，列出方程求出，同理可得：，推出四邊形是菱形，根據(jù)，即可求解．解：連接，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵四邊形沿折疊得到四邊形，∴，設(shè)，∵，∴，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，則，同理可得：，∴四邊形是菱形，∵，∴，解得：，∴，故答案為：．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的面積公式．15．【分析】首先分別求得幾個平行四邊形的面積，即可得到規(guī)律：第個平行四邊形的面積為．解：在矩形中，，，，，，以，為鄰邊作第1個平行四邊形，平行四邊形是菱形，，，第個平行四邊形的面積為：，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．注意得到規(guī)律：第個平行四邊形的面積為是關(guān)鍵．16．【分析】連接AC交BD于H，證明DCH≌DCF，得出DH的長度，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BD的長度．解：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)H，由菱形的性質(zhì)得∠BDC=35，∠DCE=70，又∵∠MCE=15，∴∠DCF=55，∵DF⊥CM，∴∠CDF=35，又∵四邊形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，∴∠HDC=35，在CDH和CDF中，∴CDH≌CDF（AAS），∴，∴DB=，故答案為．【點(diǎn)撥】本題主要考查菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定，菱形的對角線互相平分是此題的關(guān)鍵知識點(diǎn)，得出∠HDC=∠FDC是這個題最關(guān)鍵的一點(diǎn)．17．3【分析】連接，連接，取的中點(diǎn)，連接，得到是等邊三角形，進(jìn)而判斷當(dāng)面積最小時，，根據(jù)為上的動點(diǎn)，當(dāng)重合時，最小，進(jìn)而可得的最小值．解：如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，四邊形是菱形，，是等邊三角形，為等邊三角形，點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，的面積最小時，的面積也最小當(dāng)最小時，的面積最小

當(dāng)時，最小是等邊三角形，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，最小的最小值為故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、等邊三角形的面積，將求三角形CFN的面積最小值轉(zhuǎn)化為CM和CN的最小值是解題的關(guān)鍵．18．4【分析】連接CG，過點(diǎn)C作CMAD，交AD的延長線于M，利用平行線的性質(zhì)和三角形中位線定理可得CG=2HF=，由ABCD，得CDM=A=60°，設(shè)DM=x，則CD=2x，CM=x，在Rt△CMG中，借助勾股定理得，即可求出x的值，從而解決問題．解：如圖，連接CG，過點(diǎn)C作CMAD，交AD的延長線于M，F(xiàn)、H分別為CE、GE中點(diǎn)，F(xiàn)H是△CEG的中位線，HF=CG，四邊形ABCD是菱形，ADBC，ABCD，DGE=E，EHF=DGE，E=EHF，HF=EF=CF，CG=2HF=，ABCD，CDM=A=60°，設(shè)DM=x，則CD=2x，CM=x，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，DG=x，GM=2x，在Rt△CMG中，由勾股定理得：，x=2，AB=CD=2x=4．故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理等知識，有一定綜合性，作輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用方程思想是解題的關(guān)鍵．19．（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）先根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，得出，，再根據(jù)，得出，即可證明結(jié)論；（2）先證明，得出，證明四邊形ABCD為菱形，得出，即可證明結(jié)論．解：（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∴，∵∴，∴，∴四邊形ABCD為菱形，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形和平行四邊形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．20．（1）見分析；（2）OE=5，BG=2.【分析】（1）先證明EO是△DAB的中位線，再結(jié)合已知條件OG∥EF，得到四邊形OEFG是平行四邊形，再由條件EF⊥AB，得到四邊形OEFG是矩形；（2）先求出AE=5，由勾股定理進(jìn)而得到AF=3，再由中位線定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=ABAFFG=2．解：（1）證明:∵四邊形ABCD為菱形，∴點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，∵點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，∴OE為△ABD的中位線，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG為平行四邊形∵EF⊥AB，∴平行四邊形OEFG為矩形．（2）∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，AD=10，∴AE=∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF中，．∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD=10，∴OE=AB=5，∵四邊形OEFG為矩形，∴FG=OE=5，∴BG=ABAFFG=1035=2．故答案為：OE=5，BG=2．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握特殊四邊形的性質(zhì)和判定屬于中考?？碱}型，需要重點(diǎn)掌握．21．（1）證明見分析；（2）【分析】（1）證明，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可得證；（2）證明根據(jù)是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)分析，設(shè)則，勾股定理求得，進(jìn)而勾股定理即可求解．解：（1）證明：垂直平分，，，在與中，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，，如圖，設(shè)交于點(diǎn)，設(shè)則即解得：，即，，．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和平行四邊形的判定分析．22．（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE=BF，DE=DF，∠EDB=∠FDB，根據(jù)矩形的性質(zhì)證明∠EDB=∠FBD，可得∠FDB=∠FBD，則有BF=DF，根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可證明；（2）根據(jù)ED=2AE，得出菱形BEDF的面積為EF·BD=AD·AB，結(jié)合AB·AD=即可求出結(jié)果．解：（1）證明：∵△BED沿直線BE折疊，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，∴BE=BF，DE=DF，∠EDB=∠FDB，又∵四邊形ABCD是矩形，且E、F分別是線段AD、BC上的點(diǎn)，∴DE∥DF，∴∠EDB=∠FBD，∴∠FDB=∠FBD，∴BF=DF，∴BE=BF=DF=DE，∴四邊形BEDF是菱形；（2）∵ED=2AE，點(diǎn)E是線段AD上的點(diǎn)，∴ED=AD，∵四邊形BEDF是菱形，四邊形ABCD是矩形，∴S菱形BEDF=EF·BD=ED·AB=AD·AB，∵AB·AD=，∴EF·BD=，解得：EF·BD=．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，菱形面積的求法，折疊的性質(zhì)，難度不大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊得到線段和角相等，掌握菱形的面積計(jì)算方法．23．（1）；（2）成立，見分析；（3）【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，如圖所示，連接，可得是等邊三角形，可證，