2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)微專題培優(yōu)練十八第五章三角函數(shù)5.1任意角和蝗制含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE十八隨意角和弧度制(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．－eq\f(3π,4)B．－eq\f(π,4)C．eq\f(π,4)D．eq\f(3π,4)【解析】選A.因?yàn)椋璭q\f(11π,4)＝－2π－eq\f(3π,4)，所以－eq\f(11π,4)與－eq\f(3π,4)是終邊相同的角，且此時(shí)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝eq\f(3π,4)是最小的．2．(多選題)若角α與角eq\f(8π,5)終邊相同，則在[0，2π]內(nèi)終邊與eq\f(α,4)終邊相同的角有()A．eq\f(2π,5)B．eq\f(9π,10)C．eq\f(7π,5)D．eq\f(19π,10)【解析】選ABCD.由題意得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ(k∈Z)，eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)，又eq\f(α,4)∈[0，2π]，所以k＝0，1，2，3，此時(shí)eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10).3．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，則A∩B等于()A．?B．{α|－4≤α≤π}C．{α|0≤α≤π}D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}【解析】選D.集合A限制了角α終邊只能落在x軸上方或x軸上．而集合A中滿意集合B范圍的只有k＝0或k＝－1的一部分，即只有D選項(xiàng)滿意．4．若eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，則eq\f(α,2)的終邊在()A．第一象限B．第四象限C．x軸上D．y軸上【解析】選D.因?yàn)閑q\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，所以α＝6kπ＋π(k∈Z)，所以eq\f(α,2)＝3kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z).當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)的終邊在y軸的非正半軸上；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)的終邊在y軸的非負(fù)半軸上．綜上，eq\f(α,2)的終邊在y軸上．二、填空題(每小題5分，共10分)5．在直徑為10cm的輪子上有一條長(zhǎng)為6cm的弦，P為弦的中點(diǎn)，輪子以每秒5弧度的角速度旋轉(zhuǎn)，則經(jīng)過(guò)5s后P轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.【解析】P到圓心O的距離OP＝eq\r(52－32)＝4(cm)，又P點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)α＝5×5＝25(rad)，所以所求弧長(zhǎng)為α·OP＝25×4＝100(cm).答案：1006．“一灣如月弦初上，半壁澄波鏡比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．某中學(xué)開(kāi)展暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生通過(guò)測(cè)量繪制出月牙泉的平面圖，如圖所示．其中，圓弧QRT是一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心、QT為直徑的半圓，QT＝60m．圓弧QST的圓心為P點(diǎn)，PQ＝60m，圓弧QRT與圓弧QST所圍成的陰影部分為月牙泉的形態(tài)，則該月牙泉的面積為_(kāi)_______m2.【解析】連接PO，可得PO⊥QT，因?yàn)閟in∠QPO＝eq\f(\r(,3),2)，所以∠QPO＝eq\f(π,3)，∠QPT＝eq\f(2π,3)，所以月牙泉的面積為S＝eq\f(1,2)×π×(30eq\r(,3))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)×602－\f(1,2)×602×\f(\r(,3),2)))＝150π＋900eq\r(,3)(m2).答案：150π＋900eq\r(,3)三、解答題(每小題10分，共30分)7.如圖是一個(gè)半徑為R的扇形，它的周長(zhǎng)為4R，求這個(gè)扇形所含弓形(陰影區(qū)域)的面積．【解析】因?yàn)榛￠L(zhǎng)l＝4R－2R＝2R，所以圓心角α＝eq\f(l,R)＝2，所以S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(1,2)αR2－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2Rsin\f(α,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Rcos\f(α,2)))＝eq\f(1,2)×2×R2－R2sin1·cos1＝R2(1－sin1cos1).8．將下列各角化成弧度制下的角，并指出是第幾象限角．(1)－1725°；(2)－60°＋360°·k(k∈Z).【解析】(1)－1725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋eq\f(5π,12)＝－10π＋eq\f(5π,12)，是第一象限角．(2)－60°＋360°·k＝－eq\f(π,180)×60＋2π·k＝－eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，是第四象限角．9．如圖，動(dòng)點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A(4，0)動(dòng)身，沿圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)eq\f(π,3)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)eq\f(π,6)弧度，求P，Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間及P，Q點(diǎn)各自走過(guò)的弧長(zhǎng)．【解析】設(shè)P，Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間是t，則t·eq\f(π,3)＋t·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝2π.解得t＝4.所以第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間是4秒．第一次相遇時(shí)點(diǎn)P已經(jīng)運(yùn)動(dòng)到角eq\f(π,3)·4＝eq\f(4π,3)的終邊與圓交點(diǎn)的位置，點(diǎn)Q已經(jīng)運(yùn)動(dòng)到角－eq\f(2π,3)的終邊與圓交