第十九章 幾何證明（14類題型突破）

第十九章幾何證明（14類題型突破）題型一幾何證明1．（2023上·上海閔行·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題中，真命題的是（）A．兩條平行直線被第三條直線所截，則一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直B．有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和D．等邊三角形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形2．（2023上·上海青浦·八年級(jí)?？计谥校┫铝忻}中，真命題的個(gè)數(shù)是（）（1）等角的補(bǔ)角相等；（2）兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的三角形是全等三角形；（3）一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等；（4）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（5）等腰三角形，兩腰上的高相等．A．2 B．3 C．4 D．53．（2023上·上海楊浦·八年級(jí)?？计谥校┫铝忻}中，假命題的個(gè)數(shù)是（）（1）垂直于同一條直線的兩條直線平行；（2）面積相等的兩個(gè)三角形全等；（3）等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊；（4）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角；（5）有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（6）有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·北京豐臺(tái)·八年級(jí)北京市第十二中學(xué)?？计谥校┫铝忻}正確的是（）①兩個(gè)等邊三角形一定全等；②兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；③有兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形全等；④兩條邊和其中一條邊上的中線分別相等的兩個(gè)三角形全等．A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④2．（2022上·上海靜安·八年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谥校┌衙}“同角的補(bǔ)角相等”改寫為“如果……，那么……”的形式，如果________那么________．3．（2022上·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知：是的一個(gè)外角．

(1)請(qǐng)從①，②平分，③中任選兩個(gè)當(dāng)條件，第三個(gè)當(dāng)結(jié)論構(gòu)成一個(gè)真命題．條件：________________________________________________結(jié)論：________________________________________________(2)證明你所構(gòu)建的命題是真命題．題型二逆命題和逆定理1．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列命題的逆命題是假命題的是（）A．直角三角形的兩個(gè)銳角互余B．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等C．三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是全等三角形D．若，則2．（2023上·上海靜安·八年級(jí)上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)校考期末）下列定理中，如果其逆命題是真命題，那么這個(gè)定理是（）A．對(duì)頂角相等 B．直角三角形的兩個(gè)銳角互余C．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 D．鄰補(bǔ)角互補(bǔ)3．（2022上·上海黃浦·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列命題中，逆命題是假命題的是（）A．等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°B．如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等C．如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊相等D．相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角鞏固訓(xùn)練1．（2023上·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，則；③如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；④同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；其中逆命題是真命題的個(gè)數(shù)是（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．（2023下·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)?？计谥校┟}“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)都是正數(shù)，那么它們的積是正數(shù)”的逆命題是_______．它是_____命題．（填“真”或“假”）3．（2022下·河南鄭州·八年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖①所示，將兩個(gè)含角且大小相同的三角尺擺放在一起，可以證得是等邊三角形，于是我們得到：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊長(zhǎng)的一半．交換此命題的條件和結(jié)論，得到下面命題：_______________________．

(1)請(qǐng)?jiān)谏厦婵崭裰袑懗鲈撁}；(2)小聰發(fā)現(xiàn)（1）中所寫命題為真命題，請(qǐng)根據(jù)該命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖②，用“幾何語(yǔ)言”補(bǔ)充出“已知”和“求證”，并寫出證明過(guò)程．已知：在中，，___________________________．求證：________________________．證明：題型三線段垂直平分線的性質(zhì)與判定1．（2022上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N，若∠BAC＝，則∠EAN的度數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2022下·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°3．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)上海市南洋模范中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，斜邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，平分，那么下列關(guān)系中不成立的是（）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，的垂直平分線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．2．（2023上·重慶沙坪壩·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，平分的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接．若，，則的度數(shù)為_______．

3．（2023上·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，是的平分線，交于點(diǎn)D，E是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接．求證：(1)是的垂直平分線；(2)為等腰三角形．題型四角平分線的性質(zhì)與判定1．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)上海市民辦立達(dá)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，要使點(diǎn)到、的距離相等，且，點(diǎn)是（）A．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)B．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)C．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)D．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)2．（2022上·上海楊浦·八年級(jí)校考期中）如圖，是中的角平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，則長(zhǎng)是（）A．6 B．5 C．7 D．83（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）下面是“作的平分線”的尺規(guī)作圖過(guò)程：①在、上分別截取、，使；②分別以點(diǎn)、為圓心，以大于的同一長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧交于內(nèi)的一點(diǎn)；③作射線．就是所求作的角的平分線．該尺規(guī)作圖可直接利用三角形全等說(shuō)明，其中三角形全等的依據(jù)是（）A．三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B．兩邊及它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．兩角及它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D．兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等鞏固訓(xùn)練1．（2023上·陜西安康·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作的面積是16，周長(zhǎng)是8，則的長(zhǎng)是（）

A．1 B．2 C．3 D．42．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，邊分別交交于M，N，若，，則的度數(shù)是_____．3．（2023上·廣東廣州·八年級(jí)鐵一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，平分交BC于點(diǎn)D，，，垂足為E、F．

(1)若，，求的長(zhǎng)度；(2)連接，求證：．題型五軌跡1．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，甲、乙、丙三人同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)移動(dòng)，甲的運(yùn)動(dòng)路線為一個(gè)半圓形的圓弧，乙的運(yùn)動(dòng)路線為兩個(gè)半圓形的圓弧，丙的運(yùn)動(dòng)路線為三個(gè)半圓形的圓弧，若甲、乙、丙的運(yùn)動(dòng)速度相等，則誰(shuí)先到達(dá)點(diǎn)（）A．甲 B．乙 C．丙 D．三人同時(shí)到達(dá)2．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，將一個(gè)半徑為1cm的半圓，在直線上從左往右作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，則滾動(dòng)2020周后圓心所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．3．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)，分別在軸，軸正半軸上（含坐標(biāo)原點(diǎn)）滑動(dòng)，且滿足，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)由點(diǎn)向右移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2022上·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊向上作等邊，在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是（）A．2 B． C． D．2．（2022·八年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）和已知線段的兩端點(diǎn)距離相等，且到一個(gè)已知點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)最多有______個(gè)．3．（2022·八年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）如圖，，，點(diǎn)在上．以為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形，則當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，探求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．題型六直角三角形全等的判定1．（2023上·上海普陀·八年級(jí)?？计谥校┫旅嫠膫€(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）①腰和腰上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等；②有兩角及一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；③有兩邊及其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④有兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022上·上海浦東新·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E．AB＝10cm，則△DEB的周長(zhǎng)為（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm3．（2020上·上海普陀·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，為上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為M、N．下面四個(gè)結(jié)論：

①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中正確的有（）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)鞏固訓(xùn)練1．（2023上·廣東江門·八年級(jí)新會(huì)華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，平分交于，于，且，則的周長(zhǎng)為（）A．12 B．6 C．8 D．102．（2023上·天津·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知平分，于E，，則下列結(jié)論：①；②；③．其中正確結(jié)論的有________．（只寫序號(hào)）3．（2023上·江蘇南京·八年級(jí)南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎狐c(diǎn)O到的兩邊所在直線的距離相等，且．(1)如圖1，若點(diǎn)O在邊上，過(guò)點(diǎn)O分別作，垂足分別是E，F(xiàn)．求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)O在的內(nèi)部，求證：；(3)若點(diǎn)O在的外部，“小強(qiáng)”同學(xué)認(rèn)為也一定成立，你同意他的想法嗎？若同意，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不同意，請(qǐng)畫出反例并進(jìn)行必要的標(biāo)注．題型七直角三角形的性質(zhì)1．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)上海市民辦上寶中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，，點(diǎn)分別是對(duì)角線的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．2．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，中，，、分別平分、，，下面結(jié)論中不一定正確的是（）

A． B．C． D．點(diǎn)O到直線的距離是13．（2022上·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，且AE平分∠BAC，下列關(guān)系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE鞏固訓(xùn)練1．（2023上·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，如果將這個(gè)三角形折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，那么等于（）A．2 B．4 C．6 D．82．（2023上·山西呂梁·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，，分別以為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，直線分別交于點(diǎn)．若，則___________．3．（2023上·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┮阎喝鐖D，在中，，，，點(diǎn)D在邊上，平分，E為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），，垂足為F．(1)求證：；(2)設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)？題型八勾股定理1．（2022上·上海青浦·八年級(jí)?？计谀┟绹?guó)數(shù)學(xué)家伽菲爾德在1876年提出了證明勾股定理的一種巧妙方法，如圖，在直角梯形中，，，是邊上一點(diǎn)，且，．如果的面積為1，且，那么的面積為（）A．1 B．2 C． D．52．（2022下·河北邯鄲·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖中能用來(lái)證明勾股定理的有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)3．（2023上·山東濟(jì)南·八年級(jí)濟(jì)南市章丘區(qū)第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖由“趙爽弦圖”變化得到，它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，．若，則的值是（）A．12 B．10 C．9 D．8鞏固訓(xùn)練1．（2023上·安徽宿州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）；如果大正方形的面積是，小正方形的面積是，直角三角形的兩直角邊分別為、，那么的值是（）A． B． C． D．2（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為50，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊，則______．3．（2023上·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡(jiǎn)便得結(jié)論．這里用兩種求法來(lái)表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．【方法運(yùn)用】千百年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的直角三角形和如圖2放置，其三邊長(zhǎng)分別為，，，，顯然．(1)請(qǐng)用分別表示出四邊形，梯形，的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理．(2)【方法遷移】請(qǐng)利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得，_，邊上的高為______．題型九勾股定理的逆定理1．（2023上·江蘇徐州·八年級(jí)?？计谥校┫铝袟l件中，不能判定是直角三角形的是（）A． B．C． D．2．（2023上·山西太原·八年級(jí)統(tǒng)考期中）現(xiàn)有長(zhǎng)度為的五根細(xì)木條，若選擇其中的三根首尾順次相接，恰好能擺成直角三角形的是（）A． B．C． D．3．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，是由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1（2023上·山東東營(yíng)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如果a，b，c是三角形的三邊并且滿足：，則三角形的面積是（）A．24 B．48 C．12 D．62．（2023上·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，和的垂直平分線和分別交于點(diǎn)D、E，若，，，則的面積等于_______．3．（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【綜合與實(shí)踐】建筑工地上工人師傅經(jīng)常需畫直角或判定一個(gè)角是否是直角，現(xiàn)僅有一根繩子，請(qǐng)幫助工人師傅完成此項(xiàng)工作．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，小歌、小智兩名同學(xué)經(jīng)過(guò)討論，在繩子上打13個(gè)等距的繩結(jié)，做成如圖①所示的“工具繩”．他們利用此“工具繩”分別設(shè)計(jì)了以下方案：小歌的方案：如圖②，將“工具繩”拉直放置在地面上，并將繩結(jié)點(diǎn)C、D固定，拉直、分別繞繩結(jié)點(diǎn)C、D旋轉(zhuǎn)，使繩結(jié)點(diǎn)A、B在點(diǎn)E處重合，畫出，則．

小智的方案：如圖③，將“工具繩”拉直放置在地面上，并將中點(diǎn)O固定，拉直繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于）到的位置，畫出，則．問題解決：(1)填空：在小歌的方案中，依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是_；(2)根據(jù)小智的方案，證明：；(3)工地上有一扇如圖④所示的窗戶，利用“工具繩”設(shè)計(jì)一個(gè)與小歌、小智不一樣的方案，檢驗(yàn)窗戶橫檔與豎檔是否垂直．畫出簡(jiǎn)圖，并說(shuō)明理由．題型十勾股定理的應(yīng)用1．（2023上·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測(cè)量與地面垂直的旗桿高度．如圖，已知系在旗桿頂端A的繩子緊貼旗桿垂到地面后，在地面上多出1米，將繩子拉直后測(cè)出繩子的末端與地面的重合點(diǎn)C到旗桿底部B的水平距離為5米，則旗桿的高度為（）

A．5米 B．12米 C．13米 D．17米2．（2023下·廣西南寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一架長(zhǎng)的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)為，如果梯子頂端A沿墻下滑至點(diǎn)C，那么梯子的底端B外移至點(diǎn)D，則的長(zhǎng)（）

A．小于 B．等于 C．大于 D．不確定3．（2022上·江西九江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，鐵路和公路在點(diǎn)處交會(huì)，公路上點(diǎn)距離點(diǎn)是，與這條鐵路的距離是．如果火車行駛時(shí)，周圍以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以的速度行駛時(shí)，點(diǎn)處受噪音影響的時(shí)間是（）A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒鞏固訓(xùn)練1．（2022上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具也是數(shù)形結(jié)合的組帶之一，如圖，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度m，將它往前推6m至C處時(shí)（即水平距離m），踏板離地的垂直高度m，它的繩索始終拉直，則繩索的長(zhǎng)是（）

A．m B．m C．6m D．m2．（2023下·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，河岸，互相平行，橋垂直于兩岸，從處看橋的兩端，，夾角，測(cè)得，則橋長(zhǎng)_____m（結(jié)果精確到）．

3．（2023下·山東聊城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）燕塔廣場(chǎng)視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場(chǎng)所，某校八年級(jí)的王明和孫亮兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度，他們進(jìn)行了如下操作：

①測(cè)得的長(zhǎng)度為8米；（注：）②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為17米；③牽線放風(fēng)箏的王明身高米；(1)求風(fēng)箏的垂直高度．(2)若王明同學(xué)想讓風(fēng)箏沿方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米？題型十一用勾股定理解三角形1．（2023上·江蘇南京·八年級(jí)南京五十中?？计谥校┤鐖D，在中，為邊上的高，為邊上的中線，，則的長(zhǎng)度是（）A．2 B．3 C． D．42．（2023上·天津·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，三角形紙片中，，在上取一點(diǎn)，以為折痕進(jìn)行翻折，使的一部分與重合，與延長(zhǎng)線上的點(diǎn)重合，若，，則，的長(zhǎng)度為（）

A．6 B．4 C．3 D．23．（2023上·吉林·九年級(jí)吉林松花江中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是等腰三角形的底邊的中線，，，與關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱，連接，則的長(zhǎng)是（）A．4 B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，的平分線交于點(diǎn)，且．將沿折疊使點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合．①

②點(diǎn)到的距離為8

③

④

以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在等邊的，上各取一點(diǎn)，，使，，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．若，則的長(zhǎng)為_____．

3．（2023上·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知與都是等腰直角三角形，其中，為邊上一點(diǎn)．(1)找出圖中的一對(duì)全等三角形，并說(shuō)明理由；(2)求證：．題型十二勾股定理與折疊問題1．（2023上·甘肅蘭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方形中，，，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為，則的面積為（）A．6 B．8 C．10 D．122．（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線對(duì)折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于，，，則重疊部分（即）的面積為（）A．24 B．30 C．40 D．803．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，三角形紙片中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，把沿著直線翻折，得到，連接交于點(diǎn)，若，，的面積為，則的長(zhǎng)為()

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，將沿翻折得到，交于點(diǎn)E，F(xiàn)為中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接，若，，的面積為42，則的面積為（）A．26 B．24 C．21 D．152．（2023上·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一張長(zhǎng)方形紙片，，．先對(duì)折長(zhǎng)方形紙片使與重合，得到折痕，再將沿折疊，當(dāng)點(diǎn)恰好落在折痕上時(shí)，則的長(zhǎng)為______．3．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，把沿直線折疊，使與重合．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的長(zhǎng)．題型十三求最短路徑問題1．（2023上·甘肅蘭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為，高為，是底面直徑，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面爬行到點(diǎn)的最短路程是（）

A． B． C． D．2．（2023上·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B（點(diǎn)B距點(diǎn)C為），則螞蟻需要爬行的最短距離是（）

A． B． C． D．3．（2023上·江蘇淮安·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)方形草坪上，放著一根長(zhǎng)方體的木塊，已知米，米，該木塊的較長(zhǎng)邊與平行，橫截面是邊長(zhǎng)為1米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A爬過(guò)木塊到達(dá)C處需要走的最短路程是（）A．19米 B．米 C．15米 D．米鞏固訓(xùn)練1．（2023上·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，螞蟻從點(diǎn)沿著表面爬行到點(diǎn)的最短路程是，則的值是（）A．148 B．320 C．400 D．4642．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長(zhǎng)幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為尺，底面周長(zhǎng)為尺，有葛藤自點(diǎn)處纏繞而上．

（）若繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)處，則問題中葛藤的最短長(zhǎng)度是_____尺．（）若繞周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)處，則問題中葛藤的最短長(zhǎng)度是_____尺．3．（2023上·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方體中，，，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬到點(diǎn)．

(1)請(qǐng)你在所給的網(wǎng)格中，畫出螞蟻爬行的所有不同的直線路徑；(2)分別求出這幾種路徑的距離；(3)求螞蟻爬行的最短路程是多少？題型十四兩點(diǎn)之間的距離公式1．（2022下·河南安陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖鐵路上A，B兩點(diǎn)相距40千米，C，D為兩村莊，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分別為A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個(gè)煤棧E，使得C，D兩村到煤棧的距離相等，那么煤棧E應(yīng)距A點(diǎn)（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．無(wú)法確定2．（2020上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系第一象限有一點(diǎn)P，其橫坐標(biāo)為3，在x軸上有一點(diǎn)A（﹣1，0）．已知PA兩點(diǎn)間的距離為，則P的縱坐標(biāo)為（）A．2 B．﹣2 C． D．13．（2020上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣x，2x）到原點(diǎn)O的距離等于5，則x的值是（）A．±1 B．1 C． D．±鞏固訓(xùn)練1．（2020上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)，我們把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2兩點(diǎn)間的“直角距離”，記作d（P1，P2）．比如：點(diǎn)P（2，﹣4），Q（1，0），則d（P，Q）=|2﹣1|+|﹣4﹣0|=5，已知Q（2，1），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足d（P，Q）=3，且x、y均為整數(shù)，則滿足條件的點(diǎn)P有（）個(gè)．A．4 B．8 C．10 D．122．（2020·湖北恩施·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）為了解決A、B兩個(gè)村的村民飲水難，計(jì)劃在筆直的河邊修建一個(gè)水泵站，為節(jié)約經(jīng)費(fèi)，該水泵站與兩村的水管線總長(zhǎng)力求做到最短，已知A村到河邊的距離為1km，B村到河邊的距離為2km，AB=4km，則水管線最短要_______km(結(jié)果保留根號(hào)）．3．（2023下·安徽亳州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一條東西走向的公路上有A，兩個(gè)站點(diǎn)（視為直線上的兩點(diǎn)）相距，，為兩村莊（視為兩個(gè)點(diǎn)），于點(diǎn)，于點(diǎn)（如圖），已知，，現(xiàn)在要在公路上建一個(gè)土特產(chǎn)儲(chǔ)藏倉(cāng)庫(kù)，使得，兩村莊到儲(chǔ)藏倉(cāng)庫(kù)的直線距離相等，請(qǐng)求出儲(chǔ)藏倉(cāng)庫(kù)到A站點(diǎn)的距離．（精確到）

第十九章幾何證明（14類題型突破）答案全解全析題型一幾何證明1．（2023上·上海閔行·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題中，真命題的是（）A．兩條平行直線被第三條直線所截，則一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直B．有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和D．等邊三角形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可判斷A．根據(jù)全等三角形的判定方法可判斷B，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可判斷D，從而可得答案．【詳解】解：兩條平行直線被第三條直線所截，則一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直，描述正確，真命題，故A符合題意；∵有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等∴有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，假命題，故B不符合題意；∵三角形的一個(gè)外角等于和其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和∴三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和，假命題，故C不符合題意；∵等邊三角形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形∴等邊三角形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，假命題，故D不符合題意；故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，三角形的外角的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，真假命題的判斷，熟記基本概念與圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．（2023上·上海青浦·八年級(jí)?？计谥校┫铝忻}中，真命題的個(gè)數(shù)是（）（1）等角的補(bǔ)角相等；（2）兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的三角形是全等三角形；（3）一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等；（4）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（5）等腰三角形，兩腰上的高相等．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【詳解】（1）等角的補(bǔ)角相等，正確；（2）SSA無(wú)法證明全等，故錯(cuò)誤；（3）一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故錯(cuò)誤；（4）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故錯(cuò)誤；（5）等腰三角形，兩腰上的高相等，正確；故選：A．3．（2023上·上海楊浦·八年級(jí)校考期中）下列命題中，假命題的個(gè)數(shù)是（

）（1）垂直于同一條直線的兩條直線平行；（2）面積相等的兩個(gè)三角形全等；（3）等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊；（4）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角；（5）有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（6）有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．A．個(gè) B．個(gè) C． D．【答案】C【分析】本題考查了命題的真假，分別利用平行線的判定、三角形全等的判定方法、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)逐一判斷即可，熟練掌握已經(jīng)學(xué)過(guò)的概念、性質(zhì)、定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，故（1）為假命題；（2）面積相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故（2）為假命題；（3）等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊，故（3）為真命題；（4）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角，故（4）為假命題；（5）有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，故（5）為假命題；（6）有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故（6）為假命題；其中，假命題有5個(gè)，故選：C．鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·北京豐臺(tái)·八年級(jí)北京市第十二中學(xué)校考期中）下列命題正確的是（）①兩個(gè)等邊三角形一定全等；②兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；③有兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形全等；④兩條邊和其中一條邊上的中線分別相等的兩個(gè)三角形全等．A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④【答案】D【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法逐一判斷即可．【詳解】①兩個(gè)等邊三角形的邊不一定相等，故“兩個(gè)等邊三角形一定全等”是錯(cuò)誤的；②根據(jù)判定方法“角邊角”可得“兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”是正確的；③根據(jù)判定方法“邊角邊”可得有兩邊及它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，但兩邊及其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不全等，故“有兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形全等”是錯(cuò)誤的；④如圖，在和中，，，是邊上的中線，是邊上的中線，且．

∵是邊上的中線，是邊上的中線，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，由此可得“兩條邊和其中一條邊上的中線分別相等的兩個(gè)三角形全等”是正確的．綜上所述，正確的命題是：②和④．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法，根據(jù)所給的條件逐一判定是解題的關(guān)鍵．2．（2022上·上海靜安·八年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)校考期中）把命題“同角的補(bǔ)角相等”改寫為“如果……，那么……”的形式，如果________那么________．【答案】?jī)蓚€(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角這兩個(gè)角相等【分析】命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，命題可以寫成“如果，那么”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論，由此即可得．【詳解】解：把命題“同角的補(bǔ)角相等”改寫為“如果，那么”的形式：如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等，故答案為：兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，這兩個(gè)角相等．【點(diǎn)睛】本題考查了命題，熟練掌握命題的表達(dá)形式是解題關(guān)鍵．3．（2022上·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）如圖，已知：是的一個(gè)外角．

(1)請(qǐng)從①，②平分，③中任選兩個(gè)當(dāng)條件，第三個(gè)當(dāng)結(jié)論構(gòu)成一個(gè)真命題．條件：________________________________________________結(jié)論：________________________________________________(2)證明你所構(gòu)建的命題是真命題．【答案】(1)①②，③(2)見解析【分析】（1）選擇①②當(dāng)條件，③為結(jié)論，即可（答案不唯一）；（2）根據(jù)等邊對(duì)等角可得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，根據(jù)角平分線的定義可得，推得，根據(jù)平行線的判定即可證明．【詳解】（1）解：選擇①②當(dāng)條件，③為結(jié)論；故答案為：①②，③．（2）解：已知：是的一個(gè)外角，，平分，求證：．證明：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴．即選擇①②當(dāng)條件，③為結(jié)論，構(gòu)成真命題．【點(diǎn)睛】本題考查了真命題，平行線的判定，角平分線的定義，三角形的外角性質(zhì)，等邊對(duì)等角等，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型二逆命題和逆定理1．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列命題的逆命題是假命題的是（）A．直角三角形的兩個(gè)銳角互余B．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等C．三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是全等三角形D．若，則【答案】D【分析】寫出原命題的逆命題后判斷正誤即可．【詳解】解：A、逆命題為兩角互余的三角形是直角三角形，正確，是真命題，不符合題意；B、逆命題為內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，正確，是真命題，不符合題意；C、逆命題為全等三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等，正確，是真命題，不符合題意；D、逆命題為若，則，∵若，則，∴錯(cuò)誤，是假命題，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解如何寫出一個(gè)命題的逆命題，難度不大．2．（2023上·上海靜安·八年級(jí)上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)?？计谀┫铝卸ɡ碇?，如果其逆命題是真命題，那么這個(gè)定理是（）A．對(duì)頂角相等 B．直角三角形的兩個(gè)銳角互余C．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 D．鄰補(bǔ)角互補(bǔ)【答案】B【分析】根據(jù)題意，分別寫出逆命題，再逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A.對(duì)頂角相等，逆命題為：相等的角是對(duì)頂角，原命題的逆命題是假命題，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.直角三角形的兩個(gè)銳角互余，逆命題為：兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形，原命題的逆命題是真命題，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，逆命題為：對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等，原命題的逆命題是假命題，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，逆命題為：互補(bǔ)的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，原命題的逆命題是假命題，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了真假命題的判斷，寫出原命題的逆命題，掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022上·上海黃浦·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列命題中，逆命題是假命題的是（）A．等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°B．如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等C．如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊相等D．相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角【答案】B【分析】先分別確定各命題的逆命題，再判斷真假即可．【詳解】A選項(xiàng)的逆命題是“三個(gè)內(nèi)角都等于的是等邊三角形”，是真命題，所以不符合題意；B選項(xiàng)的逆命題是“如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角都相等，那么這兩個(gè)三角形全等”，可知這兩個(gè)三角形不一定全等，是假命題，所以符合題意；C選項(xiàng)的逆命題是“如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊都相等，那么這兩個(gè)三角形全等”，根據(jù)“”可知兩個(gè)三角形全等，是真命題，所以符合題意；D選項(xiàng)的逆命題是“對(duì)頂角相等”，是真命題，所以不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了逆命題，真假命題的判斷，掌握性質(zhì)定理及逆定理是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，則；③如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；④同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；其中逆命題是真命題的個(gè)數(shù)是（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】A【分析】本題考查了逆命題真假的判定，平行線的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義等知識(shí)，先寫出命題的逆命題，再對(duì)逆命題的真假進(jìn)行判斷即可，理解相關(guān)性質(zhì)是關(guān)鍵．【詳解】解：①逆命題是若，則，，錯(cuò)誤，如，是假命題，故不符合題意；②逆命題是若，則，錯(cuò)誤，如，是假命題，故不符合題意；③如果兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角是直角，錯(cuò)誤，相等的角不一定都是直角，是假命題，故不符合題意；④逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，正確，是真命題；綜上，它們的逆命題是真命題只有1個(gè)．故選：．2．（2023下·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)校考期中）命題“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)都是正數(shù)，那么它們的積是正數(shù)”的逆命題是_______．它是_____命題．（填“真”或“假”）【答案】如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的積是正數(shù)，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)（它們）都是正數(shù)假【分析】逆命題就是將命題的題設(shè)和結(jié)論顛倒順序，即可寫出逆命題．根據(jù)逆命題判斷真假命題．【詳解】解：逆命題就是將命題的題設(shè)和結(jié)論顛倒順序，故“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)都是正數(shù)，那么它們的積是正數(shù)”的逆命題是“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的積是正數(shù)，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)（它們）都是正數(shù)”，根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)的乘積也是正數(shù)可以判斷該命題為假命題，故答案為：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的積是正數(shù)，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)（它們）都是正數(shù)，假．【點(diǎn)睛】本題考查寫出命題的逆命題，熟練掌握命題的逆命題是解題的關(guān)鍵．3．（2022下·河南鄭州·八年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖①所示，將兩個(gè)含角且大小相同的三角尺擺放在一起，可以證得是等邊三角形，于是我們得到：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊長(zhǎng)的一半．交換此命題的條件和結(jié)論，得到下面命題：_．

(1)請(qǐng)?jiān)谏厦婵崭裰袑懗鲈撁}；(2)小聰發(fā)現(xiàn)（1）中所寫命題為真命題，請(qǐng)根據(jù)該命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖②，用“幾何語(yǔ)言”補(bǔ)充出“已知”和“求證”，并寫出證明過(guò)程．已知：在中，，_．求證：_．證明：【答案】(1)若在直角三角形中，一直角邊等于斜邊一半，則這條直角邊所對(duì)的角為角；(2)；；證明見詳解【分析】（1）將條件與結(jié)論對(duì)調(diào)即可得到答案；（2）根據(jù)命題寫出已知求證，延長(zhǎng)至D使，連接，證明即可得到得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，命題為：若在直角三角形中，一直角邊等于斜邊一半，則直角邊所對(duì)的角為角；（2）解：由（1）得，已知：在中，，，求證：；證明：延長(zhǎng)至D使，連接，

∵，∴，在與，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；故所填答案為：；．(證明如上)【點(diǎn)睛】本題考查書寫逆命題及證明，解題的關(guān)鍵是作出輔助線得到．題型三線段垂直平分線的性質(zhì)與判定1．（2022上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N，若∠BAC＝，則∠EAN的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠B+∠C，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，EA＝EB，NA＝NC，則∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，從而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，即可得解．【詳解】解：∵∠BAC＝，∴∠B+∠C＝，∵AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N，∴EA＝EB，NA＝NC，∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，∴∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，＝＝．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，線段垂直平分線的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，能得到求∠EAN的關(guān)系式是關(guān)鍵．2．（2022下·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°【答案】B【分析】設(shè)∠BAE＝x°，則∠C＝7x°，根據(jù)ED是AC的垂直平分線，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根據(jù)直角三角形中兩銳角互余建立方程，解方程即可求解．【詳解】設(shè)∠BAE＝x°，則∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分線，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出AE＝CE是解此題的關(guān)鍵．3．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)上海市南洋模范中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，斜邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，平分，那么下列關(guān)系中不成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，，則，再由平分，得．從而得出答案．【詳解】解：、，且，，又平分，，故．正確，不符合題意；、在與中，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理．正確，不符合題意；、，且，∴EB=EA，正確，不符合題意；、不一定成立，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，的垂直平分線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)等要三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求出是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∴，∴，垂直平分，，∴，∴故選：D．2．（2023上·重慶沙坪壩·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，平分的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接．若，，則的度數(shù)為_______．

【答案】【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．設(shè)，依據(jù)角平分線以及線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到的值．【詳解】解：設(shè)，∵平分，∴，∵的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴中，，即，解得，∴，故答案為：．3．（2023上·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，是的平分線，交于點(diǎn)D，E是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接．求證：(1)是的垂直平分線；(2)為等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)角平分線的定義求得，然后根據(jù)等腰三角形判定和三線合一性質(zhì)可得結(jié)論；（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而求得，根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵在中，，，∴，∵是的平分線，∴，∴，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，，∴是的垂直平分線；（2）證明：∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，∴為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．題型四角平分線的性質(zhì)與判定1．（2022上·上海·八年級(jí)上海市民辦立達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，要使點(diǎn)到、的距離相等，且，點(diǎn)是（）A．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)B．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)C．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)D．的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)到、的距離相等可得點(diǎn)在的角平分線上，由可得邊上的中線上，即可求解．【詳解】解：由點(diǎn)到、的距離相等可得點(diǎn)在的角平分線上，由可得邊上的中線上，則點(diǎn)是的角平分線與邊上中線的交點(diǎn)，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的判定以及三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．2．（2022上·上海楊浦·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是中的角平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，則長(zhǎng)是（

）A．6 B．5 C．7 D．8【答案】A【分析】先利用角平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】是中的角平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，∴，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）下面是“作的平分線”的尺規(guī)作圖過(guò)程：①在、上分別截取、，使；②分別以點(diǎn)、為圓心，以大于的同一長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧交于內(nèi)的一點(diǎn)；③作射線．就是所求作的角的平分線．該尺規(guī)作圖可直接利用三角形全等說(shuō)明，其中三角形全等的依據(jù)是（）A．三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B．兩邊及它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．兩角及它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D．兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等【答案】A【分析】由作圖可得，，根據(jù)三角形全等的判定方法“”解答．【詳解】解∶連接，，由作圖可得，，，在和中∴，∴，∴平分．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，以及基本作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法并讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·陜西安康·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作的面積是16，周長(zhǎng)是8，則的長(zhǎng)是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，先過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，證明，然后根據(jù)的面積的面積的面積的面積，求出答案即可．【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

，分別是和的角平分線，，，，，，，，，，，故選：D．2．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，邊分別交交于M，N，若，，則的度數(shù)是_____．【答案】/28度【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定，作，垂足分別為P，Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，則平分，設(shè)，證出，，根據(jù)列出方程計(jì)算即可．【詳解】解：作，垂足分別為P，Q，∵，∴，平分，，設(shè)，∵，，，，，，∵，∴，，，，解得：，∴，故答案為：．3．（2023上·廣東廣州·八年級(jí)鐵一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，平分交BC于點(diǎn)D，，，垂足為E、F．

(1)若，，求的長(zhǎng)度；(2)連接，求證：．【答案】(1)4(2)見解析【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，等邊對(duì)等角性質(zhì)，三角形面積公式等知識(shí)，（1）首先根據(jù)三角形面積公式求出，然后利用角平分線的性質(zhì)定理求解即可；（2）連接，根據(jù)等邊對(duì)等角得到，然后結(jié)合得到，即可證明．解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊相等的點(diǎn)在角的平分線上．【詳解】（1）∵，，∴，即解得∵平分交BC于點(diǎn)D，，，∴，（2）如圖所示，連接，

∵∴∵∴∵∴∴．題型五軌跡1．（2022上·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，甲、乙、丙三人同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)移動(dòng)，甲的運(yùn)動(dòng)路線為一個(gè)半圓形的圓弧，乙的運(yùn)動(dòng)路線為兩個(gè)半圓形的圓弧，丙的運(yùn)動(dòng)路線為三個(gè)半圓形的圓弧，若甲、乙、丙的運(yùn)動(dòng)速度相等，則誰(shuí)先到達(dá)點(diǎn)（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．三人同時(shí)到達(dá)【答案】D【分析】分別計(jì)算出三人所走的路程，即可判定．【詳解】解：甲的運(yùn)動(dòng)路線為一個(gè)半圓形的圓弧甲的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)乙的運(yùn)動(dòng)路線為兩個(gè)半圓形的圓弧，乙的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)丙的運(yùn)動(dòng)路線為三個(gè)半圓形的圓弧，丙的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)三人總路程相等，而速度也相等三人同時(shí)到達(dá)故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長(zhǎng)公式，理解題意，準(zhǔn)確計(jì)算是解決此類題的關(guān)鍵．2．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，將一個(gè)半徑為1cm的半圓，在直線上從左往右作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，則滾動(dòng)2020周后圓心所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓心O滾動(dòng)一周路徑長(zhǎng)，可得結(jié)論；【詳解】解：如圖，圓心滾動(dòng)一周路徑為長(zhǎng)為，∴滾動(dòng)2020周后圓心所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查軌跡，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作出圓心的滾動(dòng)軌跡為兩個(gè)90°的弧長(zhǎng)和一個(gè)180°的弧長(zhǎng)．3．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)，分別在軸，軸正半軸上（含坐標(biāo)原點(diǎn)）滑動(dòng)，且滿足，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)由點(diǎn)向右移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】由C點(diǎn)坐標(biāo)（），得出C點(diǎn)在直線y＋x=3（0≤x≤3）上，分別討論A在O點(diǎn)和A′時(shí)C，D的坐標(biāo)，結(jié)合圖形求解，從而確定D點(diǎn)的軌跡為線段．【詳解】解：如圖，OA＋OB=6，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)∴C點(diǎn)坐標(biāo)（），，即C點(diǎn)在直線y＋x=3（0≤x≤3）上設(shè)A（3，0），則B（0，3）∴當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，C（0，3），此時(shí)D（3，0）∴∠BAO=45°當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)即處，C（3，0），此時(shí)D′（6，3）AA′=A′D′=3∴∠D′AA′=45°∴△為等腰直角三角形∴∵∠BAO=45°，∠D′AA′=45°∴∠BAD′=90°線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD∴當(dāng)C點(diǎn)由B到A時(shí)，D點(diǎn)由A到D′∴點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，旋轉(zhuǎn)的特征，直線上坐標(biāo)的特征，由C點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系得出C點(diǎn)的軌跡再結(jié)合圖形得出D點(diǎn)的軌跡是解題關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊向上作等邊，在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，連接，證明，進(jìn)而得到，再計(jì)算出即可求出點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，，，和是等邊三角形，，，，，，，，，又點(diǎn)在處時(shí)，，點(diǎn)在處時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)為從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及三角形全等的判定方法，本題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡的路徑長(zhǎng)等于線段DM的長(zhǎng)．2．（2022·八年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）和已知線段的兩端點(diǎn)距離相等，且到一個(gè)已知點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)最多有______個(gè)．【答案】2【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得和已知線段的兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上，分別討論定長(zhǎng)m>PO、m=PO和m<PO三種情況，得出與垂直平分線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得答案.【詳解】如圖，直線CD為相等AB的垂直平分線，過(guò)定點(diǎn)P作PO⊥CD，設(shè)定長(zhǎng)為m，∵已知線段的兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在AB的垂直平分線上，∴所求的點(diǎn)在直線CD上，∴當(dāng)m>PO時(shí)，與CD有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)m=PO時(shí)，與CD有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)m<PO時(shí)，與CD沒有交點(diǎn)，∴已知線段的兩端點(diǎn)距離相等，且到一個(gè)已知點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)最多有2個(gè)，故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查本題考查的是點(diǎn)的軌跡，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用分類討論的思想是解題關(guān)鍵.3．（2022·八年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）如圖，，，點(diǎn)在上．以為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形，則當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，探求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．【答案】線段．【分析】過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，根據(jù)D點(diǎn)在B點(diǎn)，BC中點(diǎn)以及C點(diǎn)時(shí)，得出E點(diǎn)所在位置，進(jìn)而得出E點(diǎn)在一條直線上，進(jìn)而得出答案．【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，當(dāng)點(diǎn)在中點(diǎn)時(shí)，∵，，∴．∵在和中，，∴≌（AAS）．∴，．∵，，∴．∴．∵∠ACB=45°，∴∠ECA=90°，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，∠ECA=90°，∴點(diǎn)與另兩個(gè)點(diǎn)都在過(guò)點(diǎn)C且垂直于AC的一條直線上．綜上所述：當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)的軌跡問題，根據(jù)已知得出D點(diǎn)在不同位置時(shí)E點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．題型六直角三角形全等的判定1．（2023上·上海普陀·八年級(jí)校考期中）下面四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）①腰和腰上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等；②有兩角及一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；③有兩邊及其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④有兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定可進(jìn)行求解．【詳解】解：①腰和腰上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等，正確；理由：如圖所示，在等腰與等腰中，，于點(diǎn)H，于點(diǎn)G，且，求證：；

證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；②有兩角及一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，根據(jù)或可知其正確；③有兩邊及其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；正確；理由：如圖所示，在與中，，、分別是上的中線，且，求證：；

證明：∵、分別是上的中線，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；④有兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，正確，理由：如圖所示，在與中，，，、分別為、上的中線，且，求證：．

證明：延長(zhǎng)至，使，連接，延長(zhǎng)至，使，連接．，．為的中點(diǎn)，．在和中，，．同理，．，．在和中，，，，同理可得．．．綜上所述：真命題的個(gè)數(shù)是4個(gè)；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022上·上海浦東新·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E．AB＝10cm，則△DEB的周長(zhǎng)為（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出BE=DE，由角平分線的性質(zhì)可得出DE=DC、AE=AC，根據(jù)周長(zhǎng)的定義即可得出C△DEB=BE+DE+BD=AB=10，此題得解．【詳解】解：∵△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵DE⊥AB，即∴∴DE=BE∴△BDE為等腰直角三角形，∴BE=DE．∵AD平分∠CAB交BC于D，∴DE=DC，又∠C＝90°，

∴在和中，∵∴∴AE=AC，∴C△DEB=BE+DE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=10cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形以及角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)找出BE=DE、DE=DC、AE=AC是解題的關(guān)鍵．3．（2020上·上海普陀·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，為上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為M、N．下面四個(gè)結(jié)論：

①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中正確的有（）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可證得是的角平分線，又由，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可證得；②根據(jù)證明，利用全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出；③根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出；④根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出．【詳解】解：①∵，，∴，∵，，∴，故①正確；②∵，，∴，∵，∴；故②正確；③∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；故③正確；④∵，，∵，，∴，∴，∴，∴．故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·廣東江門·八年級(jí)新會(huì)華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，平分交于，于，且，則的周長(zhǎng)為（）

A．12 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，然后求出的周長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵平分，，，∴，在和中，，∴（），∴，∴的周長(zhǎng)，，，，，，∵，∴的周長(zhǎng)為．故選：B．2．（2023上·天津·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知平分，于E，，則下列結(jié)論：①；②；③．其中正確結(jié)論的有________．（只寫序號(hào)）【答案】①②③【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)及得，進(jìn)而可判斷①；利用得則可判斷③；利用全等三角形的性質(zhì)及角的等量代換即可判斷②，熟練掌握相關(guān)判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，平分，于E，，，在和中，，，，，，，，，，故①正確；在和中，，，，，故③正確；，，，故②正確；故答案為：①②③．3．（2023上·江蘇南京·八年級(jí)南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎狐c(diǎn)O到的兩邊所在直線的距離相等，且．

(1)如圖1，若點(diǎn)O在邊上，過(guò)點(diǎn)O分別作，垂足分別是E，F(xiàn)．求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)O在的內(nèi)部，求證：；(3)若點(diǎn)O在的外部，“小強(qiáng)”同學(xué)認(rèn)為也一定成立，你同意他的想法嗎？若同意，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不同意，請(qǐng)畫出反例并進(jìn)行必要的標(biāo)注．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)不同意，見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）證明，則，進(jìn)而可證；（2）過(guò)點(diǎn)O作于E，于F，如圖1所示，證明，則，由，可得，則，進(jìn)而可證；（3）由題意知分三種情況：①過(guò)點(diǎn)O作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖3所示，證明，則，，進(jìn)而可得，進(jìn)而可證；②過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，如圖4所示，證明，則，由，可得，③過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，如圖5所示：同理②，可得，然后作答即可．【詳解】（1）證明：由題意知，，∵，，∴，∴，∴；（2）證明：過(guò)點(diǎn)O作于E，于F，如圖1所示，

∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴；（3）解：不同意他的想法，理由如下：分三種情況：①過(guò)點(diǎn)O作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖3所示：

∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴；②過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，如圖4所示：

∴，，∵，，∴，∴，∵，∴；③過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，如圖5所示：

同理②，，∴，∵，∴；綜上所述，不一定成立．題型七直角三角形的性質(zhì)1．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)上海市民辦上寶中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，，點(diǎn)分別是對(duì)角線的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】如圖所示，連接，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，可得，根據(jù)“邊邊邊”可證，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，點(diǎn)分別是對(duì)角線的中點(diǎn)，∴在中，是斜邊的中線，則，在中，是斜邊的中線，則，∴，∵點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，在中，，∴，∴，且，∴，∴，故選項(xiàng)正確，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，中，，、分別平分、，，下面結(jié)論中不一定正確的是(

)

A． B．C． D．點(diǎn)O到直線的距離是1【答案】C【分析】由角平分線的定義求出，由三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，由三角形內(nèi)心的性質(zhì)求出的度數(shù)是，的長(zhǎng)在變化不一定等于，由直角三角形的性質(zhì)得到，由角平分線的性質(zhì)得到，得到到的距離是，據(jù)此即可求解．【詳解】解：作于，于，

、分別平分、，，，，，故A正確；、分別平分，是的內(nèi)心，平分，，，故B正確；的長(zhǎng)在變化不一定等于，故C不一定正確；，，，，到的距離是，故D正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．3．（2022上·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，且AE平分∠BAC，下列關(guān)系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AE＝BE，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠BAE＝∠B，然后利用直角三角形兩銳角互余列式求出∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AE＝2CE，BE＝2DE，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE＝EC，然后對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠C＝90°，∴∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，A.在Rt△ACE中，，故A錯(cuò)誤，符合題意；B.∠B＝∠CAE=30°，故B正確，不符合題意；C.∵，，∴∠DEA＝∠CEA，故C正確，不符合題意；D.在Rt△BDE中，BE＝2DE，∵AE平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝EC，∴BC＝EC+BE＝EC+2EC＝3EC，故D正確，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，求出∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，如果將這個(gè)三角形折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，那么等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到是的垂直平分線，得到，進(jìn)而得到，再利用三角形的外角定理得，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出，即可得到．【詳解】解：如圖，連接，

∵折疊，∴是的垂直平分線，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，含30度的直角三角形，根據(jù)題意，正確的畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·山西呂梁·八年級(jí)校考期中）如圖，中，，，分別以為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，直線分別交于點(diǎn)．若，則___________．【答案】/【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性這些質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．連接，由等腰三角形的性質(zhì)求出，再求出，可證，然后根據(jù)即可求解．【詳解】解：連接．∵，，∴．由作法知，是的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．3．（2023上·廣東深圳·八年級(jí)校考期中）已知：如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊上，平分，E為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），，垂足為F．(1)求證：；(2)設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)？【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和定理求出，再由角平分線的定義得到，由此可證明；（2）先求出，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，求出，得到，則；（3）先求出，則，即可得到，再證明，得到，則，解方程得到，則．【詳解】（1）證明：∵在中，，，∴，∵平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，在中，，，∴，在中，，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊，角平分線的定義，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，列函數(shù)關(guān)系式等等，熟知含30度角的直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊長(zhǎng)是斜邊長(zhǎng)的一半是解題的關(guān)鍵．題型八勾股定理1．（2022上·上海青浦·八年級(jí)校考期末）美國(guó)數(shù)學(xué)家伽菲爾德在1876年提出了證明勾股定理的一種巧妙方法，如圖，在直角梯形中，，，是邊上一點(diǎn)，且，．如果的面積為1，且，那么的面積為（）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】由題意求得，根據(jù)的面積為梯形面積減去兩個(gè)直角三角形的面積，列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵的面積為1，∴，即，∵，即，∴，即，∴的面積．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用面積關(guān)系，完全平方公式的變形求解．2．（2022下·河北邯鄲·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖中能用來(lái)證明勾股定理的有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【分析】運(yùn)用等面積法證明即可；【詳解】①根據(jù)等面積法得：，得出，可以證明勾股定理；②，得出，可以證明勾股定理；③不能證明勾股定理；④，得出，可以證明勾股定理；⑤得出，可以證明勾股定理；⑥，得出，可以證明勾股定理；⑦，不可以證明勾股定理；故①②④⑤⑥可以證明勾股定理；故選：C．【點(diǎn)睛】該題主要考查了勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用等面積法的列等量關(guān)系．3．（2023上·山東濟(jì)南·八年級(jí)濟(jì)南市章丘區(qū)第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖由“趙爽弦圖”變化得到，它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，．若，則的值是（）A．12 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】分析已知條件，圖形由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，可設(shè)直角三角形的長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，用含a、b的式子把正方形，正方形，正方形的面積，，表示出來(lái)，得出根據(jù)，，，最后根據(jù)，代入求解即可．【詳解】解：該圖形由用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊為a，較短直角邊為b，∴，，，∵，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形面積關(guān)系，弄清圖形的意義，熟練掌握勾股定理以及完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·安徽宿州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）；如果大正方形的面積是，小正方形的面積是，直角三角形的兩直角邊分別為、，那么的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了勾股定理，完全平方式，根據(jù)大正方形的面積是，可得，根據(jù)小正方形的面積是，可得，將這兩個(gè)式子變形即可解決問題．【詳解】解：∵直角三角形的兩直角邊分別為、，大正方形的面積是，小正方形的面積是，∴，，由得：，得：，得：，∴，故選：．2（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為50，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊，則______．【答案】23【分析】由大正方形的面積為50結(jié)合勾股定理可得出；由小正方形的邊長(zhǎng)為，即得出，即，最后整體代入計(jì)算即可．【詳解】解：由圖可知大正方形的邊長(zhǎng)為．∵大正方形面積為50，∴，即．由圖可知小正方形的邊長(zhǎng)為，∵小正方形面積為4，∴，即，將代入，得：，∴．故答案為：23．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理中弦圖的有關(guān)計(jì)算，準(zhǔn)確找出圖中的線段關(guān)系，并利用完全平方公式求出各個(gè)式子的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡(jiǎn)便得結(jié)論．這里用兩種求法來(lái)表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．【方法運(yùn)用】千百年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的直角三角形和如圖2放置，其三邊長(zhǎng)分別為，，，，顯然．(1)請(qǐng)用分別表示出四邊形，梯形，的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理．(2)【方法遷移】請(qǐng)利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得，_，邊上的高為______．【答案】(1)見解析(2)6，【分析】本題考查了梯形，證明勾股定理，勾股定理的應(yīng)用（1）表示出三個(gè)圖形的面積進(jìn)行加減計(jì)算可證；（2）計(jì)算出的面積，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得邊上的高；【詳解】（1）解：，，，，∴，化簡(jiǎn)得：；（2）解：設(shè)邊上的高為，則：，∴，∴即AB邊上的高是，故答案為：，．題型九勾股定理的逆定理1．（2023上·江蘇徐州·八年級(jí)?？计谥校┫铝袟l件中，不能判定是直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和為；兩邊平方和等于第三邊平方的三角形為直角三角形．根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，即可判斷A、B；根據(jù)平方差公式和勾股定理的逆定理，即可判斷C；根據(jù)勾股定理的逆定理，即可判斷D．【