3.11 弧長及扇形的面積（B卷能力拓展） -2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊同步分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）（解析版）

3.11弧長及扇形的面積學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________B卷（能力拓展）一、選擇題1．（2022·廣東東莞九年級(jí)期末）如圖，RtABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，作∠ABC的平分線BE交CA于點(diǎn)F，以點(diǎn)B為圓心，以BF為長度作弧，交BA于點(diǎn)G，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得，，由勾股定理求出AC，由角平分線得，故，由勾股定理求出CF、BF，即可求出．【詳解】∵，，∴，，∴，∵BF是的角平分線，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得：，∴，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)與勾股定理，以及扇形的面積公式，掌握扇形的面積公式和直角三角形30°角所對的邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇蘇州市九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，內(nèi)接于，，，點(diǎn)為弧上一動(dòng)點(diǎn)，直線于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)沿弧運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)經(jīng)過的路徑長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接OB，設(shè)OB的中點(diǎn)為M，連接ME．作OH⊥BC于H．首先判斷出點(diǎn)E在以O(shè)B為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，求出點(diǎn)D與C重合時(shí)∠EMB的度數(shù)，利用弧長公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接OB，設(shè)OB的中點(diǎn)為M，連接ME．作OH⊥BC于H．

∵OD⊥BE，

∴∠OEB＝90°，

∴點(diǎn)E在以O(shè)B為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)D與C重合時(shí)，∵∠BOC＝2∠A＝120°，

∴∠BOE＝60°，

∴∠EMB＝2∠BOE＝120°，

∵BC＝12，OH⊥BC，

∴BH＝CH＝6，∠BOH＝∠COH＝60°，

∴OB＝，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡的長＝，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查軌跡、弧長公式、三角形的外接圓與外心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找軌跡，屬于中考?？碱}型．3．（2021·遼寧阜新·中考真題）如圖，弧長為半圓的弓形在坐標(biāo)系中，圓心在．將弓形沿x軸正方向無滑動(dòng)滾動(dòng)，當(dāng)圓心經(jīng)過的路徑長為時(shí)，圓心的橫坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出一個(gè)周期圓心走的路程，即可求出圓心經(jīng)過的路徑長為時(shí)圓心的位置，故可求解．【詳解】如圖，圓心在，可得r=2∴OA=，AB=2r=4，BC=，==∴一個(gè)周期圓心經(jīng)過的路徑長為OA++BC=4，∴C（4+2，0），故當(dāng)圓心經(jīng)過的路徑長為時(shí)，÷4=505…1∴圓心的橫坐標(biāo)是505×（4+2）+=故選D．

【點(diǎn)睛】此題主要考查弧與坐標(biāo)綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出一個(gè)周期圓心經(jīng)過的路徑長．4．（2021·湖北青山·中考三模）如圖，等邊△ABC邊長為3，將△ABC繞AC上的三等分點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△，其中點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡為，圖中陰影部分面積為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】分別連接OB、，過O作OD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)與BC交于點(diǎn)E，則有關(guān)系式：，利用等邊三角形的性質(zhì)可分別求得的面積，及四邊形的面積，易得，故有，利用直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可求得OB的長，進(jìn)而可求得扇形的面積，最后可求得結(jié)果．【詳解】如圖，分別連接OB、，過O作OD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)與BC交于點(diǎn)E

由題意得：為等邊三角形，且邊長為3，易得其面積為；為等邊三角形，且邊長為1，易得其面積為；為等邊三角形，且邊長為2，易得其面積為，所以四邊形的面積為由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：為等邊三角形，，∴∴∴∴在Rt△OCD中，∠COD=90°-∠ACB=30°∴∴，在Rt△ODB中，由勾股定理得∴∵∴∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，求圖形的面積等知識(shí)，難點(diǎn)在于將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和差來解決，本題的解答有一定的難度．5．（2021—2022江蘇江陰九年級(jí)期中）如圖，等邊內(nèi)接于⊙，是上任一點(diǎn)（不與、重合），連接、，交于，切⊙于點(diǎn)，交⊙于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③若，則四邊形的面積為；④若，則圖中陰影部分的面積為．正確的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用同弧所對的圓周角相等可得①正確；利用假設(shè)法，利用條件證明三角形相似，與所給條件矛盾，可證②錯(cuò)誤；構(gòu)造，可得，求得即可證明③正確；可根據(jù)圖2中的方法將陰影面積轉(zhuǎn)化為扇形面積，即可驗(yàn)證④正確．【詳解】解：已知等邊內(nèi)接于⊙，∴，∵，∴，故①正確；假設(shè)，則，又∵，∴，∴,而，∴，∴矛盾，故②錯(cuò)誤；如圖1延長至點(diǎn)，使，連接，由已知可得,,∴，∴，∴，，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴過點(diǎn)作于,∴，∴,∴，故③正確；如圖2連接，，連接與交于，∵切⊙于點(diǎn)，∴，∵交⊙于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵在中，，∵，∴，∴，在中，，∴，∴故④正確；∴正確的有①③④3個(gè)；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問題，涉及到垂徑定理，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形等知識(shí)，利用相似三角形，三角函數(shù)探求線段的關(guān)系，利用全等轉(zhuǎn)化面積，是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·江蘇秦淮·九年級(jí)期末）已知⊙O的半徑為5，弦AB⊥CD，且AB＝CD＝8，則陰影部分的面積為_____．【答案】【分析】過點(diǎn)作，垂足分別為，設(shè)交于點(diǎn)，連接，證明，，進(jìn)而求得，，根據(jù)求解即可【詳解】如圖，過點(diǎn)作，垂足分別為，設(shè)交于點(diǎn)，連接，同理可得四邊形是矩形四邊形是正方形，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，求扇形面積，三角形全等的性質(zhì)與判定，圓周角定理，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2021·重慶實(shí)外九年級(jí)期中）如圖，已知菱形ABCD的邊長為，∠DAB＝60°．AC、BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，以DO的長為半徑畫圓，與菱形相交，則圖中陰影部分的面積為___．【答案】##【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，求出圓的半徑和相應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)，再根據(jù)面積之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接，與相交于點(diǎn)，菱形的邊長為，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，等邊三角形的判定，菱形的性質(zhì)，掌握扇形面積的計(jì)算方法，等邊三角形的判定和菱形的性質(zhì)是正確計(jì)算的前提．8．（2021·河南中考二模）如圖，在扇形AOB中，，，點(diǎn)P是弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，點(diǎn)C是OP的中點(diǎn)，連接AC并延長，交OB于點(diǎn)D，則圖中陰影部分面積的最小值為______．【答案】【分析】由圖形知，通過計(jì)算的面積時(shí)，得，即轉(zhuǎn)為求的最大值，首先的確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，當(dāng)與點(diǎn)所在圓弧相切時(shí)，取最大，即最小，再利用勾股定理及正切函數(shù)來解答．【詳解】解：，建立如圖所示坐標(biāo)系；，為的中點(diǎn)，，在以為圓心，為半徑的圓上，，，當(dāng)與點(diǎn)所在圓弧相切時(shí)，取最大，即最小，相切時(shí)：，在中，，，，，，故答案是：【點(diǎn)睛】本題考查了不規(guī)則圖形面積的最小值問題、扇形面積、直角三角形、圓、切線等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是：利用數(shù)形結(jié)合的思想，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形與直角三角形面積之差來研究．9．（2021·廣西貴港中考二模）如圖，一張扇形紙片的圓心角為，半徑為6．將這張扇形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，折痕為，則陰影部分的面積為______________．【答案】【分析】連接OD，如圖，利用折疊性質(zhì)得由弧AD、線段AC和CD所圍成的圖形的面積等于弧OD、線段OC和CD所圍成的圖形的面積，AC＝OC，則OD＝2OC＝6，CD＝3，從而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根據(jù)扇形面積公式，利用由弧AD、線段AC和CD所圍成的圖形的面積＝S扇形AOD﹣S△COD，能進(jìn)而求出答案．【詳解】解：連接OD，如圖，∵扇形紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)O恰好重合，折痕為CD，∴AC＝OC，∴OD＝2OC＝6，∴CD3，∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，∴由弧AD、線段AC和CD所圍成的圖形的面積＝S扇形AOD﹣S△COD3×36π，∴陰影部分的面積為2×（6π）＝93π，故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算：陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．記住扇形面積的計(jì)算公式．也考查了折疊的性質(zhì)，注意：圓心角是n°，半徑為r的扇形的面積S．10．如圖，A，C是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，B，D是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，圓弧與圍成了一個(gè)封閉圖形，當(dāng)線段AC與BD都最短時(shí)，圖中陰影部分的面積為________．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)A，要使當(dāng)線段AC與BD都最短，就是使OA最短，利用勾股定理表示出OA與x的函數(shù)解析式，將其函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出OA的最小值，即可求出AC的值；再利用同樣的方法可求出BC的長；再證明△ABC是等邊三角形，然后利用扇形的面積公式和三角形的面積公式可求出陰影部分的面積．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A，要使當(dāng)線段AC與BD都最短，就是使OA最短，∴，∴當(dāng)時(shí)，OA的最小值為，∴x=1（負(fù)值舍去），∴點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)；∴AC=，設(shè)點(diǎn)B，要使當(dāng)線段BD都最短，就是使OB最短，∴，∴當(dāng)時(shí)，OB的最小值為，∴x=-（負(fù)值舍去），∴點(diǎn)B，點(diǎn)D；∵點(diǎn)B和點(diǎn)D，點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴BC=AB=CD=AD，∴，∴△ABC是等邊三角形，∴BC=AC=AB，∴，∴S陰影部分=．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)，線段最值，二次函數(shù)求最值，等邊三角形，弓形面積的計(jì)算，解題關(guān)鍵在于求出線段的最值．11．（2021—2022浙江杭州九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在RtABC中，∠BCA＝90°，∠BAC的平分線交△ABC外接圓⊙O于點(diǎn)D，若AB＝2AC＝8，M，N是優(yōu)弧CAB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)P是弧MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠PBC的角平分線與PD交點(diǎn)為E，當(dāng)點(diǎn)P在圓弧MN上從點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長是___．【答案】##【分析】如圖，連接由平分先證明再求解可得的軌跡是以為圓心，4為半徑的一段弧，再利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算可得答案.【詳解】解：如圖，連接由平分平分的軌跡是以為圓心，4為半徑的一段弧，連接如圖，弧的起點(diǎn)為，終點(diǎn)為為優(yōu)弧的三等分點(diǎn)，由可得劣弧的度數(shù)為優(yōu)弧的度數(shù)為點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的角平分線的定義，等腰三角形的判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，弧長的計(jì)算，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，靈活的運(yùn)用以上知識(shí)解題是解題的關(guān)鍵.三、解答題12．（2021—2022甘肅金昌市九年級(jí)階段練習(xí)）已知直線m與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥m于點(diǎn)D．（1）如圖①，當(dāng)直線m與⊙O相交于點(diǎn)E、F時(shí)，求證：∠DAE=∠BAF．（2）如圖②，當(dāng)直線m與⊙O相切于點(diǎn)C時(shí)，若∠DAC=35°，求∠BAC的大??；（3）若PC＝2，PB＝2，求陰影部分的面積(結(jié)果保留π)．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）通過已知條件可知，，再通過同角的補(bǔ)交相等證得，即可得到答案；（2）利用，得，再通過OA=OC，得；（3）現(xiàn)在中，利用勾股定理求得半徑r=2，再通過，得，即可求得，那么，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，連接BF∵AD⊥m∴∵AB是⊙O的直徑∴∴∵，∴∴∠DAE=∠BAF（2）連接OC∵直線m與⊙O相切于點(diǎn)C∴∵AD⊥m∴∴∵OA=OC∴（3）連接OC∵直線m與⊙O相切于點(diǎn)C∴設(shè)半徑OC=OB=r在中，則：∴解得：r=2，即OC=r=2∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓切線、內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及解直角三角形的應(yīng)用，扇形面積求法，解答此題的關(guān)鍵是掌握圓的性質(zhì)．13．如圖，⊙O是直角三角形ABC的外接圓，直徑AC＝4，過C點(diǎn)作⊙O的切線，與AB延長線交于點(diǎn)D，M為CD的中點(diǎn)，連接BM，OM，且BC與OM相交于點(diǎn)N．（1）求證：BM與⊙O相切；（2）當(dāng)∠A＝60°時(shí)，求弦AB和弧AB所夾圖形的面積；（3）在（2）的條件下，在⊙O的圓上取點(diǎn)F，使∠ABF＝15°，求點(diǎn)F到直線AB的距離．【答案】（1）見解析；（2）﹣；（3）﹣1或2﹣．【分析】（1）連接OB，知∠OCB＝∠OBC，由直角三角形性質(zhì)知BM＝CM＝DM，得∠MBC＝∠MCB，依據(jù)CD是⊙O的切線知∠OCB＋∠DCB＝90°，據(jù)此可得∠OBC＋∠MBC＝90°，可得結(jié)論；（2）根據(jù)S陰影＝S扇形AOB﹣S△AOB解答；（3）需要分類討論：點(diǎn)F在劣弧AB上和點(diǎn)F在弧AC上兩種情況，利用等邊三角形AOB的性質(zhì)和垂徑定理解答．【詳解】（1）證明：如圖1，連接OB，∵線段AC是直徑，∴∠ABC＝∠DBC＝90°．在Rt△DBC中，M為CD的中點(diǎn)，∴BM＝MC，∴∠MBC＝∠MCB．又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠0BC．∵CD為切線，∴∠ACD＝90°．∴∠MCB＋∠OCB＝∠MBC＋∠OBC＝90°，即OB⊥BM，∵OB⊥BM，OB為半徑，∴BM與⊙O相切；（2）解：∵∠A＝60°，OA＝OB，∴△ABO為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∵AC＝4，∴OA＝2，∴S陰影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×22＝﹣；（3）①如圖1：∠ABF＝15°時(shí)，∠AOF＝30°，過點(diǎn)O作OH⊥AB，過F作FP⊥OH，F(xiàn)G⊥BA，由（2）知∠AOB＝60°，∴∠AOH＝30°，∴∠FOP＝60°．Rt△FPO中，∠FOP＝60°，OF＝2，∴OP＝1.Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，∴OH＝，∴FG＝HP＝﹣1.②如圖2：∠ABF＝15°時(shí)，∠AOF＝30°，等邊△ABO中，OF平分∠AOB，∴OF⊥AB．Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，∴OH＝，∴FH＝2﹣．綜上所述，點(diǎn)F到直線AB的距離是﹣1或2﹣．【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的數(shù)學(xué)思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．14．（2021·上海市九年級(jí)期末）如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是上任一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B重合），連接AP、BP，過點(diǎn)C作CM∥BP交PA的延長線于點(diǎn)M．（1）求∠APC和∠BPC的度數(shù)；（2）求證：△ACM≌△BCP；（3）若PA＝1，PB＝2，求四邊形PBCM的面積；（4）在（3）的條件下，求的長度．【答案】（1）∠APC＝60°，∠BPC＝60°（2）見解析（3）（4）【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，根據(jù)圓周角定理即可得到∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，求得∠M=∠BPC=60°，根據(jù)圓周角定理得到∠PAC+∠PCB=180°，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（3）作PH⊥CM于H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CM=CP，AM=BP，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到PH，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（4）過點(diǎn)B作BQ⊥AP，交AP的延長線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N，連接OB，求得∠PBQ=30°，得到PQ，根據(jù)勾股定理得到BQ和AN，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論．（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60