查補(bǔ)重難點(diǎn)04 二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的運(yùn)用（解析版）

查補(bǔ)重難點(diǎn)04.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的運(yùn)用考點(diǎn)一：二次函數(shù)圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對(duì)稱軸與頂點(diǎn)對(duì)稱軸：直線x=–；頂點(diǎn)坐標(biāo)：（–，）a的符號(hào)a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時(shí)，y最小值=。當(dāng)x=–時(shí)，y最大值=。增減性當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而增大。當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而減小。題型1.二次函數(shù)圖象與a、b、c的關(guān)系1）拋物線開口的方向可確定a的符號(hào)：拋物線開口向上，a＞0；拋物線開口向下，a＜02）對(duì)稱軸可確定b的符號(hào)（需結(jié)合a的符號(hào)）：對(duì)稱軸在x軸負(fù)半軸，則ab＞0；對(duì)稱軸在x軸正半軸，則ab＜0（即：左同右異）3）與y軸交點(diǎn)可確定c的符號(hào)：交于y軸負(fù)半軸，則c＜0；交于y軸正半軸，則c＞04）特殊函數(shù)值符號(hào)（以x=1的函數(shù)值為例）：若當(dāng)x=1時(shí)，若對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y在x軸的上方，則a+b+c＞0；若對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y在x軸上方，則a+b+c=0；若對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y在x軸的下方，則a+b+c＜0；例1.（2021·江蘇宿遷·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，有下列結(jié)論：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集為1≤＜3，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、于x軸的交點(diǎn)情況、對(duì)稱軸的知識(shí)可判①②③的正誤，再根據(jù)函數(shù)圖象的特征確定出函數(shù)的解析式，進(jìn)而確定不等式，最后求解不等式即可判定④．【詳解】解：∵拋物線的開口向上，∴a＞0，故①正確；∵拋物線與x軸沒有交點(diǎn)∴＜0，故②錯(cuò)誤∵由拋物線可知圖象過（1,1），且過點(diǎn)（3,3）∴8a+2b=2∴4a+b=1，故③錯(cuò)誤；由拋物線可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1），且過點(diǎn)（3,3）則拋物線與直線y=x交于這兩點(diǎn)∴＜0可化為，根據(jù)圖象，解得：1＜x＜3故④錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的特征以及解不等式的相關(guān)知識(shí)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)圖象的特征成為解答本題的關(guān)鍵．變式1．（2023年湖北省黃岡市中考數(shù)學(xué)真題）已知二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，下列論中：①；②若點(diǎn)均在該二次函數(shù)圖象上，則；③若m為任意實(shí)數(shù)，則；④方程的兩實(shí)數(shù)根為，且，則．正確結(jié)論的序號(hào)為（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④【答案】B【分析】將代入，可判斷①；根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸及增減性可判斷②；根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可判斷③；根據(jù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的位置可判斷④．【詳解】解：將代入，可得，故①正確；二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離分別為：4，1，3，，圖象開口向下，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，，故②錯(cuò)誤；二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，，又，，，當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為，即二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，若m為任意實(shí)數(shù)，則故③正確；二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，即為的圖象，的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)在的左側(cè)，另一個(gè)在的右側(cè)，若方程的兩實(shí)數(shù)根為，且，則，故④正確；綜上可知，正確的有①③④，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號(hào)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．變式2．（23-24九年級(jí)·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論中：①；②若點(diǎn)，，均在該二次函數(shù)圖象上，則；③若為任意實(shí)數(shù)，則；④若且，則；⑤方程的兩實(shí)數(shù)根為，，且，則，．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由該拋物線經(jīng)過點(diǎn)即可判斷結(jié)論①；由各點(diǎn)到拋物線對(duì)稱軸的距離大小即可判斷結(jié)論②；由當(dāng)時(shí)函數(shù)值取最大值，即可判斷結(jié)論③；由對(duì)稱軸為直線，即可判斷結(jié)論④；由拋物線的對(duì)稱軸可得該拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷結(jié)論⑤．【詳解】解：如下圖，∵二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為∴當(dāng)時(shí)，可有，故結(jié)論①正確；∵，∴該二次函數(shù)的圖象開口向下，∴函數(shù)圖象上的點(diǎn)距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∵對(duì)稱軸為，∵，，，又∵，∴，故結(jié)論②錯(cuò)誤；∵該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸，∴，∵，即，∴，∵該二次函數(shù)的圖象開口向下，∴當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取最大值，∴為任意實(shí)數(shù)，可有，即，故結(jié)論③正確；∵若且，即有，∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，∴，即，故結(jié)論④錯(cuò)誤；∵方程的兩實(shí)數(shù)根為，，∴拋物線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，由拋物線的對(duì)稱性可知該拋物線與軸的另一交點(diǎn)為，即該拋物線與軸的交點(diǎn)為，，∵該拋物線開口向下，，∴，，故結(jié)論⑤正確．綜上所述，結(jié)論正確的有①③⑤，共計(jì)3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與方程和不等式的關(guān)系、利用不等式求自變量或函數(shù)值的范圍等知識(shí)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．題型2.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解答即可。例1．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且），下列結(jié)論：①函數(shù)圖像一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小；④當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：∵拋物線對(duì)稱軸為，，∴二次函數(shù)圖象必經(jīng)過第一、二象限，又∵，∵，∴，當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象只經(jīng)過第一、二象限，當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故①錯(cuò)誤；②正確；∵拋物線對(duì)稱軸為，，∴拋物線開口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故③正確；∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故④錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)，有下列結(jié)論：①該函數(shù)圖象過定點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)；③函數(shù)圖象的對(duì)稱軸不可能在y軸的右側(cè)；④當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是曲線上兩點(diǎn)，若，則．其中，正確結(jié)論的序號(hào)為．【答案】①②④【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練理解并綜合運(yùn)用二次函數(shù)的各個(gè)特征．將拋物線整理為，即可判斷①；將代入并計(jì)算即可判斷②；計(jì)算拋物線對(duì)稱軸并根據(jù)可判斷③；根據(jù)題意確定對(duì)稱軸的范圍后可確定、的位置，根據(jù)增減性可判斷④．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)圖象過定點(diǎn)，故①正確，符合題意；當(dāng)時(shí)，，令，則，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，故②正確，符合題意；拋物線的對(duì)稱軸為直線，，，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在右側(cè)，故③錯(cuò)誤，不符合題意；，，，在對(duì)稱軸左側(cè)，在對(duì)稱軸右側(cè)，，拋物線開口向上，在對(duì)稱軸左側(cè)，隨增大而減小，在對(duì)稱軸右側(cè)，隨增大而增大，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，，，，故④正確，符合題意；綜上所述，正確的是①②④，故答案為：①②④．題型3.二次函數(shù)的增減性與大小比較距離法:對(duì)于開口向上的二次函數(shù)，自變量到對(duì)稱軸的距離越近，函數(shù)值越小；對(duì)于開口向下的二次函數(shù)，自變量到對(duì)稱軸的距離越近，函數(shù)值越大.函數(shù)增減性法:利用函數(shù)的增減性來(lái)判斷。如果自變量在對(duì)稱軸的同側(cè)，可以直接根據(jù)函數(shù)的增減性判斷函數(shù)值的大小；如果自變量在對(duì)稱軸的兩側(cè)，需要先利用函數(shù)的對(duì)稱性將自變量轉(zhuǎn)化到對(duì)稱軸的同側(cè)再比較大小。例1．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知點(diǎn)在下列某一函數(shù)圖像上，且那么這個(gè)函數(shù)是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】先假設(shè)選取各函數(shù)，代入自變量求出y1、y2、y3的值，比較大小即可得出答案．【詳解】解：A．把點(diǎn)代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1<y2<y3，這與已知條件不符，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．把點(diǎn)代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，這與已知條件不符，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．把點(diǎn)代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2<y1<y3，這與已知條件不符，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．把點(diǎn)代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，這與已知條件相符，故選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)值的大小變化和函數(shù)性質(zhì)．變式1．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）拋物線過四個(gè)點(diǎn)，，，，若四個(gè)數(shù)中有且只有一個(gè)大于零，則a的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系，先求出函數(shù)對(duì)稱軸，再根據(jù)對(duì)稱性判斷出，再分和兩種情況討論即可．【詳解】解：拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即，∴，若，拋物線開口向下，，則必小于0，不合題意，∴，，∴，解得：．故答案為：．變式2．（2021·江蘇無(wú)錫·中考真題）設(shè)，分別是函數(shù)，圖象上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，總有恒成立，則稱函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”，為“逼近區(qū)間”．則下列結(jié)論：①函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；②函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；③是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；④是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”．其中，正確的有（

）A．②③ B．①④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】分別求出的函數(shù)表達(dá)式，再在各個(gè)x所在的范圍內(nèi)，求出的范圍，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)，即可求解．【詳解】解：①∵，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)，在上不是“逼近函數(shù)”；②∵，，∴，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；③∵，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；④∵，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴不是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”．故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的增減性，是解題的關(guān)鍵．題型4.二次函數(shù)的增減性與最值當(dāng)自變量的范圍有限制時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最值可以根據(jù)以下步驟來(lái)確定：（1）配方，求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸。（2）畫出函數(shù)圖象，標(biāo)明對(duì)稱軸，并在橫坐標(biāo)上標(biāo)明x的取值范圍。（3）判斷，判斷x的取值范圍與對(duì)稱軸的位置關(guān)系。根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定當(dāng)x取何值時(shí)函數(shù)有最大或最小值.然后根據(jù)x的值，求出函數(shù)的最值。例1.（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）二次函數(shù)的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)的最大值．【詳解】解：∵二次函數(shù)的表達(dá)式為，∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)取得最大值，為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇南通·中考真題）若實(shí)數(shù)，，滿足，，則代數(shù)式的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】聯(lián)立方程組，解得，設(shè)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：依題意，，解得：設(shè)∴∵∴有最大值，最大值為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2024·江蘇徐州·一模）若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)到軸的距離小于2，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)．由題意可知，根據(jù)m的范圍即可確定n的范圍．【詳解】解：∵，∴二次函數(shù)的圖象開口向上，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸是直線，∵到y(tǒng)軸的距離小于2，∴，而，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，∴n的取值范圍是，故答案為：．題型5.二次函數(shù)的最值（含參討論）1.二次函數(shù)最值類型：定軸定區(qū)間、定軸動(dòng)區(qū)間、動(dòng)軸定區(qū)間、動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間。2.二次函數(shù)最值討論技巧：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)（下面以a＞0為例進(jìn)行討論）。圖1圖2圖3圖4圖51）如圖1，當(dāng)x的取值為全體實(shí)數(shù)時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值ymin=，無(wú)最大值。2）如圖2，當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為ymin=ax22+bx2+c；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。3）如圖3，當(dāng)且時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為ymin=；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。4）如圖4，當(dāng)且時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為ymin=；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。5）如圖4，當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)，y取最小值，最小值為ymin=ax12+bx1+c；當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。例1.（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）已知拋物線．(1)若點(diǎn)在此拋物線函數(shù)圖象上，當(dāng)時(shí)，試說明；(2)當(dāng)時(shí)該拋物線的最小值是，求b值．【答案】(1)見解析(2)或【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可得，，由得到，即可證明結(jié)論；（2）由可知，拋物線開口向上，拋物線的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為，根據(jù)對(duì)稱軸的位置分析即可得到答案．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在拋物線上．∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴拋物線開口向上，拋物線的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為，當(dāng)，時(shí)，y的最小值為，則，解得，當(dāng)時(shí)，，不滿足，舍去，當(dāng)時(shí)，，滿足，符合題意，當(dāng)時(shí)，時(shí)，y的最小值為，則，解得，∵，∴不滿足，舍去，當(dāng)時(shí)，時(shí)，y的最小值為，則，解得，∵，∴滿足題意，綜上可知，的值為或．變式1．（23-24九年級(jí)上·浙江·期中）已知拋物線，為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，且不經(jīng)過第三象限．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值之差為16，則的值為（）A．3 B．1 C．3或1 D．2或6【答案】C【分析】將點(diǎn)代入，得出，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)不經(jīng)過第三象限，則；此時(shí)，最大值與最小值之差為25；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)不經(jīng)過第三象限，則，得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值；當(dāng)最大值時(shí)，；當(dāng)最大值時(shí)，；即可求解．【詳解】解：將點(diǎn)代入，得，則；，對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)不經(jīng)過第三象限，則；此時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值是0，最大值是25，最大值與最小值之差為25；（舍去）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)不經(jīng)過第三象限，則△，，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值；函數(shù)的最大值與最小值之差為16，當(dāng)最大值時(shí)，，或，，；當(dāng)最大值時(shí)，，或，，．綜上所述，的值為1或3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論解題是關(guān)鍵．變式2．（22-23九年級(jí)上·浙江·期中）已知函數(shù)（b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，若y的最大值與最小值之和為2，則m的值為（

）A．或B．或C．或D．【答案】C【分析】將點(diǎn)代入即可求得b的值，進(jìn)而求得拋物線的最大值，結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分類討論得出m的取值范圍即可．【詳解】把代入，得，∴，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值為6；①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，y有最小值為，當(dāng)時(shí)，y有最大值為∵y的最大值與最小值之和為2，∴，∴或(舍去)。②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，y有最大值為6，∵y的最大值與最小值之和為2，∴y最小值為，∴或舍去)綜上所述：或故選：C【點(diǎn)睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確分類討論得出m的取值范圍．題型6.二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問題二次函數(shù)中的動(dòng)態(tài)問題解題步驟：1）讀題，辨析是遞進(jìn)關(guān)系還是并列關(guān)系；2）確定動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線背景，確定動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)以及它們之間的關(guān)系，動(dòng)點(diǎn)在什么圖形上運(yùn)動(dòng)（直線、射線、折線、三角形、四邊形等）；3）分類，確定分類依據(jù)，從特殊位置人手確定自變量范圍，找不變或相等關(guān)系（全等、相似、面積、勾股底或高為定長(zhǎng)、定角等），動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)構(gòu)成的圖形要逐一分析；4）作圖，要作出每個(gè)狀態(tài)的典型圖形；5）函數(shù)或方程，通過位置關(guān)系建立起數(shù)量關(guān)系；6）看臨界，要考慮臨界狀態(tài)能否成立的情況。例1.（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，過點(diǎn)作，垂足為．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，的面積為，若與的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示，則的值為（

）

A．54 B．52 C．50 D．48【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，在圖中表示出來(lái)，設(shè)，在直角三角形中，找到等量關(guān)系，求出未知數(shù)的值，得到的值．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，由題意可知，，在中，由勾股定理得，設(shè)，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，即，解得，，，當(dāng)時(shí)，由題意可知，，設(shè)，，在中，由勾股定理得，在中由勾股定理得，中，由勾股定理得，即，

解得，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，根據(jù)勾股定理列出等式是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想解題．變式1．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度沿折線向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為個(gè)平方單位，則下列正確表示與函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)已知條件得出是等邊三角形，進(jìn)而證明得出，當(dāng)時(shí)，在上，當(dāng)時(shí)，在上，根據(jù)三角形的面積公式得到函數(shù)關(guān)系式，【詳解】解：如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上，菱形中，，，

∴，則是等邊三角形，∴，∵，∴，又∴∴∴，∴當(dāng)時(shí)，在上，∴，綜上所述，時(shí)的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象是直線的一部分，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023年遼寧省盤錦市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B、C在x軸的正半軸上，，．點(diǎn)M在菱形的邊和上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，C重合），過點(diǎn)M作軸，與菱形的另一邊交于點(diǎn)N，連接，，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，的面積為y，則下列圖象能正確反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（

）

A．

B．C．D．

【答案】A【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出各點(diǎn)坐標(biāo)，分M的橫坐標(biāo)x在，，之間三個(gè)階段，用含x的代數(shù)式表示出的底和高，進(jìn)而求出分段函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式判斷圖象即可．【詳解】解：菱形的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B、C在x軸的正半軸上，，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得：，解得，直線的解析式為．軸，N的橫坐標(biāo)為x，（1）當(dāng)M的橫坐標(biāo)x在之間時(shí)，點(diǎn)N在線段上，中上的高為，，，，該段圖象為開口向上的拋物線；（2）當(dāng)M的橫坐標(biāo)x在之間時(shí)，點(diǎn)N在線段上，中，上的高為，，該段圖象為直線；（3）當(dāng)M的橫坐標(biāo)x在之間時(shí)，點(diǎn)N在線段上，中上的高為，由，可得直線的解析式為，，，，，該段圖象為開口向下的拋物線；觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)A滿足條件，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，涉及坐標(biāo)與圖形，菱形的性質(zhì)，二次函數(shù)、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是分段求出函數(shù)解析式．考點(diǎn)二：二次函數(shù)與不等式、方程1）二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。（2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。（3）①b2–4ac>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；②b2–4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；③b2–4ac<0?方程沒有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。2）二次函數(shù)與不等式的關(guān)系（以a>0為例）:b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0圖象與x軸交點(diǎn)2個(gè)交點(diǎn)1個(gè)交點(diǎn)0個(gè)交點(diǎn)ax2＋bx＋c>0的解集情況x<x1或x>x2取任意實(shí)數(shù)ax2＋bx＋c<0的解集情況x1<x<x2無(wú)解無(wú)解題型1.二次函數(shù)與圖象變換（1）二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)拋物線y=a(x-h)2+k，繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°變?yōu)椋簓=-a(x-h)2+k；繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°變?yōu)椋簓=-a(x+h)2-k；沿x軸翻折變?yōu)椋簓=-a(x-h)2-k；沿y軸翻折變?yōu)椋簓=a(x+h)2+k；（2）二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點(diǎn)間的平移，可根據(jù)頂點(diǎn)之間的平移求出變化后的解析式．例1．（2021·江蘇蘇州·中考真題）已知拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值是（

）A．或2 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可．【詳解】解：函數(shù)向右平移3個(gè)單位，得：；再向上平移1個(gè)單位，得：+1，∵得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)∴+1即解得：或∵拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)∴＞0∴＜0∴故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．變式1．（2023·湖南岳陽(yáng)·一模）若將拋物線F：圖象位于y軸右側(cè)的部分沿著直線l：翻折，其余部分保持不變，組成新圖形H，點(diǎn)為圖形H上兩點(diǎn)，若，則m的取值范圍是（

）A．或B．C．D．或【答案】C【分析】求得的對(duì)稱軸為，與軸交點(diǎn)為，分當(dāng)時(shí)，即對(duì)稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)時(shí)，即對(duì)稱軸為軸；當(dāng)時(shí)，即對(duì)稱軸在軸又側(cè)時(shí)進(jìn)行討論即可求解．【詳解】解：的對(duì)稱軸為：，與軸交點(diǎn)為：，關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為當(dāng)時(shí)，即對(duì)稱軸在軸左側(cè)，如圖：點(diǎn)為圖形H上兩點(diǎn)，且，則位于直線下方，位于直線上方，則的水平距離大于，，解得：；

當(dāng)時(shí)，即對(duì)稱軸為軸，如圖：點(diǎn)為圖形H上兩點(diǎn)，恒成立，當(dāng)時(shí)，即對(duì)稱軸在軸又側(cè)，如圖：與軸交點(diǎn)為：，關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)為圖形H上兩點(diǎn)，且則位于直線下方，位于直線上方，則的水平距離大于，，解得：；綜上所述：；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，翻折的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性，正確作圖分析．變式2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線分別與y軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)F在點(diǎn)E的上方，．(1)分別求點(diǎn)E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)（用含m，n的代數(shù)式表示），并寫出m的取值范圍；(2)求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)m，縱坐標(biāo)n之間的數(shù)量關(guān)系．（用含m的代數(shù)式表示n）；(3)將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，E，F(xiàn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是，．當(dāng)線段與點(diǎn)B所在的某個(gè)函數(shù)圖象有公共點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍．

【答案】(1)，，(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)直線與y軸交于E，得到，根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求得，得到，設(shè)直線的解析式為，將，代入得解方程即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)n與m的關(guān)系式為，得到在函數(shù)的圖象上，由旋轉(zhuǎn)得，，當(dāng)在點(diǎn)B所在的函數(shù)圖象上時(shí)，解方程得到，根據(jù)線段與點(diǎn)B所在的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)，列不等式組即可得到結(jié)論．【詳解】（1）由直線與y軸交于E，得，∵點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，∴，由直線與y軸交于點(diǎn)F，得，即，綜上所述，，設(shè)直線對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式為，將，代入，得：，解得，∴，同理；由點(diǎn)F在點(diǎn)E上邊知:，且，∴，即；

（2）由題意得，，整理得，；（3）∵n與m的關(guān)系式為，∴在函數(shù)的圖象上，由旋轉(zhuǎn)得，，當(dāng)在點(diǎn)B所在的函數(shù)圖象上時(shí)，，解得，∵線段與點(diǎn)B所在的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)，∴或，由旋轉(zhuǎn)得，且；∵或．∵，∴或．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確地求得n與m的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．題型2.二次函數(shù)與零點(diǎn)（圖象交點(diǎn)）1.二次函數(shù)和線段的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：（1）代數(shù)法：①聯(lián)立二次函數(shù)和線段所在直線的表達(dá)式，根據(jù)根的判別式Δ=b2-4ac求參數(shù)；②將線段端點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)求得參數(shù)，并判斷參數(shù)的取值范圍。（2）圖象法：運(yùn)用畫草圖的方法判斷，我們常常會(huì)用到數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想。二次函數(shù)的圖象是拋物線，因此判斷函數(shù)的增減性時(shí)要結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸來(lái)分析判斷。2.已知拋物線與直線(線段)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，求拋物線中參數(shù)的取值范圍。此類問題通常需要根據(jù)所畫的直線(或線段)結(jié)合拋物線大致形狀(一般會(huì)分開口向上和向下兩種情況，找到滿足題意的每種臨界情況(例如：拋物線分別經(jīng)過線段的兩個(gè)端點(diǎn)或與線段相切)，解出每種臨界情況下參數(shù)的值后,結(jié)合圖象和參數(shù)的意義，最終確定參數(shù)的取值范圍。例1．（2023·江蘇泰州·中考真題）二次函數(shù)的圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)在y軸右側(cè)，則n的值可以是（填一個(gè)值即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為、，即二元一次方程的根為、，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，，一次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)在軸右側(cè)，，為異號(hào)，，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，根與系數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是根與系數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用．變式1．（2022·江蘇無(wú)錫·中考真題）把二次函數(shù)y=x2+4x+m的圖像向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，如果平移后所得拋物線與坐標(biāo)軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么m應(yīng)滿足條件：．【答案】m>3【分析】先求得原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，m-4），再求得平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m-3），根據(jù)題意得到不等式m-3>0，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，m-4），函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），∵平移后所得拋物線與坐標(biāo)軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴m-3>0，解得：m>3，故答案為：m>3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解決本題的關(guān)鍵是得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．變式2．（2023·江蘇揚(yáng)州·二模）關(guān)于的一元二次方程（為實(shí)數(shù)）有且只有一個(gè)根在的范圍內(nèi)，則的取值范圍是（

）A．B．或C．或D．【答案】C【分析】由題意得出原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，進(jìn)而分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，得出，進(jìn)而求出方程的解，判斷即可得出結(jié)論，②當(dāng)時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得，，解得：．分類討論：①當(dāng)時(shí)，即，∴原方程為，解得：，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)．∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∵該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，且有且只有一個(gè)根在的范圍內(nèi)，∴在平面直角坐標(biāo)系中畫出大致函數(shù)圖象，如圖所示，觀察圖象可知，當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根分別為，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根分別為，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根都在范圍內(nèi)，不滿足題意．綜上可知，滿足條件的t的范圍為或，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是樹立數(shù)形結(jié)合思想，利用二次函數(shù)圖象解決一元二次方程根的問題．題型3.二次函數(shù)與整點(diǎn)二次函數(shù)背景下的整點(diǎn)問題:不僅能考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，而且還能考查同學(xué)們的動(dòng)手畫圖能力，推理能力,直觀想象能力，同時(shí)這類題還滲透了數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、極限思想，能極好得培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。例1．（22-23九年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)．對(duì)于題目：拋物線與軸分別交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），，線段與拋物線圍成的封閉區(qū)域記作（包括邊界），若區(qū)域內(nèi)有6個(gè)整點(diǎn)，求的取值范圍．則（

）A．B．C．或D．或【答案】C【分析】先求出對(duì)稱軸，再根據(jù)，求出，的坐標(biāo)，可得到，從而得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再分兩種情況討論的取值范圍即可．【詳解】解：，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∴，∴令，則，∴，∴，即，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴線段上有3個(gè)整點(diǎn)，∵區(qū)域內(nèi)有6個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，綜上所述，的取值范圍為或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類求解．變式1．（23-24九年級(jí)上·山東淄博·期末）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)滿足橫，縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)叫做“整點(diǎn)”，如：，都是“整點(diǎn)”．拋物線（是常數(shù)，且）與軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，若該拋物線在，之間的部分與線段所圍成的區(qū)域（包括邊界）恰有6個(gè)“整點(diǎn)”，則的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．首先將二次函數(shù)的表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，可以直接得到點(diǎn)，，，必在所要求的區(qū)域內(nèi)，然后向外擴(kuò)充2個(gè)“整點(diǎn)”，通過圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)判斷區(qū)域內(nèi)“整點(diǎn)”個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出的取值范圍．【詳解】解：由已知可得，函數(shù)的頂點(diǎn)是，，點(diǎn)，，，四點(diǎn)必在拋物線在，之間部分與線段所圍成的區(qū)域（包括邊界）內(nèi)，當(dāng)點(diǎn)在邊界上時(shí)，，由拋物線的對(duì)稱性可知，圖象過，此時(shí)區(qū)域內(nèi)有6個(gè)“整點(diǎn)”，當(dāng)點(diǎn)在邊界上時(shí)，，由拋物線的對(duì)稱性可知，圖象過，此時(shí)區(qū)域內(nèi)有8個(gè)“整點(diǎn)”，不符合題意，當(dāng)時(shí)，該拋物線在，之間的部分與線段所圍成的區(qū)域（包括邊界）恰有6個(gè)“整點(diǎn)”．故選：D．變式2．（2023年湖南省益陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與拋物線交于B，C兩點(diǎn)（B在C的左邊）．(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A，，C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；(3)定義：將平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫作格點(diǎn)，如，等均為格點(diǎn)．如圖2，直線l與拋物線E所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點(diǎn)數(shù)恰好是26個(gè)，求a的取值范圍．

【答案】(1)(2)或；(3)或．【分析】（1）對(duì)于直線，令，求出x，即可求解；（2）表示出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，利用勾股定理解方程求解，注意直角頂點(diǎn)不確定，需分類討論；（3）直線與拋物線所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點(diǎn)只能落在軸和直線上，各為13個(gè)，分別求出的范圍．【詳解】（1）解：對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：聯(lián)立直線與拋物線得：，，或，，，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，，，，，若，則，即，所以，若，則，即，所以，若，則，即，此方程無(wú)解．或；（3）解：如圖，直線與拋物線所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點(diǎn)只能落在軸和直線上，，，，，

格點(diǎn)數(shù)恰好是26個(gè)，落在軸和直線上的格點(diǎn)數(shù)應(yīng)各為13個(gè)，落在軸的格點(diǎn)應(yīng)滿足，即，①若，即，所以線段上的格點(diǎn)應(yīng)該為，，，，②若，，，所以線段上的格點(diǎn)正好13個(gè)，綜上，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是弄清格點(diǎn)只能落在軸和直線上，各為13個(gè)，并對(duì)點(diǎn)、進(jìn)行定位．題型4.二次函數(shù)與方程、不等式1）一元二次方程ax2＋bx＋c=n的解的幾何意義將“=”左邊的部分看作拋物線y=ax2＋bx＋c，“=”右邊的部分看作水平直線y=n,則方程ax2＋bx＋c=n即在兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo),所以交點(diǎn)橫坐標(biāo)的值就是方程的解。2）ax2＋bx＋c>kx+m的解表示：拋物線y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象在直線y=kx+m上方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意。3）ax2＋bx＋c<kx+m的解表示：拋物線y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象在直線y=kx+m下方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意。例1.（2023·江蘇泰州·中考真題）閱讀下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小麗學(xué)習(xí)了方程、不等式、函數(shù)后提出如下問題：如何求不等式的解集？通過思考，小麗得到以下3種方法：方法1

方程的兩根為，，可得函數(shù)的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為、，畫出函數(shù)圖像，觀察該圖像在x軸下方的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的范圍是不等式的解集．方法2

不等式可變形為，問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)與的圖像關(guān)系．畫出函數(shù)圖像，觀察發(fā)現(xiàn)：兩圖像的交點(diǎn)橫坐標(biāo)也是、3；的圖像在的圖像下方的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的范圍是該不等式的解集．方法3

當(dāng)時(shí)，不等式一定成立；當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?；?dāng)時(shí)，不等式變?yōu)椋畣栴}轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)與的圖像關(guān)系…任務(wù)：(1)不等式的解集為_____________；(2)3種方法都運(yùn)用了___________的數(shù)學(xué)思想方法（從下面選項(xiàng)中選1個(gè)序號(hào)即可）；A.分類討論

B.轉(zhuǎn)化思想

C.特殊到一般

D.數(shù)形結(jié)合(3)請(qǐng)你根據(jù)方法3的思路，畫出函數(shù)圖像的簡(jiǎn)圖，并結(jié)合圖像作出解答．【答案】(1)(2)D(3)圖像見解析，不等式的解集為【分析】（1）如圖1，作的圖像，由方法1可知，不等式的解集為；（2）由題意知，3種方法都運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法；（3）如圖2，作函數(shù)與的圖像，由圖像可得，的解集為，或，進(jìn)而可得的解集．【詳解】（1）解：如圖1，作的圖像，

由方法1可知，不等式的解集為，故答案為：；（2）解：由題意知，3種方法都運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，故選：D；（3）解：如圖2，作函數(shù)與的圖像，由圖像可得，的解集為，或，綜上，的解集為．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合求一元二次不等式的解集，作二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像．解題的關(guān)鍵在于理解題意并正確的作函數(shù)圖象．變式1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像相交于兩點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】或【分析】由，得，根據(jù)圖像找到二次函數(shù)在一次函數(shù)圖像上方的部分對(duì)應(yīng)的x的范圍即可．此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，熟練掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，掌握“圖像在下方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)值較小”是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】由，得，∴，由圖可知關(guān)于的不等式的解集為：或，∴關(guān)于的不等式的解集為：或，故答案為：或．變式2．（2021·江蘇泰州·中考真題）二次函數(shù)y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a為常數(shù)）圖象的頂點(diǎn)在y軸右側(cè)．（1）寫出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；（2）該二次函數(shù)表達(dá)式可變形為y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；（3）若點(diǎn)A（m，n）在該二次函數(shù)圖象上，且n＞0，過點(diǎn)（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在x軸下方，求a的范圍．【答案】（1）；（2）p=-1；（3）1＜2．【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得答案；（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；（3）利用（2）的結(jié)果可得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)在y軸右側(cè)，過點(diǎn)（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在x軸下方可得關(guān)于a的不等式，解不等式即可得答案．【詳解】（1）∵二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x2+（a﹣1）x+a，∴頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為=．（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a==﹣（x﹣p）（x﹣a），∴p=-1．（3）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（a，0），∵-1＜0，∴該二次函數(shù)的圖象開口向下，∵圖象的頂點(diǎn)在y軸右側(cè)，∴＞0，∴，∵點(diǎn)A（m，n）在該二次函數(shù)圖象上，且n＞0，∴-1＜m＜a，∵過點(diǎn)（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在x軸下方，∴≤3，解得：，∴a的范圍為1＜≤2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)、因式分解及解一元一次不等式，熟練掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式是解題關(guān)鍵．專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·陜西·?？级＃┮阎獟佄锞€的頂點(diǎn)為A，拋物線與拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，若拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，則m的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出二次函數(shù)解析式，把的坐標(biāo)代入即可解得的值．【詳解】解：拋物線，頂點(diǎn)，拋物線與拋物線關(guān)于成中心對(duì)稱，拋物線的開口大小相同，方向相反，頂點(diǎn)為∴的解析式是：，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，解得，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，表示出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的母線長(zhǎng)為l，滿足2r+l＝6，這樣的圓錐的側(cè)面積（

）A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π【答案】C【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)＝πrl，利用配方法整理得出，S側(cè)＝﹣2π(r﹣)2+π，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵2r+l＝6，∴l(xiāng)＝6﹣2r，∴圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，∴當(dāng)r＝時(shí)，S側(cè)有最大值．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算,二次函數(shù)的最值,圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).熟記圓錐的側(cè)面積:是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東濟(jì)南·二模）如圖，拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)P，將拋物線沿著射線平移個(gè)單位，在整個(gè)平移過程中，點(diǎn)P經(jīng)過的路程為（

）

A．6 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得由題意得，當(dāng)拋物線沿著射線平移個(gè)單位時(shí)，相當(dāng)于將點(diǎn)A先向右平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，設(shè)拋物線向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，則平移后的解析式為，再根據(jù)點(diǎn)P在直線，直接把代入得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與a的二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由題意得，當(dāng)拋物線沿著射線平移個(gè)單位時(shí)，相當(dāng)于將點(diǎn)A先向右平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，設(shè)拋物線向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，∵原拋物線解析式為，∴平移后的解析式為令時(shí)，則，∴當(dāng)時(shí)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，在平移過程中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為，當(dāng)時(shí)，在平移過程中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為，∴整個(gè)平移過程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平移的性質(zhì)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建二次函數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．4.（2023年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)真題）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）（多選題）A．拋物線的開口向下B．拋物線的對(duì)稱軸是C．拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根【答案】BC【分析】將點(diǎn)代入可求出二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：將點(diǎn)代入得：，解得，，拋物線的開口向上，拋物線的對(duì)稱軸是，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；方程的根的判別式，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，選項(xiàng)C正確；由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，這個(gè)拋物線的開口向上，且當(dāng)時(shí)，取得最小值，∴當(dāng)時(shí)，與沒有交點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程沒有實(shí)根，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：BC．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2023·貴州銅仁·三模）將拋物線的圖象位于直線以上的部分向下翻折，得到如圖圖象，若直線與此圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，可發(fā)現(xiàn)，若直線與新函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，可以有兩種情況：①直線經(jīng)過對(duì)折點(diǎn)（即右邊的對(duì)折點(diǎn)），可將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式中，即可求出的值；②若直線與新函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，那么當(dāng)直線與該二次函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，恰好滿足這一條件，那么聯(lián)立直線與該二次函數(shù)的解析式，可化為一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，那么該方程的判別式，根據(jù)這一條件可確定的取值．【詳解】解：令，則，解得或2，，平移直線知：直線位于和時(shí)，它與新圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)．①當(dāng)直線位于時(shí)，此時(shí)過點(diǎn)，，即．②當(dāng)直線位于時(shí)，此時(shí)與函數(shù)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，方程，即有兩個(gè)相等實(shí)根，，即．由①②知若直線與新圖象只有四個(gè)交點(diǎn)，的取值范圍為；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換、一次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)以及根據(jù)值域確定二次函數(shù)參數(shù)取值范圍的問題，綜合性強(qiáng)，難度較大．6．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，在中，，，與在同一條直線上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合．以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段所在直線向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，與重疊部分的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分，，三種情況，分別求出函數(shù)解析即可判斷．【詳解】解：過點(diǎn)D作于H，，，∵，，∴，∴當(dāng)時(shí)，如圖，重疊部分為，此時(shí)，，∴，∴，即，∴∴；當(dāng)時(shí)，如圖，重疊部分為四邊形，此時(shí)，，

∴，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴；當(dāng)時(shí)如圖，重疊部分為四邊形，此時(shí)，，∴，∵，∴，∴，即∴，綜上，，∴符合題意的函數(shù)圖象是選項(xiàng)A．故選：A．【點(diǎn)睛】此題結(jié)合圖像平移時(shí)面積的變化規(guī)律，考查二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，根據(jù)平移點(diǎn)的特點(diǎn)列出函數(shù)表達(dá)式是關(guān)鍵，有一定難度．7．（2023·湖南岳陽(yáng)·一模）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，則的最大值為（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】由二次函數(shù)解析式求出對(duì)稱軸，分類討論拋物線開口向下及開口向上的的取值范圍，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可．【詳解】解：拋物線的對(duì)稱軸為直線：，①當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，∵時(shí)，y隨x的增大而減小，∴，即．解得，∴，∵，∴．②當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，∵時(shí)，y隨x的增大而減小，∴，即，解得，∴，∵，當(dāng)時(shí)，有最大值，∵，∴此情況不存在．綜上所述，最大值為8．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．8．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過三點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線．有以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)，時(shí)，有；④對(duì)于任何實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中結(jié)論正確的有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為，且過，結(jié)合拋物線的對(duì)稱軸即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，且圖像經(jīng)過，∴，即，∴點(diǎn)在拋物線上，∴，故結(jié)論①正確；由結(jié)論①正確可得，，且，則∴，則，故結(jié)論②正確；∵當(dāng)，時(shí)，∴點(diǎn)離對(duì)稱軸更近，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故結(jié)論③錯(cuò)誤；由得，，∵結(jié)論①正確可得，，結(jié)論②正確可得，，∴，，∴，整理得，，∵，∴，∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故結(jié)論④正確；綜上所述，正確的有，個(gè)，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的特征，由對(duì)稱軸確定系數(shù)的關(guān)系，掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．9．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）直線和拋物線在同一坐標(biāo)系中的位置如圖所示，那么不等式的解集是．【答案】或【分析】本題考查了根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集，旨在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，將不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．【詳解】由題意得：不等式表示直線在拋物線下方的部分，∵兩圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，∴不等式的解集是：或故答案為：或10．（2022·江蘇南京·中考真題）已知二次函數(shù)（、為常數(shù)，）的最大值為2，寫出一組符合條件的和的值：．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)最值公式得到，即可得到，據(jù)此寫出一組符合條件的a和c的值即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的最大值為2，∴，∴，故時(shí)，，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，熟知二次函數(shù)的最值公式是解題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇徐州·中考真題）若二次函數(shù)的圖象上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于m，則m的值為．【答案】4【分析】由拋物線解析式可得拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)為（1，-4），由圖象上恰好只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離為m可得m=4．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向上，拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)為（1，-4），∴頂點(diǎn)到x軸的距離為4，∵函數(shù)圖象有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離為m，∴m=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵．12．（2021·江蘇南通·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，且實(shí)數(shù)m，n滿足，則點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的最小值為．【答案】【分析】由已知得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，求得PO=，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，∴PO=，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值為，∴PO的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．13．（2020·江蘇南京·中考真題）下列關(guān)于二次函數(shù)（為常數(shù)）的結(jié)論，①該函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象形狀相同；②該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小；④該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，其中所有正確的結(jié)論序號(hào)是．【答案】①②④【分析】①兩個(gè)二次函數(shù)可以通過平移得到，由此即可得兩個(gè)函數(shù)的圖象形狀相同；②求出當(dāng)時(shí)，y的值即可得；③根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可得；④先求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再代入函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證即可得．【詳解】當(dāng)時(shí)，將二次函數(shù)的圖象先向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到二次函數(shù)的圖象；當(dāng)時(shí)，將二次函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到二次函數(shù)的圖象該函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象形狀相同，結(jié)論①正確對(duì)于當(dāng)時(shí)，即該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)，結(jié)論②正確由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小則結(jié)論③錯(cuò)誤的頂點(diǎn)坐標(biāo)為對(duì)于二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，即該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，結(jié)論④正確綜上，所有正確的結(jié)論序號(hào)是①②④故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．（2024·江蘇連云港·一模）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，二次函數(shù)滿足，則的值是．【答案】9【分析】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練的利用特值法是解本題的關(guān)鍵；由題意可得，可令即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，令，有，∴，∴答案是：9．15．（2024·江蘇無(wú)錫·一模）當(dāng)時(shí)，函數(shù)(a為常數(shù)，且a小于0)的圖象在軸上方，則的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠求出時(shí)y的最小值．先求出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，再先求出y的最小值，令最小值大于0即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為：．∵，∴拋物線開口向下，又，，時(shí)，y取最小值，最小值為：，圖象在軸上方，，解得，；故答案為：．16．（23-24九年級(jí)·湖北荊州·階段練習(xí)）我們約定：（a，b，c）為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)數(shù)”，當(dāng)其圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)時(shí)，該交點(diǎn)為“整交點(diǎn)”．若關(guān)聯(lián)數(shù)為的函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)整交點(diǎn)（m為正整數(shù)），則這個(gè)函數(shù)圖象上整交點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】（1，0）、（3，0）、（0，3）【分析】根據(jù)題意令，將關(guān)聯(lián)數(shù)代入函數(shù)，則有，利用求根公式可得m，將m代入可得函數(shù)圖象與x軸的整交點(diǎn)坐標(biāo)；令，可得，即得這個(gè)函數(shù)圖象與y軸的整交點(diǎn)的坐標(biāo)（0，3）．【詳解】解：根據(jù)題意，令，將關(guān)聯(lián)數(shù)代入函數(shù)，則有，，∴有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m≠3，由求根公式可得，∴，，∵m為正整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)符合題意，此時(shí)；所以這個(gè)函數(shù)圖象與x軸的整交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），（1，0）；令，可得，即得這個(gè)函數(shù)圖象與y軸的整交點(diǎn)的坐標(biāo)（0，3）．綜上所述，這個(gè)函數(shù)圖象上整交點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）、（3，0）、（0，3）．故答案為：（1，0）、（3，0）、（0，3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，理解“關(guān)聯(lián)數(shù)”的定義是解答此題的關(guān)鍵．17．（2024·江蘇無(wú)錫·一模）在平面直角坐標(biāo)系中為，拋物線（、為常數(shù)）的對(duì)稱軸為直線，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)、點(diǎn)均在這個(gè)拋物線上（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．將此拋物線上兩點(diǎn)之間的部分（含兩點(diǎn)）記為圖象．①當(dāng)點(diǎn)在軸上方，圖象的最高與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)差為6時(shí)，求的值；②設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到線段，連接，當(dāng)（不含內(nèi)部）和二次函數(shù)在范圍上的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)①；②；【分析】本題考查待定系數(shù)法求解析式及二次函數(shù)最值、與線段交點(diǎn)問題：（1）將對(duì)稱軸及點(diǎn)代入求解即可得到答案；（2）①先求出二次函數(shù)與軸交點(diǎn)，分點(diǎn)在對(duì)稱軸左邊，對(duì)稱軸右邊兩類討論，根據(jù)最高與最低點(diǎn)的距離列式即可得到答案；②根據(jù)，，表示出，結(jié)合只有一個(gè)交點(diǎn)列式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，解得：，，∴；（2）解：①當(dāng)時(shí)，，解得：，，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸左邊時(shí)，即時(shí)，∵，∴此時(shí)最高點(diǎn)為對(duì)稱軸所在點(diǎn)，最低點(diǎn)為點(diǎn)，∵最高與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)差為6，∴，解得：（不符合題意舍去），；當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸右邊時(shí)，即，∵，∴此時(shí)最高點(diǎn)為A點(diǎn)，最低點(diǎn)為點(diǎn)，∵最高與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)差為6，∴，解得：（不符合題意舍去）；綜上所述：；②∵，點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到線段，（不含內(nèi)部）和二次函數(shù)在范圍上的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，∴點(diǎn)D在軸下方，E在頂點(diǎn)下方，且與拋物線交于一點(diǎn)，與拋物線交于一點(diǎn)此時(shí)，即，∴，解得：，∴，，，解得：．18．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形中，軸，軸（在的右側(cè)、在的下方），點(diǎn)在二次函數(shù)（為常數(shù)，且）的圖像上．(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為①求二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)坐標(biāo)；②判斷二次函數(shù)圖像與邊是否相交，并說明理由；(2)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且二次函數(shù)的圖像與邊相交，求的范圍；(3)在（2）的條件下，若二次函數(shù)在正方形內(nèi)（包括邊界）的部分函數(shù)最小值為，求的范圍．【答案】(1)①②不相交，理由見解析(2)(3)【分析】（1）①將A點(diǎn)坐代入解析式直接求出；②求出點(diǎn)C坐標(biāo)，代入橫坐標(biāo)，判斷函數(shù)值是否等于點(diǎn)C的縱坐標(biāo)即可．（2）求出P、D、C三點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)P點(diǎn)要處在C、D之間列出不等式組即可解決問題．（3）對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最小值為，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的值為，由此列出關(guān)系式，即可解決問題．再結(jié)合（2）的結(jié)果確定m的范圍．【詳解】（1）解：①把代入，得：，解得，∴拋物線的解析式為：，∴，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；②∵正方形的邊長(zhǎng)為1，且，∴，∴∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，，所以，二次函數(shù)圖像與邊不相交；（2）解：如圖，∵A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，正方形邊長(zhǎng)為1，∴，，，，，∵，解得：，∵，解得：，綜上所述，．（3）解：∵對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最小值為，∴，∴．∴，由圖象可知點(diǎn)P不在y軸上，∴，∴由（2）可知，且，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了待定