查補重難點04 二次函數圖象與性質的運用（解析版）

查補重難點04.二次函數圖象與性質的運用考點一：二次函數圖象與性質二次函數的圖象與性質解析式二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）對稱軸與頂點對稱軸：直線x=–；頂點坐標：（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當x=–時，y最小值=。當x=–時，y最大值=。增減性當x<–時，y隨x的增大而減小；當x>–時，y隨x的增大而增大。當x<–時，y隨x的增大而增大；當x>–時，y隨x的增大而減小。題型1.二次函數圖象與a、b、c的關系1）拋物線開口的方向可確定a的符號：拋物線開口向上，a＞0；拋物線開口向下，a＜02）對稱軸可確定b的符號（需結合a的符號）：對稱軸在x軸負半軸，則ab＞0；對稱軸在x軸正半軸，則ab＜0（即：左同右異）3）與y軸交點可確定c的符號：交于y軸負半軸，則c＜0；交于y軸正半軸，則c＞04）特殊函數值符號（以x=1的函數值為例）：若當x=1時，若對應的函數值y在x軸的上方，則a+b+c＞0；若對應的函數值y在x軸上方，則a+b+c=0；若對應的函數值y在x軸的下方，則a+b+c＜0；例1.（2021·江蘇宿遷·中考真題）已知二次函數的圖像如圖所示，有下列結論：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集為1≤＜3，正確的結論個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據拋物線的開口方向、于x軸的交點情況、對稱軸的知識可判①②③的正誤，再根據函數圖象的特征確定出函數的解析式，進而確定不等式，最后求解不等式即可判定④．【詳解】解：∵拋物線的開口向上，∴a＞0，故①正確；∵拋物線與x軸沒有交點∴＜0，故②錯誤∵由拋物線可知圖象過（1,1），且過點（3,3）∴8a+2b=2∴4a+b=1，故③錯誤；由拋物線可知頂點坐標為（1,1），且過點（3,3）則拋物線與直線y=x交于這兩點∴＜0可化為，根據圖象，解得：1＜x＜3故④錯誤．故選A．【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的特征以及解不等式的相關知識，靈活運用二次函數圖象的特征成為解答本題的關鍵．變式1．（2023年湖北省黃岡市中考數學真題）已知二次函數的圖象與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列論中：①；②若點均在該二次函數圖象上，則；③若m為任意實數，則；④方程的兩實數根為，且，則．正確結論的序號為（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④【答案】B【分析】將代入，可判斷①；根據拋物線的對稱軸及增減性可判斷②；根據拋物線的頂點坐標可判斷③；根據的圖象與x軸的交點的位置可判斷④．【詳解】解：將代入，可得，故①正確；二次函數圖象的對稱軸為直線，點到對稱軸的距離分別為：4，1，3，，圖象開口向下，離對稱軸越遠，函數值越小，，故②錯誤；二次函數圖象的對稱軸為直線，，又，，，當時，y取最大值，最大值為，即二次函數的圖象的頂點坐標為，若m為任意實數，則故③正確；二次函數圖象的對稱軸為直線，與x軸的一個交點坐標為，與x軸的另一個交點坐標為，的圖象向上平移一個單位長度，即為的圖象，的圖象與x軸的兩個交點一個在的左側，另一個在的右側，若方程的兩實數根為，且，則，故④正確；綜上可知，正確的有①③④，故選B．【點睛】本題考查根據二次函數圖象判斷式子符號，二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是掌握二次函數與一元二次方程的關系，熟練運用數形結合思想．變式2．（23-24九年級·江蘇宿遷·階段練習）已知二次函數的圖象與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列結論中：①；②若點，，均在該二次函數圖象上，則；③若為任意實數，則；④若且，則；⑤方程的兩實數根為，，且，則，．其中正確的結論個數是()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由該拋物線經過點即可判斷結論①；由各點到拋物線對稱軸的距離大小即可判斷結論②；由當時函數值取最大值，即可判斷結論③；由對稱軸為直線，即可判斷結論④；由拋物線的對稱軸可得該拋物線與軸的交點坐標，即可判斷結論⑤．【詳解】解：如下圖，∵二次函數的圖象與軸的一個交點坐標為∴當時，可有，故結論①正確；∵，∴該二次函數的圖象開口向下，∴函數圖象上的點距離對稱軸越遠，函數值越小，∵對稱軸為，∵，，，又∵，∴，故結論②錯誤；∵該函數圖像的對稱軸，∴，∵，即，∴，∵該二次函數的圖象開口向下，∴當時，該函數取最大值，∴為任意實數，可有，即，故結論③正確；∵若且，即有，∵函數圖象的對稱軸為，∴，即，故結論④錯誤；∵方程的兩實數根為，，∴拋物線與直線的交點的橫坐標為，，由拋物線的對稱性可知該拋物線與軸的另一交點為，即該拋物線與軸的交點為，，∵該拋物線開口向下，，∴，，故結論⑤正確．綜上所述，結論正確的有①③⑤，共計3個．故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象與性質、二次函數圖象與系數的關系、二次函數與方程和不等式的關系、利用不等式求自變量或函數值的范圍等知識，解題關鍵是運用數形結合的思想分析問題．題型2.二次函數圖象與性質熟練掌握二次函數的圖象與性質，運用相關知識解答即可。例1．（2023·江蘇揚州·中考真題）已知二次函數（a為常數，且），下列結論：①函數圖像一定經過第一、二、四象限；②函數圖像一定不經過第三象限；③當時，y隨x的增大而減??；④當時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結論的序號是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根據二次函數的圖象與性質進行逐一分析即可．【詳解】解：∵拋物線對稱軸為，，∴二次函數圖象必經過第一、二象限，又∵，∵，∴，當時，拋物線與x軸無交點，二次函數圖象只經過第一、二象限，當時，拋物線與x軸有兩個交點，二次函數圖象經過第一、二、四象限，故①錯誤；②正確；∵拋物線對稱軸為，，∴拋物線開口向上，∴當時，y隨x的增大而減小，故③正確；∴當時，y隨x的增大而增大，故④錯誤，故選：B．【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數圖象與各項系數符號之間的關系是解題關鍵．變式1．（2023·江蘇無錫·模擬預測）二次函數，有下列結論：①該函數圖象過定點；②當時，函數圖象與x軸無交點；③函數圖象的對稱軸不可能在y軸的右側；④當時，點是曲線上兩點，若，則．其中，正確結論的序號為．【答案】①②④【分析】本題考查的是二次函數綜合題，解題的關鍵是熟練理解并綜合運用二次函數的各個特征．將拋物線整理為，即可判斷①；將代入并計算即可判斷②；計算拋物線對稱軸并根據可判斷③；根據題意確定對稱軸的范圍后可確定、的位置，根據增減性可判斷④．【詳解】解：，當時，，該函數圖象過定點，故①正確，符合題意；當時，，令，則，，當時，函數圖象與x軸無交點，故②正確，符合題意；拋物線的對稱軸為直線，，，當時，對稱軸在軸左側，當時，對稱軸在右側，故③錯誤，不符合題意；，，，在對稱軸左側，在對稱軸右側，，拋物線開口向上，在對稱軸左側，隨增大而減小，在對稱軸右側，隨增大而增大，當時，，當時，，此時，，，，，故④正確，符合題意；綜上所述，正確的是①②④，故答案為：①②④．題型3.二次函數的增減性與大小比較距離法:對于開口向上的二次函數，自變量到對稱軸的距離越近，函數值越?。粚τ陂_口向下的二次函數，自變量到對稱軸的距離越近，函數值越大.函數增減性法:利用函數的增減性來判斷。如果自變量在對稱軸的同側，可以直接根據函數的增減性判斷函數值的大??；如果自變量在對稱軸的兩側，需要先利用函數的對稱性將自變量轉化到對稱軸的同側再比較大小。例1．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知點在下列某一函數圖像上，且那么這個函數是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】先假設選取各函數，代入自變量求出y1、y2、y3的值，比較大小即可得出答案．【詳解】解：A．把點代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1<y2<y3，這與已知條件不符，故選項錯誤，不符合題意；B．把點代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，這與已知條件不符，故選項錯誤，不符合題意；C．把點代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2<y1<y3，這與已知條件不符，故選項錯誤，不符合題意；D．把點代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，這與已知條件相符，故選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】此題考查一次函數、反比例函數以及二次函數，解題的關鍵是掌握函數值的大小變化和函數性質．變式1．（2024·江蘇淮安·模擬預測）拋物線過四個點，，，，若四個數中有且只有一個大于零，則a的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查二次函數圖象與系數關系，先求出函數對稱軸，再根據對稱性判斷出，再分和兩種情況討論即可．【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線，∴和關于對稱軸對稱，即，∴，若，拋物線開口向下，，則必小于0，不合題意，∴，，∴，解得：．故答案為：．變式2．（2021·江蘇無錫·中考真題）設，分別是函數，圖象上的點，當時，總有恒成立，則稱函數，在上是“逼近函數”，為“逼近區(qū)間”．則下列結論：①函數，在上是“逼近函數”；②函數，在上是“逼近函數”；③是函數，的“逼近區(qū)間”；④是函數，的“逼近區(qū)間”．其中，正確的有（

）A．②③ B．①④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】分別求出的函數表達式，再在各個x所在的范圍內，求出的范圍，逐一判斷各個選項，即可求解．【詳解】解：①∵，，∴，當時，，∴函數，在上不是“逼近函數”；②∵，，∴，當時，，函數，在上是“逼近函數”；③∵，，∴，當時，，∴是函數，的“逼近區(qū)間”；④∵，，∴，當時，，∴不是函數，的“逼近區(qū)間”．故選A【點睛】本題主要考查一次函數與二次函數的性質，掌握一次函數與二次函數的增減性，是解題的關鍵．題型4.二次函數的增減性與最值當自變量的范圍有限制時，二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的最值可以根據以下步驟來確定：（1）配方，求二次函數的頂點坐標及對稱軸。（2）畫出函數圖象，標明對稱軸，并在橫坐標上標明x的取值范圍。（3）判斷，判斷x的取值范圍與對稱軸的位置關系。根據二次函數的性質，確定當x取何值時函數有最大或最小值.然后根據x的值，求出函數的最值。例1.（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）二次函數的最大值為．【答案】【分析】根據二次函數的頂點式確定二次函數的最大值．【詳解】解：∵二次函數的表達式為，∴當時，二次函數取得最大值，為．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的最值，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．變式1．（2023·江蘇南通·中考真題）若實數，，滿足，，則代數式的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】聯(lián)立方程組，解得，設，然后根據二次函數的性質，即可求解．【詳解】解：依題意，，解得：設∴∵∴有最大值，最大值為故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的性質，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．變式2．（2024·江蘇徐州·一模）若點在二次函數的圖象上，且點到軸的距離小于2，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是掌握二次函數的圖象及性質．由題意可知，根據m的范圍即可確定n的范圍．【詳解】解：∵，∴二次函數的圖象開口向上，頂點為，對稱軸是直線，∵到y(tǒng)軸的距離小于2，∴，而，當，當時，，∴n的取值范圍是，故答案為：．題型5.二次函數的最值（含參討論）1.二次函數最值類型：定軸定區(qū)間、定軸動區(qū)間、動軸定區(qū)間、動軸動區(qū)間。2.二次函數最值討論技巧：已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)（下面以a＞0為例進行討論）。圖1圖2圖3圖4圖51）如圖1，當x的取值為全體實數時：當時，y取最小值，最小值ymin=，無最大值。2）如圖2，當時：當時，y取最小值，最小值為ymin=ax22+bx2+c；當時，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。3）如圖3，當且時：當時，y取最小值，最小值為ymin=；當時，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。4）如圖4，當且時：當時，y取最小值，最小值為ymin=；當時，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。5）如圖4，當時：當時，y取最小值，最小值為ymin=ax12+bx1+c；當時，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。例1.（2024·江蘇揚州·一模）已知拋物線．(1)若點在此拋物線函數圖象上，當時，試說明；(2)當時該拋物線的最小值是，求b值．【答案】(1)見解析(2)或【分析】此題考查了二次函數的圖象和性質，數形結合和分類討論是解題的關鍵．（1）由題意可得，，由得到，即可證明結論；（2）由可知，拋物線開口向上，拋物線的頂點為，對稱軸為，根據對稱軸的位置分析即可得到答案．【詳解】（1）解：∵點在拋物線上．∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴拋物線開口向上，拋物線的頂點為，對稱軸為，當，時，y的最小值為，則，解得，當時，，不滿足，舍去，當時，，滿足，符合題意，當時，時，y的最小值為，則，解得，∵，∴不滿足，舍去，當時，時，y的最小值為，則，解得，∵，∴滿足題意，綜上可知，的值為或．變式1．（23-24九年級上·浙江·期中）已知拋物線，為常數）經過點，且不經過第三象限．當時，函數的最大值與最小值之差為16，則的值為（）A．3 B．1 C．3或1 D．2或6【答案】C【分析】將點代入，得出，當時，，函數不經過第三象限，則；此時，最大值與最小值之差為25；當時，，函數不經過第三象限，則，得，當時，函數有最小值，當時，函數有最大值，當時，函數有最大值；當最大值時，；當最大值時，；即可求解．【詳解】解：將點代入，得，則；，對稱軸，當時，，函數不經過第三象限，則；此時，當時，函數最小值是0，最大值是25，最大值與最小值之差為25；（舍去）當時，，函數不經過第三象限，則△，，，當時，函數有最小值，當時，函數有最大值，當時，函數有最大值；函數的最大值與最小值之差為16，當最大值時，，或，，；當最大值時，，或，，．綜上所述，的值為1或3．故選：C．【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質；熟練掌握二次函數的圖象和性質，分類討論解題是關鍵．變式2．（22-23九年級上·浙江·期中）已知函數（b為常數）的圖象經過點．當時，若y的最大值與最小值之和為2，則m的值為（

）A．或B．或C．或D．【答案】C【分析】將點代入即可求得b的值，進而求得拋物線的最大值，結合二次函數圖象的性質，分類討論得出m的取值范圍即可．【詳解】把代入，得，∴，∴當時，y有最大值為6；①當時，當時，y有最小值為，當時，y有最大值為∵y的最大值與最小值之和為2，∴，∴或(舍去)。②當時，當時，y有最大值為6，∵y的最大值與最小值之和為2，∴y最小值為，∴或舍去)綜上所述：或故選：C【點睛】此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的性質等知識，解題的關鍵是正確分類討論得出m的取值范圍．題型6.二次函數與動點問題二次函數中的動態(tài)問題解題步驟：1）讀題，辨析是遞進關系還是并列關系；2）確定動點、動線背景，確定動點個數以及它們之間的關系，動點在什么圖形上運動（直線、射線、折線、三角形、四邊形等）；3）分類，確定分類依據，從特殊位置人手確定自變量范圍，找不變或相等關系（全等、相似、面積、勾股底或高為定長、定角等），動點和定點構成的圖形要逐一分析；4）作圖，要作出每個狀態(tài)的典型圖形；5）函數或方程，通過位置關系建立起數量關系；6）看臨界，要考慮臨界狀態(tài)能否成立的情況。例1.（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，中，，，．點從點出發(fā)沿折線運動到點停止，過點作，垂足為．設點運動的路徑長為，的面積為，若與的對應關系如圖所示，則的值為（

）

A．54 B．52 C．50 D．48【答案】B【分析】根據點運動的路徑長為，在圖中表示出來，設，在直角三角形中，找到等量關系，求出未知數的值，得到的值．【詳解】解：當時，由題意可知，，在中，由勾股定理得，設，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，即，解得，，，當時，由題意可知，，設，，在中，由勾股定理得，在中由勾股定理得，中，由勾股定理得，即，

解得，，，．故選：B．【點睛】本題主要考查勾股定理，根據勾股定理列出等式是解題的關鍵，運用了數形結合的思想解題．變式1．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，，動點，同時從點出發(fā)，點以每秒個單位長度沿折線向終點運動；點以每秒個單位長度沿線段向終點運動，當其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動．設運動時間為秒，的面積為個平方單位，則下列正確表示與函數關系的圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】連接，過點作于點，根據已知條件得出是等邊三角形，進而證明得出，當時，在上，當時，在上，根據三角形的面積公式得到函數關系式，【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于點，當時，在上，菱形中，，，

∴，則是等邊三角形，∴，∵，∴，又∴∴∴，∴當時，在上，∴，綜上所述，時的函數圖象是開口向上的拋物線的一部分，當時，函數圖象是直線的一部分，故選：A．【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象，二次函數圖象的性質，一次函數圖象的性質，菱形的性質，勾股定理，等邊三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．變式2．（2023年遼寧省盤錦市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點A在y軸的正半軸上，頂點B、C在x軸的正半軸上，，．點M在菱形的邊和上運動（不與點A，C重合），過點M作軸，與菱形的另一邊交于點N，連接，，設點M的橫坐標為x，的面積為y，則下列圖象能正確反映y與x之間函數關系的是（

）

A．

B．C．D．

【答案】A【分析】先根據菱形的性質求出各點坐標，分M的橫坐標x在，，之間三個階段，用含x的代數式表示出的底和高，進而求出分段函數的解析式，根據解析式判斷圖象即可．【詳解】解：菱形的頂點A在y軸的正半軸上，頂點B、C在x軸的正半軸上，，，，，，，，設直線的解析式為，將，代入，得：，解得，直線的解析式為．軸，N的橫坐標為x，（1）當M的橫坐標x在之間時，點N在線段上，中上的高為，，，，該段圖象為開口向上的拋物線；（2）當M的橫坐標x在之間時，點N在線段上，中，上的高為，，該段圖象為直線；（3）當M的橫坐標x在之間時，點N在線段上，中上的高為，由，可得直線的解析式為，，，，，該段圖象為開口向下的拋物線；觀察四個選項可知，只有選項A滿足條件，故選A．【點睛】本題考查動點問題的函數圖象，涉及坐標與圖形，菱形的性質，二次函數、一次函數的應用等知識點，解題的關鍵是分段求出函數解析式．考點二：二次函數與不等式、方程1）二次函數與一元二次方程的關系（1）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。（2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標。（3）①b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數根，拋物線與x軸有兩個交點；②b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數根，拋物線與x軸有且只有一個交點；③b2–4ac<0?方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有交點。2）二次函數與不等式的關系（以a>0為例）:b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0圖象與x軸交點2個交點1個交點0個交點ax2＋bx＋c>0的解集情況x<x1或x>x2取任意實數ax2＋bx＋c<0的解集情況x1<x<x2無解無解題型1.二次函數與圖象變換（1）二次函數圖象的翻折與旋轉拋物線y=a(x-h)2+k，繞頂點旋轉180°變?yōu)椋簓=-a(x-h)2+k；繞原點旋轉180°變?yōu)椋簓=-a(x+h)2-k；沿x軸翻折變?yōu)椋簓=-a(x-h)2-k；沿y軸翻折變?yōu)椋簓=a(x+h)2+k；（2）二次函數平移遵循“上加下減，左加右減”的原則；二次函數圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．例1．（2021·江蘇蘇州·中考真題）已知拋物線的對稱軸在軸右側，現(xiàn)將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經過坐標原點，則的值是（

）A．或2 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據二次函數圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行解答即可．【詳解】解：函數向右平移3個單位，得：；再向上平移1個單位，得：+1，∵得到的拋物線正好經過坐標原點∴+1即解得：或∵拋物線的對稱軸在軸右側∴＞0∴＜0∴故選：B．【點睛】此題主要考查了函數圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．變式1．（2023·湖南岳陽·一模）若將拋物線F：圖象位于y軸右側的部分沿著直線l：翻折，其余部分保持不變，組成新圖形H，點為圖形H上兩點，若，則m的取值范圍是（

）A．或B．C．D．或【答案】C【分析】求得的對稱軸為，與軸交點為，分當時，即對稱軸在軸左側；當時，即對稱軸為軸；當時，即對稱軸在軸又側時進行討論即可求解．【詳解】解：的對稱軸為：，與軸交點為：，關于對稱軸的對稱點為當時，即對稱軸在軸左側，如圖：點為圖形H上兩點，且，則位于直線下方，位于直線上方，則的水平距離大于，，解得：；

當時，即對稱軸為軸，如圖：點為圖形H上兩點，恒成立，當時，即對稱軸在軸又側，如圖：與軸交點為：，關于對稱軸的對稱點為點為圖形H上兩點，且則位于直線下方，位于直線上方，則的水平距離大于，，解得：；綜上所述：；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，翻折的性質；解題的關鍵是熟練掌握二次函數的對稱性，正確作圖分析．變式2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，點C與點B關于原點對稱，直線分別與y軸交于點E，F(xiàn)，點F在點E的上方，．(1)分別求點E，F(xiàn)的縱坐標（用含m，n的代數式表示），并寫出m的取值范圍；(2)求點B的橫坐標m，縱坐標n之間的數量關系．（用含m的代數式表示n）；(3)將線段繞點順時針旋轉，E，F(xiàn)的對應點分別是，．當線段與點B所在的某個函數圖象有公共點時，求m的取值范圍．

【答案】(1)，，(2)(3)或【分析】（1）根據直線與y軸交于E，得到，根據點C與點B關于原點對稱，求得，得到，設直線的解析式為，將，代入得解方程即可得到結論；（2）根據題意列方程即可得到結論；（3）根據n與m的關系式為，得到在函數的圖象上，由旋轉得，，當在點B所在的函數圖象上時，解方程得到，根據線段與點B所在的函數圖象有公共點，列不等式組即可得到結論．【詳解】（1）由直線與y軸交于E，得，∵點C與點B關于原點對稱，，∴，由直線與y軸交于點F，得，即，綜上所述，，設直線對應的一次函數解析式為，將，代入，得：，解得，∴，同理；由點F在點E上邊知:，且，∴，即；

（2）由題意得，，整理得，；（3）∵n與m的關系式為，∴在函數的圖象上，由旋轉得，，當在點B所在的函數圖象上時，，解得，∵線段與點B所在的函數圖象有公共點，∴或，由旋轉得，且；∵或．∵，∴或．【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了軸對稱的性質，旋轉的性質，待定系數法求函數的解析式，正確地求得n與m的關系式是解題的關鍵．題型2.二次函數與零點（圖象交點）1.二次函數和線段的交點個數的方法：（1）代數法：①聯(lián)立二次函數和線段所在直線的表達式，根據根的判別式Δ=b2-4ac求參數；②將線段端點坐標代入二次函數求得參數，并判斷參數的取值范圍。（2）圖象法：運用畫草圖的方法判斷，我們常常會用到數形結合和分類討論的數學思想。二次函數的圖象是拋物線，因此判斷函數的增減性時要結合二次函數的對稱軸來分析判斷。2.已知拋物線與直線(線段)的公共點個數，求拋物線中參數的取值范圍。此類問題通常需要根據所畫的直線(或線段)結合拋物線大致形狀(一般會分開口向上和向下兩種情況，找到滿足題意的每種臨界情況(例如：拋物線分別經過線段的兩個端點或與線段相切)，解出每種臨界情況下參數的值后,結合圖象和參數的意義，最終確定參數的取值范圍。例1．（2023·江蘇泰州·中考真題）二次函數的圖像與x軸有一個交點在y軸右側，則n的值可以是（填一個值即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據根與系數的關系即可求解．【詳解】解：設二次函數的圖象與軸交點的橫坐標為、，即二元一次方程的根為、，由根與系數的關系得：，，一次函數的圖象與軸有一個交點在軸右側，，為異號，，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查拋物線與軸的交點，根與系數之間的關系，關鍵是根與系數之間的關系的應用．變式1．（2022·江蘇無錫·中考真題）把二次函數y=x2+4x+m的圖像向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，如果平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，那么m應滿足條件：．【答案】m>3【分析】先求得原拋物線的頂點坐標為（-2，m-4），再求得平移后的頂點坐標為（1，m-3），根據題意得到不等式m-3>0，據此即可求解．【詳解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，此時拋物線的頂點坐標為（-2，m-4），函數的圖象向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度后的頂點坐標為（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），∵平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，∴m-3>0，解得：m>3，故答案為：m>3．【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，二次函數的性質，屬于基礎題，解決本題的關鍵是得到新拋物線的頂點坐標．變式2．（2023·江蘇揚州·二模）關于的一元二次方程（為實數）有且只有一個根在的范圍內，則的取值范圍是（

）A．B．或C．或D．【答案】C【分析】由題意得出原方程有兩個實數根，進而分兩種情況討論：①當時，得出，進而求出方程的解，判斷即可得出結論，②當時，結合二次函數的圖象和性質，即可得出結論．【詳解】解：根據題意得，，解得：．分類討論：①當時，即，∴原方程為，解得：，滿足題意；②當時，即時．∴原方程有兩個不相等的實數根．∵該二次函數的對稱軸為直線，且有且只有一個根在的范圍內，∴在平面直角坐標系中畫出大致函數圖象，如圖所示，觀察圖象可知，當時，方程的兩個根分別為，，不滿足題意；當時，方程的兩個根分別為，，滿足題意；當時，方程的兩個根都在范圍內，不滿足題意．綜上可知，滿足條件的t的范圍為或，故選C．【點睛】本題考查一元二次方程和二次函數的關系，解題關鍵是樹立數形結合思想，利用二次函數圖象解決一元二次方程根的問題．題型3.二次函數與整點二次函數背景下的整點問題:不僅能考查二次函數的圖象與性質，而且還能考查同學們的動手畫圖能力，推理能力,直觀想象能力，同時這類題還滲透了數形結合、從特殊到一般、極限思想，能極好得培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)。例1．（22-23九年級上·山東濟南·期末）規(guī)定：在平面直角坐標系中，橫坐標與縱坐標均為整數的點為整點．對于題目：拋物線與軸分別交于、兩點（點M在點N的左側），，線段與拋物線圍成的封閉區(qū)域記作（包括邊界），若區(qū)域內有6個整點，求的取值范圍．則（

）A．B．C．或D．或【答案】C【分析】先求出對稱軸，再根據，求出，的坐標，可得到，從而得到頂點坐標為，再分兩種情況討論的取值范圍即可．【詳解】解：，∴拋物線的對稱軸為直線，∵，點在點的左側，∴，∴令，則，∴，∴，即，∴，∴頂點坐標為，∵，∴線段上有3個整點，∵區(qū)域內有6個整點，當時，，即；當時，，即，綜上所述，的取值范圍為或，故選：C．【點睛】本題考查拋物線與軸的交點，二次函數的性質，關鍵是根據二次函數的性質進行分類求解．變式1．（23-24九年級上·山東淄博·期末）定義：在平面直角坐標系中，若點滿足橫，縱坐標都為整數，則把點叫做“整點”，如：，都是“整點”．拋物線（是常數，且）與軸交于點，兩點，若該拋物線在，之間的部分與線段所圍成的區(qū)域（包括邊界）恰有6個“整點”，則的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查二次函數的圖象與系數的關系，數形結合思想的應用是解決本題的關鍵．首先將二次函數的表達式化為頂點式，可以直接得到點，，，必在所要求的區(qū)域內，然后向外擴充2個“整點”，通過圖象經過點，點判斷區(qū)域內“整點”個數，進而求出的取值范圍．【詳解】解：由已知可得，函數的頂點是，，點，，，四點必在拋物線在，之間部分與線段所圍成的區(qū)域（包括邊界）內，當點在邊界上時，，由拋物線的對稱性可知，圖象過，此時區(qū)域內有6個“整點”，當點在邊界上時，，由拋物線的對稱性可知，圖象過，此時區(qū)域內有8個“整點”，不符合題意，當時，該拋物線在，之間的部分與線段所圍成的區(qū)域（包括邊界）恰有6個“整點”．故選：D．變式2．（2023年湖南省益陽市中考數學真題）在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與拋物線交于B，C兩點（B在C的左邊）．(1)求A點的坐標；(2)如圖1，若B點關于x軸的對稱點為點，當以點A，，C為頂點的三角形是直角三角形時，求實數a的值；(3)定義：將平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為整數的點叫作格點，如，等均為格點．如圖2，直線l與拋物線E所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點數恰好是26個，求a的取值范圍．

【答案】(1)(2)或；(3)或．【分析】（1）對于直線，令，求出x，即可求解；（2）表示出點，，的坐標，利用勾股定理解方程求解，注意直角頂點不確定，需分類討論；（3）直線與拋物線所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點只能落在軸和直線上，各為13個，分別求出的范圍．【詳解】（1）解：對于直線，當時，，∴A點的坐標為；（2）解：聯(lián)立直線與拋物線得：，，或，，，點關于軸的對稱點為點，，，，，若，則，即，所以，若，則，即，所以，若，則，即，此方程無解．或；（3）解：如圖，直線與拋物線所圍成的封閉圖形（不包含邊界）中的格點只能落在軸和直線上，，，，，

格點數恰好是26個，落在軸和直線上的格點數應各為13個，落在軸的格點應滿足，即，①若，即，所以線段上的格點應該為，，，，②若，，，所以線段上的格點正好13個，綜上，或．【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合題，涉及了二次函數的圖象和性質，一次函數的圖象和性質，勾股定理，關鍵是弄清格點只能落在軸和直線上，各為13個，并對點、進行定位．題型4.二次函數與方程、不等式1）一元二次方程ax2＋bx＋c=n的解的幾何意義將“=”左邊的部分看作拋物線y=ax2＋bx＋c，“=”右邊的部分看作水平直線y=n,則方程ax2＋bx＋c=n即在兩函數圖象的交點橫坐標,所以交點橫坐標的值就是方程的解。2）ax2＋bx＋c>kx+m的解表示：拋物線y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象在直線y=kx+m上方，則交點橫坐標的一側符合題意。3）ax2＋bx＋c<kx+m的解表示：拋物線y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象在直線y=kx+m下方，則交點橫坐標的一側符合題意。例1.（2023·江蘇泰州·中考真題）閱讀下面方框內的內容，并完成相應的任務．小麗學習了方程、不等式、函數后提出如下問題：如何求不等式的解集？通過思考，小麗得到以下3種方法：方法1

方程的兩根為，，可得函數的圖像與x軸的兩個交點橫坐標為、，畫出函數圖像，觀察該圖像在x軸下方的點，其橫坐標的范圍是不等式的解集．方法2

不等式可變形為，問題轉化為研究函數與的圖像關系．畫出函數圖像，觀察發(fā)現(xiàn)：兩圖像的交點橫坐標也是、3；的圖像在的圖像下方的點，其橫坐標的范圍是該不等式的解集．方法3

當時，不等式一定成立；當時，不等式變?yōu)?；當時，不等式變?yōu)椋畣栴}轉化為研究函數與的圖像關系…任務：(1)不等式的解集為_____________；(2)3種方法都運用了___________的數學思想方法（從下面選項中選1個序號即可）；A.分類討論

B.轉化思想

C.特殊到一般

D.數形結合(3)請你根據方法3的思路，畫出函數圖像的簡圖，并結合圖像作出解答．【答案】(1)(2)D(3)圖像見解析，不等式的解集為【分析】（1）如圖1，作的圖像，由方法1可知，不等式的解集為；（2）由題意知，3種方法都運用了數形結合的數學思想方法；（3）如圖2，作函數與的圖像，由圖像可得，的解集為，或，進而可得的解集．【詳解】（1）解：如圖1，作的圖像，

由方法1可知，不等式的解集為，故答案為：；（2）解：由題意知，3種方法都運用了數形結合的數學思想方法，故選：D；（3）解：如圖2，作函數與的圖像，由圖像可得，的解集為，或，綜上，的解集為．【點睛】本題考查了數形結合求一元二次不等式的解集，作二次函數、一次函數、反比例函數的圖像．解題的關鍵在于理解題意并正確的作函數圖象．變式1．（2024·江蘇揚州·模擬預測）如圖，已知二次函數與一次函數的圖像相交于兩點，則關于的不等式的解集為．【答案】或【分析】由，得，根據圖像找到二次函數在一次函數圖像上方的部分對應的x的范圍即可．此題考查了一次函數與二次函數圖像交點問題，熟練掌握數形結合的數學思想，掌握“圖像在下方的部分對應的函數值較小”是解答本題的關鍵．【詳解】由，得，∴，由圖可知關于的不等式的解集為：或，∴關于的不等式的解集為：或，故答案為：或．變式2．（2021·江蘇泰州·中考真題）二次函數y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a為常數）圖象的頂點在y軸右側．（1）寫出該二次函數圖象的頂點橫坐標（用含a的代數式表示）；（2）該二次函數表達式可變形為y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；（3）若點A（m，n）在該二次函數圖象上，且n＞0，過點（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數圖象的交點在x軸下方，求a的范圍．【答案】（1）；（2）p=-1；（3）1＜2．【分析】（1）根據頂點坐標公式即可得答案；（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；（3）利用（2）的結果可得拋物線與x軸的交點坐標，根據頂點在y軸右側，過點（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數圖象的交點在x軸下方可得關于a的不等式，解不等式即可得答案．【詳解】（1）∵二次函數解析式y(tǒng)＝﹣x2+（a﹣1）x+a，∴頂點橫坐標為=．（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a==﹣（x﹣p）（x﹣a），∴p=-1．（3）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=，∴拋物線與x軸的交點坐標為（-1，0），（a，0），∵-1＜0，∴該二次函數的圖象開口向下，∵圖象的頂點在y軸右側，∴＞0，∴，∵點A（m，n）在該二次函數圖象上，且n＞0，∴-1＜m＜a，∵過點（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數圖象的交點在x軸下方，∴≤3，解得：，∴a的范圍為1＜≤2．【點睛】本題考查二次函數、因式分解及解一元一次不等式，熟練掌握二次函數頂點坐標公式是解題關鍵．專項訓練1．（2023·陜西·?？级＃┮阎獟佄锞€的頂點為A，拋物線與拋物線關于點成中心對稱，若拋物線經過點A，則m的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出拋物線的頂點坐標，根據題意求得拋物線的頂點坐標，得出二次函數解析式，把的坐標代入即可解得的值．【詳解】解：拋物線，頂點，拋物線與拋物線關于成中心對稱，拋物線的開口大小相同，方向相反，頂點為∴的解析式是：，拋物線經過點，，解得，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，二次函數圖象上點的坐標特征，表示出拋物線的頂點坐標是解題的關鍵．2．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）設圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的母線長為l，滿足2r+l＝6，這樣的圓錐的側面積（

）A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π【答案】C【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圓錐的側面積公式：S側＝πrl，利用配方法整理得出，S側＝﹣2π(r﹣)2+π，再根據二次函數的性質即可求解．【詳解】解：∵2r+l＝6，∴l(xiāng)＝6﹣2r，∴圓錐的側面積S側＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，∴當r＝時，S側有最大值．故選：C．【點睛】本題考查了圓錐的計算,二次函數的最值,圓錐的側面展開圖為一扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.熟記圓錐的側面積:是解題的關鍵．3．（2023·山東濟南·二模）如圖，拋物線與直線交于A、B兩點，與直線交于點P，將拋物線沿著射線平移個單位，在整個平移過程中，點P經過的路程為（

）

A．6 B． C． D．【答案】B【分析】根據題意可得由題意得，當拋物線沿著射線平移個單位時，相當于將點A先向右平移3個單位，再向上平移3個單位，設拋物線向右平移個單位，向上平移個單位，則平移后的解析式為，再根據點P在直線，直接把代入得到點P的縱坐標與a的二次函數，然后根據二次函數的性質求解即可.【詳解】解：由題意得，當拋物線沿著射線平移個單位時，相當于將點A先向右平移3個單位，再向上平移3個單位，設拋物線向右平移個單位，向上平移個單位，∵原拋物線解析式為，∴平移后的解析式為令時，則，∴當時，，∵，∴當時，，當時，，∴當時，在平移過程中點P的運動路程為，當時，在平移過程中點P的運動路程為，∴整個平移過程中，點P的運動路程為，故選B．【點睛】本題考查二次函數圖象與幾何變換，一次函數圖象上點的特征等知識，解題的關鍵是靈活運用平移的性質解決問題，學會利用參數，構建二次函數解決問題，屬于中考壓軸題．4.（2023年山東省濰坊市中考數學真題）已知拋物線經過點，則下列結論正確的是（

）（多選題）A．拋物線的開口向下B．拋物線的對稱軸是C．拋物線與軸有兩個交點D．當時，關于的一元二次方程有實根【答案】BC【分析】將點代入可求出二次函數的解析式，再根據二次函數的圖象與性質、二次函數與一元二次方程的聯(lián)系逐項判斷即可得．【詳解】解：將點代入得：，解得，，拋物線的開口向上，拋物線的對稱軸是，選項A錯誤，選項B正確；方程的根的判別式，∴方程有兩個不相等的實數根，拋物線與軸有兩個交點，選項C正確；由二次函數的性質可知，這個拋物線的開口向上，且當時，取得最小值，∴當時，與沒有交點，∴當時，關于的一元二次方程沒有實根，選項D錯誤；故選：BC．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質、二次函數與一元二次方程的聯(lián)系，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵．5．（2023·貴州銅仁·三模）將拋物線的圖象位于直線以上的部分向下翻折，得到如圖圖象，若直線與此圖象有四個交點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據函數圖象，可發(fā)現(xiàn)，若直線與新函數有3個交點，可以有兩種情況：①直線經過對折點（即右邊的對折點），可將點坐標代入直線的解析式中，即可求出的值；②若直線與新函數圖象有三個交點，那么當直線與該二次函數只有一個交點時，恰好滿足這一條件，那么聯(lián)立直線與該二次函數的解析式，可化為一個關于的一元二次方程，那么該方程的判別式，根據這一條件可確定的取值．【詳解】解：令，則，解得或2，，平移直線知：直線位于和時，它與新圖象有三個不同的公共點．①當直線位于時，此時過點，，即．②當直線位于時，此時與函數的圖象有一個公共點，方程，即有兩個相等實根，，即．由①②知若直線與新圖象只有四個交點，的取值范圍為；故選：D．【點睛】此題考查了二次函數圖象與幾何變換、一次函數的性質、函數圖象交點以及根據值域確定二次函數參數取值范圍的問題，綜合性強，難度較大．6．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，在中，，，與在同一條直線上，點C與點E重合．以每秒1個單位長度的速度沿線段所在直線向右勻速運動，當點B運動到點F時，停止運動．設運動時間為t秒，與重疊部分的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數關系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分，，三種情況，分別求出函數解析即可判斷．【詳解】解：過點D作于H，，，∵，，∴，∴當時，如圖，重疊部分為，此時，，∴，∴，即，∴∴；當時，如圖，重疊部分為四邊形，此時，，

∴，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴；當時如圖，重疊部分為四邊形，此時，，∴，∵，∴，∴，即∴，綜上，，∴符合題意的函數圖象是選項A．故選：A．【點睛】此題結合圖像平移時面積的變化規(guī)律，考查二次函數相關知識，根據平移點的特點列出函數表達式是關鍵，有一定難度．7．（2023·湖南岳陽·一模）已知二次函數，當時，y隨x的增大而減小，則的最大值為（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】由二次函數解析式求出對稱軸，分類討論拋物線開口向下及開口向上的的取值范圍，將轉化為二次函數求最值即可．【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線：，①當時，拋物線開口向上，∵時，y隨x的增大而減小，∴，即．解得，∴，∵，∴．②當時，拋物線開口向下，∵時，y隨x的增大而減小，∴，即，解得，∴，∵，當時，有最大值，∵，∴此情況不存在．綜上所述，最大值為8．故選C．【點睛】本題考查二次函數的性質．解題的關鍵是將的最大值轉化為二次函數求最值．8．（2023年湖北省黃石市中考數學真題）已知二次函數的圖像經過三點，且對稱軸為直線．有以下結論：①；②；③當，時，有；④對于任何實數，關于的方程必有兩個不相等的實數根．其中結論正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】根據二次函數圖像的對稱軸為，且過，結合拋物線的對稱軸即可求解．【詳解】解：∵二次函數的對稱軸為，且圖像經過，∴，即，∴點在拋物線上，∴，故結論①正確；由結論①正確可得，，且，則∴，則，故結論②正確；∵當，時，∴點離對稱軸更近，當時，；當時，；故結論③錯誤；由得，，∵結論①正確可得，，結論②正確可得，，∴，，∴，整理得，，∵，∴，∴該方程有兩個不相等的實根，故結論④正確；綜上所述，正確的有，個，故選：．【點睛】本題主要考查二次函數圖像的性質，根與系數的關系，二次函數圖像上點的特征，由對稱軸確定系數的關系，掌握以上知識的綜合運用是解題的關鍵．9．（2024·江蘇淮安·模擬預測）直線和拋物線在同一坐標系中的位置如圖所示，那么不等式的解集是．【答案】或【分析】本題考查了根據交點確定不等式的解集，旨在考查學生的數形結合能力，將不等式轉化為對應函數圖象的位置關系是解題關鍵．【詳解】由題意得：不等式表示直線在拋物線下方的部分，∵兩圖象的交點橫坐標為：，∴不等式的解集是：或故答案為：或10．（2022·江蘇南京·中考真題）已知二次函數（、為常數，）的最大值為2，寫出一組符合條件的和的值：．【答案】（答案不唯一）【分析】根據最值公式得到，即可得到，據此寫出一組符合條件的a和c的值即可．【詳解】解：∵二次函數的最大值為2，∴，∴，故時，，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查了二次函數的最值，熟知二次函數的最值公式是解題的關鍵．11．（2022·江蘇徐州·中考真題）若二次函數的圖象上有且只有三個點到x軸的距離等于m，則m的值為．【答案】4【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線x=1，頂點為（1，-4），由圖象上恰好只有三個點到x軸的距離為m可得m=4．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線x=1，頂點為（1，-4），∴頂點到x軸的距離為4，∵函數圖象有三個點到x軸的距離為m，∴m=4，故答案為：4．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，能夠理解題意是解題的關鍵．12．（2021·江蘇南通·中考真題）平面直角坐標系中，已知點，且實數m，n滿足，則點P到原點O的距離的最小值為．【答案】【分析】由已知得到點P的坐標為(，)，求得PO=，利用二次函數的性質求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，∴點P的坐標為(，)，∴PO=，∵，∴當時，有最小值，且最小值為，∴PO的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了點的坐標，二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的性質是解決本題的關鍵．13．（2020·江蘇南京·中考真題）下列關于二次函數（為常數）的結論，①該函數的圖象與函數的圖象形狀相同；②該函數的圖象一定經過點；③當時，y隨x的增大而減?。虎茉摵瘮档膱D象的頂點在函數的圖像上，其中所有正確的結論序號是．【答案】①②④【分析】①兩個二次函數可以通過平移得到，由此即可得兩個函數的圖象形狀相同；②求出當時，y的值即可得；③根據二次函數的增減性即可得；④先求出二次函數的頂點坐標，再代入函數進行驗證即可得．【詳解】當時，將二次函數的圖象先向右平移m個單位長度，再向上平移個單位長度即可得到二次函數的圖象；當時，將二次函數的圖象先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度即可得到二次函數的圖象該函數的圖象與函數的圖象形狀相同，結論①正確對于當時，即該函數的圖象一定經過點，結論②正確由二次函數的性質可知，當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小則結論③錯誤的頂點坐標為對于二次函數當時，即該函數的圖象的頂點在函數的圖象上，結論④正確綜上，所有正確的結論序號是①②④故答案為：①②④．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質等知識點，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵．14．（2024·江蘇連云港·一模）對任意實數x，二次函數滿足，則的值是．【答案】9【分析】本題考查的是二次函數的性質，熟練的利用特值法是解本題的關鍵；由題意可得，可令即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，令，有，∴，∴答案是：9．15．（2024·江蘇無錫·一模）當時，函數(a為常數，且a小于0)的圖象在軸上方，則的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查二次函數的圖形和性質，解題的關鍵是能夠求出時y的最小值．先求出二次函數圖象的對稱軸，再先求出y的最小值，令最小值大于0即可求解．【詳解】解：二次函數的圖象的對稱軸為：．∵，∴拋物線開口向下，又，，時，y取最小值，最小值為：，圖象在軸上方，，解得，；故答案為：．16．（23-24九年級·湖北荊州·階段練習）我們約定：（a，b，c）為函數的“關聯(lián)數”，當其圖象與坐標軸交點的橫、縱坐標均為整數時，該交點為“整交點”．若關聯(lián)數為的函數圖象與x軸有兩個整交點（m為正整數），則這個函數圖象上整交點的坐標為【答案】（1，0）、（3，0）、（0，3）【分析】根據題意令，將關聯(lián)數代入函數，則有，利用求根公式可得m，將m代入可得函數圖象與x軸的整交點坐標；令，可得，即得這個函數圖象與y軸的整交點的坐標（0，3）．【詳解】解：根據題意，令，將關聯(lián)數代入函數，則有，，∴有兩個實數根，且m≠3，由求根公式可得，∴，，∵m為正整數，∴當時符合題意，此時；所以這個函數圖象與x軸的整交點的坐標為（3，0），（1，0）；令，可得，即得這個函數圖象與y軸的整交點的坐標（0，3）．綜上所述，這個函數圖象上整交點的坐標為（1，0）、（3，0）、（0，3）．故答案為：（1，0）、（3，0）、（0，3）．【點睛】本題主要考查了拋物線與坐標軸交點，二次函數圖象上點的坐標特征，理解“關聯(lián)數”的定義是解答此題的關鍵．17．（2024·江蘇無錫·一模）在平面直角坐標系中為，拋物線（、為常數）的對稱軸為直線，與軸交點坐標為．(1)求此拋物線對應的函數表達式；(2)點、點均在這個拋物線上（點在點的左側），點的橫坐標為，點的橫坐標為．將此拋物線上兩點之間的部分（含兩點）記為圖象．①當點在軸上方，圖象的最高與最低點的縱坐標差為6時，求的值；②設點，點，將線段繞點逆時針旋轉后得到線段，連接，當（不含內部）和二次函數在范圍上的圖像有且僅有一個公共點時，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)①；②；【分析】本題考查待定系數法求解析式及二次函數最值、與線段交點問題：（1）將對稱軸及點代入求解即可得到答案；（2）①先求出二次函數與軸交點，分點在對稱軸左邊，對稱軸右邊兩類討論，根據最高與最低點的距離列式即可得到答案；②根據，，表示出，結合只有一個交點列式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸為直線，與軸交點坐標為，∴，，解得：，，∴；（2）解：①當時，，解得：，，當點在對稱軸左邊時，即時，∵，∴此時最高點為對稱軸所在點，最低點為點，∵最高與最低點的縱坐標差為6，∴，解得：（不符合題意舍去），；當點在對稱軸右邊時，即，∵，∴此時最高點為A點，最低點為點，∵最高與最低點的縱坐標差為6，∴，解得：（不符合題意舍去）；綜上所述：；②∵，點，將線段繞點逆時針旋轉后得到線段，（不含內部）和二次函數在范圍上的圖像有且僅有一個公共點，∴點D在軸下方，E在頂點下方，且與拋物線交于一點，與拋物線交于一點此時，即，∴，解得：，∴，，，解得：．18．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，邊長為1的正方形中，軸，軸（在的右側、在的下方），點在二次函數（為常數，且）的圖像上．(1)若點的坐標為①求二次函數圖像頂點坐標；②判斷二次函數圖像與邊是否相交，并說明理由；(2)若點的橫坐標為，且二次函數的圖像與邊相交，求的范圍；(3)在（2）的條件下，若二次函數在正方形內（包括邊界）的部分函數最小值為，求的范圍．【答案】(1)①②不相交，理由見解析(2)(3)【分析】（1）①將A點坐代入解析式直接求出；②求出點C坐標，代入橫坐標，判斷函數值是否等于點C的縱坐標即可．（2）求出P、D、C三點的縱坐標，根據P點要處在C、D之間列出不等式組即可解決問題．（3）對應的函數的最小值為，即點P的縱坐標的值為，由此列出關系式，即可解決問題．再結合（2）的結果確定m的范圍．【詳解】（1）解：①把代入，得：，解得，∴拋物線的解析式為：，∴，∴拋物線的頂點坐標為；②∵正方形的邊長為1，且，∴，∴∴點D的坐標為，點C的坐標為當時，，所以，二次函數圖像與邊不相交；（2）解：如圖，∵A點的橫坐標為m，正方形邊長為1，∴，，，，，∵，解得：，∵，解得：，綜上所述，．（3）解：∵對應的函數的最小值為，∴，∴．∴，由圖象可知點P不在y軸上，∴，∴由（2）可知，且，解得．【點睛】本題考查了待定