第04講 因式分解-提公因式與公式法知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固（原卷版）

第04講因式分解綜合1.使學(xué)生了解因式分解的概念，以及因式分解與整式乘法之間的聯(lián)系．2.了解公因式和提公因式的方法，會(huì)用提公因式法分解因式．7.能說出平方差公式，完全平方公式的特點(diǎn)．3.能熟練地掌握應(yīng)用平方差公式和完全平方公式分解因式．4.理解因式分解的最后結(jié)果是每個(gè)因式都不能分解．5.在探索提供公式法分解因式的過程中學(xué)會(huì)逆向思維，滲透劃歸的思想方法．6.在運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的觀察，比較和判斷能力以及運(yùn)算能力，用不同的方法分解因式，可以提高學(xué)生的綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，進(jìn)一步體驗(yàn)“整體”思想和“換元”思想知識(shí)點(diǎn)1：因式分解1.定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．2.掌握其定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；（2）因式分解必須是恒等變形；（3）因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止．3.弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系．因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．知識(shí)點(diǎn)2：公因式像多項(xiàng)式papbpc，它的各項(xiàng)都有一個(gè)公共的因式p，我們把這個(gè)公共因式p叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式注意：公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：①系數(shù)一各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母——各項(xiàng)含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù)；知識(shí)點(diǎn)3：提公因式提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來檢驗(yàn)是否漏項(xiàng)．注意：①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底”；②如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“－”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的．知識(shí)點(diǎn)4：公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2知識(shí)點(diǎn)5：提公因式與公式法綜合提公因式：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．公式法：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）知識(shí)點(diǎn)5：十字相乘法1.x2pqxpq（x+p）（x+q）2.在二次三項(xiàng)式ax2bxc(a0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即aa1a2，常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即cc1c2，把a(bǔ)1，a2，c1，c2排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2a2c1，若它正好等于二次三項(xiàng)式ax2bxc的一次項(xiàng)系數(shù)b，即a1c2a2c1b，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式a1xc1與a2xc2之積，即ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)．【題型1因式分解的定義】【典例1】（2023秋?海門市校級(jí)月考）下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（）A．a(chǎn)（x﹣y）＝ax﹣ay B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a(chǎn)2+1＝（a+1）（a﹣1）【變式1-1】（2023春?玄武區(qū)期中）下列各式從左到右不屬于因式分解的是（）A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）【變式1-2】（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期末）下列各式從左到右的變形是因式分解的是（）A．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab B．a(chǎn)2+2a+1＝a（a+2）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）【題型2公因式】【典例2-1】（2023春?榆陽區(qū)期末）多項(xiàng)式6a2b﹣3ab2的公因式是．【典例2-2】（2023春?大竹縣校級(jí)期末）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是．【變式2-1】（2023春?禮泉縣期中）多項(xiàng)式．4ab2+8a2b的公因式是．【變式2-2】（2023春?巴州區(qū)月考）多項(xiàng)式3x+3y與x2﹣y2的公因式是．【變式2-3】（2023春?開江縣校級(jí)期末）多項(xiàng)式4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的公因式是．【題型3提公因式】【典例3】（2022秋?白云區(qū)期末）分解因式：（1）2y+3xy；（2）2（a+2）+3b（a+2）．【變式3-1】（2023春?常德期中）因式分解（1）x2﹣4x；（2）8y3﹣2x2y．【變式2-2】（2022秋?番禺區(qū)校級(jí)期末）因式分解：（1）8abc﹣2bc2；（2）2x（x+y）﹣6（x+y）．【變式3-3】（2022春?源城區(qū)校級(jí)期中）分解因式：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）．【題型4因式分解-平方差】【典例4】（2023?云南）分解因式：x2﹣4＝．【變式4-1】（2023?武威一模）因式分解：a2﹣169＝．【變式4-2】（2022秋?洞口縣期末）因式分解：4a2﹣b2＝．【變式4-3】（2023春?東源縣期末）把多項(xiàng)式a2﹣9b2分解因式結(jié)果是．【題型5因式分解-完全平方】【典例5】（2023?通榆縣三模）分解因式：a2+8a+16＝．【變式5-1】（2023春?亳州期末）因式分解x2﹣6ax+9a2＝．【變式5-2】（2023?前郭縣四模）分解因式：a2﹣6a+9＝．【題型6提公因式與公式法綜合】【典例6】（2023春?海曙區(qū)期中）分解因式（1）x2y﹣y；（2）ax2﹣6ax+9a．【變式6-1】（2023春?婁星區(qū)校級(jí)期中）因式分解：（1）x3y﹣xy3；（2）8a2﹣16ab+8b2．【變式6-2】（2022秋?武漢期末）因式分解：（1）2x3y﹣2xy3；（2）﹣a3+2a2﹣a．【變式6-3】（2023?肅州區(qū)校級(jí)開學(xué)）分解因式：（1）5x2﹣5y2；（2）2mx2+4mxy+2my2．【變式6-4】（2022秋?興城市期末）因式分解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）【題型7十字相乘法】【典例7】（2023春?銀海區(qū)期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．a(chǎn)1c2+a2c1＝b．例如：2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）．求：（1）x2﹣x﹣6；（2）3x2+5x﹣12．【變式7-1】（2023春?岳陽期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法（如圖）．第一步：二次項(xiàng)2x2＝x?2x；第二步：常數(shù)項(xiàng)﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），畫“十字圖”驗(yàn)算“交叉相乘之和”；第三步：發(fā)現(xiàn)第③個(gè)“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項(xiàng)﹣x．即2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）；像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運(yùn)用結(jié)論：（1）將多項(xiàng)式x2﹣x﹣2進(jìn)行因式分解，可以表示為x2﹣x﹣2＝；（2）若3x2+px+5可分解為兩個(gè)一次因式的積，請(qǐng)畫好“十字圖”，并求整數(shù)p的所有可能值．【變式7-2】（2023春?子洲縣期末）閱讀下列材料：將一個(gè)形如x2+px+q的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果能滿足q＝mn且p＝m+n，則可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．根據(jù)材料，把下列式子進(jìn)行因式分解．（1）x2﹣6x+8；（2）x2﹣2x﹣15；（3）（x﹣4）（x+7）+18．【變式7-3】（2022秋?沙洋縣校級(jí)期末）閱讀與思考：利用多項(xiàng)式的乘法法則可推導(dǎo)得出：（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq．因式分解與整式乘法是方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式，例如：將式子x2+3x+2分解因式．分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)2＝1×2，一次項(xiàng)系數(shù)3＝1+2．這是一個(gè)x2+（p+q）x+pq型的式子，∴x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2，∴x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．（1）填空：式子x2+7x+10的常數(shù)項(xiàng)10＝×，一次項(xiàng)系數(shù)7＝+，分解因式x2+7x+10＝．（2）若x2+px+8可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是．1．（2023?攀枝花）以下因式分解正確的是（）A．a(chǎn)x2﹣a＝a（x2﹣1） B．m3+m＝m（m2+1） C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3 D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）2．（2023?杭州）分解因式：4a2﹣1＝（）A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2） C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）3．（2023?臺(tái)灣）下列何者為多項(xiàng)式x2﹣36的因式（）A．x﹣3 B．x﹣4 C．x﹣6 D．x﹣94．（2023?內(nèi)蒙古）分解因式：x3﹣4x＝．5．（2023?廣東）因式分解：x2﹣1＝．6．（2023?眉山）分解因式：x3﹣4x2+4x＝．7．（2023?浙江）一個(gè)多項(xiàng)式，把它因式分解后有一個(gè)因式為（x+1），請(qǐng)你寫出一個(gè)符合條件的多項(xiàng)式：．．8．（2023?哈爾濱）把多項(xiàng)式xy2﹣16x分解因式的結(jié)果是．9．（2023?株洲）因式分解：x2﹣2x+1＝．10．（2023?金昌）因式分解：ax2﹣2ax+a＝．11．（2023?赤峰）分解因式：x3﹣9x＝．1．（2023春?渭濱區(qū)期末）下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 C．x2﹣4y2＝（x﹣2y）2 D．x2+2x+1＝（x+1）22．（2023春?尤溪縣期末）下列多項(xiàng)式中能用完全平方公式分解的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2x+x2 C．a(chǎn)2+a+ D．﹣a2+b2﹣2ab3．（2022秋?江夏區(qū)期末）把多項(xiàng)式8a3b2+12ab3c因式分解時(shí)，應(yīng)提取的公因式是（）A．4ab B．4ab2c C．4ab2 D．8ab24．（2023?衡山縣二模）已知ab＝﹣3，a+b＝2，則a2b+ab2的值是（）A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣15．（2023春?富川縣期末）多項(xiàng)式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是（）A．3a2b2 B．﹣15a3b3 C．3a2b2c D．﹣12a2b2c6．（2023春?宣漢縣校級(jí)期末）把多項(xiàng)式x2+5x+m因式分解得（x+n）（x﹣2），則常數(shù)m，n的值分別為（）A．m＝﹣14，n＝7B．m＝14，n＝﹣7 C．m＝14，n＝7D．m＝﹣14，n＝﹣77．（2023春?新昌縣期末）已知x2+kx+9可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則k的值為（）A．﹣6 B．3 C．6 D．±68．（2023春?安鄉(xiāng)縣期末）若二次三項(xiàng)式x2+mx﹣8可分解為（x﹣4）（x+2），則m的值為（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．29．（2023?沈河區(qū)模擬）因式分解：﹣4y2+4y＝．10．（2023春?臨漳縣期末）仔細(xì)觀察下圖，各塊圖形面積之和為a2+3ab+2b2，則因式分解a2+3ab+2b2＝．11．（2023春?中寧縣期末）分解因式：2a（x﹣y）﹣（x﹣y）＝．12．（2022秋?荔灣區(qū)期末）分解因式：（1）3a2﹣6ab+3b2；（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．13．（2023春?渠縣校級(jí)期末）分解因式：x2（m﹣2）+9y2（2﹣m）14．（2023春?單縣期末）因式分解（1）﹣2a3+12a2﹣18a（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）15．（2022秋?嘉峪關(guān)期末）整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法：下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式（x2+2x）（x2+2x+2）+1進(jìn)行因式分解的過程．將“x2+2x”看成一個(gè)整體，令x2+2x＝y(tǒng)，則原式＝y(tǒng)（y+2）+1＝y(tǒng)2+2y+1＝（y+1）2，再將“y”還原即可．解：設(shè)x2+2x＝y(tǒng)．原式＝y(tǒng)（y+2）+1＝y(tǒng)2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2．問題：（1）該同學(xué)完成因式分解了嗎？如果沒完成，請(qǐng)你直接寫出最后的結(jié)果；（2）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）