高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義第2章第01節(jié)函數(shù)概念及其表示

第一節(jié)函數(shù)概念及其表示考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)分段函數(shù)2017·全國(guó)卷Ⅲ·T16·5分分段函數(shù)的應(yīng)用及不等式求解數(shù)學(xué)運(yùn)算2016·全國(guó)卷Ⅱ·T10·5分求函數(shù)定義域和值域數(shù)學(xué)運(yùn)算2015·全國(guó)卷Ⅰ·T10·5分求函數(shù)值數(shù)學(xué)運(yùn)算2015·全國(guó)卷Ⅱ·T13·5分求函數(shù)的解析式數(shù)學(xué)運(yùn)算2013·全國(guó)卷Ⅰ·T12·5分不等式恒成立求參數(shù)的范圍數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理函數(shù)的定義域五年未考命題分析表示函數(shù)的解析法、圖像法，分段函數(shù)以及函數(shù)與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，各種題型均有可能考查，難度中等偏上.1．函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A，BA，B是兩個(gè)非空數(shù)集A，B是兩個(gè)非空集合對(duì)應(yīng)關(guān)系f：A→B如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng)兩個(gè)非空集合A與B間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系f，而且對(duì)于A中的每一個(gè)元素x，B中總有唯一的一個(gè)元素y與它對(duì)應(yīng)名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射記法y＝f(x)，x∈A對(duì)應(yīng)f：A→B2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫作函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集．(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．(3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．(4)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖像法、列表法．3．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù)．分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．提醒：(1)三個(gè)易誤點(diǎn)①解決函數(shù)的一些問(wèn)題時(shí)，易忽視“定義域優(yōu)先”的原則；②易混“函數(shù)”與“映射”的概念：函數(shù)是特殊的映射，映射不一定是函數(shù)，從A到B的一個(gè)映射，A、B若不是數(shù)集，則這個(gè)映射便不是函數(shù)；③誤把分段函數(shù)理解為幾種函數(shù)組成．(2)對(duì)函數(shù)定義域的基本要求①開(kāi)偶次方時(shí)要求被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；②分式分母不為零；③零次冪的底數(shù)不為零；④對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；⑤指數(shù)、對(duì)數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；⑥實(shí)際問(wèn)題需考慮使題目自身有意義．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)是建立在其定義域到值域的映射．()(2)函數(shù)f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t是同一函數(shù)．()(3)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其對(duì)應(yīng)是從A到B的映射．()(4)分段函數(shù)是由兩個(gè)或幾個(gè)函數(shù)組成的．()(5)分段函數(shù)的定義域等于各段定義域的并集，值域等于各段值域的并集．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2．(教材習(xí)題改編)各個(gè)圖形中，不可能是函數(shù)y＝f(x)的圖像的是()解析：選A因?yàn)榇怪眡軸的直線與函數(shù)y＝f(x)的圖像至多有一個(gè)交點(diǎn)，故選A．3．y與x成反比，且當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝－eq\f(1,x)C．y＝eq\f(2,x) D．y＝－eq\f(2,x)解析：選C設(shè)y＝eq\f(k,x)(k≠0)，則1＝eq\f(k,2)，∴k＝2.∴y＝eq\f(2,x).4．已知f(x＋1)＝x2－2x，則f(3)＝________.解析：令x＋1＝3，得x＝2，由f(x＋1)＝x2－2x可得f(3)＝4－4＝0.答案：0求函數(shù)的定義域[明技法]函數(shù)y＝f(x)的定義域[提能力]【典例】(1)(2018·長(zhǎng)春質(zhì)檢)函數(shù)y＝eq\f(ln1－x,\r(x＋1))＋eq\f(1,x)的定義域是()A．[－1,0)∪(0,1) B．[－1,0)∪(0,1]C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函數(shù)f(x)的定義域是[－1,1]，則f(log2x)的定義域?yàn)開(kāi)_______．解析：(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,x＋1>0，,x≠0，))解得－1<x<0或0<x<1.所以原函數(shù)的定義域?yàn)?－1,0)∪(0,1)．(2)∵函數(shù)f(x)的定義域是[－1,1]，∴－1≤log2x≤1，∴eq\f(1,2)≤x≤2.故f(log2x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).答案：(1)D(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))[母題變式]將本例(2)變?yōu)椋喝艉瘮?shù)f(x2＋1)的定義域?yàn)閇－1,1]，則f(lgx)的定義域?yàn)開(kāi)_____．解析：因?yàn)閒(x2＋1)的定義域?yàn)閇－1,1]，則－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤2.因?yàn)閒(x2＋1)與f(lgx)是同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以1≤lgx≤2，即10≤x≤100，所以函數(shù)f(lgx)的定義域?yàn)閇10,100]．答案：[10,100][刷好題]1．(2018·安慶模擬)若函數(shù)f(x)＝eq\r(2x2＋2ax－a－1)的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為_(kāi)_______．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以2x2＋2ax－a－1≥0對(duì)x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a答案：[－1,0]2．(金榜原創(chuàng))函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(1－|x－1|),ax－1)(a＞0且a≠1)的定義域?yàn)開(kāi)_______．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|x－1|≥0，,ax－1≠0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,x≠0))?0＜x≤2，故所求函數(shù)的定義域?yàn)?0,2]．答案：(0,2]求函數(shù)的解析式[明技法]求函數(shù)解析式的四種常用方法(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式．(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法．(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍．(4)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過(guò)解方程求出f(x)．[提能力]【典例】(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，則f(x)的解析式為_(kāi)_______．(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x(3)(2018·合肥模擬)已知f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，滿足3f(x)＋5feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(3,x)＋1，則函數(shù)f(x)的解析式為_(kāi)_______．解析：(1)方法一(換元法)設(shè)t＝eq\r(x)＋1，則x＝(t－1)2(t≥1)；代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配湊法)∵x＋2eq\r(x)＝(eq\r(x))2＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1，∴f(eq\r(x)＋1)＝(eq\r(x)＋1)2－1(eq\r(x)＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋即ax＋5a＋b＝2x＋17不論x∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＋5a＝17，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7，))∴f(x)＝2x＋7.(3)令eq\f(1,x)代替3f(x)＋5feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(3,x)＋1中的x，得3feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋5f(x)＝3x＋1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3fx＋5f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝\f(3,x)＋1，①,3f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋5fx＝3x＋1，②))①×3－②×5得f(x)＝eq\f(15,16)x－eq\f(9,16x)＋eq\f(1,8).答案：(1)f(x)＝x2－1(x≥1)(2)2x＋7(3)f(x)＝eq\f(15,16)x－eq\f(9,16x)＋eq\f(1,8)[刷好題]1．如果feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，則當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，f(x)等于()A．eq\f(1,x) B．eq\f(1,x－1)C．eq\f(1,1－x) D．eq\f(1,x)－1解析：選B令eq\f(1,x)＝t，得x＝eq\f(1,t)，∴f(t)＝eq\f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq\f(1,t－1)，∴f(x)＝eq\f(1,x－1).2．(2018·青島模擬)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的表達(dá)式為f(x)＝x＋eq\r(x)，則在(－∞，0)上f(x)的表達(dá)式為f(x)＝________.解析：設(shè)x<0，則－x>0，∴f(－x)＝－x＋eq\r(－x).又f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝x－eq\r(－x)，即x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝x－eq\r(－x).答案：x－eq\r(－x)分段函數(shù)[析考情]分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)，是高考的命題熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為中低檔題．[提能力]命題點(diǎn)1：分段函數(shù)求值問(wèn)題【典例1】(2018·大同質(zhì)檢)設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\r(x)，x≥0，,2x，x＜0，))則f(f(－2))＝()A．－1 B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,2)解析：選C∵f(－2)＝2－2＝eq\f(1,4)＞0，則f(f(－2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－eq\r(\f(1,4))＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故選C．命題點(diǎn)2：分段函數(shù)與不等式的問(wèn)題【典例2】(2017·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))則滿足f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))>1的x的取值范圍是________．解析：由題意知，可對(duì)不等式分x≤0,0<x≤eq\f(1,2)，x>eq\f(1,2)三段討論．當(dāng)x≤0時(shí)，原不等式為x＋1＋x＋eq\f(1,2)>1，解得x>－eq\f(1,4)，∴－eq\f(1,4)<x≤0.當(dāng)0<x≤eq\f(1,2)時(shí)，原不等式為2x＋x＋eq\f(1,2)>1，顯然成立．當(dāng)x>eq\f(1,2)時(shí)，原不等式為2x＋2x－eq\f(1,2)>1，顯然成立．綜上可知，x>－eq\f(1,4).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))命題點(diǎn)3：分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用【典例3】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≤0，,lnx＋1，x>0.))若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．[－2,1] D．[－2,0]解析：選Dy＝|f(x)|的圖像如圖所示，y＝ax為過(guò)原點(diǎn)的一條直線，當(dāng)|f(x)|≥ax時(shí)，必有k≤a≤0，其中k是y＝x2－2x(x≤0)在原點(diǎn)處的切線的斜率，顯然，k＝－2.所以a的取值范圍是[－2,0]．[悟技法]分段函數(shù)題型的求解策略(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解．(2)已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍．(3)研究分段函數(shù)的性質(zhì)可根據(jù)分段函數(shù)逐段研究其性質(zhì)，也可根據(jù)選項(xiàng)利用特殊值法作出判斷．[刷好題]1．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x≤1，,－log2x＋1，x>1，))且f(a)＝－3，則f(6－a)＝()A．－eq\f(7,4) B．－eq\f(5,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,4)解析：選A若a≤1，f(a)＝2a－1－2＝－3,2a－1＝－1(無(wú)解若a>1，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，a＝7,f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝eq\f(1,4)－2＝－eq\f(7,4).2．(2018·淄博質(zhì)檢)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”：a?b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a－b≥1，,a，a－b<1.))設(shè)f(x)＝(x2－