專題4.1 任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念【五大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1終邊相同的角】 4【題型2象限角】 4【題型3弧度制及其應(yīng)用】 5【題型4任意角的三角函數(shù)的定義及應(yīng)用】 6【題型5三角函數(shù)值符號(hào)的判定】 71、任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解任意角的概念和弧度制

(2)能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性

(3)借助單位圓理解三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義2023年北京卷：第13題，5分2024年北京卷：第12題，5分任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，主要考察任意角的概念、三角函數(shù)的概念，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試題比較簡(jiǎn)單.【知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)的基本概念】1．任意角(1)角的概念角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.(2)角的表示如圖：

①始邊：射線的起始位置OA；

②終邊：射線的終止位置OB；

③頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O；

④記法：圖中的角可記為“角”或“”或“AOB”.2．象限角與終邊相同的角(1)終邊相同的角若角,終邊相同，則它們的關(guān)系為：將角的終邊旋轉(zhuǎn)(逆時(shí)針或順時(shí)針)k(k∈Z)周即得角.

一般地，我們有：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和.(2)象限角、軸線角①象限角、軸線角的概念在平面直角坐標(biāo)系中，如果角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，稱這個(gè)角為軸線角.

②象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角3．角度制、弧度制的概念(1)角度制角可以用度為單位來進(jìn)行度量，1度的角等于周角的.這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.(2)弧度制的相關(guān)概念①1弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角.②弧度制：定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.記法：弧度單位用符號(hào)rad表示，讀作弧度.4．任意角的三角函數(shù)(1)利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)設(shè)是一個(gè)任意角，∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y).

①把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做的正弦函數(shù)，記作，即y=；

②把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做的余弦函數(shù)，記作，即x=；

③把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切，記作，即=(x≠0).我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)(2)用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角函數(shù)

如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)O重合)的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r.則=，=，=.【知識(shí)點(diǎn)2任意角和弧度制的解題策略】1．終邊相同的角的集合利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角.2．確定，(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定或的終邊所在的位置.3．應(yīng)用弧度制解決問題的幾大要點(diǎn)應(yīng)用弧度制解決問題時(shí)應(yīng)注意：(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.(3)在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.【知識(shí)點(diǎn)3三角函數(shù)的定義及應(yīng)用的解題策略】1．三角函數(shù)定義的應(yīng)用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定這個(gè)角的三角函數(shù)值.(2)已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.2．判定三角函數(shù)值的符號(hào)的解題策略要判定三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定值的符號(hào).如果不能確定角所在象限，那就要進(jìn)行分類討論求解.【題型1終邊相同的角】【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）下列與7π4的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A．2kπ+3C．kπ?π【變式1-1】（23-24高一上·內(nèi)蒙古·期末）若角α與角?2π5的終邊相同，則αA．12π5 B．?10π5 【變式1-2】（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習(xí)）若角α的終邊在直線y=x上，則角α的取值集合為（

）A．α∣α=k?360°+C．α∣α=k?180°?【變式1-3】（23-24高一下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）將角α的終邊繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后與130°角的終邊重合，則與角α終邊相同的角的集合為（

）A．ββ=k×180°+90°,k∈Z B．C．ββ=k×180°+150°,k∈Z D．【題型2象限角】【例2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若α是第一象限角，則下列各角是第三象限角的是（

）A．90°?α B．180°?α C．270°?α D．?α【變式2-1】（23-24高一上·河北唐山·期末）已知α=944°，則α是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【變式2-2】（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）已知角α以x軸正半軸為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)Psin2π3,cosA．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【變式2-3】（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）“α是第四象限角”是“α2是第二或第四象限角”的（

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【題型3弧度制及其應(yīng)用】【例3】（2024·湖南·一模）出土于魯國(guó)故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，黃身外耬空雕飾“S”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計(jì)算璜身面積（厚度忽略不計(jì)），測(cè)得各項(xiàng)數(shù)據(jù)（圖2）：AB≈8cm,AD≈2cm,AO≈5cm，若sinA．6.8cm2 B．9.8cm2 C．【變式3-1】（2024·新疆克拉瑪依·三模）擲鐵餅是一項(xiàng)體育競(jìng)技活動(dòng)．如圖是一位擲鐵餅運(yùn)動(dòng)員在準(zhǔn)備擲出鐵餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿的“弓”．經(jīng)測(cè)量此時(shí)兩手掌心之間的弧長(zhǎng)是5π6，“弓”所在圓的半徑為1.25米，這位擲鐵餅運(yùn)動(dòng)員兩手掌心之間的距離為（

A．526 B．524 C．【變式3-2】（2024·貴州貴陽·三模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積=12（弦×矢+矢2

A．π3 B．2π3 C．4π3【變式3-3】（2023·浙江嘉興·二模）相傳早在公元前3世紀(jì)，古希臘天文學(xué)家厄拉多塞內(nèi)斯就首次測(cè)出了地球半徑.厄拉多塞內(nèi)斯選擇在夏至這一天利用同一子午線（經(jīng)線）的兩個(gè)城市（賽伊城和亞歷山大城）進(jìn)行觀測(cè)，當(dāng)太陽光直射塞伊城某水井S時(shí)，亞歷山大城某處A的太陽光線與地面成角θ=82.8°，又知某商隊(duì)旅行時(shí)測(cè)得A與S的距離即劣弧AS的長(zhǎng)為5000古希臘里，若圓周率取3.125，則可估計(jì)地球半徑約為（A．35000古希臘里 B．40000古希臘里C．45000古希臘里 D．50000古希臘里【題型4任意角的三角函數(shù)的定義及應(yīng)用】【例4】（2023·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，cosα=55,Pm,2A．?4 B．4 C．?1 D．1【變式4-1】（2024·江西·二模）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)，則cosα=A．63 B．33 C．2 【變式4-2】（2023·河南開封·三模）設(shè)α是第二象限角，P（x，1）為其終邊上一點(diǎn)，且cosα=13x，則tanA．?22 B．?24 C．【變式4-3】（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）已知角α的頂點(diǎn)位于平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊與單位圓相交于點(diǎn)?22,22A．?12 B．?22 C．【題型5三角函數(shù)值符號(hào)的判定】【例5】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知α是第二象限角，則點(diǎn)(cos(sinA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式5-1】（2023·四川宜賓·三模）已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)a,2，其中a是非零實(shí)數(shù)，則下列三角函數(shù)值恒為正的是（

）A．cosαtanα B．sinαcosα【變式5-2】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知α是第二象限角，則點(diǎn)（cos(?α)，sin(?α)）所在的象限是（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式5-3】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，終邊在第三象限.則（

）A．sinα?cosα≤C．sinα?cosα<一、單選題1．（23-24高三下·甘肅·階段練習(xí)）集合A=α∣α=?2024°+k?180°,k∈Z中的最大負(fù)角α為（A．?2024° B．?224° C．?44° D．?24°2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）“角α,β的終邊在同一條直線上”是“sinα?β=0”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角α的集合是（

）A．α|5π6C．α|?7π64．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)Psinπ3,cosA．0 B．12 C．22 5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代畫像磚等發(fā)展而來，明清時(shí)代進(jìn)入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運(yùn)用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個(gè)梅花磚雕，其正面是一個(gè)扇環(huán)ABCD，如圖（2），磚雕厚度為6cm，AD=80cm，CD=3AB，CD所對(duì)的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：cm

A．3200π B．480π+960 C．68806．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P3,4，則sinα+2cosA．11 B．?10 C．10 D．?117．（2024·浙江·二模）古人把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)這八種三角函數(shù)的函數(shù)線合稱為八線.其中余切函數(shù)cotθ=1tanθ，正割函數(shù)secθ=1cosθ，余割函數(shù)cscθ=1sinθ，正矢函數(shù)versinθ=1?cosθ，余矢函數(shù)vercosθ=1?sinθ.如圖角θ始邊為x軸的非負(fù)半軸，其終邊與單位圓交點(diǎn)P，A、B分別是單位圓與x軸和y軸正半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM垂直x軸，作PN垂直y軸，垂足分別為M、N，過點(diǎn)A作x軸的垂線，過點(diǎn)

A．versinθ=AM C．cotθ=BS D．8．（2024·山東青島·一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯(lián)展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案．出土于魯國(guó)故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就是這樣一件珍寶．玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計(jì)算璜身面積（厚度忽略不計(jì)），測(cè)得各項(xiàng)數(shù)據(jù)（圖2）：AB≈8cm，AD≈2cm，AO≈5cm，若sin37°≈35，πA．6.8cm2 B．9.8cm2 C．二、多選題9．（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）下列說法正確的是（

）A．若sinα=sinβ，則αB．若角α的終邊過點(diǎn)P3k,4kk≠0C．若扇形的周長(zhǎng)為3，半徑為1，則其圓心角的大小為1弧度D．若sinα?cosα>010．（2023·河北石家莊·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P52,x，且sinα=2A．±2 B．±1 C．0 D．±11．（2023·吉林·二模）如圖，A，B是在單位圓上運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn).初始時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A在（1，0）處，質(zhì)點(diǎn)B在第一象限，且∠AOB=π6.質(zhì)點(diǎn)A以π6rad/s的角速度按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)A．經(jīng)過1s后，扇形AOB的面積為5B．經(jīng)過2s后，劣弧AB的長(zhǎng)為2C．經(jīng)過6s后，質(zhì)點(diǎn)B的坐標(biāo)為?D．經(jīng)過223s后，質(zhì)點(diǎn)A，三、填空題12．（2024·寧夏·二模）最美數(shù)學(xué)老師手表上的時(shí)針長(zhǎng)度是1厘米，則時(shí)針4h（時(shí)）轉(zhuǎn)出的扇形面積是平方厘米．13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸．若Pm,2是角θ終邊上一點(diǎn)，且cosθ=?31014．（2023·廣東佛山·一模）若點(diǎn)Acosθ,sinθ關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為Bcos四、解答題15．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知角α的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：(1)α2(2)α316．（23-24高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式?720°≤β<(1)60°(2)?45(3)1303°(4)?22517．（23-24高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）利用單位圓，求適合下列條件的角α的集合．(1)c