專題8.6 雙曲線（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題8.6雙曲線【十一大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1雙曲線的定義及其應(yīng)用】 4【題型2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】 6【題型3曲線方程與雙曲線】 8【題型4求雙曲線的軌跡方程】 9【題型5雙曲線中焦點三角形問題】 11【題型6雙曲線上點到焦點的距離及最值問題】 14【題型7雙曲線中線段和、差的最值問題】 16【題型8求雙曲線的離心率或其取值范圍】 19【題型9雙曲線的簡單幾何性質(zhì)問題】 21【題型10雙曲線的實際應(yīng)用問題】 24【題型11橢圓與雙曲線綜合】 271、雙曲線考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程(2)掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率)(3)了解雙曲線的簡單應(yīng)用2023年新高考I卷：第16題，5分2023年全國甲卷（文數(shù)）：第8題，5分2023年北京卷：第12題，5分2023年天津卷：第9題，5分2024年新高考I卷：第12題，5分2024年全國甲卷（理數(shù)）：第5題，5分雙曲線是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重點.從近幾年的高考情況來看，主要考查雙曲線的定義、方程與性質(zhì)等知識，題型比較豐富，選擇、填空、解答題都可能出現(xiàn)，選擇、填空題中難度中等偏易，解答題中難度偏大，有時會與向量等知識結(jié)合考查，需要學(xué)會靈活求解.【知識點1雙曲線及其性質(zhì)】1．雙曲線的定義雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：雙曲線在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系3．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的一些幾何性質(zhì)：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱頂點A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半軸長實半軸長為a,虛半軸長為b離心率漸近線方程4．雙曲線的離心率(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.【知識點2雙曲線方程的求解方法】1．雙曲線方程的求解(1)用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)雙曲線的定義，確定的值，結(jié)合焦點位置可寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，先確定焦點在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為或，再根據(jù)條件求解.(3)與雙曲線有相同漸近線時，可設(shè)所求雙曲線方程為.【知識點3雙曲線的焦點三角形的相關(guān)結(jié)論】1．雙曲線的焦點三角形(1)焦點三角形的概念

設(shè)P是雙曲線上一點，,為雙曲線的焦點，當(dāng)點P,,不在同一條直線上時，它們構(gòu)成一個焦點三角形，如圖所示.(2)焦點三角形的常用結(jié)論

若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，,分別為雙曲線的左、右焦點，則，其中為.【知識點4雙曲線的離心率或其取值范圍的解題策略】1．求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式)，借助于消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.【知識點5雙曲線中的最值問題的解題策略】1．雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【方法技巧與總結(jié)】1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.2．若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1,F2分別為雙曲線的左、右焦點，則，.3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為.4．與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可表示為(t≠0).【題型1雙曲線的定義及其應(yīng)用】【例1】（2024·河北邢臺·二模）若點P是雙曲線C：x216?y29=1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，則“PF1=8”是“PF2A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．充分不必要條件【解題思路】首先求得焦半徑的最小值，然后結(jié)合雙曲線定義以及充要條件的定義即可得解.【解答過程】a=4,b=3,c=4當(dāng)點P在左支時，PF1的最小值為當(dāng)點P在右支時，PF1的最小值為因為PF1=8由雙曲線的定義PF2?當(dāng)PF2=16，點P在左支時，PF1故為充分不必要條件，故選：D.【變式1-1】（2024·青?！つM預(yù)測）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，F(xiàn)1A．3c?a B．3c+a C．2c?a D．2c+a【解題思路】借助雙曲線定義計算即可得.【解答過程】由雙曲線定義可知：PF則三角形△PF1F故PF故選：D.【變式1-2】（23-24高二下·北京海淀·期末）已知雙曲線C:x2a2?y216=1的左右焦點依次為F1，A．?6 B．6 C．8 D．10【解題思路】根據(jù)題意，得b=4，c=5，求出a2=9，根據(jù)雙曲線的定義即可求出【解答過程】由題意知，b=4，2c=10，∴a∴雙曲線C:x∵點P在雙曲線的右支上，∴由雙曲線的定義得，PF故選：B.【變式1-3】（2024·四川達州·二模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x24?y23=1的左、右焦點，過F2的直線與A．5 B．6 C．8 D．12【解題思路】由雙曲線的定義知F1P?PF2=2a=4【解答過程】雙曲線C：x24?y2由雙曲線的定義知：F1P?PQ=所以F=F故選：C.【題型2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】【例2】（2024·北京門頭溝·一模）已知雙曲線C經(jīng)過點0,1，離心率為2，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．x2?yC．y2?x【解題思路】根據(jù)題意設(shè)出雙曲線方程，在根據(jù)離心率公式，即可求出?！窘獯疬^程】由題意知，雙曲線的焦點在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為y2a2因為雙曲線C經(jīng)過點(0,1)，所以a=1，因為e=ca=2所以b2所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2故選：C.【變式2-1】（2024·北京海淀·一模）若雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)A．x24?y2=1 B．x【解題思路】根據(jù)題意及雙曲線的定義可知2a=b，c=5，再結(jié)合a2+【解答過程】由題知c=5，根據(jù)題意，由雙曲線的定義知2a=b，又a所以5a2=5，得到a故選：D.【變式2-2】（2024·湖南岳陽·一模）如圖，唐金筐寶鈿團花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細(xì)工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線C的一部分，若C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=2，且點P(6,3)在雙曲線C上，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（A．x2?yC．x23?【解題思路】利用待定系數(shù)法可求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解答過程】設(shè)雙曲線的方程為：x2因為離心率e=2，故半焦距c=2a，故b=3而雙曲線過P(6,3)，故6a故雙曲線的方程為：x2故選：C.【變式2-3】（2024·四川雅安·一模）已知F1,F2為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點，點A．x29?C．x26?【解題思路】先根據(jù)雙曲線的定義求出F2A,F1A，在△AF【解答過程】因為F1A=2又因為點A在C上，所以F1即2F2A在△AF1F所以sin∠A又0°<∠AF2F1<180°則S△AF1則F1F2所以b2所以C的方程為x2故選：B.

【題型3曲線方程與雙曲線】【例3】（2024·四川南充·二模）已知m，n是實數(shù)，則“mn<0”是“曲線mx2+ny2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【解答過程】若曲線mx2+ny2=1是焦點在x軸的雙曲線，則若m=?1，n=1滿足mn<0，但是曲線y2?x所以“mn<0”是“曲線mx2+n故選：B.【變式3-1】（23-24高二上·上?！て谀┊?dāng)ab<0時，方程ax2?aA．焦點在x軸的橢圓 B．焦點在x軸的雙曲線C．焦點在y軸的橢圓 D．焦點在y軸的雙曲線【解題思路】化簡方程，然后判斷表示的曲線即可．【解答過程】當(dāng)ab＜0時，方程ax2?a∴方程表示雙曲線．焦點坐標(biāo)在y軸上；故選：D．【變式3-2】（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知曲線C:x24+y2m=1(m≠0)，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】若m∈(0,4)，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓；當(dāng)曲線C表示焦點在x軸上的雙曲線時m<0.【解答過程】若m∈(0,4)，則曲線C:x24若曲線C的焦點在x軸上，也有可能是m<0，此時曲線C表示焦點在x軸上的雙曲線，故必要性不成立，故選：A.【變式3-3】（23-24高二下·浙江·期中）“m>1”是“方程x2m?1?A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合充分、必要條件的概念即可求解.【解答過程】若m>1，則m?1>0,m+3>0，所以方程x2若方程x2m?1?y2m+3=1所以“m>1”是“方程x2故選：A.【題型4求雙曲線的軌跡方程】【例4】（23-24高二上·廣東·期末）已知動圓與圓F1:(x+4)2+A．x2?yC．x215?【解題思路】設(shè)Mx,y，半徑為r，根據(jù)給定條件可得MF2?MF1【解答過程】圓F1：x+42+y2圓F2：x?42+y2設(shè)動圓圓心Mx,y，半徑為r，由動圓M與圓F1，得MF1=r+1因此圓心M的軌跡是以F1,F即a=1，半焦距c=4，虛半軸長b=c所以動圓圓心M的軌跡方程是x2故選：B.【變式4-1】（23-24高二上·廣東東莞·期中）設(shè)F1、F2是兩定點，F(xiàn)1F2=6，動點P滿足A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．軌跡不存在【解題思路】由PF【解答過程】依題意，F(xiàn)1、F2是兩個定點，且P滿足PF1?故選：B.【變式4-2】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）相距1600m的兩個哨所A,B，聽到遠(yuǎn)處傳來的炮彈爆炸聲，已知當(dāng)時的聲音速度是320m/s，在A哨所聽到的爆炸聲的時間比在B哨所聽到時遲4s．若以AB所在直線為x軸，以線段AB的中垂線為A．x2435600?C．x2435600+【解題思路】根據(jù)速度、時間、位移之間的關(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義進行求解即可.【解答過程】以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A?800,0設(shè)Mx,y則MA?所以點M的軌跡為雙曲線的右支，且a=640，c=800，∴b∴點M的軌跡方程為x2故選：B.【變式4-3】（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知動圓P與圓M：x+32+y2=1，圓N：x?32+y2A．x2?yC．x2?y【解題思路】設(shè)圓P的半徑為r，外切關(guān)系可得MP=r+1，NP=r+3，進而得【解答過程】由圓M：x+32+y2=1由圓N：x?32+y2=9設(shè)圓P的半徑為r，則有MP=r+1，NP兩式相減得NP?所以圓心P的運動軌跡為以M?3,0、N又9?1=8，所以C的方程為x2故選：B．【題型5雙曲線中焦點三角形問題】【例5】（2024·四川成都·三模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x2?y23=1的左，右焦點，點PA．43 B．37 C．4552【解題思路】利用雙曲線的定義可得PF2=4【解答過程】∵雙曲線C:x∴a=1,b=3,c=2，又點P在雙曲線C的右支上，所以PF1?PF又F1∴△PF1F故選：B.【變式5-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知點A?2,0，A′2,0，動點P滿足4kAP?kA′P=1，圓E：x2+y2=5與點A．5+6 C．5+26 【解題思路】根據(jù)題意先求出點P的軌跡方程，再畫出圖像，進而利用雙曲線的定義和圓的性質(zhì)得到△MBC的周長.【解答過程】設(shè)Px,y，根據(jù)4kAP?kA′P=1所以由4kAP?kA′P=1得第二步：設(shè)MC=d，由題意不妨令B?5,0，C5,0，則不妨設(shè)M在第一象限，MC=d，則MB=4+d，根據(jù)圓的性質(zhì)可知所以4+d2+d故MC+MB=4+2d=26,故選：D.【變式5-2】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x24?y28=1的左，右焦點，過F1的直線與y軸和C的右支分別交于點A．2 B．4 C．8 D．16【解題思路】由雙曲線的定義、正三角形的性質(zhì)即可求解.【解答過程】根據(jù)雙曲線定義有QF由于點P在線段F1F2又QF1=PF故選：C.【變式5-3】（2024·廣西南寧·一模）設(shè)F1、F2是雙曲線C:x28?y210=1的左、右兩個焦點，A．5 B．8 C．10 D．12【解題思路】由題意可知P在以F1F2為直徑的圓上，由雙曲線的定義與三角形面積公式可求得S【解答過程】由題可知，F(xiàn)1?32因為OP=所以|OP|=1所以點P在以F1即△F1F故PF12又||PF所以32=||PF解得PF所以S△則△PF故選：A.【題型6雙曲線上點到焦點的距離及最值問題】【例6】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x23?y2=1的右焦點為F，動點M在直線l:x=32上，線段FM交C于P點，過PA．62 B．33 C．63【解題思路】設(shè)出點P的坐標(biāo)為x0,y0，由已知，用x0表示出PR【解答過程】由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點M在x軸上及其上方，如圖，

依題意，F(xiàn)2,0，設(shè)Px0由x023所以PF=所以PRPF故選：D．【變式6-1】（2024·青海玉樹·模擬預(yù)測）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C:x24?y22A．16 B．18 C．8+42 D．【解題思路】利用雙曲線的定義表示PF【解答過程】因為F1，F(xiàn)2為雙曲線C:x24所以PF所以P=PF2+16因為c=a2+b2=6故選：A.【變式6-2】（2024·河南鄭州·一模）設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x23?y2=1的左、右焦點，Q為雙曲線右支上一點，點A．3?2 B．3+2 C．【解題思路】結(jié)合雙曲線定義數(shù)形結(jié)合判斷QF1+PQ取最小值時，P,Q,F2三點共線，聯(lián)立直線及雙曲線方程解出【解答過程】由雙曲線定義得QF故Q如圖示，當(dāng)P,Q,F2三點共線，即Q在M位置時，∵F22,0,P(0,2)，故聯(lián)立x23?y2=1，解得點故|QF故選：A.【變式6-3】（2024·山東日照·一模）過雙曲線x24?y212=1的右支上一點P，分別向⊙C1:(x+4)A．28 B．29 C．30 D．32【解題思路】求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線x24?y212=1的左右焦點為F1?4,0，F(xiàn)【解答過程】由雙曲線方程x24?可知雙曲線方程的左、右焦點分別為F1?4,0，圓C1:x+42+y2圓C2:x?42+y2連接PF1，PF2，F(xiàn)1可得PM?+=2aP當(dāng)且僅當(dāng)P為雙曲線的右頂點時，取得等號，即PM+故選：C.【題型7\t"/gzsx/zj165992/_blank"\o"利用定義求雙曲線中線段和、差的最值"雙曲線中線段和、差的最值問題】【例7】（2024·河南鄭州·一模）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，實軸長為6，漸近線方程為y=±A．8 B．9 C．10 D．11【解題思路】先根據(jù)題意得雙曲線的方程為x29?y2=1，再結(jié)合雙曲線的定義得MF2=2a+MF【解答過程】由題意可得2a=6，即a=3，漸近線方程為y=±13x，即有ba=焦點為F1?10,0，由圓E:x2+y+62=1連接EF1，交雙曲線于M，交圓于此時MN+MF則MN+MF故選：B.【變式7-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線C：x2?y224=1的左焦點和右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點A．5 B．6 C．7 D．8【解題思路】根據(jù)雙曲線的方程求出a,b,c的值，由雙曲線的定義可得AF1+【解答過程】由雙曲線C：x2a2=1，b2所以a=1，c=5，由雙曲線的定義可得AF1?所以AF由雙曲線的性質(zhì)可知：AF2≥c?a=4，令A(yù)所以AF1+所以當(dāng)t=4時，取得最小值4+44+2=7，此時點A即AF1+故選：C.【變式7-2】（23-24高二上·全國·單元測試）已知等軸雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，左焦點為F1，焦距為4，點A的坐標(biāo)為(2,1)，P為雙曲線右支上一動點，則PA．22 B．17 C．22+1【解題思路】由雙曲線的定義和三點共線取得最值的性質(zhì)，可得最大值．【解答過程】由題意可設(shè)雙曲線的方程為x2則2a2=c2=4，即由雙曲線的定義可得PF則PF當(dāng)F2,A,P三點共線時，取得等號，則PF故選：C．【變式7-3】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知點M1,2，點P是雙曲線C：x24?y212=1左支上的動點，N是圓A．5?10 B．10?5 C．13?3【解題思路】利用圓的性質(zhì)求出|PN|的最大值，由點M與拋物線右支的位置求出|PM|的最小值，再利用雙曲線定義求解即得.【解答過程】雙曲線C的半焦距c=4+12=4，圓D的圓心D?4,0是雙曲線C圓D半徑為r=1，顯然點P在圓D外，PN≤PD+r，當(dāng)且僅當(dāng)NPM≥PF2?所以PM?PN≥PF故選：D.【題型8求雙曲線的離心率或其取值范圍】【例8】（2024·安徽·模擬預(yù)測）雙曲線x2a2?yA．3 B．2 C．23 D．【解題思路】由一條漸近線過點?1,2得ba=【解答過程】雙曲線x2a2將點?1,2代入bx+ay=0中，得b故離心率e=c故選：A．【變式8-1】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),F,A分別為E的右焦點和左頂點，點M?2,3A．3 B．2 C．62 D．【解題思路】根據(jù)S△AMF=92、點M?2,3【解答過程】由題設(shè)知，AF=a+c，則S所以a+c=3，且c>a，易知0<a<3又因為點M?2,3在E上，所以4a2因為a2+b2=則a4a3解得a=1或a=1±7（舍去）．所以a=1,c=2故E的離心率為ca故選：B．【變式8-2】（2024·四川雅安·三模）設(shè)F1,F2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點，過點F2的直線交雙曲線右支于點MA．3+12 B．3+1 C．2【解題思路】設(shè)M(x,y)，根據(jù)中點關(guān)系得M(2c,y)，從而根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)形式列式求得y2=3c2，根據(jù)點M在雙曲線上列方程求解即可【解答過程】由題意，F(xiàn)1?c,0,F2因為F2為線段MN的中點，所以x=2c，即M(2c,y)，則F因為F1M⊥F1又M在C:x2a結(jié)合b2=c2?解得e2=1+32或e2故選：A.【變式8-3】（2024·浙江杭州·三模）已知雙曲線x2a2?y2b2=1a,b>0上存在關(guān)于原點中心對稱的兩點A．2,+∞ B．3,+∞ C．【解題思路】設(shè)點Ax,y，則可取C?3【解答過程】由題意可知：雙曲線的漸近線方程為y=±b設(shè)點Ax,y，則可取C則x2a2解得b2>a2，即c2所以該雙曲線離心率的取值范圍是2,+故選：A.【題型9雙曲線的簡單幾何性質(zhì)問題】【例9】（2024·福建福州·模擬預(yù)測）以y=±3x為漸近線的雙曲線可以是（

）A．x23?C．y23?【解題思路】利用漸近線的求法，直接求出各個選項的漸近線方程，即可求解.【解答過程】對于選項A，由x23?對于選項B，由x2?y對于選項C，由y23?對于選項D，由y2?x故選：B.【變式9-1】（2024·湖南·三模）雙曲線C:y2a2?x2A．?4 B．4 C．?2 D．2【解題思路】由點到直線的距離公式、焦點、漸近線以及c2【解答過程】由對稱性，不妨設(shè)F20,c，雙曲線的漸近線是則由題意ca2+1=c故選：A.【變式9-2】（2024·甘肅張掖·三模）已知雙曲線方程為2x2?y2=λ（A．頂點坐標(biāo) B．焦距 C．離心率 D．漸近線方程【解題思路】分λ>0和λ<0，再代入選項討論即可.【解答過程】因為雙曲線方程為2x2?所以雙曲線的漸近線方程為2x2?所以漸近線方程不變，故D選項正確；雙曲線方程化為x2當(dāng)λ>0，雙曲線的焦點和頂點在x軸上，頂點坐標(biāo)為2λ2,0，焦距為離心率為6λ22λ2當(dāng)λ<0，雙曲線方程化為y2雙曲線的焦點和頂點在y軸上，頂點坐標(biāo)為0,?λ，焦距為?6λ離心率為?6λ2故選：D.【變式9-3】（2024·河北·模擬預(yù)測）雙曲線Γ:y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的兩焦點分別為F1,F2，過F2的直線與其一支交于A，B兩點，點B在第四象限.以FA．y=±6x C．y=±63x【解題思路】設(shè)|BN|=t(t>0)，則|AM|=3|BN|=3t，由已知結(jié)合雙曲線定義，在△AF1B中由勾股定理求得t=a，在△B【解答過程】解：如圖，由題意得：|F設(shè)|BN|=t(t>0)，則|AM|=3|BN|=3t，所以|AF1|=2a+3t由雙曲線的定義得：|AF所以|AF2|=3t，|B因為F1B⊥F2B即(2a+t)2+(4t)所以|BF1|=3a在Rt△BF1即(3a)2可得a2所以b2所以a2b2故雙曲線Γ的漸近線方程為y=±6故選：C．【題型10雙曲線的實際應(yīng)用問題】【例10】（2024·全國·模擬預(yù)測）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用．我國首先研制成功的“雙曲線電瓶新聞燈”就是利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，即從雙曲線的一個焦點射出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．如圖，已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)

A．2 B．2 C．72 D．【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的定義表示出F2P，利用勾股定理表示出F1【解答過程】設(shè)雙曲線C的焦距為2c，因為cos∠F1所以F2P=所以2a=F1P故選：B.【變式10-1】（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）江南水鄉(xiāng)多石拱橋，現(xiàn)有等軸雙曲線形的石拱橋（如圖），拱頂離水面10米，水面寬AB=205米，若水面上升5米，則水面寬為（

A．102米 B．152米 C．123【解題思路】設(shè)雙曲線方程為y2a2?x2a2=1a>0,y<0，如圖建立直角坐標(biāo)系，水面上升5米后，設(shè)水面寬為CD，設(shè)【解答過程】設(shè)雙曲線方程為y2水面上升5米后，設(shè)水面寬為CD，設(shè)Dx,?a?5，其中x>0.又由題可得B10a+102a2?將D點坐標(biāo)代入雙曲線方程可得：625400?x2又由對稱性可得C?15,?25故選：D.【變式10-2】（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告；正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩觀測點晚2s，已知各觀測點到該中心的距離是680m，則該巨響發(fā)生在接報中心的（

）處(假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距離3403m B．東偏南45°方向，距離3403mC．西偏北45°方向，距離1703m D．東偏南45°方向，距離1703m【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，由條件確定該巨響發(fā)生的軌跡，聯(lián)立方程組求其位置.【解答過程】如圖，

以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（設(shè)P（x，y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得PA=PC，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=?x，因由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線左支x2依題意得a=340，故雙曲線方程為x23402?y23×故PO＝故巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心340故選：A.【變式10-3】（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）單葉雙曲面是最受設(shè)計師青睞的結(jié)構(gòu)之一，它可以用直的鋼梁建造，既能減少風(fēng)的阻力，又能用最少的材料來維持結(jié)構(gòu)的完整.如圖1，俗稱小蠻腰的廣州塔位于中國廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.某市計劃建造類似于廣州塔的地標(biāo)建筑，此地標(biāo)建筑的平面圖形是雙曲線，如圖2，最細(xì)處的直徑為100m，樓底的直徑為5022m，樓頂直徑為506m，最細(xì)處距樓底300m，則該地標(biāo)建筑的高為（A．350m B．375m C．400m D．450m【解題思路】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程是x2由已知可得a，將點C坐標(biāo)代入解得b的值，從而得到雙曲線的方程，最后利用雙曲線的方程解得B的坐標(biāo)即可求得地標(biāo)建筑的高.【解答過程】解：以地標(biāo)建筑的最細(xì)處所在直線為x軸，雙曲線的虛軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.由題意可得：A50,0，C設(shè)B256,y0則a=5025222所以雙曲線的方程是：x2將點B256,解得y0所以該地標(biāo)建筑的高為：300+100=400m.故選：C.【題型11橢圓與雙曲線綜合】【例11】（2024·四川樂山·三模）設(shè)雙曲線C1:x2a2?y2=1(a>0)，橢圓A．28 B．24 C．22【解題思路】先求得橢圓的離心率，進而可求得雙曲線的離心率，可求a的值.【解答過程】由橢圓C2:x所以c2=4?1又e1=23又雙曲線C1:x所以a2+1a故選：B.【變式11-1】（2024·山西太原·一模）設(shè)雙曲線x2a2?y2b2=1（a、bA．37 B．713 C．32【解題思路】運用共焦點條件得到雙曲線中c=1，由兩曲線的離心率之積為1得ca=2，再用a2+b【解答過程】由題意易得，在雙曲線中c=1，即a2由于橢圓離心率為e=12，且由兩曲線的離心率之積為1得∴c2a2=a2+b∴α=π3或α=故選：C.【變式11-2】（2024·山東菏澤·二模）已知e1,e2分別為橢圓x2a2+yA．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】根據(jù)橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，求出e2e1=a【解答過程】由橢圓x2a2雙曲線x2a2?y令k=ba，因為雙曲線的漸近線的斜率不超過25則0<k2≤45則e2e1故選：B.【變式11-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓C1:x2m2+y2n2=1(m>n>0)與雙曲線C2:xA．2+34 B．2+32 C．【解題思路】分別在橢圓和雙曲線中，利用焦點三角形中的余弦定理建立等量關(guān)系，再構(gòu)造1e【解答過程】設(shè)兩曲線的半焦距為c，由余弦定理得F1在橢圓中，F(xiàn)1得PF1?在雙曲線中，F(xiàn)1得PF1?PF則m2=n即1e所以e1當(dāng)且僅當(dāng)e2故選：B.一、單選題1．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知曲線C:x28+y2m=1(m≠0,m≠8)，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】易得充分性成立，當(dāng)m<0時，曲線C:x28【解答過程】當(dāng)m∈(0,8)時，曲線C:x28當(dāng)m<0時，曲線C:x28故由曲線C的焦點在x軸上推不出m∈(0,8)，即必要性不成立；所以“m∈(0,8)”是“曲線C的焦點在x軸上”的充分不必要條件．故選：A．2．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x24?y28=1的左，右焦點，過F1的直線與y軸和C的右支分別交于點A．2 B．4 C．8 D．16【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義及等邊三角形的性質(zhì)計算可得.【解答過程】對于雙曲線C:x24?根據(jù)雙曲線定義有|QF又|QF1|=|PF1故選：B.

3．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點F的坐標(biāo)為2,0，以線段FP為直徑的圓與圓O:x2+y2A．x24?y23=1 B．【解題思路】分兩圓外切和內(nèi)切兩種情況，根據(jù)兩圓位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解.【解答過程】由題意可知：圓O:x2+y2設(shè)F1?2,0，以線段FP為直徑的圓的圓心為M，半徑為若圓M與圓O外切，則PF1=2可得PF若圓M與圓O內(nèi)切，則PF1=2可得PF?綜上所述：PF可知動點P的軌跡是以F1,F為焦點的雙曲線，且a=3所以動點P的軌跡方程為x2故選：B.4．（2024·天津南開·二模）已知雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2A．x23?C．x29?【解題思路】|AF2|=|F2F1【解答過程】因為|AF由雙曲線的定義可知AF可得|AF由于過F2的直線斜率為24所以在等腰三角形AF1F2中，由余弦定理得：cos∠A化簡得39c2?50ac?25a2=0，可得可得a:b=3:4，a2所以此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為：x2故選：C.5．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點為F，過坐標(biāo)原點O的直線與雙曲線C交于M,N兩點，且點M在第一象限，滿足OM=OF.若點A．52 B．102 C．22【解題思路】利用三角形一邊中線等于這一邊的一半，則這是一個直角三角形，可得∠FNF【解答過程】設(shè)雙曲線右焦點為F2，連接MF,M由題意可知M,N關(guān)于原點對稱，所以O(shè)M=ON=OF=OF所以∠FNF2是直角，由NP=4NF，可設(shè)NF由雙曲線的定義可知：PF2?則PF2=2a+3m由∠FNF2是直角得：則2a+3m2=16m又由∠FNF2是直角得：則FF22=故選：B.6．（2024·湖南邵陽·三模）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點為F，左、右頂點分別為A1，A2，點M在C上且MF⊥x軸，直線MA1，MA2A．y=±26x B．y=±210x C．【解題思路】由題意求出直線MA1和直線MA2的方程，分別令x=0，可求出【解答過程】由題意知Fc,0,A所以令x=c，可得c2a2?y直線MA1的斜率為：所以直線MA1的方程為：令x=0可得y=b2a+c直線MA2所以直線MA2的方程為：令x=0可得y=?b2c?a由3OQ=4OP可得4所以c2=a2所以C的漸近線方程為y=±43故選：C.7．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A坐標(biāo)為0,?6，若動點P位于y軸右側(cè)，且到兩定點F1?3,0，F(xiàn)23,0的距離之差為定值4，則A．3+45 B．3+65 C．4+45【解題思路】先根據(jù)雙曲線的定義，判斷P點軌跡為雙曲線的右支，并求出方程；再根據(jù)PF1?PF2=2a和A【解答過程】由動點P到兩定點F1?3,0，結(jié)合雙曲線定義可知，動點P的軌跡是以F1?3,0，易得c=3，2a=4，由c2=a2+b2如圖：又PF1?P故△APF1的周長為:當(dāng)且僅當(dāng)P，A，F(xiàn)2三點共線且P點位于A、F2之間時等號成立，故△APF故選：D.8．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：x22?y22=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是C的右支上的一點，C在點P①直線F1P的斜率的取值范圍是②點P到C的兩條漸近線的距離之積為12③|PO|④PM=其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】利用解析幾何中的坐標(biāo)思想來研究，結(jié)合雙曲線方程及聯(lián)解方程組，通過坐標(biāo)運算進行分析求解即可.【解答過程】由題意知F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，設(shè)Px0,所以y02=x0所以kF1P2=所以k所以kF1P∈(?1,1)，即直線C的漸近線方程為y=±x，所以點P到C的兩條漸近線的距離之積為x0PF1=x02+=2當(dāng)y0≠0時，顯然C在點P處的切線的斜率存在，設(shè)點P處的切線方程為由x22?所以Δ=?2ky解得k=x所以C在點P處的切線方程為y=x0y當(dāng)y0=0時，C在點P處的切線方程為x=x0，所以點由x0x?y由x0x?又2x0?所以點P是線段MN的中點，所以PM=故選：C．二、多選題9．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知曲線C的方程為x2a+A．當(dāng)a<0時，曲線CB．當(dāng)0<a<3時，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓C．當(dāng)a=3時，曲線C表示圓D．當(dāng)a>3時，曲線C表示焦點在y軸上的橢圓【解題思路】根據(jù)雙曲線，橢圓以及圓的性質(zhì)即可結(jié)合選項逐一求解.【解答過程】對于A，當(dāng)a<0時，x2a對于B，當(dāng)0<a<3時，曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，B錯誤，對于C,當(dāng)a=3時，x2對于D,當(dāng)a>3時，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，D錯誤，故選：AC.10．（2024·重慶·三模）已知雙曲線C:x2a2?y216=1(a>0)的左，右焦點分別為FA．a(chǎn)=3 B．直線PF1的斜率為1C．△PF1Fz的周長為643【解題思路】對于A，根據(jù)三角形與其內(nèi)切圓性質(zhì)結(jié)合雙曲線定義即可求解；根據(jù)已知條件F1A、F2A、IA以及與各個所需量的關(guān)系即可求出∠PF1A=2∠IF1A、∠PF2【解答過程】如圖1，由條件，點P應(yīng)在雙曲線C的右支上，設(shè)圓I分別與△PF1F2的三邊切于點且PM=PN,又∵∴a=x由選項A得F1?5,0,F25,0，連接IF所以kP同理，tan∠P∴tan∴?tan所以由焦三角面積公式得S△又S△F1∴△PF1F2的周長為由tan∠由正弦定理F1F2故選：ACD.11．（2024·黑龍江大慶·三模）已知點P1,2是雙曲線C:3x2?y2A．雙曲線的浙近線方程為y=±B．雙曲線的焦點到漸近線的距離為1C．PAD．△PAB的面積為3【解題思路】首先根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，判斷A，再根據(jù)點到直線的距離判斷BC，最后根據(jù)幾何關(guān)系，求∠APB，再代入面積公式，即可求解.【解答過程】因為雙曲線的方程為C:3x2?y2雙曲線的右焦點233,0到漸近線y=由點到直線的距離公式可得PA?PB=如圖，因為KOA=3，所以∠AOx=60°.在△PAD∠PDA=∠ODB，所以∠APD=∠BOD=60S△PAB故選：ABD.三、填空題12．（2024·北京大興·三模）雙曲線y2?x2=1的焦點坐標(biāo)是【解題思路】根據(jù)雙曲線的方程可得答案.【解答過程】因為雙曲線y2?xa2=b所以雙曲線y2?x2=1故答案為：0,2，0,?13．（2024·寧夏銀川·一模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2