河北省石家莊市第四十四中學2024-2025學年九年級上學期第一次月考數(shù)學試卷

2024-2025學年河北省石家莊四十四中九年級（上）第一次月考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.方程中的根是(

)A.， B.，

C. D.2.若，則下列式子不正確的是(

)A. B. C. D.3.共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放1000輛單車，計劃第三個月投放單車數(shù)量比第一個月多440輛，設該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，則所列方程正確的為(

)A.

B.

C.

D.4.為考察甲、乙、丙、丁四種小麥的長勢，在同一時期分別從中隨機抽取部分麥苗，獲得苗高單位：的平均數(shù)與方差為：，：，則麥苗又高又整齊的是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁5.如圖，點G是的重心，交BC于點如果，那么GE的長為(

)A.3

B.4

C.6

D.8

6.如圖，在的方格圖中，的頂點均在格點上，下列選項中的格點三角形陰影部分與相似的是(

)A.

B.

C.

D.7.如圖是小穎前三次購買蘋果單價的統(tǒng)計圖，第四次又買的蘋果單價是a元/千克，發(fā)現(xiàn)這四個單價的中位數(shù)恰好也是眾數(shù)，則(

)A.9

B.8

C.7

D.68.在如圖所示的網(wǎng)格中，以點O為位似中心，四邊形ABCD的位似圖形是(

)

A.四邊形NPMQ B.四邊形NPMR C.四邊形NHMQ D.四邊形NHMR9.如圖，在中，AD是BC邊上中線，F(xiàn)是AD上一點，且AF：：5，連接CF并延長交AB于E，則AE：EB等于(

)A.1：6

B.1：8

C.1：9

D.1：1010.用配方法解方程，配方后所得的方程是(

)A. B. C. D.11.關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是(

)A. B.且 C.且 D.12.如圖，正方形ABCD，點F在邊AB上，且，，垂足為點M，且交AD于點E，AC與DF交于點N，延長CB至G，使，連接有如下結(jié)論：①；②；③；④，上述結(jié)論中，正確的是(

)A.①②

B.①③

C.①②③

D.②③④二、填空題：本題共6小題，每小題2分，共12分。13.已知線段，線段，線段c是線段a和線段b的比例中項，則______14.若數(shù)據(jù)1、、3、x的平均數(shù)為2，則______.15.如圖是一個常見鐵夾的剖面圖，OA，OB表示鐵夾的兩個面，C是軸，，垂足為D，，，，且鐵夾的剖面圖是軸對稱圖形，則A，B兩點間的距離為______

16.對于實數(shù)m，n，先定義一種新運算“※”如下：m※，若x※，則實數(shù)x的值為______.17.如圖，正方形MNPQ內(nèi)接于，點M、N在BC上，點P、Q分別在AC和AB邊上，且BC邊上的高，，則正方形MNPQ的邊長為______.

18.關(guān)于x的一元二次方程

若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的范圍為______.

若，是這個方程的兩個根，且，則______.三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.本小題8分

解方程

20.本小題10分

如圖，在平面直角坐標系中，與關(guān)于點P位似，其中頂點A，B，C的對應點依次為，，，且都在格點上.

請利用位似的知識在圖中找到并畫出位似中心P；

寫出點P的坐標為______，與的面積比為______，______；

請在圖中畫出，使之滿足如下條件：

①與關(guān)于點P位似，且與的位似比為；

②與位于點P的同側(cè).21.本小題10分

如圖，在中，，，點P、D分別是BC、AC邊上的點，且

求證：∽；

當，求CD的值；

若點K在AC邊上且，點P以每秒1個單位從點B向終點C運動，請直接寫出點K在內(nèi)部的時間.22.本小題8分

閱讀下列材料：

已知實數(shù)x，y滿足，試求的值，

解：設，則原方程變?yōu)?，整理得、，根?jù)平方根意義可得，由于，所以可以求得這種方法稱為“換元法”，用一個字母去代替比較復雜的單項式、多項式，可以達到化繁為簡的目的.

根據(jù)閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題：

已知實數(shù)x，y滿足，求的值；

填空：已知關(guān)于x，y的方程組的解是，關(guān)于x，y的方程組的解是______.23.本小題8分

8月20日，《黑神話：悟空》正式在全球上線，不僅迅速吸引了全球游戲愛好者的目光，同時也因其對中國地理風貌和中國古建筑、塑像、壁畫等文化寶藏的精細還原，成為文旅界關(guān)注的對象.《黑神話：悟空》游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，由南至北橫跨9個地市，不僅展示了山西深厚的文化底蘊，也為當?shù)匚穆卯a(chǎn)業(yè)帶來新的發(fā)展機遇，更為山西的文化元素提供了一個面向全球游戲玩家群體的數(shù)字化傳播窗口.飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，這座塔的位置位于山西省洪洞縣廣勝寺景區(qū)，某實踐小組欲測量飛虹塔的高度，測量過程見下表.主題跟著悟空游山西，測量“飛虹塔”的大致高度測量方案及示意圖測量步驟步驟1：把長為2米的標桿垂直立于地面點D處，塔尖點A和標桿頂端C確定的直線交水平BD于點Q，測得米；

步驟2：將標桿沿著BD的方向平移到點F處，塔尖點A和標桿頂端E確定的直線交直線BD于點P，測得米，米以上數(shù)據(jù)均為近似值嘉嘉發(fā)現(xiàn)當米時，輕松的就算出飛虹塔的高度，請你按嘉嘉的發(fā)現(xiàn)條件，計算飛虹塔AB的高度.

依據(jù)嘉嘉方法的啟發(fā)，請你根據(jù)表格信息，求飛虹塔的大致高度24.本小題8分

如圖1，A，B，C是鄭州市二七區(qū)三個垃圾存放點，點B，C分別位于點A的正北和正東方向，米，6位環(huán)衛(wèi)工人分別測得的BC長度如下表：單位：甲乙丙丁戊己1049810296100100他們又調(diào)查了各點的垃圾量，并繪制了下列不完整的統(tǒng)計圖

表中的中位數(shù)是______，眾數(shù)是______，BC長度的平均數(shù)______；

求A處的垃圾量，并將圖2補充完整；

用中的x作為BC的長度，要將A處的垃圾沿道路AC都運到C處，已知運送1千克垃圾每米的費用為元，求運垃圾所需的費用.25.本小題8分

杭州亞運會的三個吉祥物“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”組合名為“江南憶”，出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因.吉祥物一開售，就深受大家的喜愛.某商店以每件35元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件58的價格出售.經(jīng)統(tǒng)計，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件.

求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率；

經(jīng)市場預測，7月份的銷售量將與6月份持平，現(xiàn)商場為了減少庫存，采用降價促銷方式，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件.當該吉祥物售價為多少元時，月銷售利潤達8400元？26.本小題12分

如圖，在中，，，，D、E分別是AC、AB的中點，連接點P從點D出發(fā)，沿DE方向勻速運動，速度為；同時，點Q從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為，當點P停止運動時，點Q也停止運動．連接PQ，設運動時間為解答下列問題：

當t為何值時，以點E、P、Q為頂點的三角形與相似？

當t為何值時，為等腰三角形？直接寫出答案即可；

當點Q在B、E之間運動時，是否存在某一時刻t，使得PQ分四邊形BCDE所成的兩部分的面積之比為：29？若存在，求出此時t的值以及點E到PQ的距離h；若不存在，請說明理由．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：方程，

所以或，

解得：，

故選：

方程利用時，a與b中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．

此題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．2.【答案】B

【解析】解：由可設，，

、若，則，正確，故不符合題意；

B、若，則，原結(jié)果錯誤，故符合題意；

C、，原結(jié)果正確，故不符合題意；

D、，正確，故不符合題意．

故選：

由題意可設，，然后代入各個選項即可求解．

本題主要考查比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.【答案】A

【解析】解：依題意得，

，

故選：

根據(jù)第三個月投放單車數(shù)量=第一個月投放單車數(shù)量增長率，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4.【答案】D

【解析】解：，

乙、丁的麥苗比甲、丙要高，

，

甲、丁麥苗的長勢比乙、丙的長勢整齊，

綜上，麥苗又高又整齊的是丁，

故選：

方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，據(jù)此判斷出小麥長勢比較整齊的是哪種小麥即可．

此題主要考查了方差的意義和應用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．5.【答案】B

【解析】解：連接BG并延長交AC于D，

點G是的重心，

，，

，

∽，

，

，

，

故選：

連接BG并延長交AC于D，根據(jù)點G是的重心，得到，，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

本題考查的是重心的概念和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍是解題的關(guān)鍵．6.【答案】A

【解析】解：在中，，，，AC：，

A選項中，三條線段的長為，，，因為，此三角形為直角三角形，長直角邊與短直角邊的比為2，所以A選項的方格中所畫格點三角形陰影部分與相似；而B選項中長直角邊與短直角邊的比為3，C、D選項中的兩直角邊的比為1：

故選：

利用兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似對各選項進行判斷．

本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似．7.【答案】B

【解析】解：由統(tǒng)計圖可知，前三次的中位數(shù)是8，

第四次又買的蘋果單價是a元/千克，這四個單價的中位數(shù)恰好也是眾數(shù)，

，

故選：

根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)和題意，可以得到a的值，本題得以解決．

本題考查條形統(tǒng)計圖、中位數(shù)、眾數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)位似圖形的概念畫出圖形，得到答案．

本題考查的是位似圖形的概念，掌握位似的兩個圖形對應點的連線都經(jīng)過同一點是解題的關(guān)鍵．【解答】

解：如圖：延長AO、BO、CO、DO分別到N、P、M、Q，

則四邊形NPMQ是四邊形ABCD的位似圖形.9.【答案】D

【解析】解：過點D作交AB于G，

是BC邊上中線，

，即，

又，

，

，

：：：10；

故選：

先過點D作交AB于G，由平行線分線段成比例可得，再根據(jù)，得出，最后根據(jù)AE：：2EG，即可得出答案．

本題主要考查了平行線分線段成比例定理，用到的知識點是平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是求出AE、EB、EG之間的關(guān)系．10.【答案】C

【解析】解：把方程的常數(shù)項移到等號的右邊，得到，

方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得到，

配方得

故選：

把常數(shù)項5移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)6的一半的平方．

本題考查了配方法，解題的關(guān)鍵是注意：

把常數(shù)項移到等號的右邊；

把二次項的系數(shù)化為1；

等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．

選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．11.【答案】B

【解析】解：由題意得：且，

解得且，

故選：

根據(jù)題意得且，從而直接解出答案．

本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．12.【答案】C

【解析】解：四邊形ABCD是正方形，

，，

，

，

，

在與中，

，

≌，

，

，即，故①正確；

，

，

：：2，

：：：3，

，

，

，

；故②正確；

作于H，設，，則，，

由∽，可得，

由∽，可得，

，

，

，

，

，，

，

，

；故③正確，

設的面積為m，

，

，∽，

的面積為3m，的面積為9m，

的面積的面積，

：：12，故④錯誤，

故選：

①正確．證明≌，即可判斷．

②正確．利用平行線分線段成比例定理，等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可．

③正確．作于H，設，，則，，通過計算證明即可解決問題．

④錯誤．設的面積為m，由，推出，∽，推出的面積為3m，的面積為9m，推出的面積的面積，由此即可判斷．

本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．13.【答案】

【解析】解：線段c是線段a和線段b的比例中項，

，

又線段，線段，

故答案為：

根據(jù)比例中項的定義得，再將，代入計算即可得出答案．

此題主要考查了比例線段，理解比例中項的定義是解決問題的關(guān)鍵．14.【答案】6

【解析】解：由題意知1、、3、x的平均數(shù)為2，則

，

解得：，

故答案為：

利用平均數(shù)的定義，列出方程，即可求解．

本題考查了平均數(shù)的概念．平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．15.【答案】30

【解析】解：連結(jié)AB，延長OC交AB于H，如圖，

，

，，

，，

∽，

，

，

，

故答案為：

連結(jié)AB，延長OC交AB于H，先證∽，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例進行求解．

本題考查軸對稱圖形，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質(zhì)等，正確進行計算是解題關(guān)鍵．16.【答案】

【解析】解：分兩種情況：

當時，

※，

，

，

或舍去；

當時，

※，

，

舍去；

綜上所述：，

故答案為：

分兩種情況：當時，當時，然后分別進行計算即可解答．

本題考查了實數(shù)的運算，分兩種情況進行計算是解題的關(guān)鍵．17.【答案】4cm

【解析】解：設正方形MNPQ的邊長為xcm，則，

四邊形MNPQ是正方形，

∽

又，

，，，，

，

解得

故答案為：

圖中ED的長等于正方形MNPQ的邊長．欲求正方形MNPQ的邊長即PQ的長，已知BC和AD的長，AE可用PQ表示出來，考慮借助相似三角形的性質(zhì)解題．

此題考查的是正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的周長比、對應高的比，對應角平分線的比，對應中線的比都等于相似比、平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊的延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．18.【答案】

【解析】解：關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，

，

，

故答案為：；

方程有兩個實數(shù)根，

，

，

，，

，

，即，

解得：；

故答案為：

根據(jù)題意及根的判別式可進行求解參數(shù)的范圍；

由題意易得，，然后可得，進而問題可求解．

本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19.【答案】解：，

，；

，

，

【解析】根據(jù)直接開平方法可進行求解方程；

根據(jù)配方法可先等式兩邊加上4，則有，然后根據(jù)開平方法可進行求解．

本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．20.【答案】

【解析】解：如圖，點P即為所求．

由圖可得，

，

與的位似比為，

與的面積比為

故答案為：；；

如圖，即為所求．

連接，，，相交于點P，則點P即為所求．

由圖可得點P坐標；由題意可知與的位似比為，根據(jù)位似三角形的性質(zhì)可得答案；利用割補法求三角形的面積即可．

根據(jù)位似的性質(zhì)，分別取，，的中點，，，再順次連接即可．

本題考查作圖-位似變換，熟練掌握位似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．21.【答案】證明：在中，，

，

，

，

又點P、D分別是BC、AC邊上的點，且，

，

∽；

解：∽，

，，，

，

；

解：點K在內(nèi)部時，CD的臨界值是，設運動時間為t，

∽，

，，，

，

解得或，

點P以每秒1個單位從點B向終點C運動，

當或時，點K在內(nèi)部．

【解析】由題意可得，，可證∽；

由∽，可得，代入數(shù)值即可求出CD的長；

由∽，可得，點K在內(nèi)部時，CD的臨界值是，代入數(shù)值求出BP的長即可．

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.【答案】或

【解析】解：設，則原方程變?yōu)椋?/p>

，

解得：，，

即或；

由方程組可變形為，

即，

關(guān)于x，y的方程組的解是，

方程組的解滿足，

即或

故答案為：或

設，則原方程變?yōu)?，然后根?jù)平方差公式及開平方法可進行求解方程；

由題意易得方程組可變?yōu)椋缓蟾鶕?jù)同解方程組可得，進而問題可求解．

本題主要考查一元二次方程的解法、平方差公式及完全平方公式，理解用換元法解方程的特征以及兩個方程組的解之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．23.【答案】解：，，

∽，

，

，，，

，

解得：，

答：飛虹塔AB的高度是42米；

設，依據(jù)題意得：

，，

，，

∽，

，

，，

，

，

∽，

，

，

解得：，

經(jīng)檢驗：是原方程的解，

；

答：飛虹塔的大致高度為

【解析】由題意易得∽，然后可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行求解；

設，則有，，由題意易得∽，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，進而問題可求解．

本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．24.【答案】100100100

【解析】解：把這些數(shù)從小到大排列為：96，98，100，100，102，104，

則中位數(shù)是：；

出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

眾數(shù)是100；

表中BC長度的平均數(shù)是：，

故答案為：100，100，100；

垃圾總量是：千克，

則A處的垃圾量是：千克，

補全條形圖如下：

由題意得，米，

運送1千克垃圾每米的費用為元，

運垃圾所需的費用為：元，

答：運垃圾所需的費用為320元．

根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義直接求解即可；利用平均數(shù)求法進而得出答案；

根據(jù)C垃圾點的垃圾量和所占的百分比求出垃圾總量，再用總量乘以A垃圾點所占的百分比即可求出A處垃圾量，從而補全統(tǒng)計圖；

根據(jù)AC的長可得出運垃圾所需的費用．

本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?5.【答案】解：設該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為m，則6月份的銷售量為，

根據(jù)題意得：，

解得：，不符合題意，舍去，

答：該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率為；

設該吉祥物售價為y元，則每件的銷售利潤為元，月銷售量為件，

根據(jù)題意得：，

整理得：，

解得：，不符合題意，舍去，

答：該款吉祥物售價為50元時，月銷售利潤達8400元．

【解析】設該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均