從圓錐曲面到圓錐曲線的幾何直觀講義 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

從圓錐到圓、橢圓、拋物線、雙曲線——圓錐曲線的幾何直觀平面和圓錐曲面相交，有兩種情形需要考慮，一種是這個(gè)截平面過(guò)圓錐曲面的頂點(diǎn)A，另一種是不過(guò)頂點(diǎn)A。2.1截平面過(guò)圓錐曲面頂點(diǎn)首先來(lái)看過(guò)頂點(diǎn)A的情形：我們可以用這個(gè)紅色的線條M來(lái)代表和二維紙面垂直的一個(gè)平面，這個(gè)平面和圓錐曲面的軸線夾角為β，如下圖：假如這個(gè)平面一直在水平面和圓錐曲面的母線之間來(lái)回?cái)[動(dòng)，我們不考慮角度的象限問(wèn)題，只關(guān)注角度的大小的話，可以認(rèn)為θ<β≤π2，此時(shí)，這個(gè)平面和圓錐曲面的截面只是一個(gè)點(diǎn)這是第一個(gè)結(jié)論：一個(gè)點(diǎn)。假如平面M轉(zhuǎn)到了和圓錐曲面相切的位置，β角正好和θ相等，那么截面就是一條直線，也就是一條母線。這是第二個(gè)結(jié)論：一條直線。如果平面M繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，位置跑到了母線和軸線之間，這時(shí)平面就會(huì)和A點(diǎn)兩側(cè)相互對(duì)稱的圓錐曲面都相交，因?yàn)榻孛媸情_(kāi)放的，呈現(xiàn)出來(lái)的截線就會(huì)是圓錐曲面的兩條母線。這是第三個(gè)結(jié)論：兩條相交直線。同樣，如果這個(gè)M平面正好轉(zhuǎn)到了軸線上，二者夾角為0，那就相當(dāng)于平面把圓錐曲面從上往下直著從中間劈開(kāi)，我們能看到的截線也是兩條母線。第四個(gè)結(jié)論：兩條直線。因?yàn)閳A錐曲面是關(guān)于軸線對(duì)稱的，所以平面M再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)的話，得到的結(jié)果和以上沒(méi)什么區(qū)別。第二種情況就是平面M位置靠下或者靠上，不通過(guò)頂點(diǎn)A和圓錐曲面相切割的情形。這種情形下就會(huì)出現(xiàn)我們將要深入討論的圓、橢圓、拋物線和雙曲線這些圓錐曲線。1.2.2圓和橢圓的幾何來(lái)源如果截平面過(guò)圓錐曲面的頂點(diǎn)，又碰巧和圓錐的軸線平行的話，也就相當(dāng)于平面從中間把圓錐曲面一劈兩半，截線就會(huì)是兩條相交的無(wú)限伸展的母線；如果截面和軸線不平行，但和軸線的夾角小于軸線和母線的夾角，那它的截面也還是兩條母線。如果平面過(guò)頂點(diǎn)，又正好和圓錐面的母線平行，也就相當(dāng)于一個(gè)平面和圓錐面相切，得到的截面曲線就是單一的一條母線。最普通的情形是平面并沒(méi)有過(guò)圓錐曲面的頂點(diǎn)，而是隨便找一個(gè)位置就將圓錐曲面切開(kāi)，這時(shí)候的截面曲線會(huì)怎樣呢？我們還是分幾種情況分別討論。第一種情況，平面和圓錐曲面的軸線垂直此時(shí)β=90°，也就相當(dāng)于我們把過(guò)頂點(diǎn)的水平面直接往下或者往上平移一段距離：如上圖，此時(shí)截面曲線為C，是一個(gè)圓。為什么是圓呢？怎么證明？如果我們?cè)O(shè)截面與圓錐軸線的交點(diǎn)為A’,這個(gè)點(diǎn)其實(shí)就是頂點(diǎn)A在截平面上的投影。對(duì)于圓錐面來(lái)說(shuō)，從頂點(diǎn)A到截線的任一點(diǎn)的長(zhǎng)度都是母線的一段，長(zhǎng)度都是相同的，現(xiàn)在這些相等的線段在截平面上的投影也應(yīng)該是相同的，也就是從A’點(diǎn)出發(fā)到截面曲線C上任一點(diǎn)的長(zhǎng)度也是相同的，從而可以得出截線為圓的結(jié)論：如果截平面和圓錐曲面的軸線垂直，且截平面不經(jīng)過(guò)圓錐曲面的頂點(diǎn)，其截線為圓。如果給出了從頂點(diǎn)到截面母線的長(zhǎng)度，截線圓的半徑數(shù)據(jù)也很容易求出。第二種情況，平面不過(guò)頂點(diǎn)，但平面和軸線的夾角β小于90°，但又比θ角大，也就是下面這種情形：這種情況下，我們看到的截平面，似乎都具有相同的特征。只要能夠保證平面和圓錐曲面軸線的夾角在90°和θ角之間，那么截平面看著都會(huì)像一個(gè)壓扁的圓，只是程度不太一樣而已。這種扁扁的圓，被定名為橢圓。既然外形相似，那么這些相似的外形肯定是由一個(gè)共同的規(guī)則來(lái)保證的，我們現(xiàn)在需要找出這個(gè)共同的規(guī)則到底是什么！幾何學(xué)家經(jīng)過(guò)仔細(xì)研究后認(rèn)為，如果把一個(gè)球塞到截平面和圓錐頂點(diǎn)之間的較小的空間的話，總能找到一個(gè)合適的小球（Dandelin球）S-1，確保球體既能和圓錐曲面相切，又能和截平面相切；同樣，在截平面之下，也能找到這么一個(gè)球（Dandelin球）S-2，確保球體和錐面與截平面均相切：我們現(xiàn)在找到平面上方狹小空間里的小球和截平面的切點(diǎn)F1，以及呆在下面較為寬松環(huán)境的大球與截平面的切點(diǎn)F我們繼續(xù)找到小球S-1和大球S-2分別與圓錐曲面相切的切點(diǎn)，此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)球和一個(gè)圓錐面相切，切點(diǎn)可以圍成一個(gè)圓，我們現(xiàn)在把分別把這兩個(gè)圓稱為“球小圓”:C這兩個(gè)球小圓，我們用綠色的虛線表示。顯然，球小圓上的點(diǎn)，都是在圓錐曲面上的。我們知道，從圓外一個(gè)點(diǎn)向圓做切線的話，這個(gè)點(diǎn)到所有切點(diǎn)的距離都是相等的，這個(gè)規(guī)則對(duì)于球來(lái)說(shuō)也適用，也就是說(shuō)，從球外一點(diǎn)向同一個(gè)球引切線，那么所有的切線也是相等的。上圖中，在扁圓的紅色的截線上隨便找到一點(diǎn)P，點(diǎn)P既在圓錐曲面的其中一條母線上，又在切割圓錐面的平面上。這條母線和球相切，切點(diǎn)為G，那么，PG的長(zhǎng)度，應(yīng)該和PF的距離相等，也就是：|PF同樣的道理：

|PF如下圖：P點(diǎn)變換位置的話，其實(shí)就是在圓錐面的各條母線上來(lái)回變換，都會(huì)有上述的結(jié)論。那么現(xiàn)在就有：|PF也就是說(shuō)：|PF為什么說(shuō)G1很明顯，只要圓錐面和截面的數(shù)據(jù)確定，兩個(gè)球小圓的位置是確定的，二者之間母線的長(zhǎng)度也就是確定的。由此我們知道，我們看著具有類似外形特征的封閉截線，是具有共同的數(shù)據(jù)特征的，那就是這個(gè)扁扁圓上的任意一點(diǎn)，到兩個(gè)固定點(diǎn)的距離之和是一個(gè)定值。數(shù)學(xué)家們把符合這種數(shù)據(jù)特征的扁的圓稱為橢圓。也就是說(shuō)：如果一個(gè)點(diǎn)到兩個(gè)固定點(diǎn)的距