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內(nèi)蒙古赤峰市寧城縣2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,圓錐底面半徑為,體積為,、是底面圓的兩條互相垂直的直徑,是母線的中點,已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點的拋物線的一部分,則該拋物線的焦點到圓錐頂點的距離等于()A. B.1 C. D.2.已知命題,且是的必要不充分條件,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.3.在正方體中,點、分別為、的中點,過點作平面使平面,平面若直線平面,則的值為()A. B. C. D.4.已知雙曲線的右焦點為為坐標(biāo)原點,以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點及點,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.5.已知復(fù)數(shù),,則()A. B. C. D.6.在長方體中,,則直線與平面所成角的余弦值為()A. B. C. D.7.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試,成績的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.608.定義域為R的偶函數(shù)滿足任意,有,且當(dāng)時,.若函數(shù)至少有三個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知實數(shù)x,y滿足,則的最小值等于()A. B. C. D.10.如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點,且A、B兩點在拋物線準(zhǔn)線上的投影分別是M,N,若,則的值是()A. B. C. D.11.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B.64 C. D.3212.百年雙中的校訓(xùn)是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運動會中有這樣的一個小游戲.袋子中有大小、形狀完全相同的四個小球,分別寫有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個字,有放回地從中任意摸出一個小球,直到“仁”、“智”兩個字都摸到就停止摸球.小明同學(xué)用隨機模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間(含1和4)取整數(shù)值的隨機數(shù),分別用1,2,3,4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個字,以每三個隨機數(shù)為一組,表示摸球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下20組隨機數(shù):141432341342234142243331112322342241244431233214344142134412由此可以估計,恰好第三次就停止摸球的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在一個倒置的高為2的圓錐形容器中,裝有深度為的水,再放入一個半徑為1的不銹鋼制的實心半球后,半球的大圓面、水面均與容器口相平,則的值為____________.14.從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項活動,要求男生中的甲和乙不能同時參加,女生中的丙和丁至少有一名參加,則不同的選法種數(shù)為______.(用數(shù)字作答)15.?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_____.16.某部隊在訓(xùn)練之余,由同一場地訓(xùn)練的甲?乙?丙三隊各出三人,組成小方陣開展游戲,則來自同一隊的戰(zhàn)士既不在同一行,也不在同一列的概率為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)對于非負(fù)整數(shù)集合(非空),若對任意,或者,或者,則稱為一個好集合.以下記為的元素個數(shù).(1)給出所有的元素均小于的好集合.(給出結(jié)論即可)(2)求出所有滿足的好集合.(同時說明理由)(3)若好集合滿足,求證:中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,點的坐標(biāo)為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為常數(shù),且).以直角坐標(biāo)系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位,建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.設(shè)點在圓外.(1)求的取值范圍.(2)設(shè)直線與圓相交于兩點,若,求的值.19.(12分)已知的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,.(1)若,證明:.(2)若,,求的面積.20.(12分)如圖,在三棱柱中,平面ABC.(1)證明:平面平面(2)求二面角的余弦值.21.(12分)為了整頓道路交通秩序,某地考慮將對行人闖紅燈進行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度,在普通行人中隨機選取了200人進行調(diào)查,當(dāng)不處罰時,有80人會闖紅燈,處罰時,得到如表數(shù)據(jù):處罰金額(單位:元)5101520會闖紅燈的人數(shù)50402010若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.(1)當(dāng)罰金定為10元時,行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低多少?(2)將選取的200人中會闖紅燈的市民分為兩類:類市民在罰金不超過10元時就會改正行為;類是其他市民.現(xiàn)對類與類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進行深度問卷,則前兩位均為類市民的概率是多少?22.(10分)如圖,已知,分別是正方形邊,的中點,與交于點,,都垂直于平面,且,,是線段上一動點.(1)當(dāng)平面,求的值;(2)當(dāng)是中點時,求四面體的體積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系,求得拋物線的軌跡方程,解直角三角形求得拋物線的焦點到圓錐頂點的距離.【詳解】將拋物線放入坐標(biāo)系,如圖所示,∵,,,∴,設(shè)拋物線,代入點,可得∴焦點為,即焦點為中點,設(shè)焦點為,,,∴.故選:D【點睛】本小題考查圓錐曲線的概念,拋物線的性質(zhì),兩點間的距離等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,空間想象能力,推理論證能力,應(yīng)用意識.2、D【解析】

求出命題不等式的解為,是的必要不充分條件,得是的子集,建立不等式求解.【詳解】解:命題,即:,是的必要不充分條件,,,解得.實數(shù)的取值范圍為.故選:.【點睛】本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍,其思路方法:(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.(2)求解參數(shù)的取值范圍時,一定要注意區(qū)間端點值的檢驗.3、B【解析】

作出圖形,設(shè)平面分別交、于點、,連接、、,取的中點,連接、,連接交于點,推導(dǎo)出,由線面平行的性質(zhì)定理可得出,可得出點為的中點,同理可得出點為的中點,結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示:設(shè)平面分別交、于點、,連接、、,取的中點,連接、,連接交于點,四邊形為正方形,、分別為、的中點,則且,四邊形為平行四邊形,且,且,且,則四邊形為平行四邊形,,平面,則存在直線平面,使得,若平面,則平面,又平面,則平面,此時,平面為平面,直線不可能與平面平行,所以,平面,,平面,平面,平面平面,,,所以,四邊形為平行四邊形,可得,為的中點,同理可證為的中點,,,因此,.故選:B.【點睛】本題考查線段長度比值的計算,涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是找出平面與正方體各棱的交點位置,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.4、C【解析】

根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程:,再將點代入可得,連接,根據(jù)圓的性質(zhì)可得,從而可求出,再由即可求解.【詳解】由雙曲線,則漸近線方程:,,連接,則,解得,所以,解得.故雙曲線方程為.故選:C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),需掌握雙曲線的漸近線求法,屬于中檔題.5、B【解析】分析:利用的恒等式,將分子、分母同時乘以,化簡整理得詳解:,故選B點睛:復(fù)數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)中的??紗栴},屬于得分題,主要考查的方面有:復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運算,在運算時注意符號的正、負(fù)問題.6、C【解析】

在長方體中,得與平面交于,過做于,可證平面,可得為所求解的角,解,即可求出結(jié)論.【詳解】在長方體中,平面即為平面,過做于,平面,平面,平面,為與平面所成角,在,,直線與平面所成角的余弦值為.故選:C.【點睛】本題考查直線與平面所成的角,定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”,三步驟缺一不可,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計算成績低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是60(人).故選:D.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題,也考查了頻率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題8、B【解析】

由題意可得的周期為,當(dāng)時,,令,則的圖像和的圖像至少有個交點,畫出圖像,數(shù)形結(jié)合,根據(jù),求得的取值范圍.【詳解】是定義域為R的偶函數(shù),滿足任意,,令,又,為周期為的偶函數(shù),當(dāng)時,,當(dāng),當(dāng),作出圖像,如下圖所示:函數(shù)至少有三個零點,則的圖像和的圖像至少有個交點,,若,的圖像和的圖像只有1個交點,不合題意,所以,的圖像和的圖像至少有個交點,則有,即,.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用,解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法,這也是高考??嫉臒狳c問題,屬于中檔題.9、D【解析】

設(shè),,去絕對值,根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】因為實數(shù),滿足,設(shè),,,恒成立,,故則的最小值等于.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.10、C【解析】

直線恒過定點,由此推導(dǎo)出,由此能求出點的坐標(biāo),從而能求出的值.【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為,直線恒過定點,如圖過A、B分別作于M,于N,由,則,點B為AP的中點、連接OB,則,∴,點B的橫坐標(biāo)為,∴點B的坐標(biāo)為,把代入直線,解得,故選:C.【點睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法,考查拋物線的性質(zhì),是中檔題,解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用,屬于中檔題.11、A【解析】

根據(jù)三視圖,還原空間幾何體,即可得該幾何體的體積.【詳解】由該幾何體的三視圖,還原空間幾何體如下圖所示:可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐,其底面是邊長為4的正方形,高為4,故.故選:A【點睛】本題考查了三視圖的簡單應(yīng)用,由三視圖還原空間幾何體,棱錐體積的求法,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由題意找出滿足恰好第三次就停止摸球的情況,用滿足恰好第三次就停止摸球的情況數(shù)比20即可得解.【詳解】由題意可知當(dāng)1,2同時出現(xiàn)時即停止摸球,則滿足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種:142,112,241,142,412.則恰好第三次就停止摸球的概率為.故選:A.【點睛】本題考查了簡單隨機抽樣中隨機數(shù)的應(yīng)用和古典概型概率的計算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由已知可得到圓錐的底面半徑,再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,體積為,半球的體積為,水(小圓錐)的體積為,如圖則,所以,,解得,所以,,,由,得,解得.故答案為:【點睛】本題考查圓錐的體積、球的體積的計算,考查學(xué)生空間想象能力與計算能力,是一道中檔題.14、1【解析】

由排列組合及分類討論思想分別討論:①設(shè)甲參加,乙不參加,②設(shè)乙參加,甲不參加,③設(shè)甲,乙都不參加,可得不同的選法種數(shù)為9+9+5=1,得解.【詳解】①設(shè)甲參加,乙不參加,由女生中的丙和丁至少有一名參加,可得不同的選法種數(shù)為9,②設(shè)乙參加,甲不參加,由女生中的丙和丁至少有一名參加,可得不同的選法種數(shù)為9,③設(shè)甲,乙都不參加,由女生中的丙和丁至少有一名參加,可得不同的選法種數(shù)為5,綜合①②③得:不同的選法種數(shù)為9+9+5=1,故答案為:1.【點睛】本題考查了排列組合及分類討論思想,準(zhǔn)確分類及計算是關(guān)鍵,屬中檔題.15、【解析】

先計算平均數(shù)再求解方差與標(biāo)準(zhǔn)差即可.【詳解】解:樣本的平均數(shù),這組數(shù)據(jù)的方差是標(biāo)準(zhǔn)差,故答案為:【點睛】本題主要考查了標(biāo)準(zhǔn)差的計算,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

分兩步進行:首先,先排第一行,再排第二行,最后排第三行;其次,對每一行選人;最后,利用計算出概率即可.【詳解】首先,第一行隊伍的排法有種;第二行隊伍的排法有2種;第三行隊伍的排法有1種;然后,第一行的每個位置的人員安排有種;第二行的每個位置的人員安排有種;第三行的每個位置的人員安排有種.所以來自同一隊的戰(zhàn)士既不在同一行,也不在同一列的概率.故答案為:.【點睛】本題考查了分步計數(shù)原理,排列與組合知識,考查了轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),,,.(2);證明見解析.(3)證明見解析.【解析】

(1)根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結(jié)果;(2)設(shè),其中,由知;由可知或,分別討論兩種情況可的結(jié)果;(3)記,則,設(shè),由歸納推理可求得,從而得到,從而得到,可知存在元素滿足題意.【詳解】(1),,,.(2)設(shè),其中,則由題意:,故,即,考慮,可知:,或,若,則考慮,,,則,,但此時,,不滿足題意;若,此時,滿足題意,,其中為相異正整數(shù).(3)記,則,首先,,設(shè),其中,分別考慮和其他任一元素,由題意可得:也在中,而,,,對于,考慮,,其和大于,故其差,特別的,,,由,且,,以此類推:,,此時,故中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.【點睛】本題考查集合中的新定義問題的求解,關(guān)鍵是明確已知中所給的新定義的具體要求,根據(jù)集合元素的要求進行推理說明,對于學(xué)生分析和解決問題能力、邏輯推理能力有較高的要求,屬于較難題.18、(1)(2)【解析】

(1)首先將曲線化為直角坐標(biāo)方程,由點在圓外,則解得即可;(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程,設(shè)、對應(yīng)的參數(shù)分別為,列出韋達定理,由及在圓的上方,得,即即可解得;【詳解】解:(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為.由點在圓外,得點的坐標(biāo)為,結(jié)合,解得.故的取值范圍是.(2)由直線的參數(shù)方程,得直線過點,傾斜角為,將直線的參數(shù)方程代入,并整理得,其中.設(shè)、對應(yīng)的參數(shù)分別為,則,.由及在圓的上方,得,即,代入①,得,,消去,得,結(jié)合,解得.故的值是.【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,直線的參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1)見解析(2)【解析】

(1)由余弦定理及已知等式得出關(guān)系,再由正弦定理可得結(jié)論;(2)由余弦定理和已知條件解得,然后由面積公式計算.【詳解】解:(1)由余弦定理得,由得到,由正弦定理得.因為,,所以.(2)由題意及余弦定理可知,①由得,即,②聯(lián)立①②解得,.所以.【點睛】本題考查利用正余弦定理解三角形.考查三角形面積公式,由已知條件本題主要是應(yīng)用余弦定理求出邊.解題時要注意對條件的分析,確定選用的公式.20、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)證明平面即平面平面得證;(2)分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,再利用向量方法求二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因為平面ABC,所以因為.所以.即又.所以平面因為平面.所以平面平面(2)解:由題可得兩兩垂直,所以分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

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