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文檔簡介
重慶市南岸區(qū)2025屆數(shù)學高三第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=,則下列結(jié)論中錯誤的是()A.AC⊥BE B.EF平面ABCDC.三棱錐A-BEF的體積為定值 D.異面直線AE,BF所成的角為定值2.已知定義在上的函數(shù)滿足,且當時,.設在上的最大值為(),且數(shù)列的前項的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.3.某校團委對“學生性別與中學生追星是否有關”作了一次調(diào)查,利用列聯(lián)表,由計算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結(jié)論是()A.有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星無關”B.有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關”C.在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下,認為“學生性別與中學生追星無關”D.在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下,認為“學生性別與中學生追星有關”4.下列函數(shù)中,在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A. B. C. D.5.在中,,則=()A. B.C. D.6.我國宋代數(shù)學家秦九韶(1202-1261)在《數(shù)書九章》(1247)一書中提出“三斜求積術”,即:以少廣求之,以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上;以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實;一為從隅,開平方得積.其實質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長,,求三角形面積,即.若的面積,,,則等于()A. B. C.或 D.或7.在四邊形中,,,,,,點在線段的延長線上,且,點在邊所在直線上,則的最大值為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點間的距離為,若定義,則函數(shù),在區(qū)間內(nèi)的圖象是()A. B.C. D.9.已知點,是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點,且在點處的切線與直線AB平行,則()A.,b為任意非零實數(shù) B.,a為任意非零實數(shù)C.a(chǎn)、b均為任意實數(shù) D.不存在滿足條件的實數(shù)a,b10.已知函數(shù),,則的極大值點為()A. B. C. D.11.已知非零向量,滿足,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解:12.已知正方體的棱長為,,,分別是棱,,的中點,給出下列四個命題:①;②直線與直線所成角為;③過,,三點的平面截該正方體所得的截面為六邊形;④三棱錐的體積為.其中,正確命題的個數(shù)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在平面四邊形中,點,是橢圓短軸的兩個端點,點在橢圓上,,記和的面積分別為,,則______.14.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________.15.已知函數(shù),則________;滿足的的取值范圍為________.16.已知實數(shù)、滿足,且可行域表示的區(qū)域為三角形,則實數(shù)的取值范圍為______,若目標函數(shù)的最小值為-1,則實數(shù)等于______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,湖中有一個半徑為千米的圓形小島,岸邊點與小島圓心相距千米,為方便游人到小島觀光,從點向小島建三段棧道,,,湖面上的點在線段上,且,均與圓相切,切點分別為,,其中棧道,,和小島在同一個平面上.沿圓的優(yōu)?。▓A上實線部分)上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長度,并確定的取值范圍;求當為何值時,棧道總長度最短.18.(12分)己知,,.(1)求證:;(2)若,求證:.19.(12分)如圖,已知正方形所在平面與梯形所在平面垂直,BM∥AN,,,.(1)證明:平面;(2)求點N到平面CDM的距離.20.(12分)為了解網(wǎng)絡外賣的發(fā)展情況,某調(diào)查機構(gòu)從全國各城市中抽取了100個相同等級地城市,分別調(diào)查了甲乙兩家網(wǎng)絡外賣平臺(以下簡稱外賣甲、外賣乙)在今年3月的訂單情況,得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖,外賣乙該月訂單的頻數(shù)分布表,如下圖表所示.訂單:(單位:萬件)頻數(shù)1223訂單:(單位:萬件)頻數(shù)402020102(1)現(xiàn)規(guī)定,月訂單不低于13萬件的城市為“業(yè)績突出城市”,填寫下面的列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡外賣平臺”有關.業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計外賣甲外賣乙總計(2)由頻率分布直方圖可以認為,外賣甲今年3月在全國各城市的訂單數(shù)(單位:萬件)近似地服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表),的值已求出,約為3.64,現(xiàn)把頻率視為概率,解決下列問題:①從全國各城市中隨機抽取6個城市,記為外賣甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間的城市個數(shù),求的數(shù)學期望;②外賣甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬件的城市開展“訂外賣,搶紅包”的營銷活動來提升業(yè)績,據(jù)統(tǒng)計,開展此活動后城市每月外賣訂單數(shù)將提高到平均每月9萬件的水平,現(xiàn)從全國各月訂單數(shù)不超過7萬件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個城市不開展營銷活動,若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤5元,但每件外賣平均需送出紅包2元,則外賣甲在這100個城市中開展營銷活動將比不開展營銷活動每月多盈利多少萬元?附:①參考公式:,其中.參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若,則,.21.(12分)已知集合,集合,.(1)求集合B;(2)記,且集合M中有且僅有一個整數(shù),求實數(shù)k的取值范圍.22.(10分)已知圓,定點,為平面內(nèi)一動點,以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓,設動點的軌跡為曲線(1)求曲線的方程(2)過點的直線與交于兩點,已知點,直線分別與直線交于兩點,線段的中點是否在定直線上,若存在,求出該直線方程;若不是,說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
A.通過線面的垂直關系可證真假;B.根據(jù)線面平行可證真假;C.根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假;D.根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A.因為,所以平面,又因為平面,所以,故正確;B.因為,所以,且平面,平面,所以平面,故正確;C.因為為定值,到平面的距離為,所以為定值,故正確;D.當,,取為,如下圖所示:因為,所以異面直線所成角為,且,當,,取為,如下圖所示:因為,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以異面直線所成角為,且,由此可知:異面直線所成角不是定值,故錯誤.故選:D.【點睛】本題考查立體幾何中的綜合應用,涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算,難度較難.注意求解異面直線所成角時,將直線平移至同一平面內(nèi).2、C【解析】
由已知先求出,即,進一步可得,再將所求問題轉(zhuǎn)化為對于任意正整數(shù)恒成立,設,只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當時,則,,所以,,顯然當時,,故,,若對于任意正整數(shù)不等式恒成立,即對于任意正整數(shù)恒成立,即對于任意正整數(shù)恒成立,設,,令,解得,令,解得,考慮到,故有當時,單調(diào)遞增,當時,有單調(diào)遞減,故數(shù)列的最大值為,所以.故選:C.【點睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題,涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識,是一道較為綜合的數(shù)列題.3、B【解析】
通過與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較,可以得出正確的選項.【詳解】解:,可得有99%以上的把握認為“學生性別與中學生追星有關”,故選B.【點睛】本題考查了獨立性檢驗的應用問題,屬于基礎題.4、C【解析】
由每個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到本題答案.【詳解】因為函數(shù)和在遞增,而在遞減.故選:C【點睛】本題主要考查常見簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,屬基礎題.5、B【解析】
在上分別取點,使得,可知為平行四邊形,從而可得到,即可得到答案.【詳解】如下圖,,在上分別取點,使得,則為平行四邊形,故,故答案為B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算,考查了學生邏輯推理能力,屬于基礎題.6、C【解析】
將,,,代入,解得,再分類討論,利用余弦弦定理求,再用平方關系求解.【詳解】已知,,,代入,得,即,解得,當時,由余弦弦定理得:,.當時,由余弦弦定理得:,.故選:C【點睛】本題主要考查余弦定理和平方關系,還考查了對數(shù)學史的理解能力,屬于基礎題.7、A【解析】
依題意,如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系,表示出點的坐標,根據(jù)求出的坐標,求出邊所在直線的方程,設,利用坐標表示,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解:依題意,如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系,由,,,,,,,因為點在線段的延長線上,設,解得,所在直線的方程為因為點在邊所在直線上,故設當時故選:【點睛】本題考查向量的數(shù)量積,關鍵是建立平面直角坐標系,屬于中檔題.8、A【解析】
由題知,利用求出,再根據(jù)題給定義,化簡求出的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷,即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意,的圖象與直線的相鄰交點間的距離為,所以的周期為,則,所以,由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象,以及正弦函數(shù)的圖象,解題關鍵是對新定義的理解.9、A【解析】
求得的導函數(shù),結(jié)合兩點斜率公式和兩直線平行的條件:斜率相等,化簡可得,為任意非零實數(shù).【詳解】依題意,在點處的切線與直線AB平行,即有,所以,由于對任意上式都成立,可得,為非零實數(shù).故選:A【點睛】本題考查導數(shù)的運用,求切線的斜率,考查兩點的斜率公式,以及化簡運算能力,屬于中檔題.10、A【解析】
求出函數(shù)的導函數(shù),令導數(shù)為零,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,求得極大值點即可.【詳解】因為,故可得,令,因為,故可得或,則在區(qū)間單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故的極大值點為.故選:A.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值點,屬基礎題.11、C【解析】
根據(jù)向量的數(shù)量積運算,由向量的關系,可得選項.【詳解】,,∴等價于,故選:C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算和命題的充分、必要條件,屬于基礎題.12、C【解析】
畫出幾何體的圖形,然后轉(zhuǎn)化判斷四個命題的真假即可.【詳解】如圖;連接相關點的線段,為的中點,連接,因為是中點,可知,,可知平面,即可證明,所以①正確;直線與直線所成角就是直線與直線所成角為;正確;過,,三點的平面截該正方體所得的截面為五邊形;如圖:是五邊形.所以③不正確;如圖:三棱錐的體積為:由條件易知F是GM中點,所以,而,.所以三棱錐的體積為,④正確;故選:.【點睛】本題考查命題的真假的判斷與應用,涉及空間幾何體的體積,直線與平面的位置關系的應用,平面的基本性質(zhì),是中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
依題意易得A、B、C、D四點共圓且圓心在x軸上,然后設出圓心,由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標,進一步得到D橫坐標,再由計算比值即可.【詳解】因為,所以A、B、C、D四點共圓,直徑為,又A、C關于x軸對稱,所以圓心E在x軸上,設圓心E為,則圓的方程為,聯(lián)立橢圓方程消y得,解得,故B的橫坐標為,又B、D中點是E,所以D的橫坐標為,故.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓中的四點共圓及三角形面積之比的問題,考查學生基本計算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題關鍵是求出B、D橫坐標,是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.14、【解析】
先求出導數(shù),再在定義域上考慮導數(shù)的符號為正時對應的的集合,從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為.,令,則,故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:.故答案為:.【點睛】本題考查導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用,注意先考慮函數(shù)的定義域,再考慮導數(shù)在定義域上的符號,本題屬于基礎題.15、【解析】
首先由分段函數(shù)的解析式代入求值即可得到,分和兩種情況討論可得;【詳解】解:因為,所以,∵,∴當時,滿足題意,∴;當時,由,解得.綜合可知:滿足的的取值范圍為.故答案為:;.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應用,分類討論思想,屬于基礎題.16、【解析】
作出不等式組對應的平面區(qū)域,利用目標函數(shù)的幾何意義,結(jié)合目標函數(shù)的最小值,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出可行域如圖,則要為三角形需滿足在直線下方,即,;目標函數(shù)可視為,則為斜率為1的直線縱截距的相反數(shù),該直線截距最大在過點時,此時,直線:,與:的交點為,該點也在直線:上,故,故答案為:;.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用目標函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、,;當時,棧道總長度最短.【解析】
連,,由切線長定理知:,,,,即,,則,,進而確定的取值范圍;根據(jù)求導得,利用增減性算出,進而求得取值.【詳解】解:連,,由切線長定理知:,,,又,,故,則劣弧的長為,因此,優(yōu)弧的長為,又,故,,即,,所以,,,則;,,其中,,-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故時,所以當時,棧道總長度最短.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)當中的應用,屬于中檔題.18、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)采用分析法論證,要證,分式化整式為,再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為,再作差提取公因式論證.(2)由基本不等式得,再用不等式的基本性質(zhì)論證.【詳解】(1)要證,即證,即證,即證,即證,即證,該式顯然成立,當且僅當時等號成立,故.(2)由基本不等式得,,當且僅當時等號成立.將上面四式相加,可得,即.【點睛】本題考查證明不等式的方法、基本不等式,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題..19、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)因為正方形ABCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直,平面平面,,所以平面ABMN,因為平面ABMN,平面ABMN,所以,,因為,所以,因為,所以,所以,因為在直角梯形ABMN中,,所以,所以,所以,因為,所以平面.(2)如圖,取BM的中點E,則,又BM∥AN,所以四邊形ABEN是平行四邊形,所以NE∥AB,又AB∥CD,所以NE∥CD,因為平面CDM,平面CDM,所以NE∥平面CDM,所以點N到平面CDM的距離與點E到平面CDM的距離相等,設點N到平面CDM的距離為h,由可得點B到平面CDM的距離為2h,由題易得平面BCM,所以,且,所以,又,所以由可得,解得,所以點N到平面CDM的距離為.20、(1)見解析,有90%的把握認為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡外賣平臺”有關.(2)①4.911②100萬元.【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖與頻率分布表,易得兩個外賣平臺中月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量,即可完善列聯(lián)表.通過計算的觀測值,即可結(jié)合臨界值作出判斷.(2)①先根據(jù)所給數(shù)據(jù)求得樣本平均值,根據(jù)所給今年3月訂單數(shù)區(qū)間,并由及求得,.結(jié)合正態(tài)分布曲線性質(zhì)可求得,再由二項分布的數(shù)學期望求法求解.②訂單數(shù)低于7萬件的城市有和兩組,根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可確定各組抽取樣本數(shù).分別計算出開展營銷活動與不開展營銷活動的利潤,比較即可得解.【詳解】(1)對于外賣甲:月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量為,對于外賣乙:月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量為.由以上數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表如下圖,業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計外賣甲4060100外賣乙5248100總計9
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