湖南省長沙市雅禮書院中學2025屆高一數學第一學期期末預測試題含解析

湖南省長沙市雅禮書院中學2025屆高一數學第一學期期末預測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現了黃金分割值約為0.618，這一數值也可以表示為.若.則（）A. B.C.2 D.2．設，其中、是正實數，且，，則與的大小關系是（）A. B.C. D.3．已知角的頂點與平面直角坐標系的原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經過點，若，則的值為（）A. B.C. D.4．下列函數中既是奇函數又在定義域上是單調遞增函數的是（）A. B.C. D.5．已知,則的值是A.0 B.–1C.1 D.26．如果且，那么直線不經過（）A第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7．下列說法正確的有（）①兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；②以直角三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐；③各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體；④圓錐的軸截面是等腰三角形.A.1個 B.2個C.3個 D.4個8．若函數的圖象上存在一點滿足，且，則稱函數為“可相反函數”，在①；②；③；④中，為“可相反函數”的全部序號是（）A.①② B.②③C.①③④ D.②③④9．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是A.B.C.D.10．已知角終邊經過點，且，則的值是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則______.12．經過點作圓的切線，則切線的方程為__________13．如圖所示，正方體的棱長為1，B′C∩BC′＝O，則AO與A′C′所成角的度數為________.14．設三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且，則三棱錐的體積是______15．命題“，使關于的方程有實數解”的否定是_________.16．已知函數，R的圖象與軸無公共點，求實數的取值范圍是_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數.（1）當時，解不等式；（2）設，若，，都有，求實數a的取值范圍.18．已知函數的定義域是，設，（1）求的定義域；（2）求函數的最大值和最小值.19．已知正項數列的前項和為，且和滿足：（1）求的通項公式；（2）設，求的前項和；（3）在(2)的條件下，對任意,都成立，求整數的最大值20．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊經過點（1）求，；（2）求的值21．已知點及圓.(1)若直線過點且與圓心的距離為1，求直線的方程；(2)設過點的直線與圓交于兩點，當時，求以線段為直徑的圓的方程；(3)設直線與圓交于兩點，是否存在實數，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】由已知、同角三角函數關系、輔助角公式及誘導公式可得解.【詳解】由得，∴.故選：A.2、B【解析】利用基本不等式結合二次函數的基本性質可得出與的大小關系.【詳解】因為、是正實數，且，則，，因此，.故選：B.3、C【解析】根據終邊經過點，且，利用三角函數的定義求解.【詳解】因為角終邊經過點，且，所以，解得，故選：C4、D【解析】結合初等函數的奇偶性和單調性可排除選項；再根據奇偶性定義和復合函數單調性的判斷方法可證得正確.【詳解】對A，∵是奇函數，在(一∞，0)和(0，+∞)上是單調遞增函數，在定義域上不是遞增函數，可知A錯誤；對B，不是奇函數，可知B錯誤；對C，不是單調遞增函數，可知C錯誤；對D，，則為奇函數；當時，單調遞增，由復合函數單調性可知在上單調遞增，根據奇函數對稱性，可知在上單調遞增，則D正確.故選：D5、A【解析】利用函數解析式，直接求出的值.【詳解】依題意.故選A.【點睛】本小題主要考查函數值的計算，考查函數的對應法則，屬于基礎題.6、C【解析】由條件可得直線的斜率的正負，直線在軸上的截距的正負，進而可得直線不經過的象限【詳解】解：由且，可得直線斜率為，直線在y軸上的截距，故直線不經過第三象限，故選C【點睛】本題主要考查確定直線位置的幾何要素，屬于基礎題7、A【解析】對于①：利用棱臺的定義進行判斷；對于②：以直角三角形的斜邊為軸旋轉一周所得的旋轉體不是圓錐.即可判斷；對于③：舉反例：底面的菱形，各側面都是正方形的四棱柱不是正方體.即可判斷；對于④：利用圓錐的性質直接判斷.【詳解】對于①：棱臺是棱錐過側棱上一點作底面的平行平面分割而得到的.而兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體中，把梯形的腰延長后，有可能不交于一點，就不是棱臺.故①錯誤；對于②：以直角三角形的斜邊為軸旋轉一周所得的旋轉體不是圓錐.故②錯誤；對于③：各側面都是正方形的四棱柱中，如果底面的菱形，一定不是正方體.故③錯誤；對于④：圓錐的軸截面是等腰三角形.是正確的.故④正確.故選：A8、D【解析】根據已知條件把問題轉化為函數與直線有不在坐標原點的交點，結合圖象即可得到結論.【詳解】解：由定義可得函數為“可相反函數”，即函數與直線有不在坐標原點的交點①的圖象與直線有交點，但是交點在坐標原點，所以不是“可相反函數”；②的圖象與直線有交點在第四象限，且交點不在坐標原點，所以是“可相反函數”；③與直線有交點在第二象限，且交點不在坐標原點，所以是“可相反函數”；④的圖象與直線有交點在第四象限，且交點不在坐標原點，所以是“可相反函數”.結合圖象可得：只有②③④符合要求；故選：D9、A【解析】根據已知的三視圖想象出空間幾何體，然后由幾何體的組成和有關幾何體體積公式進行計算由幾何體的三視圖可知幾何體為一個組合體，即一個正方體中間去掉一個圓錐體，所以它的體積是.10、A【解析】由終邊上的點及正切值求參數m，再根據正弦函數的定義求.【詳解】由題設，，可得，所以.故選：A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】利用商數關系，由得到代入求解.【詳解】方法一：，則.方法二：分子分母同除，得.故答案為：【點睛】本題主要考查同角三角函數基本關系式的應用，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.12、【解析】點在圓上，由，則切線斜率為2，由點斜式寫出直線方程.【詳解】因為點在圓上，所以，因此切線斜率為2，故切線方程為，整理得故答案為：13、30°【解析】∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC(或其補角).∵OC?平面BB′C′C，AB⊥平面BB′C′C，∴OC⊥AB.又OC⊥OB，AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.又AO?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，，∴∠OAC＝30°.即AO與A′C′所成角度數為30°.點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角14、【解析】根據錐體的體積公式，找到并求出三棱錐的高及底面面積即可求解.【詳解】由題意可知該三棱錐為棱長為2的正方體的一個角，如圖所示：所以故答案為：【點睛】本題考查錐體體積公式的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題.15、，關于的方程無實數解【解析】直接利用特稱命題的否定為全稱命題求解即可.【詳解】因為特稱命題的否定為全稱命題，否定特稱命題是，既要否定結論，又要改變量詞，所以命題“，使關于的方程有實數解”的否定為：“，關于的方程無實數解”.故答案為：，關于的方程無實數解16、【解析】令＝t＞0，則g(t)＝>0對t＞0恒成立，即對t＞0恒成立，再由基本不等式求出的最大值即可.【詳解】，R，令＝t＞0，則f(x)＝g(t)＝，由題可知g(t)在t＞0時與橫軸無公共點，則對t＞0恒成立，即對t＞0恒成立，∵，當且僅當，即時，等號成立，∴，∴.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】(1)由同角關系原不等式可化為，化簡可得，結合正弦函數可求其解集，(2)由條件可得在上的最大值小于或等于在上的最小值，利用單調性求的最大值，利用換元法，通過分類討論求的最小值，由此列不等式求實數a的取值范圍.【小問1詳解】由得，，當時，，由，而，故解得，所以的解集為，.【小問2詳解】由題意可知在上的最大值小于或等于在上的最小值.因為在上單調遞減，所以在上的值域為.則恒成立，令，于是在恒成立.當即時，在上單調遞增，則只需，即，此時恒成立，所以；當即時，在上單調遞減，則只需，即，不滿足，舍去；當即時，只需，解得，而，所以.綜上所述，實數a的取值范圍為.18、（1）（2）最大值為，最小值為【解析】（1）根據的定義域列出不等式即可求出；（2）可得，即可求出最值.【小問1詳解】的定義域是，，因為的定義域是，所以，解得于是定義域為.【小問2詳解】設.因為，即，所以當時，即時，取得最小值，值為；當時，即時，取得最大值，值為.19、（1）；（2）；（3）7.【解析】（1）由4Sn=（an+1）2，知4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2），由此得到（an+an-1）?（an-an-1-2）=0．從而能求出{an}的通項公式;（2）由（1）知，由此利用裂項求和法能求出Tn（3）由（2）知從而得到．由此能求出任意n∈N*，Tn都成立的整數m的最大值【詳解】（1）∵4Sn=（an+1）2，①∴4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2），②①-②得4（Sn-Sn-1）=（an+1）2-（an-1+1）2∴4an=（an+1）2-（an-1+1）2化簡得（an+an-1）?（an-an-1-2）=0∵an＞0，∴an-an-1=2（n≥2）∴{an}是以1為首項，2為公差等差數列∴an=1+（n-1）?2=2n-1（2）∴（3）由（2）知，∴數列{Tn}是遞增數列∴∴∴整數m的最大值是7【點睛】本題考查數列的通項公式的求法，考查裂項相消法求數列的前n項和，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用20、（1）（2）1【解析】（1）根據三角函數的定義，計算即可得答案.（2）根據誘導公式，整理化簡，代入，的值，即可得答案.【小問1詳解】因為角終邊經過點，所以，【小問2詳解】原式21、（1）或；（2）；（3）不存在.【解析】（1）設出直線方程，結合點到直線距離公式，計算參數，即可．（2）證明得到點P為MN的中點，建立圓方程，即可．（3）將直線方程代入圓方程，結合交點個數，計算a的范圍，計算直線的斜率，計算a的值，即可【詳解】(1)直線斜率存在時，設直線的斜率為