株洲市重點中學2025屆數(shù)學高二上期末達標檢測模擬試題含解析

株洲市重點中學2025屆數(shù)學高二上期末達標檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在空間直角坐標系下，點關于軸對稱的點的坐標為（）A. B.C. D.2．已知橢圓的中心為，一個焦點為，在上，若是正三角形，則的離心率為（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列的通項公式為，則“”是“數(shù)列為單調遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4．在區(qū)間內隨機取一個數(shù)則該數(shù)滿足的概率為（）A. B.C. D.5．圓上到直線的距離為的點共有A.個 B.個C.個 D.個6．設是定義在R上的函數(shù)，其導函數(shù)為，滿足，若，則（）A. B.C. D.a，b的大小無法判斷7．在三棱錐中，，，，若，，則（）A. B.C. D.8．中國景德鎮(zhèn)陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛，如圖1這個精美的青花瓷花瓶，它的頸部（圖2）外形上下對稱，基本可看作是離心率為的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉所形成的曲面，若該頸部中最細處直徑為16厘米，瓶口直徑為20厘米，則頸部高為（）A.10 B.20C.30 D.409．數(shù)列中，滿足，，設，則（）A. B.C. D.10．若兩直線與互相垂直，則k的值為（）A.1 B.-1C.-1或1 D.211．已知圓M與直線與都相切，且圓心在上，則圓M的方程為（）A. B.C. D.12．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，且，則橢圓的方程為A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線．后來人們稱這條直線為該三角形的歐拉線．已知的三個頂點坐標分別是，，，則的垂心坐標為______，的歐拉線方程為______14．寫出一個同時滿足下列條件①②的圓C的一般方程______①圓心在第一象限；②圓C與圓相交的弦的方程為15．記為等差數(shù)列{}的前n項和，若，，則=_________.16．已知點，，其中，若線段的中點坐標為，則直線的方程為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)R)（1）當時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）求的單調區(qū)間18．（12分）如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?，?（1）求證：；（2）若直線與平面所成的角為，請問在線段上是否存在點，使得二面角的大小為，若存在請求出的位置，不存在請說明理由.19．（12分）已知函數(shù)，其中（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）①若恒成立，求的最小值；②證明：，其中.20．（12分）在△中，內角所對的邊分別為，已知（1）求角的大??；（2）若的面積，求的值21．（12分）2017年國家提出鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略目標：2020年取得重要進展，制度框架和政策體系基本形成；2035年取得決定性進展，農業(yè)農村現(xiàn)代化基本實現(xiàn)；2050年鄉(xiāng)村全面振興，農業(yè)強、農村美、農民富全面實現(xiàn)．某地為實現(xiàn)鄉(xiāng)村振興，對某農產品加工企業(yè)調研得到該企業(yè)2012年到2020年盈利情況：年份201220132014201520162017201820192020年份代碼x123456789盈利y（百萬）6.06.16.26.06.46.96.87.17.0（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷年盈利y與年份代碼x是否具有線性相關性；（2）若年盈利y與年份代碼x具有線性相關性，求出線性回歸方程并根據(jù)所求方程預測該企業(yè)2021年年盈利（結果保留兩位小數(shù)）參考數(shù)據(jù)及公式：，，，，，統(tǒng)計中用相關系數(shù)r來衡量變量y，x之間的線性關系的強弱，當時，變量y，x線性相關22．（10分）已知圓的圓心在第一象限內，圓關于直線對稱，與軸相切，被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若點，求過點的圓的切線方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由空間中關于坐標軸對稱點坐標的特征可直接得到結果.【詳解】關于軸對稱的點的坐標不變，坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，關于軸對稱的點為.故選：C.2、D【解析】根據(jù)是正三角形可得的坐標，代入方程后可求離心率.【詳解】不失一般性，可設橢圓的方程為：，為半焦距，為右焦點，因為且，故，故，，整理得到，故，故選：D.3、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結合數(shù)列的單調性判斷【詳解】根據(jù)題意，已知數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列為單調遞增數(shù)列，則有（），所以，因為，所以，所以當時，數(shù)列為單調遞增數(shù)列，而當數(shù)列為單調遞增數(shù)列時，不一定成立，所以“”是“數(shù)列為單調遞增數(shù)列”的充分而不必要條件，故選：A4、C【解析】求解不等式，利用幾何概型的概率計算公式即可容易求得.【詳解】求解不等式可得：，由幾何概型的概率計算公式可得：在區(qū)間內隨機取一個數(shù)則該數(shù)滿足的概率為.故選：.5、C【解析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關系即可得解.【詳解】圓可變?yōu)?，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，圓上到直線的距離為的點共有個.故選：C.【點睛】本題考查了圓與直線的位置關系，考查了學生合理轉化的能力，屬于基礎題.6、A【解析】首先構造函數(shù)，再利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，即可判斷選項.【詳解】設，，所以函數(shù)在單調遞增，即，所以，那么，即.故選：A7、B【解析】根據(jù)空間向量的基本定理及向量的運算法則計算即可得出結果.【詳解】連接,因為，所以，因為，所以，所以,故選：B8、B【解析】設雙曲線方程為，根據(jù)已知條件可得的值，由可得雙曲線的方程，再將代入方程可得的值，即可求解.【詳解】因為雙曲線焦點在軸上，設雙曲線方程為由雙曲線的性質可知：該頸部中最細處直徑為實軸長，所以，可得，因為離心率為，即，可得，所以，所以雙曲線的方程為：，因瓶口直徑為20厘米，根據(jù)對稱性可知頸部最右點橫坐標為，將代入雙曲線可得，解得：，所以頸部高為，故選：B9、C【解析】由遞推公式可歸納得，由此可以求出的值【詳解】因為，，所以，，，因此故選C【點睛】本題主要考查利用數(shù)列的遞推式求值和歸納推理思想的應用，意在考查學生合情推理的意識和數(shù)學建模能力10、B【解析】根據(jù)互相垂直的兩直線的性質進行求解即可.【詳解】由，因此直線的斜率為，直線的斜率為，因為兩直線與互相垂直，所以，故選：B11、A【解析】由題可設，結合條件可得，即求.【詳解】∵圓心在上，∴可設圓心，又圓M與直線與都相切，∴，解得，∴，即圓的半徑為1，圓M的方程為.故選：A.12、D【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質可得，將代入橢圓方程，結合離心率為以及性質列方程組求得與的值，從而可得結果.【詳解】設直線與橢圓在第一象限的交點為，因為，所以，即，由可得，，故所求橢圓的方程為.故選D.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程與性質，以及橢圓離心率的應用，意在考查對基礎知識掌握的熟練程度，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.##(0,1.5)②.【解析】由高線聯(lián)立可得垂心，由垂心與重心可得歐拉線方程.【詳解】由，可知邊上的高所在的直線為，又，因此邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線為：，即，所以，所以的垂心坐標為，由重心坐標公式可得的重心坐標為，所以的歐拉線方程為：，化簡得.故答案為：；14、（答案不唯一）【解析】設所求圓為，由圓心在第一象限可判斷出，只需取特殊值，即可得到答案.【詳解】可設所求圓為，即只需，解得：，不妨取，則圓的方程為：.故答案為：（答案不唯一）15、18【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項和前n項和公式即可得到結果.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以故答案為：1816、【解析】根據(jù)中點坐標公式求出，再根據(jù)直線的兩點式方程即可得出答案.【詳解】解：由，，得線段的中點坐標為，所以，解得，所以直線的方程為，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）答案見解析【解析】(1)根據(jù)切點處的導數(shù)等于切線斜率，切點在曲線上可得切線方程；(2)求導，分類討論可得.【小問1詳解】當時，，，，則，所以在處的切線方程為【小問2詳解】，，當時，，函數(shù)在R上單調遞增；當時，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增當時，的單調遞增區(qū)間為，當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為18、（1）證明見解析（2）存在，點E為線段中點【解析】(1)通過作輔助線結合面面垂直的性質證明側面，從而證明結論；（2）建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標,再求相關的向量坐標，求平面的法向量，利用向量的夾角公式求得答案.【小問1詳解】證明：連接交于點，因，則由平面?zhèn)让?，且平面?zhèn)让?，得平面，又平面，所以三棱柱是直三棱柱，則底面ABC，所以.又，從而側面，又側面，故.【小問2詳解】由(1).平面，則直線與平面所成的角,所以，又，所以假設在線段上是否存在一點E，使得二面角的大小為,由是直三棱柱，所以以點A為原點，以AC、所在直線分別為x，z軸,以過A點和AC垂直的直線為y軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，且設，，得所以，設平面的一個法向量，由，得：，取,由(1)知平面，所以平面的一個法向量,所以，解得,∴點E為線段中點時，二面角的大小為.19、（1）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為（2）①1；②證明見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，在定義域內，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；（2）①分離參數(shù)得，令，利用函數(shù)的單調性求出的最大值即可；②由①知：，時取“=”，令，即，最后累加即可.【小問1詳解】由已知條件得，其中的定義域為，則，當時，，當時，，綜上所述可知：的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；【小問2詳解】①由恒成立，即恒成立，令，則，當時，，當時，，∴在上單調遞增，上單調遞減，∴，∴的最小值為1.②由①知：，時取“=”，令，得，∴，當時，.20、（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理，將條件中的邊化成角，可得，進而可得的值；（2）由三角形面積公式可得，再由余弦定理可得，得最后結論試題解析：（1），又∴又得（2）由，∴又得，∴得考點：正弦定理；余弦定理【易錯點睛】解三角形問題的兩重性：①作為三角形問題，它必須要用到三角形的內角和定理，正弦、余弦定理及其有關三角形的性質，及時進行邊角轉化，有利于發(fā)現(xiàn)解題的思路；②它畢竟是三角變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”（即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結構”）是使問題獲得解決的突破口21、（1）年盈利y與年份代碼x具有線性相關性（2），7.25百萬元【解析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和提供的公式計算即可；（2）先求線性回歸方程，再代入計算即可【小問1詳解】由表中的數(shù)據(jù)得，，，，因為，所以年盈利y與年份代碼x具有線性相關性【小問2詳解】，，，當時，，該企業(yè)2021年年盈利約為7.25百萬元22、（1）（2