中考數(shù)學(xué)平行四邊形知識點(diǎn)總結(jié)及答案

中考數(shù)學(xué)平行四邊形知識點(diǎn)總結(jié)及答案

一、選擇題

1.如圖，菱形ABC。的邊長為4,NA=60,E是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊上的一個動

點(diǎn)，將線段EE繞著E逆時針旋轉(zhuǎn)60，得到EG,連接EG、CG,則BG+CG的最小

值為（）

D,---------------------

B

A.373B.277C.4百D.2+2V3

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A8C。的頂點(diǎn)A落在y軸上，點(diǎn)C落在x軸上，

隨著頂點(diǎn)C由原點(diǎn)。向x軸正半軸方向運(yùn)動，頂點(diǎn)A沿y軸負(fù)半軸方向運(yùn)動到終點(diǎn)。，在

運(yùn)動過程中8的長度變化情況是（）

A.一直增大B.一直減小C.先減小后增大D.先增大后減少

3.如圖，正方形A8CD的邊長為4,點(diǎn)E在邊A8上，AE=1,若點(diǎn)P為對角線8。上的一

個動點(diǎn)，則△以￡周長的最小值是（）

4.如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)0,AB=4,BD=4>/3.E為AB的中點(diǎn),

點(diǎn)P為線段AC上的動點(diǎn)，則EP+BP的最小值為（）

A.4B.275C.2幣D.8

5.如圖，在菱形ABCD中，兩對角線AC、BD交于點(diǎn)0,AC=8,BD=6,當(dāng)△0PD是以PD

為底的等腰三角形時，CP的長為（）

6.如圖，菱形ABCD的邊長為4,ZDAB=60°,E為8c的中點(diǎn)，在對角線AC上存在一點(diǎn)

P,使APBE的周長最小，則APSE的周長的最小值為（）

A.26B.4C.2百+2D.4+2>/3

7.如圖，在四邊形A8CD中，AB//CD,ZC=90",AB=8,AD=CD=5,點(diǎn)M為BC上異于

8、C的一定點(diǎn)，點(diǎn)N為AB上的一動點(diǎn)，E、F分別為。M、MN的中點(diǎn)，當(dāng)N從A到B的

運(yùn)動過程中，線段EF掃過圖形的面積為（）

A.4B.4.5C.5D.6

8.在他CF中，BC=2AB,。。，48于點(diǎn)/^點(diǎn)后為月尸的中點(diǎn)，若

NADE=50°,則￡）8的度數(shù)是（）

9.如圖，在A3CD中，AB=2A。,口是的中點(diǎn)，作8E_LA。于點(diǎn)E，連接

EF、BF,F列結(jié)論：①NCB//uNABb；②FE=FB；③2SAEFB=S四邊形DEBC；

④NBFE=3NDEF；其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

10.如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中點(diǎn)，將BCE沿BE翻折至BFE,連接

DF,則DF的長度是（）

A石R2石3百D.逑

5555

二、填空題

11.在平行四邊形ABCD中，ZA=30°,AD=2A/3,BD=2,則平行四邊形ABCD的面積

等于_____.

12.如圖，在正方形ABCO中，點(diǎn)E,/將對角線AC三等分,且AC=6.點(diǎn)尸在正方

形的邊上，則滿足總+尸產(chǎn)=5的點(diǎn)P的個數(shù)是________個.

----------------.D

B

13.如圖，在矩形ABC。中，AD=y[2AB,/8A。的平分線交BC于點(diǎn)E,OHJLAE于點(diǎn)

H,連接BH并延長交CD于點(diǎn)F,連接DE交8F于點(diǎn)。，下列結(jié)論：①/AED=/CED；

②。E=。。；（3）BH=HF；@BC-CF=2HE；（5）AB=HF,其中正確的有.

AB的垂直平分線EF交對角線AC于點(diǎn)尸，垂足為點(diǎn)

E,若NCDF=工。，則NZMB的度數(shù)為

D

15.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E為AD的延長線上一點(diǎn)，且DE=DC,點(diǎn)P為邊

AD上一動點(diǎn)，且PC_LPG,PG=PC,點(diǎn)F為EG的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P從D點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)時，則

CF的最小值為

16.如圖，矩形紙片ABCD,AB=5,BC=3,點(diǎn)P在BC邊上，將4CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落

在點(diǎn)E處，PE,DE分別交AB于點(diǎn)。，F(xiàn),且OP=OF,則AF的值為.

17.如圖，在△ABC中，AB=AC,E,F分別是BC,AC的中點(diǎn)，以AC為斜邊作RtZViDC,

若NCAO=/BAC=45°,則下列結(jié)論：①CD〃EF；②EF=DF；③DE平分ZCDF；@ZDEC=

30°；⑤AB=垃CD；其中正確的是（填序號）

18.在菱形A8CD中，M是AD的中點(diǎn)，AB=4,N是對角線AC上一動點(diǎn)，△DMN的周長

最小是2+28，則BD的長為.

19.如圖，在四邊形A8CO中，AD//BC,AD=5,BC=18,E是8c的中點(diǎn).點(diǎn)P以每秒

1個單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AO向點(diǎn)。運(yùn)動;點(diǎn)。同時以每秒3個單位長度的速度

從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)3運(yùn)動.點(diǎn)P停止運(yùn)動時，點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動時間為

f秒時，以點(diǎn)。，2瓦。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則f的值等于.

20.如圖，在平行四邊形A3CD中，AB=5,AZ)=3,/剛。的平分線AE交于點(diǎn)

E，連接若NBAD=NBEC,則平行四邊形ABC。的面積為.

三、解答題

21.正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)P是正方形ABCD對角線BD上的一個

動點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B,0,D重合)，連接CP并延長，分別過點(diǎn)D,B向射線作垂線，垂

(備用圖)

(1)補(bǔ)全圖形，并求證：DM=CN；

(2)連接OM,ON,判斷0MN的形狀并證明.

22.已知在ABC和ADE中，ZACB+ZAED=180°,CA^CB,EA=ED，

AB=3.

(1)如圖1,若N4CB=90°，B、A、。三點(diǎn)共線，連接CE：

①若CE=*,求BD長度；

2

②如圖2,若點(diǎn)尸是8。中點(diǎn)，連接CF,EF,求證：CE=6EF;

(2)如圖3,若點(diǎn)。在線段BC上，且NCAB=2NE4￡>,試直接寫出AED面積的最

小值.

圖3

23.如圖所示，四邊形A8C。是正方形，M是A3延長線上一點(diǎn).直角三角尺的一條直

角邊經(jīng)過點(diǎn)。，且直角頂點(diǎn)E在A3邊上滑動(點(diǎn)E不與點(diǎn)4B重合)，另一直角邊與

NCBM的平分線BF相交于點(diǎn)F.

⑴求證：ZADE=ZFEM;

⑵如圖(1),當(dāng)點(diǎn)E在A3邊的中點(diǎn)位置時，猜想OE與EF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

⑶如圖(2),當(dāng)點(diǎn)E在A6邊(除兩端點(diǎn))上的任意位置時，猜想此時OE與痔有怎樣的數(shù)

量關(guān)系，并證明你的猜想.

24.如圖，AABC^AADC,ZABC=ZADC=90°,AB=BC,點(diǎn)/在邊A8上，點(diǎn)

E在邊AO的延長線上，且=垂足為H,3”的延長線交AC于點(diǎn)

G.

(1)若45=10,求四邊形AECF的面積；

(2)若CG=C8,求證：BG+2FH=CE.

25.已知正方形ABC。與正方形(點(diǎn)C、E、F、G按順時針排列)，是的中點(diǎn)，連接，.

（1）如圖1,點(diǎn)E在上，點(diǎn)在的延長線上，

求證：DM=ME,DMl.ME

簡析：由是的中點(diǎn)，AD〃EF,不妨延長EM交AD于點(diǎn)N,從而構(gòu)造出一對全等的三角

形，即g.由全等三角形性質(zhì)，易證ADNE是三角形，進(jìn)而得出結(jié)論.

（2）如圖2,在。C的延長線上，點(diǎn)在上，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請證明你的結(jié)

論；若不成立，請說明理由.

（3）當(dāng)AB=5,CE=3時,正方形的頂點(diǎn)C、E、F、G按順時針排列.若點(diǎn)E在直線CD上，

則DM=;若點(diǎn)E在直線BC上，則DM=.

26.在正方形4BCC中，連接BD,P為射線CB上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合），連接4P,

AP的垂直平分線交線段8。于點(diǎn)區(qū)連接4E,PE.

提出問題：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，乙4PE的度數(shù)是否發(fā)生改變？

探究問題：

（1）首先考察點(diǎn)P的兩個特殊位置：

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，如圖1所示，^APE=°

②當(dāng)BP=BC時，如圖2所示，①中的結(jié)論是否發(fā)生變化？直接寫出你的結(jié)論：

;（填"變化"或"不變化"）

（2）然后考察點(diǎn)P的一般位置：依題意補(bǔ)全圖3,圖4,通過觀察、測量，發(fā)現(xiàn)：（1）中

①的結(jié)論在一般情況下________；（填"成立"或"不成立"）

圖3圖1

(3)證明猜想：若(1)中①的結(jié)論在一般情況下成立，請從圖3和圖4中任選一個進(jìn)行

證明：若不成立，請說明理由.

27.如圖1,在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作直線EF^BD,且交

AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接BE、DF,且BE平分/ABD.

(1)①求證：四邊形BFDE是菱形；②求NEBF的度數(shù).

(2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究，如圖2,G,I分別在BF,BE邊上，且BG二BI,

連接GD,H為GD的中點(diǎn)，連接FH,并延長FH交ED于點(diǎn)J,連接IJ,IH,IF,IG.試探究

線段IH與FH之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)把(1)中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究，如圖3,矩形ABCD滿足AB=AD時，點(diǎn)E是

對角線AC上一點(diǎn)，連接DE,作EF_LDE,垂足為點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連接DF,交AC于點(diǎn)

G.請直接寫出線段AG,GE,EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.

28.如圖，在矩形ABCD中，AB=16,BC=18,點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)

B、C重合的一個動點(diǎn)，把△EBF沿EF折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)&處.

⑴若AE=O時，且點(diǎn)&恰好落在AD邊上，請直接寫出DB，的長；

(II)若AE=3時，且4CDB,是以DB，為腰的等腰三角形，試求DB，的長；

(川)若AE=8時，且點(diǎn)&落在矩形內(nèi)部(不含邊長)，試直接寫出DB，的取值范圍.

29.在直角梯形力靦中，AB//CD,,AB=AD=\Ocm,除8cm。點(diǎn)一從點(diǎn)4出發(fā)，

以每秒3cm的速度沿折線MCD運(yùn)動,點(diǎn)0從點(diǎn)〃出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段次7方向

向點(diǎn)C運(yùn)動。已知動點(diǎn)巴。同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)0運(yùn)動到點(diǎn)C時.，P,。運(yùn)動停止，設(shè)運(yùn)動時

間為t秒.

⑴求切的長.

(2)/為何值時？四邊形陽?！槠叫兴倪呅?

(3)在點(diǎn)只點(diǎn)0的運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻，使得/版的面積為20cm2?若存

在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由.

30.如圖，AABC是邊長為3的等邊三角形，點(diǎn)。是射線BC上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)。不與

點(diǎn)、B、C重合），A4DE是以A。為邊的等邊三角形，過點(diǎn)E作BC的平行線，交直線

（1）判斷四邊形5CFE的形狀，并說明理由；

（2）當(dāng)OEL43時，求四邊形BCFE的周長；

（3）四邊形BCEE能否是菱形？若可為菱形，請求出BZ）的長，若不可能為菱形，請說

明理由.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除

一、選擇題

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

取AB與CD的中點(diǎn)M,N,連接MN,作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)F,連接E'C,E'B,此時

CE的長就是GB+GC的最小值；先證明E點(diǎn)與E點(diǎn)重合，再在RSEBC中，EB=2后，

BC=4,求EC的長.

【詳解】

取AB與CD的中點(diǎn)M,N,連接MN,作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)E',連接E'C,E'B

此時CE的長就是GB+GC的最小值;

,MN/7AD,

1

；.HM=—AE,

2

VHB1HM,AB=4,/A=60°,

；.MB=2,ZHMB=60°,

，AE'=2,

，E點(diǎn)與E，點(diǎn)重合，

VZAEB=ZMHB=90°,

.".ZCBE=90°,

在RtZ\EBC中，EB=273,BC=4,

EC=2幣,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)；確定G點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，是找到對稱軸的關(guān)鍵.

2.D

解析：D

【分析】

根據(jù)運(yùn)動開始，8是正方形的邊長CD,運(yùn)動過程中3與。點(diǎn)重合時，OO是對角線，

在運(yùn)動A與。點(diǎn)重合，8是邊長A。，可得答案.

【詳解】

從C離開。點(diǎn)到B到。點(diǎn)，8由邊長到對角線在增大，由8離開。點(diǎn)到A到。點(diǎn)，

OD由正方形的對角線減少到正方形的邊長.

故選。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，8由正方形的邊長到正方形的對角線，再由正方形的對角線

到正方形的邊長.

3.D

解析：D

【分析】

連接AC、CE,CE交BD于P,此時AP+PE的值最小，求出CE長，即可求出答案.

【詳解】

解：連接AC、CE,CE交BD于P,連接AP、PE,

???四邊形ABC。是正方形，

：.OA=OC,ACLBD,即A和C關(guān)于BD對稱,

：.AP=CP,

即AP+PE=CE,此時AP+PE的值最小，

所以此時△%￡周長的值最小，

?.?正方形A8CD的邊長為4,點(diǎn)E在邊A8上，AE=1,

NA8c=90°,BE=4-1=3,

由勾股定理得：CE=5,

二△PAE的周長的最小值是AP+PE+AE=CE+AE=5+1=6,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)與軸對稱一一最短路徑問題，知識點(diǎn)比較綜合，屬于較難題型.

4.C

解析：C

【解析】

【分析】

連結(jié)DE交AC于點(diǎn)P,連結(jié)BP,根據(jù)菱形的性質(zhì)推出A。是BD的垂直平分線，推出

PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根據(jù)勾股定理求出DE的長即可.

【詳解】

如圖，設(shè)AC,BD相交于。，

?..四邊形ABCD是菱形,

I

.\AC1BD,AO=—AC,BO=-BD=2^,

22

VAB=4,

.".AO=2,

連結(jié)DE交AC于點(diǎn)P,連結(jié)BP,作EMJ_BD于點(diǎn)M,

???四邊形ABCD是菱形，

AAC1BD,且DO=BO,即AO是BD的垂直平分線,

；.PD=PB,

；.PE+PB=PE+PD=DE且值最小，

是AB的中點(diǎn)，EM1BD,

11廠

.\EM=yAO=l,BM=]BO=j2，

.\DM=D0+0M=-B0=3,

2

?■?DE-JE"+DM2=J『+(3同=2幣，

故選C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了軸對稱-最短路線問題，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的判定和三角函數(shù)解答.

5.C

解析：c

【解析】

【分析】

過。作。E_LC。于E.根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分得出。8,0C的長，AC±BD,再利

用勾股定理列式求出CD,然后根據(jù)三角形的面積公式求出。E.在Rt^OED中，利用勾股

定理求出ED.根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出PE,利用CP=CD-PD即可得出結(jié)論.

【詳解】

過。作OE_LC。于E.

?.,菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)。，6=3,

22

2222

OA=OC=；AC=^X8=4,ACLBD,由勾股定理得：CD=7OD+OC=73+4=5.

22

11~人

*：-OCXOD=-CDXOE,：.12=5O￡,：.0E=2A.在Rt/XODE中，

22

DE=y]0D2-0E2=732-2.42=18

OD=OP,：.PE=ED=1.8,,,.CP=CD-PD=5-1.8-1.8=1.4=1.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，求出。E的長是解題的關(guān)鍵.

6.C

解析：C

【分析】

如下圖，4BEP的周長=BE+BP+EP,其中BE是定值，只需要BP+PE為最小值即可，過點(diǎn)E

作AC的對稱點(diǎn)F,連接FB,則FB就是BP+PE的最小值.

【詳解】

如下圖，過點(diǎn)E作AC的對稱點(diǎn)F,連接FB,FE,過點(diǎn)B作FE的垂線，交FE的延長線于點(diǎn)

G

?.?菱形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

BE=2

?.?/DAB=60°,.?.NFCE=60°

,點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)

根據(jù)菱形的對稱性可知，點(diǎn)F在DC的中點(diǎn)上

則CF=CE=2

.?.△CFE是等邊三角形，；./FEC=60°,EF=2

ZBEG=60"

.?.在RtZ^BEG中，EG=1,BG=V3

FG=l+2=3

.?.在RtABFG中，BF=J32+(>/3)2=2后

根據(jù)分析可知，BF=PB+PE

/.△PBE的周長=26+2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查菱形的性質(zhì)和利用對稱性求最值問題，解題關(guān)鍵是利用對稱性，將BP+PE的長轉(zhuǎn)

化為FB的長.

7.A

解析：A

【分析】

取MB的中點(diǎn)P,連接FP,EP,DN,由中位線的性質(zhì)，可得當(dāng)N從A到8的運(yùn)動過程中，

點(diǎn)F在FP所在的直線上運(yùn)動，即：線段EF掃過圖形為AEFP,求出當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A重合時，

FP的值，以及FP上的高，進(jìn)而即可求解.

【詳解】

取MB的中點(diǎn)P,連接FP,EP,DN,

；FP是AMNB的中位線，EF是ADMN的中位線，

，F(xiàn)P〃BN,FP=LBN,EF〃DN,EF=-DN,

22

...當(dāng)N從A到8的運(yùn)動過程中，點(diǎn)F在FP所在的直線上運(yùn)動，即：線段EF掃過圖形為

AEFP.

當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A重合時，F(xiàn)P=-BN=-BA=4,

22

過點(diǎn)D作DQJ_AB于點(diǎn)Q,

'：AB//CD,ZC=90°,AB=8,AD=CD=5,

；.AQ=8-5=3,

???DQ=QAD?_AQ?=yj52-32=4，

，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)Q重合時，EF=-DN=-DQ=2,EF〃DQ,即：EF±AB,即：EF_LFP,

22

...AEFP中,FP上的高=2,

.??當(dāng)N從A到8的運(yùn)動過程中，線段EF掃過圖形的面積=lX4X2=4.

2

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查中位線的性質(zhì)定理，勾股定理以及三角形的面積公式，添加合適的輔助線，

構(gòu)造三角形以及三角形的中位線，是解題的關(guān)鍵.

8.D

解析：D

【分析】

連結(jié)CE,并延長CE,交BA的延長線于點(diǎn)N,根據(jù)已知條件和平行四邊形的性質(zhì)可證明

△NAE四△CFE,所以NE=CE,NA=CF,再由已知條件CD于D,NADE=50°,即可

求出/B的度數(shù).

【詳解】

解：連結(jié)CE,并延長CE,交BA的延長線于點(diǎn)N,

?.?四邊形ABCF是平行四邊形，

：.AB//CF,AB=CF,

:.NNAE=NF,

?.?點(diǎn)E是的AF中點(diǎn)，

：.AE=FE,

在△NAE和ACFE中，

"ZNAE=ZF

<AE=FE,

NAEN=NFEC

：./\NAE^/\CFE(ASA),

ANE=CE,NA=CF,

'：AB=CF,

：.NA=AB,即BN=2AB,

\'BC=2AB,

：.BC=BN,NN=NNCB,

；CD_LAB于D,即/NOC=90°且NE=CE,

1

：.DE=—NC=NE,

2

：.ZN=ZNDE=50a=NNCB,

AZB=80°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助

線，構(gòu)造全等三角形，在利用等腰三角形的性質(zhì)解答.

9.C

解析：C

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合AB=2AD,CD=2CF可得CF=CB,從而可得NCBF=NCFB,再根據(jù)

CD〃AB,得NCFB=NABF,繼而可得NCB/7=NABE,可以判斷①正確；延長EF交BC

的延長線與M,證明4DFE與△CFM(AAS),繼而得EF=FM=；EM,證明

/CBE=NAEB=90°,然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可判斷②正確；由上可得

SABEF=SABMF,SADFE=S/SCFM?繼而可得S/、EBF=SABMF=SAEDF+S/\FBC,繼而可得

2SAEFB=S四邊形DEBC，可判斷③正確；過點(diǎn)F作FNLBE,垂足為N,則NFNE=90。，則可得

AD//FN,則有NDEF=NEFN,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NBFE=2NEFN,繼而得

ZBFE=2ZDEF,判斷④錯誤.

【詳解】

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD=BC,AB=CD,AD//BC,

VAB=2AD,CD=2CF,

CF=CB,

AZCBF=ZCFB,

：CD〃AB,

AZCFB=ZABF,

/.ZCBF=ZABF,故①正確；

延長EF交BC的延長線與M,

VAD//BC,

.??ZDEF=ZM,

又DFE=NCFM,DF=CF,

ADFE與△CFM(AAS),

1

，EF=FM=—EM,

2

VBF1AD,

/AEB=90",

?.?在平行四邊形ABCD中，AD〃BC,

.?.NCBE=NAEB=90°,

,1

??BF=——EM,

2

ABF=EF,故②正確；

VEF=FM,

**?SABEF=SABMFT

VADFE^ACFM,

SADFE=SACFM,

SAEBF=SABMF=SAEDF+SAFBC>

***2S&EFB=S四邊形DEBC，故③正確：

過點(diǎn)F作FN_LBE,垂足為N,則NFNE=90°,

AZAEB=ZFEN,

AAD//EF,

AZDEF=ZEFN,

又「EF=FB,

AZBFE=2NEFN,

.\ZBFE=2ZDEF,故④錯誤,

所以正確的有3個，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的判斷與性質(zhì)

等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題

的關(guān)鍵.

10.D

解析：D

【分析】

由勾股定理可求BE的長，由折疊的性質(zhì)可得CE=EF=2,BE_LCF,FH=CH,由面積法可求

CH=U6,由勾股定理可求EH的長，由三角形中位線定理可求DF=2EH=述.

55

【詳解】

解：如圖，連接CF,交BE于H,

?.,在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中點(diǎn),

；.BC=CD=4,CE=DE=2,ZBCD=90°,

；?BE=y/BC2+CE2=J16+4=2逐，

,將ABCE沿BE翻折至ABFE,

；.CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,

11

VSABCE=—xBExCH=—xBCxCE,

VCE=DE,FH=CH,

.".DF=2EH=^^,

5

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是本題

的關(guān)鍵.

二、填空題

H.48或2道

【分析】

分情況討論作出圖形，通過解直角三角形得到平行四邊形的底和高的長度，根據(jù)平行四邊

形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：過。作于E,

在RtAAPE中,ZA=30°,AD=2也,

A

:.DE=-AD^y/3,AE=—AD=3,

22

在RtABDE中,BD=2,

BE=>JBD2-DE2=一(6y=1,

；.AB=4，

，平行四邊形ABC。的面積=A8DE=4x6=46，

如圖2,

圖2

AB=2,

???平行四邊形ABCD的面積=ABDE=2X6=26

如圖3,過3作5E_LA。于E,

圖3

在RtAASE中，設(shè)AE=x,貝I]OE=26—X，

ZA=30°>BE=x，

3

在RtZ\B￡)E中，BD=2,

22=(^X)2+(2^-X)2,

:.x=5x=26(不合題意舍去)，

:.BE=L

■■■平行四邊形ABCD的面積=AE>BE=1x=2右，

當(dāng)A￡>_L8D時，平行四邊形ABCZ）的面積=AD30=46，

故答案為：或2G.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式的運(yùn)用、30度角的直角三角形的性

質(zhì)，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵.

12.8個

【分析】

作點(diǎn)F關(guān)于BC的對稱點(diǎn)M,連接FM交BC于點(diǎn)N,連接EM,交BC于點(diǎn)H,可得點(diǎn)H到

點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小，可求最小值，即可求解.

【詳解】

如圖，作點(diǎn)F關(guān)于BC的對稱點(diǎn)M,連接FM交BC于點(diǎn)N,連接EM,交BC于點(diǎn)H,

??,點(diǎn)E,F將對角線AC三等分，且AC=6,

，EC=4,FC=2=AE,

?.?點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于BC對稱，

；.CF=CM=2,/ACB=NBCM=45",

/.ZACM=90",

；.EM=7EC2+CM2=V42+22=275，

則在線段BC存在點(diǎn)H到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小為2后<5,

在點(diǎn)H右側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，則PE+PF=4+2=6,

...點(diǎn)P在CH上時，2&VPE+PFW6,

在點(diǎn)H左側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，

VFN1BC,ZABC=90°,

；.FN〃AB,

.".△CFN^ACAB,

?_F_N___C__N___C__F___1

"AB-CB-CA-3'

VAB=BC=—AC=372，

.?.FN=；AB=0,

CN=-BC=V2-

3

，BN=BC-CN=20,

BF=7^7^=^/^§=而，

VAB=BC,CF=AE,ZBAE=ZBCF,

AAABE^ACBF(SAS),

；.BE=BF=JIU,

；.PE+PF=2廂，

.?.點(diǎn)P在BH上時，26<PE+PF〈2jI6，

在線段BC上點(diǎn)H的左右兩邊各有一個點(diǎn)P使PE+PF=5,

同理在線段AB,AD,CD上都存在兩個點(diǎn)使PE+PF=5.

即共有8個點(diǎn)P滿足PE+PF=5,

故答案為8.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，最短路徑問題，在BC上找到點(diǎn)H,使點(diǎn)H到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距

離之和最小是本題的關(guān)鍵.

13.①②③④

【分析】

①根據(jù)角平分線的定義可得NBAE=NDAE=45°,可得出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等

腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=J5AB,從而得到然后利用“角角邊”證明AABE

和△AMD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DH,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求

出/AOE=NAED=67.5°,根據(jù)平角等于180°求出NCED=67.5°,從而判斷出①正確；

②求出NAHB=67.5°,NDHO=NODH=22.5°,然后根據(jù)等角對等邊可得。E=OD=OH,判斷

出②正確；

③求出NE8H=/OHD=22.5°,ZAEB=ZHDF=45Q,然后利用“角邊角”證明△8EH和

△HDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得8H=HF,判斷出③正確；

④根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=HE,然后根據(jù)HE=AE-AH=BC-CD,BC-CF=BC-

(CD-DF)=2HE,判斷出④正確；

⑤判斷出△AB”不是等邊三角形，從而得到ABW8H,即得到⑤錯誤.

【詳解】

:在矩形ABC。中，AE平分/BAD,：.ZBAE=ZDAE^45°,，/VIBE是等腰直角三角形，

：.AE=血AB.

,:AD=6AB,：.AE=AD.

NBAE=NDAE

在△A8E和△AH。中，V?AABE=ZAHD=90°,A/\ABE^/\AHD(AAS),

AE=AD

：.BE=DH,：.AB=BE=AH=HD,：.ZADE=ZAED=-(180°-45°)=67.5°,

2

/CED=180°-45°-67.5°=67.5°,AZAED=ZCED,故①正確；

VZAHB=-(180°-45°)=67.5°,/OHE=NAHB(對頂角相等)，

2

：.NOHE=NAED,：.OE=OH.

"：ZDOH^O0-67.5°=22.5°,/ODH=67.5°-45°=22.5°,:.NDOH=NODH,

：.OH=OD,：.OE=OD=OH,故②正確；

；NEBH=90°-67.50=22.5°,：.ZEBH=ZOHD.

ZEBH=40HD

在△BEH和△HDF中，,/<BE=DH,.?.△BEH絲△HOF(ASA),:.BH=HF,

NAEB=NHDF

HE=DF,故③正確；

由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE,CF=CD-DF,：.BC-CF=(.CD+HE)-CCD-

HE)=2HE,所以④正確；

'：AB^AH,NBAE=45°,，ZVIBH不是等邊三角形，:.ABWBH,.?.即A8WHF,故⑤錯

誤；

綜上所述：結(jié)論正確的是①②③④.

故答案為①②③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定

與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并仔細(xì)分析題目條件，根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角

形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

14.102°

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)求出/DAB=2/DAC,AD=CD；再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AF=DF,利用

三角形內(nèi)角和定理可以求得3/CAD+/CDF=180。，從而得到/DAB的度數(shù).

【詳解】

連接BD,BF,

E\^/

B

?.?四邊形ABCD是菱形，

/.AD=CD,

.\ZDAC=ZDCA.

???EF垂直平分AB,AC垂直平分BD,

；.AF=BF,BF=DF,

；.AF=DF,

AZFAD=ZFDA,

AZDAC+ZFDA+ZDCA+ZCDF=180°,即3ZDAC+ZCDF=180°,

：/CDF=27°,

.".3ZDAC+27o=180o,則NDAC=51。,

ZDAB=2ZDAC=102°.

故答案為：102。.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用以及菱形的性質(zhì)，有

一定的難度，解答本題時注意先先連接BD,BF,這是解答本題的突破口.

15.2&

【分析】

由正方形ABCD的邊長為4,得出AB=BC=4,ZB=90°,得出AC=4后，當(dāng)P與D重合

時，PC=ED=PA,即G與A重合，則EG的中點(diǎn)為D,即F與D重合，當(dāng)點(diǎn)P從D點(diǎn)運(yùn)動到

A點(diǎn)時，則點(diǎn)F運(yùn)動的路徑為DF,由D是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)是EG的中點(diǎn)，得出DF是4EAG

的中位線，證得NFDA=45°,則F為正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)，CF±DF,此時CF最

小，此時CF=；AG=2血.

【詳解】

解：連接FD

,/正方形ABCD的邊長為4,

；.AB=BC=4,ZB=90°,

??AC=45/2，

當(dāng)P與D重合時，PC=ED=PA,即G與A重合，

；.EG的中點(diǎn)為D,即F與D重合，

當(dāng)點(diǎn)P從D點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)時，則點(diǎn)F運(yùn)動的軌跡為DF,

：D是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)是EG的中點(diǎn)，

ADF是4EAG的中位線，

；.DF〃AG,

,/ZCAG=90°,ZCAB=45°,

；./BAG=45°,

，/EAG=135°,

.\ZEDF=135",

ZFDA=45°,

，F(xiàn)為正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)，CF±DF,

此時CF最小，

此時CF=；AG=2及；

故答案為：2起.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DC=DE、CP=EP,由"AAS"可證AOEF絲△OBP,可得出OE=OB、

EF=BP,設(shè)EF=x,則BP=x、DF=5-x、BF=PC=3-X,進(jìn)而可得出AF=2+x,在RSDAF中，利用

勾股定理可求出x的值，即可得AF的長.

【詳解】

解：?..將ACDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，

，DC=DE=5,CP=EP.

在△OEF和△OBP中，

/EOF=NBOP

<ZB=ZE=90,

OP=OF

.?.△OEF會△OBP(AAS),

.*.OE=OB,EF=BP.

設(shè)EF=x,則BP=x,DF=DE-EF=5-x,

XVBF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,

；.AF=AB-BF=2+x.

在Rt/SDAF中，AF2+AD2=DF2,

(2+x)2+32=(5-x)2,

6

x=—

7

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題

時常常設(shè)要求的線段長為X,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含X的代數(shù)式表示其他線段

的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.

17.①②③⑤

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理得到EF=』AB,EF〃AB,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DF=」AC,

22

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、勾股定理計算即可判斷.

【詳解】

VE,F分別是BC,AC的中點(diǎn)，

1

；.EF=-AB,EF〃AB,

2

,.'ZADC=90",ZCAD=45",

ZACD=45",

/BAC=NACD,

；.AB〃CD,

；.EF〃CD,故①正確；

VZADC=90%F是AC的中點(diǎn),

.*.DF=CF=-AC,

2

1

VAB=AC,EF=-AB,

2

，EF=DF,故②正確；

VZCAD=ZACD=45",點(diǎn)F是AC中點(diǎn)，

...△ACD是等腰直角三角形，DF±AC,ZFDC=45°,

.,.ZDFC=90°,

VEF//AB,

，NEFC=/BAC=45°,NFEC=NB=67.5°,

ZEFD=ZEFC+ZDFC=135",

...NFED=NFDE=22.5。，

?.'/FDC=45°,

ZCDE=ZFDC-ZFDE=22.5°,

AZFDE=ZCDE,

，DE平分NFDC,故③正確；

VAB=AC,ZCAB=45°,

，/B=NACB=67.5°,

；.NDEC=/FEC-/FED=45°,故④錯誤；

「△ACD是等腰直角三角形，

.?.AC2=2CD2,

.\AC=V2CD,

VAB=AC,

.\AB=V2CD,故⑤正確；

故答案為：①②③⑤.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角形中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線

的性質(zhì)，勾股定理等知識.掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是

解題的關(guān)鍵.

18.4

【分析】

根據(jù)題意，當(dāng)B、N、M三點(diǎn)在同一條直線時，△DMN的周長最小為：BM+DM=2+2jL

由DM=；4D=2,貝IJBM=2百，利用勾股定理的逆定理，得到NAMB=90°,則得到

△ABD為等邊三角形，即可得到BD的長度.

【詳解】

解：如圖：連接BD,BM,則AC垂直平分BD,則BN=DN,

D

當(dāng)B、N、M三點(diǎn)在同一條直線時，△DMN的周長最小為：BM+DM=2+26，

VAD=AB=4,M是AD的中點(diǎn)，

；.AM=DM=-AZ)=2,

2

；.BM=26，

AM2+BM2=22+(2百＞=16=4出，

.'△ABM是直角三角形，即/AMB=90°；

VBM是4ABD的中線，

△ABD是等邊三角形，

BD=AB=AD=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，以及三線合一定

理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確得到4ABD是等邊三角形.

19.2或3.5

【分析】

分別從當(dāng)Q運(yùn)動到E和B之間、當(dāng)Q運(yùn)動到E和C之間去分析求解即可求得答案.

【詳解】

1

/.BE=CE=-BC=9,

2

①當(dāng)Q運(yùn)動到E和B之間，則得:

3t-9=5-t,

解得：t=3.5；

②當(dāng)Q運(yùn)動到E和C之間，則得:

9-3t=5-t,

解得：t=2,

當(dāng)運(yùn)動時間t為2秒或3.5秒時，以點(diǎn)P,Q,E,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】

“點(diǎn)睛”此題考查了梯形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì).解題時注意掌握輔助線的

作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用.

20.10及

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)證明AD=DE=3,再根據(jù)=證明

BC=BE,由此根據(jù)三角形的三線合一及勾股定理求出BF,即可求出平行四邊形的面積.

【詳解】

過點(diǎn)8作8ELC。于點(diǎn)尸，如圖所示.

；AE是的平分線，

ZDAE=ABAE.

V四邊形ABC0是平行四邊形，

ACD=AB=5,BC=AD=3,NBAD=NBCE,AB//CD,

；?ZBAE^ZDEA,

：.ZDAE^ZDEA,

DE=AD-3，

CE=CD-DE=2.

???ZBAD=ZBEC,

：.ZBCE^ZBEC,

：.BC=BE,

CF=EF=-CE=1,

2

???BF=y/BC2-CF2=A/32-12=272?

,平行四邊形ABC。的面積為BF-CD=26X5=106-

故答案為：ioj^.

【點(diǎn)睛】

此題考查平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行且相等，對角相等，等腰三角形的等角對等邊的性

質(zhì)、三線合一的性質(zhì)，勾股定理.

三、解答題

21.(1)見解析；(2)MON為等腰直角三角形，見解析

【分析】

(1)如圖1,由正方形的性質(zhì)得CB=CD,ZBCD=90°,再證明NBCN=/CDM,然后根據(jù)

"AAS"證明ACDM名△CBN,從而得到DM=CN：

(2)如圖2,利用正方形的性質(zhì)得OD=OC,ZODC=ZOCB=45°,NDOC=90。，再利用

/BCN=NCDM得到/OCN=NODM,則根據(jù)"SAS”可判斷△OCNgZ!\ODM,從而得到ON=

OM,ZCON=ZDOM,所以NMON=NDOC=90。，于是可判斷AMON為等腰直角三角

形.

【詳解】

(1)證明：如圖1,

:四邊形ABCD為正方形，

；.CB=CD,NBCD=90°,

VDM1CP,BN1CP,

/DMC=90°,/BNC=90°,

VZCDM+ZDCM=90°,ZBCN+ZDCM=90°,

；./BCN=NCDM,

在ACDM和ACBN中

NDMC=NCNB

<CD=CB,

NCDM=ZBCN

.".△CDM^ACBN,

，DM=CN；

(2)解：AOMN為等腰直角三角形.

理由如下：

如圖2,；四邊形ABCD為正方形，

.,.OD=OC,ZODC=ZOCB=45°,ZDOC=90°,

VZBCN=ZCDM,

AZBCN-45°=ZCDM-45°,即NOCN=/ODM,

在AOCN和AODM中

'CN=DM

<NOCN=ZODM,

OC=OD

.".△OCN^AODM,

.,.ON=OM,ZCON=ZDOM,

.../MON=/DOC=90°,

???MON為等腰直角三角形.

本題考查正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線

相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、

矩形、菱形的一切性質(zhì)；兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正

方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸.也考查全等三角形的判定與性質(zhì).

22.（1）①7；②證