江蘇天一中學(xué)2024年高二上學(xué)期第一次檢測數(shù)學(xué)試題+答案

第1頁（共23頁）天一高二上第一次檢測數(shù)學(xué)試卷25分）不等式的解集為()35分）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+∞)上為單調(diào)函數(shù)，則滿足的所有實數(shù)x的和為()45分）已知函數(shù)f(x)=2xcosx，則函數(shù)f(x)的部分圖象可以為()55分）等腰三角形的底與腰之比是黃金分割比的三角形稱為黃金三角形，它是一個頂角為36°的等腰三角形．如圖五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，其中一個黃金ΔABC中，由上面可得sin126°=() 第2頁（共23頁）)75分）如圖所示，在直三棱柱ABC?A1B1C的一動點，則AP+PC1的最小值為() A．5B．7C．1+3D．3合舉行．這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京季奧林匹克運動會的城市．同時中國也成為第一個實現(xiàn)會、冬奧會、冬殘奧會）國家．根據(jù)規(guī)劃，國家體育場體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率離心率為() 第3頁（共23頁）105分）已知雙曲線的兩個頂點分別為A1(?a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐標(biāo)分別為(0,b)，(0,?b)，且四邊形A1PA2Q的面積C的方程為()2SΔPAC，SΔPBC，SΔABC，則以下說法正確的是()A．sin2α+sin2β+sin2γ=1，的夾角為θ,則cos2θ的可能取值為()第4頁（共23頁）(Ⅰ)求m的取值范圍； （1）若=λ，其中λ<0，求的坐標(biāo)；（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；n求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.建設(shè)，促進(jìn)旅游業(yè)的發(fā)展．計劃本年度投入1200萬元，以后每年投入均比上年減少20%，本年度旅游業(yè)收入估計為400萬元，預(yù)計今后旅游業(yè)收入的年增長率入為1525萬元.第5頁（共23頁）(Ⅰ)設(shè)第n年的投入為an萬元，旅游業(yè)收入為bn萬元，寫出an，bn的表達(dá)式； 2112分）已知三棱錐M?ABC中，MA=MB=MC=AC=22，AB=BC=2，O為AC的中點，點N在線BC上，且.（1）證明：BO丄平面AMC；（2）求二面角N?AM?C的正弦值.2212分）已知圓O:x2+y2=4和定點A(1,0)，平面上一動點P滿足以線段AP為直徑的圓內(nèi)切于圓O，動點P的軌跡記為曲線C.（2）直線l:y=k(x?4)(k≠0)與曲線C交于不同兩點M，N，直線AM，AN證：|AP|=|AQ|.第6頁（共23頁）天一高二上第一次檢測數(shù)學(xué)試卷【分析】先求出集合B，然后結(jié)合集合的交集運算即可求解.故選：A.【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.25分）不等式的解集為()故選：D.【點評】本題主要考查分式不等式的解法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.35分）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+∞)上為單調(diào)函數(shù)，則滿足的所有實數(shù)x的和為()從而得到然后化簡變形，然后由韋達(dá)定理求解即可.【解答】解：因為函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(x)=f(?x)=f(|x|)，第7頁（共23頁）2設(shè)x2設(shè)x2故選：A.【點評】本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題.45分）已知函數(shù)f(x)=2xcosx，則函數(shù)f(x)的部分圖象可以為()【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項，然后利用特殊值判斷函數(shù)的圖象上的點即可得到結(jié)果.【解答】解：函數(shù)f(x)=2xcosx，f(?x)=?2xcosx=?f(x)，所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除B、D，當(dāng)x→0時，函數(shù)f(x)=故選：A.以及函數(shù)的圖象經(jīng)過的特殊點判斷.55分）等腰三角形的底與腰之比是黃金分割比的三角形稱為黃金三角形，它是一個頂角為36°的等腰三角形．如圖五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，其中一個黃金ΔABC中，由上面可得sin126°=()第8頁（共23頁）【點評】本題考查黃金三角形的性質(zhì)的應(yīng)用及誘導(dǎo)公式和二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.65分）設(shè)ΔABC的三邊長為BC=a，CA=b，AB=c，若tan，tan，則ΔABC是()【分析】利用正弦定理可得sinB+sinC=1+cosA與sinA+sinC=1+cosB，兩式作差后平方，可得sin2A=sin2B?A=B或A+B=從而可得答案.解：在ΔABC中，若tan，則整理得sinB又同理可得sinA+sinC=1+cosB②①?②得，sinB?sinA=cosA?cosB，即sinA+cosA=sinB+cosB，:sin2A=sin2B，:A=B或A+B=，【點評】本題考查正弦定理，兩角和的正弦的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題.第9頁（共23頁）75分）如圖所示，在直三棱柱ABC?A1B1C的一動點，則AP+PC1的最小值為() A．5B．7C．1+3D．3【分析】將立體圖展開成平面圖，設(shè)點C1的新位置為C′，連接AC′，即可得到AC′即為AP+PC1的值，解三角形即可.【解答】解：連接BC1，得△A1BC1，以A1B所在直線為軸，將△A1BC1所在平面旋轉(zhuǎn)到平面ABB1A1，設(shè)點C1的新位置為C′，連接AC′，則AC′即為AP+PC1的最小值，1+4?2×1×2×故選：B.【點評】本題考查距離最小值問題，考查學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象能力，屬于中檔題.合舉行．這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京季奧林匹克運動會的城市．同時中國也成為第一個實現(xiàn)會、冬奧會、冬殘奧會）國家．根據(jù)規(guī)劃，國家體育場第10頁（共23頁）體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率端點A和短軸一端點B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD（如圖且兩切線斜率之積等于則橢圓的離心率為()【分析】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為外層橢圓設(shè)為設(shè)切線的方程可設(shè)成設(shè)切線的方程為y=k1(x+ma)，故選：B.【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題.第11頁（共23頁）從而可得結(jié)論.所以A、C、D選項說法正確，B錯誤.故選：ACD.【點評】本題考查空間向量基本定理中基底的含義，屬于基礎(chǔ)題.105分）已知雙曲線的兩個頂點分別為A1(?a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐標(biāo)分 C的方程為()222【分析】四邊形A1PA2Q的面積為2，×a×b=2再根據(jù)內(nèi)切圓的周長可以求案. 【解答】解：四邊形A1PA2Q的面積為22，記四邊形A1PA2Q內(nèi)切圓半徑為r，:2cr=22，:c=3，又:c2=a2+b2=3，第12頁（共23頁）故選：AB.【點評】本題考查雙曲線方程的求法，本題四邊形A1PA2Q的面積用了兩種方法計算，進(jìn)而得到方程，考查了“算兩次”思想在解題過程中的應(yīng)用，屬于中檔題.SΔPAC，SΔPBC，SΔABC，則以下說法正確的是()A．sin2α+sin2β+sin2γ=1平面ABC于O，PN丄AB于N，連結(jié)MN，可得SΔPAB>SΔOAB，同理SΔPAC>SΔOAC，SΔPBC>SΔOBC，可判斷；選項D，設(shè)PA=x，PB=y，【解答】解：如圖所示，以PM為體對角線構(gòu)造如圖所示的長方體DEMI?PHGF，則sin2α+sin2β+sin2γ=1，故選項A正確；第13頁（共23頁）如圖所示，作PO丄平面ABC于O，PN丄AB于N，連結(jié)MN，由三垂線定理可得，MN丄AB，由于ΔPON為以上O為直角的直角三角形，因此PN>ON，故SΔPAB>SΔOAB，同理SΔPAC>SΔOAC，SΔPBC>SΔOBC，:SΔPAB+SΔPAC+SΔPBC>SΔABC=SΔOBC+SΔOAC+SΔOAB，+y2+z22xyzcosA0,cosB=2222>xyz故選：ACD.第14頁（共23頁）【點評】本題主要考查空間圖形的綜合問題，考查了學(xué)生空間想象，構(gòu)造知識，屬于中等題.cos2θ的可能取值為()【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)先求出求解即可. 2–【點評】本題主要考查了向量數(shù)量積性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了函數(shù)取值范圍的求解，屬于中檔題.【分析】利用對立事件的概率公式求解即可.第15頁（共23頁）【解答】解：由題意，取得兩個綠玻璃球的概率為，【點評】本題考查了對立事件概率公式的理解與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.145分）若復(fù)數(shù)z滿足|z?3+2i|=1，則|z?6?2i|的最小值為4.【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，先確定復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的軌跡是以C(3,?2)為圓心，半徑為1的圓，|z?6?2i|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z與點P(6,2)之間的距離，然后由圓的幾何性質(zhì)分析求解即可.【解答】解：因為復(fù)數(shù)z滿足|z?3+2i|=1，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的軌跡是以C(3,?2)為圓心，半徑為1的圓，又|z?6?2i|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z與點P(6,2)之間的距離，所以|z?6?2i|的最小值為PC?1=【點評】本題考查了復(fù)數(shù)模的幾何意義的理解與應(yīng)用，圓的幾何性質(zhì)的運用，兩點間距離查了邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于基礎(chǔ)題.155分）已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，?,xn的平均數(shù)為x，方差為s2.若3x1+1，33xn+1的平均數(shù)比方差大4，則s2?x2的最【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)和方差的公式，即可求解. 【解答】解：設(shè)新數(shù)據(jù)3x1+1，3x2+1，3x3+1，?,3xn+1的平均數(shù)為x1，方差為s，:一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，?,xn的平均數(shù)為x，方差為s2， :x1=3x+1，s=9s2，:3x1+1，3x2+1，3x3+1，?,3xn+1的平均數(shù)比方差大4，:3x+1=9s2+4，2:s=x?,:s2?x2(x?)2?,又:s2=1x?1≥0，第16頁（共23頁）:x≥1，s2 【分析】設(shè)三角形的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，運用三角函數(shù)的和角公式和正弦定理、可得x，y的方程組，解方程組得x，y的值，計算即可.【解答】解：設(shè)三角形的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c， 22 222，2，即有xc2+y.3c2，第17頁（共23頁）【點評】本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了平面向量數(shù)量積的定簡和求值問題，是中檔題.1710分）已知圓C的方程：x2+y2?2x?4y+m=0.(Ⅰ)求m的取值范圍；(Ⅱ)當(dāng)圓C與圓D:(x+3)2+(y+1)2=16相外切時，求直線l:x+2y?4=0被圓C所截得的弦MN的長.【分析】(Ⅰ)根據(jù)圓的一般方程表示圓的條件即可求m的取值范圍；【解答】解：(Ⅰ)圓C的方程可化為(x?1)2+(y?2)2=5?m…（2分） 圓C與圓D相外切 圓心C(1,2)到直線l:x+2y?4=0的距離為:|MN|=2…（12分）【點評】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用以及直線和圓相交的弦長力. （1）若=λ，其中λ<0，求的坐標(biāo)；【分析】（1）根據(jù)題意，可得=λ=(λ,?2λ)，由向量模的計算公式可得λ的值，即可得答案；（2）根據(jù)題意，求出.的值，又由數(shù)量積的【解答】解1）根據(jù)題意，若=λ，則=λ=(λ,?2λ)，|=2，則5λ2=20，解可得λ=±2，第18頁（共23頁）又由λ<0，則λ=?2， 2【點評】本題考查向量數(shù)量積性質(zhì)以及運算，涉及向量數(shù)量積的計算，屬于基礎(chǔ)題.（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；n求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.【分析】（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，{bn}的公比為q，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可【解答】解1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，{bn}的公比為q，nnnnnnn2n第19頁（共23頁）【點評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，錯位相減法求和，屬于中檔題.建設(shè)，促進(jìn)旅游業(yè)的發(fā)展．計劃本年度投入1200萬元，以后每年投入均比上年減少20%，本年度旅游業(yè)收入估計為400萬元，預(yù)計今后旅游業(yè)收入的年增長率入為1525萬元.(Ⅰ)設(shè)第n年的投入為an萬元，旅游業(yè)收入為bn萬元，寫出an，bn的表達(dá)式；【分析】(Ⅰ)由題意知{an}，{bn}均為等比數(shù)列，根據(jù)條件中的數(shù)列{an}的首項和公比直接寫出通項公式，設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q，根據(jù)三年內(nèi)旅游業(yè)總收入求得q，從而求得{bn}的通項公式；(Ⅱ)設(shè)至少經(jīng)過n年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入．分別計算出經(jīng)過n年，總投入和