人教B版高中數(shù)學(xué)選修22141曲邊梯形面積與定積分學(xué)案

1.4.1曲邊梯形面積與定積分（學(xué)案）一、知識梳理曲邊梯形：由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形。

2.引例：求曲線與直線所圍成的區(qū)域的面積將區(qū)間等分為個小區(qū)間：，每個小區(qū)間的長度為，過各分點作軸的垂線，把曲邊梯形分成個小曲邊梯形，再分別用小區(qū)間左端點的縱坐標(biāo)為高，為底座小矩形，于是，這些小矩形的面積依次是所有這些小矩形的面積之和為=化簡得：=所以==思考：如果去小區(qū)間的右端點的縱坐標(biāo)為高，則這些小矩形的面積之和為=化簡得：=所以==3.定積分的定義：如果函數(shù)

f(x)

在區(qū)間

[a,b]

上連續(xù)，用分點將區(qū)間

[a,b]

等分成

n

個小區(qū)間，其長度依次為。在每個小區(qū)間

上任取一點

ξi（i=1，2，?，n），作和式當(dāng)

→∞

時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)

f(x)

在區(qū)間

[a,b]

上的定積分，記作

即這里，與

分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間

[a,b]

叫做積分區(qū)間，函數(shù)

叫被積函數(shù)，

叫做被積式，x

叫做積分變量。

4.定積分

的幾何意義．從幾何上看，如果在區(qū)間

[a,b]

上函數(shù)

f(x)

連續(xù)且恒有

，那么定積分

表示由由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形。二、情境導(dǎo)學(xué)1、由極限法求曲邊梯形的面積的步驟第一步：分割．在區(qū)間[a，b]中等間隔地插入n－1個分點，將其等分成n個小區(qū)間[xi－1，xi](i＝1,2，…，n)，小區(qū)間的長度Δxi＝xi－xi－1.第二步：近似代替．“以直代曲”，用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出小曲邊梯形面積的近似值．第三步：求和．將n個小矩形的面積進行求和得Sn.第四步：取極限．當(dāng)n→∞時，Sn→S，S即為所求．2、利用定義求定積分的步驟3、定積分的幾何意義的應(yīng)用(1)利用定積分的幾何意義求eq\i\in(a,b,)f(x)dx的值的關(guān)鍵是確定由曲線y＝f(x)，直線x＝a，x＝b及y＝0所圍成的平面圖形的形狀．常見的圖形有三角形、直角梯形、矩形、圓等可求面積的平面圖形．(2)不規(guī)則的圖形常利用分割法將圖形分割成幾個容易求定積分的圖形求面積，要注意分割點要確定準(zhǔn)確．三、典例解析例1、利用定積分定義計算：（1）（2），C為常數(shù)例2、利用定積分的幾何意義計算：（1）（2）四、當(dāng)堂檢測1．在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上的近似值()A．只能是左端點的函數(shù)值f(xi)B．只能是右端點的函數(shù)值f(xi＋1)C．可以是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均正確2．在計算由曲線y＝－x2以及直線x＝－1，x＝1，y＝0所圍成的圖形面積時，若將區(qū)間[－1,