高考文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)第八篇第6節(jié)　拋物線

第6節(jié)拋物線【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)拋物線的定義與應(yīng)用1,7,10拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及應(yīng)用2,4直線與拋物線的位置關(guān)系3,5,8,10,13拋物線的綜合應(yīng)用6,9,11,12,14,15基礎(chǔ)鞏固(時(shí)間:30分鐘)1.(2017·北京西城區(qū)模擬)若拋物線y2=ax的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是2,則a等于(C)(A)±1 (B)±2 (C)±4 (D)±8解析:由拋物線的性質(zhì)可知,交點(diǎn)與準(zhǔn)線之間的距離為|a即|a|2=2?2.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點(diǎn),若x1+x2=2,|PQ|=4,則拋物線的方程是(A)(A)y2=4x (B)y2=8x(C)y2=2x (D)y2=6x解析:由拋物線的定義知|PQ|=x1+x2+p=4,又x1+x2=2,所以p=2,即拋物線的方程是y2=4x.故選A.3.(2017·廣東韶關(guān)調(diào)研)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線l交該拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,若|AF|=3,則直線l的斜率為(D)(A)1 (B)2 (C)3 (D)22解析:由題可知焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線為x=1,設(shè)點(diǎn)A(xA,yA),B(xB,yB),由|AF|=3,得xA=2,即A(2,22),故直線l的斜率為22.4.(2017·安徽安慶二模)已知拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)Q在C上,圓Q的半徑為1,過點(diǎn)F的直線與圓Q切于點(diǎn)P,則FP→·PQ(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:FP→·FQ→=|FP→|2=|FQ→|2r2=|由拋物線的定義知|FQ→d為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離,易知,拋物線的頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離最短,|FQ|min=2,所以(FP→·FQ→)故選C.5.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A,B,C,A在x軸上方,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則拋物線的方程為(B)(A)y2=32x (B)y2(C)y2=92x (D)y2解析:設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為G,分別過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線,分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,D(圖略),設(shè)|BF|=a,則|BC|=2a,由定義得|BD|=a,故∠BCD=30°,在直角三角形ACE中,因?yàn)閨AF|=3,|AC|=3+3a,所以2|AE|=|AC|,所以3+3a=6,從而得a=1,因?yàn)锽D∥FG,所以1p=23,解得p=因此拋物線方程為y2=3x.故選B.6.導(dǎo)學(xué)號(hào)94626212(2017·河北邯鄲一模)已知M(x0,y0)是曲線C:x22y=0上的一點(diǎn),F是曲線C的焦點(diǎn),過M作x軸的垂線,垂足為N,若MF→·MN(A)(1,0)∪(0,1) (B)(1,0)(C)(0,1) (D)(1,1)解析:由題意知曲線C為拋物線,其方程為x2=2y,所以F(0,12)根據(jù)題意可知,N(x0,0),x0≠0,MF→=(x0,12y0),MN→所以MF→·MN→=y0(12y即0<y0<12因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上,所以有0<x022又x0≠0,解得1<x0<0或0<x0<1,故選A.7.若點(diǎn)P到直線y=1的距離比它到點(diǎn)(0,3)的距離小2,則點(diǎn)P的軌跡方程是.

解析:由題意可知點(diǎn)P到直線y=3的距離等于它到點(diǎn)(0,3)的距離,故點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(0,3)為焦點(diǎn),以y=3為準(zhǔn)線的拋物線,且p=6,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=12y.答案:x2=12y8.已知一條過點(diǎn)P(2,1)的直線與拋物線y2=2x交于A,B兩點(diǎn),且P是弦AB的中點(diǎn),則直線AB的方程為.

解析:依題意,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則有y12=2x1,y22=2x2,兩式相減得y12y22=2(x答案:xy1=09.一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn),另外兩點(diǎn)在拋物線y2=2x上的正三角形的面積為.

解析:設(shè)三角形的另外兩點(diǎn)是A,B,根據(jù)對(duì)稱性,A,B關(guān)于x軸對(duì)稱,故∠AOx=30°.直線OA的方程y=33代入y2=2x,得x26x=0,解得x=0或x=6.即得A的坐標(biāo)為(6,23).所以|AB|=43,正三角形OAB的面積為12×43×6=123答案:123能力提升(時(shí)間:15分鐘)10.導(dǎo)學(xué)號(hào)94626213拋物線C1:y2=2px和圓C2:(xp2)2+y2=p24,其中p>0,直線l經(jīng)過C1的焦點(diǎn)F,依次交C1,C2從下至上于A,B,C,D四點(diǎn),則AB(A)p2 (B)p24 (C)p解析:設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,A(x1,y1),D(x2,y2),則|AB|=|AF||BF|=x1+p2p2=x同理|CD|=x2.故AB→·CD→=|AB||CD|=x1·x2=11.導(dǎo)學(xué)號(hào)94626214(2017·江西九江三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P是拋物線E上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),Q是線段PF上的點(diǎn),且滿足OQ→=23OP(A)22 (B)3 (C)2 (D)解析:設(shè)P(x0,y0),Q(x,y),F(p2,0),由OQ→=23OP→+13OF→可得OQ→OP→=13OF→13OP→,即PQ即x=4x0+p6,y=23y0,所以k根據(jù)y02=2px0得kOQ=4y02y02p+p=412.拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線x23y23=1相交于A,B兩點(diǎn),若△解析:在等邊三角形ABF中,AB邊上的高為p,AB2=3所以B(±33p,p2又因?yàn)辄c(diǎn)B在雙曲線上,故p23答案:613.(2018·廣西質(zhì)檢)過點(diǎn)P(2,0)的直線與拋物線C:y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),且|PA|=12|AB|,則點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),分別過點(diǎn)A,B作直線x=2的垂線,垂足分別為D,E,因?yàn)閨PA|=12|AB|,所以3(x1+2)=x2+2,23,則點(diǎn)A到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為1+23=答案:514.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點(diǎn),且|AB|=9.(1)求該拋物線的方程;(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若OC→=OA→+λOB→解:(1)直線AB的方程是y=22(xp2)與y2=2px聯(lián)立,從而有4x25px+p2=0.所以x1+x2=5p由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,從而拋物線方程為y(2)由于p=4,則4x25px+p2=0即x25x+4=0,從而x1=1,x2=4,于是y1=22,y2=42,從而A(1,22),B(4,42).設(shè)C(x3,y3),則OC→=(x3,y3)=(1,22)+λ(4,42)=(4λ+1,42λ22又y32=8x3,即[22(2λ1)]2=8(4整理得(2λ1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.15.(2017·安徽馬鞍山三模)已知曲線C:y2=4x,M:(x1)2+y2=4(x≥1),直線與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若OA→·OB(2)若直線與曲線M相切,求MA→·MB解:(1)由已知,可設(shè)l:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),由x=my+所以y1+y2=4m,y1·y2=4n.所以x1+x2=4m2+2n,x1·x2=n2所以由OA→·OB→=4可得x1·x2+y