圓錐曲線的方程

選擇性必修第一冊第三章圓錐曲線的方程2/2第三章圓錐曲線的方程02橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題導(dǎo)學(xué)什么是橢圓？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式有哪些？如何確定焦點(diǎn)位置？a,b,c的關(guān)系如何？橢圓的幾何性質(zhì)有哪些？4.如何根據(jù)方程和圖像推導(dǎo)幾何性質(zhì)？知識構(gòu)建知識點(diǎn)一橢圓的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)范圍，，對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)，，，，，，軸長軸的長為，短軸的長為焦距焦點(diǎn)，，離心率a、b、c的關(guān)系知識點(diǎn)二對橢圓簡單幾何性質(zhì)的說明1.離心率的范圍為(0,1)．2.e越大，橢圓越扁平；e越小，橢圓越接近于圓．3.橢圓的焦點(diǎn)一定在它的長軸上．4.橢圓上到中心的距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個端點(diǎn)，到中心的距離最大的點(diǎn)是長軸的兩個端點(diǎn)．5.橢圓上到焦點(diǎn)的距離最大和最小的點(diǎn)分別是長軸的兩個端點(diǎn)，最大值為a＋c，最小值為a－c.三、類型剖析類型一利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)類型二由幾何性質(zhì)求橢圓的方程類型三求橢圓的離心率四、類型應(yīng)用類型一利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)【例1】（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知下列橢圓的方程，分別求橢圓的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)．(1)；(2)．【跟蹤訓(xùn)練1-1】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）求下列各橢圓的長軸長、短軸長、焦距、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，并畫出它們的草圖：(1)；(2).【跟蹤訓(xùn)練1-2】（23-24高二下·四川雅安·開學(xué)考試）已知橢圓，則（

）A．橢圓的長軸長為 B．橢圓的焦距為12C．橢圓的短半軸長為 D．橢圓的離心率為【跟蹤訓(xùn)練1-3】（22-23高二上·全國·期中）已知橢圓，則下列說法中正確的是（

）A．橢圓的焦點(diǎn)在軸上 B．橢圓的長軸長是C．橢圓的焦距為4 D．橢圓的離心率為【跟蹤訓(xùn)練1-4】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且的長軸長為，則的短軸長為（

）A． B． C． D．類型二由幾何性質(zhì)求橢圓的方程【例2】（22-23高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，短軸長為4；(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，到右頂點(diǎn)的距離為1.【跟蹤訓(xùn)練2-1】（24-25高二上·山東濱州·階段練習(xí)）橢圓的長短軸之和為18，焦距為6，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．【跟蹤訓(xùn)練2-2】（23-24高二下·江西·期中）已知橢圓的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，若橢圓的長軸長為10，短半軸長為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練2-3】（23-24高二上·陜西寶雞·期中）已知橢圓過點(diǎn)，且橢圓的短軸長為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【跟蹤訓(xùn)練2-4】（22-23高二上·河南·階段練習(xí)）已知直線，經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【跟蹤訓(xùn)練2-5】（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)且過點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長軸長是短軸長的3倍，求該橢圓的方程．【跟蹤訓(xùn)練2-6】（22-23高二上·河南鄭州·期中）焦點(diǎn)在軸上，短軸長為，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.類型三求橢圓的離心率【例3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知橢圓：的焦距為，則的離心率為.【跟蹤訓(xùn)練3-1】（23-24高二下·湖南益陽·階段練習(xí)）橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練3-2】（20-21高二上·天津北辰·期末）橢圓的長軸長為10，其焦點(diǎn)到橢圓中心的距離為4，則該橢圓的離心率為.【跟蹤訓(xùn)練3-3】（24-25高二上·湖南衡陽·階段練習(xí)）若橢圓滿足，則該橢圓的離心率（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練3-4】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的短軸長為2，則其離心率為（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練3-5】（23-24高二上·重慶·期末）已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得，則橢圓的離心率為．【跟蹤訓(xùn)練3-6】（23-24高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知點(diǎn)，，為橢圓的三個頂點(diǎn)，若是正三角形，則它的離心率是.【跟蹤訓(xùn)練3-7】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)．今有一個水平放置的橢圓形球盤，點(diǎn)是它的兩個焦點(diǎn)，其距離為6，靜放在點(diǎn)的小球（小球的半徑不計）從點(diǎn)沿直線（不與長軸共線）發(fā)出，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)時，小球經(jīng)過的路程為20，則橢圓的離心率為．五、數(shù)學(xué)情境1．（23-24高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）數(shù)學(xué)月考出了這樣一道題：設(shè)為橢圓上的兩個動點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)，使得為直角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．小峰同學(xué)沒有思路，于是求助數(shù)學(xué)老師，老師拍拍他的肩膀告訴他：從前，有個叫蒙日的數(shù)學(xué)家，發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡是一個定圓．小峰頓悟，于是寫出了答案：．2.（24-25高二上·陜西漢中·期中）萬眾矚目的北京冬奧會將于年月日正式開幕，繼年北京奧運(yùn)會之后，國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦奧運(yùn)會開幕式．在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長軸長為，短軸長為，小橢圓的短軸長為，則小橢圓的長軸長為（

）．A． B． C． D．3.（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分．燈絲位于橢圓的一個焦點(diǎn)上，卡門位于另一個焦點(diǎn)上．已知此橢圓的離心率為，且，則燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達(dá)卡門時所經(jīng)過的路程為（

）A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm4.（23-24高二上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）彗星是太陽系中具有明亮尾巴的天體，它們的運(yùn)行軌道是以太陽為一個焦點(diǎn)的橢圓．某彗星測得軌道的近日點(diǎn)（距離太陽最近的點(diǎn)）距太陽中心約4個天文單位，遠(yuǎn)日點(diǎn)（距離太陽最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距太陽中心約6個天文單位，且近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)及太陽中心同在一條直線上，則軌道方程可以為（以“天文單位”為單位）（

）A． B． C． D．六、素養(yǎng)提升1.（23-24高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）橢圓的離心率（）大小決定該橢圓的圓扁程度（離心率趨于0橢圓越圓，離心率越趨于1橢圓越扁），則四個橢圓的形狀中，最接近于圓的橢圓是（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）若橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù)的值為.3.（24-25高二上·陜西西安·階段練習(xí)）曲線與曲線一定成立的是（

）A．長軸長相等 B．焦距相等 C．離心率相等 D．短軸長相等4.（22-23高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知點(diǎn)，P是橢圓上的動點(diǎn)，則的最大值是．七、隨堂檢測1．已知橢圓，則橢圓的（

）A．長軸長為4 B．焦點(diǎn)在軸上C．離心率為 D．焦距為2．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的短軸長為，則其離心率為（

）A． B． C． D．3．已知橢圓的的焦距為2，則m的值為（

）A．5 B． C．3或5 D．或34．下列橢圓的形狀更接近于圓的是（

）A． B．C． D．5．橢圓上的動點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的距離的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．86．已知A為橢圓的上頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．3 D．7．橢圓的短軸長為，該橢圓上一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和為.8