專練16（30題）（四邊形綜合題）2022中考數(shù)學(xué)考點必殺500題（吉林專用）（原卷版）

2022中考考點必殺500題

專練16（四邊形綜合題）（30道）

1.（2022?吉林長春?一模）在矩形A8CO中，BC=6CD,點E、尸分別是邊A。、BC上

的動點，且=連接EF,將矩形A8C。沿EF折疊，點C落在點G處，點O落在點H

處.

（1）如圖1,當(dāng)￡77與線段8c交于點尸時，求證：PE=PF;

（2）如圖2,當(dāng)點P在線段C8的延長線上時，連結(jié)AC交所于點0,連結(jié)OP.求證：OPVEF.

⑶當(dāng)8c=66時，在點E由點A移動到A￡＞中點的過程中，直接寫出點G運動的路線長.

2.（2022?吉林長春?一模）如圖，在RtAABC中，NC=90。，AC=8,8c=6.動點尸從

點A出發(fā)，沿AB以每秒4個單位長度的速度向終點B運動，當(dāng)點P不與點A、8重合時，

過點戶作PDLA5交折線4C-C8于點￡）,取AB的中點F,設(shè)點戶的運動時間為r秒.

⑴線段45=.

（2）直接寫出線段PF的長，（用含f的代數(shù)式表示）

⑶當(dāng)直線PZ）將A45C分成的兩部分能拼成一個新的三角形（不重疊）時，求「的值.

⑷取/＞￡＞的中點E,作直線EP,當(dāng)直線E尸垂直于AABC一邊時，求r的值.

3.（2022?吉林?東北師大附中明珠學(xué)校一模）

圖①圖②圖③

【問題原型】如圖①，在酎8c中，CD是48邊的中線，CD=；A8,求證：ZACB=90°.

【結(jié)論應(yīng)用】如圖②，a48c中，點。是N8的中點，將mC。沿C。翻折得到0/TC。，連結(jié)

A'B.求證：A'BSCD.

【應(yīng)用拓展】如圖③，在EL4灰刀中，加＜90。,點E是邊N8的中點，將a4OE沿OE翻折得

到2TDE,連結(jié)84并延長，交CD于點F.若AB=S,AD=3,SaABCD=12,則A'F的長.

4.（2022?吉林省第二實驗學(xué)校一模）如圖①，AABC中，AB=AC=5,8c=8,點￡）在邊

BC上（不與8、C重合），連結(jié)AO,設(shè)B￡）=x.

（1）tanZ-B=.

（2）當(dāng)△ABD是直角三角形時，求x的值.

⑶當(dāng)是軸對稱圖形時，求乩⑺的面積.

⑷如圖②，設(shè)點8關(guān)于直線AO的對稱點是B',連結(jié)A8',當(dāng)NC43'=90。時，寫出x的值.

5.（2022?吉林長春?一模）數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)后，開始進一步的探索.他

們將平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，發(fā)現(xiàn)其中還有很多結(jié)論：如圖①，在平行四邊

形中，AB力BC,將AABC沿/C翻折至VABC,連接8'。.

⑴【發(fā)現(xiàn)與證明】發(fā)現(xiàn)如18'C與平行四邊形重疊部分的圖形始終是；

A.等腰三角形；B.等邊三角形；C.直角三角形

(2)【應(yīng)用與探究】求證：B'D//AC.

如圖②，在平行四邊形ABCD中，已知ZB=30°,將AABC沿/C翻折至V48C,連接B'D.若

48=6，ZAB'D=75。,則NACB=°,BC=.

6.(2022?吉林長春?一模)已知，四邊形488是邊長為4的正方形，點E在射線AO上運

動，連結(jié)8E,在射線下方作以BE為邊的矩形8EFG,且W=5.

圖②

⑴如圖①，當(dāng)點E與點。重合，則的長為.

(2)如圖②，當(dāng)點E在線段AO上，且叱=1時、求點尸到直線A〃的距離.

⑶當(dāng)點F或點G落在正方形ABC。的邊所在的直線上時，求矩形8EFG的面積.

7.(2022?吉林長春?一模)綜合與實踐

折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時折紙的

過程還蘊含著豐富的數(shù)學(xué)知識.

折一折：把邊長為2的正方形紙片A3CD對折，使邊AB與C。重合，展開后得到折痕EF.如

圖①；點M為CT上一點，將正方形紙片A88沿直線折疊，使點C落在EF上的點N

處，展開后連接。N,MN,AN,如圖②.

⑴圖②中，NCMD=；線段NF=.

(2)圖②中，試判斷△AND的形狀，并給出證明.

剪一剪、折一折：將圖②中的小柳剪下來，將其沿直線G”折疊，使點A落在點4處,

分別得到圖③、圖④.

⑷圖③中，若NA'GN=80。，則N/VHD=°

⑸圖③中，相似三角形(包括全等三角形)共有對.

⑹如圖④，點A，落在邊ND上，若4N=2A，O,則力=.

8.(2022?吉林?長春市第八十七中學(xué)一模)如圖，在Rt045C中,團8=90。，4B=4,BC=2,

點尸在ZC上以每秒逐個單位長度的速度向終點C運動.點。沿8/方向以每秒1個單位

長度的速度運動，當(dāng)點P不與點工重合時，連接尸。，以P。，80為鄰邊作當(dāng)點

P停止運動時，點。也隨之停止運動，設(shè)點P的運動時間為f(s),例與曲8c重疊部

分的圖形面積為S.

M

Q

BC

⑴點P到邊”的距離=，點尸到邊8c的距離=；（用含f的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)點M落在線段8c上時，求f的值；

⑶求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑷連接"。，當(dāng)〃。與胡8c的一邊平行或垂直時，直接寫出，的值.

9.（2022?吉林?長春市第八十七中學(xué)一模）［教材呈現(xiàn)］下面是華師大九年級上最數(shù)學(xué)教材第

76頁的部分內(nèi)容.

如圖，E是矩形”8的邊C8上的一點,于點F,AB=3,AD=2,CE=1,證明削尸。甌PCE,

并計算點工到直線。E的距離（結(jié)果保留根號）.

結(jié)合圖①，完成解答過程.

圖①圖②圖③

［拓展］

（1）在圖①的基礎(chǔ)上，延長線段//交邊C。于點G,如圖②，則FG的長為；

（2）如圖③，E、尸是矩形Z8CD的邊CD上的點，連接E片將矩形/8CD沿所翻

折，使點。的對稱點。'與點5重合，點力的對稱點為點⑷.若止4,AD=3,則E戶的長

為?

10.（2022?吉林?長春市凈月實驗中學(xué)一模）（1）如圖1,已知回。18和自均為等邊三角

形，。在NC上，E在C8上，易得線段/。和的數(shù)量關(guān)系是.

（2）將圖1中的回COE繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，直線AD和直線BE交于點F.

①判斷線段/。和8E的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②圖2中班處的度數(shù)是_.

（3）如圖3,若團。8和EICDE均為等腰直角三角形，UW8C=aDEC=90。，AB=BC,DE=

EC,直線和直線BE交于點F,分別寫出EWF8的度數(shù)，線段川入8E間的數(shù)量關(guān)系.

11.（2017,江蘇南通?中考模擬）將兩張完全相同的矩形紙片按如圖方式放置,

8。為重合的對角線.重疊部分為四邊形。“8G,

⑴試判斷四邊形。"8G為何種特殊的四邊形，并說明理由；

（2）若/8=8,/。=4,求四邊形。，8G的面積.

12.（2022?吉林大學(xué)附屬中學(xué)一模）【感知】小亮遇到了這樣一道題：己知如圖①在AABC中，

A3=AC,￡>在AB上，E在AC的延長上，DE交BC于點、F,且DF=EF,求證:必=C￡.

小亮仔細分析了題中的已知條件后，如圖②過。點作Z）G〃AC交BC于G,進而解決了該

問題.（不需要證明）

【探究】如圖③，在四邊形ABC。中，AB//DC,E為8C邊的中點，ZBAE=ZEAF,AF

與0c的延長線交于點F,試探究線段A3與ARb之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【應(yīng)用】如圖④，在正方形A8CZ）中，E為AB邊的中點，G、尸分別為A￡>,8C邊上的

點，若AG=1,BF=^2,0GEF=90°,則G尸的長為.

D.D,

13.（2018?吉林長春?中考模擬）如圖,是△/BC的中線，過點C作直線CF〃/D

【問題】如圖①，過點。作直線。G〃Z8交直線C尸于點E,連結(jié)ZE,求證：AB=DE.

【探究】如圖②，在線段力。上任取一點P,過點尸作直線PG〃48交直線CF于點E,連

結(jié)ZE、BP,探究四邊形N8PE是哪類特殊四邊形并加以證明.

【應(yīng)用】在探究的條件下，設(shè)尸E交/C于點若點尸是/。的中點，且例的面積為

1,直接寫出四邊形N8PE的面積.

圖①圖②

14.（2022?吉林吉林?一模）如圖1,點C在線段48上，（點C不與48重合），分別以4C、

8C為邊在48同側(cè)作等邊三角形ZCD和等邊三角形BCE,連接ZE、BD交于點、P.

【觀察猜想】

?AE與BD的數(shù)量關(guān)系是；

（2）SAPD的度數(shù)為.

【數(shù)學(xué)思考】

如圖2,當(dāng)點C在線段48外時，（1）中的結(jié)論①、②是否仍然成立？若成立，請給予證

明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明；

【拓展應(yīng)用】

如圖3,點E為四邊形Z8CO內(nèi)一點，且滿足a4EC=ia8EC=90。，AE=DE,BE=CE,對

角線/C、BD交于點、P,AC^IO,則四邊形Z8CD的面積為.

15.（2021?吉林四平?一模）勾股定理是數(shù)學(xué)史上非常重要的一個定理.早在2000多年以前，

人們就開始對它進行研究，至今已有幾百種證明方法.在歐幾里得編的《原本》中證明勾股

定理的方法如下，請同學(xué)們仔細閱讀并解答相關(guān)問題：

如圖，分別以RW8C的三邊為邊長，向外作正方形/8。從BCFG、ACHI.

⑴連接8/、CE,求證：^ABI^AEC-,

⑵過點8作4c的垂線，交/C于點交/”于點N.

①試說明四邊形力與正方形ABDE的面積相等；

②請直接寫出圖中與正方形BCFG的面積相等的四邊形.

⑶由第（2）題可得:正方形/8DE的面積+正方形8CFG的面積=的面積;即在心口/8C

中，AB2+BC2=.

16.（2021?吉林長春?一模）【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材64頁的部分內(nèi)

H

(1)【問題解決】

請結(jié)合圖1給出解題過程.

⑵【問題探究】

如圖2,在團/8C中,。是邊8c上的一點，過點。作。加8,交/C于點尸，過點。作?！闟4C,

CF3

交AB于點、E,延長C4至〃，使連結(jié)?！ń籒8于G.若一二=彳，0/1HG的面

AF2

積為2,則血＞8的面積為.

(3)如圖3,在EW8C中，。是邊8C上的一點，連結(jié)4。，點E為4C上一點，連結(jié)8E交

于點凡若尸為“。的中點，下酎￡/的面積為機，貝！1回尸。8的面積為.(用含

〃，的代數(shù)式表示)

17.(2021?吉林長春?二模)【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材102-103頁的

部分內(nèi)容.

性質(zhì)：直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半給出上述性質(zhì)證明中的部分演繹推理的過程如

下：已知：如圖1,在團48c中，0JC8=9O。，CD為斜邊48上的中線.求證：CO=/8證

明：如圖2,延長。至點E,使?！?8,連接/E,BE.

D

圖1圖2

【問題解決】請結(jié)合圖3將證明過程補充完整.

【應(yīng)用探究】

(1)如圖4,在EL48c中，4)是高，CE是中線，點廠是CE的中點，。/迥CE,點尸為垂足，

勖1EC=78。，則回8CE為度.

(2)如圖5,在線段4C上有一點B,AB=4,4C=11,分別以43和8C為邊作正方形N8EQ

和正方形8c尸G,點E落在邊8G上，連接。尸，點”為。尸的中點，連接G”,則GH的長

18.(2021?吉林,三模)如圖，a48c是等腰直角三角形，酎。8=90°,AC=BC=6,。在線段

8c上,E是線段4)的一點.現(xiàn)以CE為直角邊,C為直角頂點，在CE的下方作等腰直角0￡CF,

連接3兄

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：^AEC^BFC.

(2)當(dāng)/、E、尸三點共線時，如圖2,若AF=2由,求8斤的長;

(3)如圖3,若血10=15°,連接。凡當(dāng)E運動到使得的。￡=30。時，求回CD廠的面積.

19.(2021?吉林四平?一模)如圖

(D如圖1,等腰AABC和等腰中，ZBAC=ZDAE=90°,B,E,。三點在同一直線上，

求證：ZBZX?=90°；

⑵如圖2,等腰A43C中，AB=AC,ABAC=90°,。是A43C外一點，且NBDC=90。，

求證：ZADB=45°；

⑶如圖3,等邊A43C中，。是△43c外一點，且N3￡>C=60。，

①加Q8的度數(shù)；

@DA,DB,OC之間的關(guān)系.

20.(2021?吉林省實驗中學(xué)模擬預(yù)測)如圖，在正方形AfiC。中，點E是邊8c上任意一點

(點E不與點B、C重合)，連接OE,點C關(guān)于OE的對稱點為G，連接AC并延長交￡)￡

⑴【猜想】如圖①，的大小為度.

(2)【探究】如圖②，過點A作AM〃DF交MD的延長線于點,連接BM.求證：

tsABMwMftW,.

(3)【拓展】如圖③，連接AC,若正方形ABC。的邊長為2,則AACG面積的最大值為.

21.(2021?吉林省第二實驗學(xué)校二模)如圖，A43C中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=2,

點尸從點A出發(fā)，以每秒g個單位長度的速度沿A8向點B運動，到點3停止.同時點。從

點A出發(fā)，沿AC-CB的線路向點8運動，在邊AC上的速度為每秒且個單位長度，在邊BC

3

上的速度為每秒2個單位長度，到B停止，以PQ為邊向右或右下方構(gòu)造等邊APQR,設(shè)P的

運動時間為「秒，解答下列問題：

(1)填空：BC=,AC=.

(2)當(dāng)。在AC上，R落在BC邊上時，求f的值.

(3)連結(jié)8R.

①當(dāng)。在邊AC上，8R與AABC的一邊垂直時，求APQ?的邊長.

②當(dāng)。在邊8C上且R不與點B重合時，判斷BR的方向是否變化，若不變化，說明理由.

22.(2021?吉林省第二實驗學(xué)校二模)教材呈現(xiàn)：如圖是華師版九年級上冊第64頁的課后

習(xí)題.

如圖，在中，點。是邊AB的四等分點，DE//AC,DFHBC,AC=8,8c=12.求

四邊形DECF的周長.

(1)請完成該題目(補充說明：題目中的點。是邊48靠近點A的四等分點).

(2)小明和小靜在復(fù)習(xí)該題目時分別對這個題目進行了改編，請分別解答小明和小靜提出

的問題.

AA

①小明提出的問題是:如圖①，在AABC中，點。是邊AB靠近點A的四等分點，DE〃AC,

DFHBC.當(dāng)四邊形。ECF為菱形時，求AC與BC的數(shù)量關(guān)系？

②小靜提出的問題是:如圖②，在^ABC中，點。是邊A8靠近點A的四等分點，DE〃AC,

DF//BC,BC=8,NA=60。.則四邊形OEC尸面積的最大值是.

23.（2021?吉林?長春市解放大路學(xué)校模擬預(yù)測）教材呈現(xiàn)：如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教

材第77頁的部分內(nèi)容.

如圖，在AABC中，點。、E分別是43與NC的中點.根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：DEI/BC,

請結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程.

結(jié)論應(yīng)用：

（1）如圖②，在中，ZC=45°,BC=6,S^ABC=\1.D、E、尸分別為48、AC.

/E的中點，則。E=；

（2）如圖③，在（1）的條件下，延長尸。、C8相交于點G,則以0cB=.

24.（2021?吉林長春?二模）如圖，在A/BC中，AB=25,AC=20,8c=15,CN^AB,點P從

點工出發(fā)，以每秒5個單位的速度沿向終點8勻速運動.當(dāng)點P不與點2、B、N重合

時，過點。作尸@c交/c于點。，以尸。、PN為鄰邊作平行四邊形PQV/N,設(shè)平行四邊

形尸與△N8C重疊部分面積為S（平方單位）?點尸的運動時間為f（秒）.

（1）當(dāng)點尸在線段/N上時，tan團的值是；

（2）用含/的代數(shù)式表示線段尸N的長度；

（3）當(dāng)S=?時，求/的值；

（4）當(dāng)點A/恰好落在△/BC的角平分線上時，直接寫出f的值.

25.（2021?吉林長春?二模）【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第103頁的部分

內(nèi)容.

如圖，在放A/BC中，EL4CB=90o,8是斜邊Z8上的中線.

CD=-AB

求證：2.

證明：延長CD至點E,使￡>E=8,連結(jié)/E、BE.

請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程.

圖①

【結(jié)論應(yīng)用】（1）如圖，在四邊形ABC。中，ZABC=ZADC=90°,ZZMC=45°,ZBAC=30°,

E是AC的中點，連結(jié)BE、BD.則NOBE的度數(shù)為

D

(2)在A4?C中，已知AB=13,8c=12,CA=5,。為邊A3的中點，且與ZACB

的平分線交于點E,則。E的長為.

26.(2021?吉林長春?二模)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,A8=10,D為

邊的中點.動點P從點工出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線ZGC8向終點8運

動.當(dāng)點尸不與點C重合時，連結(jié)PD,以CP、PD為邊作YCPDE.設(shè)點P的運動時間為

f秒.

(1)C、。兩點之間的距離為

(2)當(dāng)點E落在邊8c上時，求YCPDE的周長.

(3)當(dāng)點尸在邊8c上運動時，若四邊形CEDE是軸對稱圖形，求，的值.

(4)設(shè)YCPZm的對角線的交點為。，點。關(guān)于對角線PE的對稱點為連結(jié)O。，當(dāng)

077,8時，直接寫出f的值.

27.(2021?吉林長春,二模)【問題原型】如圖①，四邊形ZBDEdGFC都是正方形，AB>AC,

連結(jié)CE、BG.求證：BG=CE.

【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】如圖②，設(shè)圖①中的直線CE與直線8G交于點求證：EHA.BG.

【結(jié)論應(yīng)用】將圖①中的正方形NGFC繞著點N順時針旋轉(zhuǎn)角度e(0°<?<360。)，在整個

旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點E、C、G三點在同一條直線上時，若Afi=3,AC=2,借助圖①，直接

寫出8G的長.

圖①圖②

28.（2021?吉林長春?一模）如圖，在酎8c中，4B=AC,8網(wǎng)C于點。，A