《1.6.3解三角形應(yīng)用舉例》學(xué)習(xí)任務(wù)單

《1.6.3解三角形應(yīng)用舉例》學(xué)習(xí)任務(wù)單“湘教版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊1.6.3解三角形應(yīng)用舉例”學(xué)習(xí)任務(wù)單【學(xué)習(xí)內(nèi)容】湘教版（2019）必修第二冊第1章1.6.3解三角形應(yīng)用舉例相關(guān)內(nèi)容。【我的目標(biāo)】1、能識別實(shí)際問題中的三角形，理解實(shí)際問題中的已知條件和所求目標(biāo)。2、學(xué)會運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際生活中的測量距離、高度、角度等問題。3、能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的數(shù)學(xué)模型，提高數(shù)學(xué)建模能力?！局仉y點(diǎn)】重點(diǎn)：-運(yùn)用正弦定理和余弦定理解決實(shí)際測量問題。-構(gòu)建合適的三角形數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題。難點(diǎn)：-如何從實(shí)際問題中抽象出三角形，確定已知量和未知量。-當(dāng)實(shí)際問題較為復(fù)雜時，準(zhǔn)確選擇正弦定理或余弦定理進(jìn)行求解?！疚业难芯俊?、距離測量問題-有A、B兩點(diǎn)，在A點(diǎn)能看到B點(diǎn)，但直接測量AB距離有困難。我們可以在A點(diǎn)所在的水平面上另選一點(diǎn)C，測得AC=500米，∠CAB=60°，∠ACB=75°，那么如何求AB的距離呢？-首先我們要明確這是一個解三角形的問題，這個三角形是△ABC。-然后我們可以先求出∠ABC的度數(shù)，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和是180°，所以∠ABC=180°-60°-75°=45°。-接下來我們可以用正弦定理來求解AB的距離。正弦定理是\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}\)，在△ABC中，我們要求AB的長度，設(shè)AB=c，已知AC=b=500米，∠CAB=A=60°，∠ABC=B=45°，根據(jù)正弦定理\(\frac{c}{\sinC}=\frac{\sinB}\)，我們可以先求出sinC=sin75°，sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)，然后代入正弦定理求出c的值。同學(xué)們，自己動手算一算吧，算完后和旁邊的同學(xué)交流一下計算過程和結(jié)果哦。2、高度測量問題-我們想要測量一座塔的高度。在離塔底水平距離100米的地方A，測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，那么這座塔有多高呢？-我們可以構(gòu)建一個直角三角形，塔高為h，水平距離為100米，仰角為45°。-在這個直角三角形中，tan45°=\(\frac{h}{100}\)，因?yàn)閠an45°=1，所以h=100米。那如果測得的仰角是30°呢？同學(xué)們自己動手重新計算一下塔高吧。3、角度測量問題-在海上有A、B兩個小島，我們在一艘船上C點(diǎn)，測得∠ACB=120°，AC=20海里，BC=10海里，我們要確定船到兩個小島的視角∠CAB和∠CBA的大小。-這時候我們可以用余弦定理來求解。余弦定理是\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cosC\)，在這里我們要求∠CAB，設(shè)∠CAB=A，先根據(jù)余弦定理求出AB的長度，設(shè)AB=c，那么\(c^{2}=20^{2}+10^{2}-2\times20\times10\times\cos120^{\circ}\)，先算出cos120°=-\(\frac{1}{2}\)，然后求出c的值。再根據(jù)正弦定理\(\frac{c}{\sinC}=\frac{\sinB}\)求出sinB的值，進(jìn)而得到∠CBA的大小，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CAB的大小。同學(xué)們，自己動手試試這個有點(diǎn)復(fù)雜的計算過程吧，遇到問題可以和小組同學(xué)討論哦。4、總結(jié)歸納-經(jīng)過這幾個問題的研究，大家總結(jié)一下解決解三角形應(yīng)用舉例問題的一般步驟吧。-第一步是不是要根據(jù)實(shí)際問題畫出三角形的草圖呢？然后找出已知量和未知量，再根據(jù)已知條件判斷是用正弦定理還是余弦定理來求解，最后計算出結(jié)果并檢驗(yàn)是否符合實(shí)際情況?！窘M內(nèi)過關(guān)】（課內(nèi)完成）1、在地面上一點(diǎn)A測得山頂?shù)难鼋菫?0°，沿傾斜角為15°的山坡向山頂前進(jìn)1000米后到達(dá)B點(diǎn)，又測得山頂?shù)难鼋菫?0°，求山高。（設(shè)山高為h米，同學(xué)們要先構(gòu)建三角形模型，再進(jìn)行求解哦。）2、有一艘船在海上航行，在A點(diǎn)觀測到燈塔C在船的北偏東30°方向，船以每小時20海里的速度向正東方向航行1小時到達(dá)B點(diǎn)，這時觀測到燈塔C在船的北偏東60°方向，求燈塔C到航線AB的最短距離。（先畫出圖形，確定三角形中的已知量和未知量哦。）【當(dāng)堂檢測】（課內(nèi)完成）1、在△ABC中，已知A=60°，AB=5，AC=4，求BC的長度。2、在河岸一側(cè)有A、B兩點(diǎn)，要測量A、B兩點(diǎn)間的距離。在河岸另一側(cè)選定一點(diǎn)C，測得∠ACB=75°，AC=120米，BC=50米，求AB的距離?！敬鸢浮俊窘M內(nèi)過關(guān)】1、設(shè)山高為h米，在△ABC中，∠BAC=15°，AB=1000米，∠ABC=135°，根據(jù)正弦定理求出BC的長度，再在直角三角形中求出山高h(yuǎn)。具體計算過程：-根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠ACB=30°。-由正弦定理\(\frac{AB}{\sin\angleACB}=\frac{BC}{\sin\angleBAC}\)，即\(\frac{1000}{\sin30^{\circ}}=\frac{BC}{\sin15^{\circ}}\)，sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)，可求出BC的值，然后在直角三角形中h=BCsin60°，計算得出h=500(\(\sqrt{3}\)+1)米。2、設(shè)燈塔C到航線AB的最短距離為h海里，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CAB=30°，∠CBA=120°，在△ABC中，根據(jù)正弦定理求出AB的長度，再根據(jù)h=ABsin30°求出h的值。具體計算：-根據(jù)正弦定理\(\frac{AB}{\sin\angleACB}=\frac{AC}{\sin\angleCBA}\)，∠ACB=30°，AC=20海里，∠CBA=120°，求出AB=20\(\sqrt{3}\)海里，所以h=10\(\sqrt{3}\)海里?！井?dāng)堂檢測】1、根據(jù)余弦定理\(BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdotAC\cdot\cosA\)，將A=60°，AB=5，AC=4代入可得BC=\(\sqrt{21}\)。2、根據(jù)余弦定理\(AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdotBC\cdot\cos\angleACB\)，將∠ACB=75°，AC=120米，BC=50米代入，sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)，cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)，計算得出AB的值。