遼寧省鞍山市鐵西區(qū)第四十六中學2023-2024學年九年級上學期10月月考數(shù)學試題（解析版+原卷）

九年數(shù)學階段測試卷（2023.10）一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列方程是一元二次方程的是（）A.x2+＝1 B.ax2+bx+c＝0（a，b，c均為常數(shù)）C.（2x﹣1）（3x+2）＝5 D.（2x+1）2＝4x2﹣32.若關(guān)于一元二次方程有一個根是0，則的值是()A.或3 B.9 C.3 D.3.已知實數(shù)是一元二次方程的根，求代數(shù)式的值為（）A.1 B. C.2 D.4.定義運算：，例如：．則方程的根的情況為（）A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根 D.只有一個實數(shù)根5.對于一元二次方程（），下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若方程的兩根互為相反數(shù)，則，④若是方程的一個根，則一定有成立；其中正確的（）A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④6.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.7.如圖，在中，，，點是邊上的一個動點，點在上，點在運動過程中始終保持．當時，則的長為（）A. B. C.3 D.8.如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于點E，且DE＝B′E，則AE的長為（）A.3 B. C. D.9.如圖，在中，點為上一點，連接，過點作交于點，若，，，則（）A. B.3 C. D.410.如圖所示，邊長為的正方形．．中，對角線，交于點，在線段上，連接，作交于點，連接交于點，則下列結(jié)論：；；；若，則，正確的是（）A. B. C. D.二、填空題（每小題3分，共24分）11.在一次足球邀請賽中，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共比賽28場，設共有個隊參賽，根據(jù)題意，可列方程為______．12.多項式的最小值為___________．13.已知關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)根，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第_____象限．14.已知m，n是方程的兩個根，則式子的值是______．15.如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長和相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑.如果，且量得，則零件的厚度x為_______．16.如圖，在中，，，，動點從點開始沿著邊向點以的速度移動，動點從點開始沿著邊點以的速度移動．若、兩點同時開始運動，當點運動到點時停止，點也隨之停止．運動過程中，若以、、為頂點的三角形與相似，則運動時間為__________s．17.如圖，在平面直角坐標系中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點、分別落在點、處，點在軸上，再將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在軸上，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在軸上，依次進行下去…，若點、，則點的橫坐標為______．18.如圖，，D為射線上的動點，連接，將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，當時，的長為_____．三、用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋啃☆}4分，共16分）19.解方程（1）；（2）；（3）；（4）．四、解答題（2024題每題8分，25題10分，共50分）20.某服裝廠生產(chǎn)一批服裝，2019年該類服裝的出廠價是200元/件，2020年，2021年連續(xù)兩年改進技術(shù)，降低成本，2021年該類服裝的出廠價調(diào)整為162元/件．（1）這兩年此類服裝的出廠價下降的百分比相同，求平均下降率．（2）2021年某商場從該服裝廠以出廠價購進若干件此類服裝，以200元/件銷售時，平均每天可銷售20件．了減少庫存，商場決定降價銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，單價應降低多少元?21.如圖，已知△ABC是等邊三角形，在△ABC外有一點D，連接AD，BD，CD，將△ACD繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABE，AD與BE交于點F，∠BFD＝97°．（1）求∠ADC的大??；（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，BE＝4，求AD長．22.已知關(guān)于的方程．（1）求證：取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）若等腰的一邊長為4，另兩邊長，恰好是這個方程的兩個根，求的周長．23.在中，，，動點從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度向點勻速運動同時動點從點出發(fā)以每秒4個單位長度的速度向點勻速運動，在的右側(cè)作，交的延長線于點，設運動時間為秒，當為等腰三角形時，求的值．24.已知關(guān)于的一元二次方程，（1）試證：無論取任何實數(shù)，方程都有兩個不相等實數(shù)根；（2）設，是方程兩根，且滿足，求的值？25.在正方形中，為延長線上一點，交于點，連接．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，連接與交于點．若，求證：；（3）如圖3，為正方形外一點，，正方形的邊長為2，直接寫出當為何值時，取最大值．

九年數(shù)學階段測試卷（2023.10）一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列方程是一元二次方程的是（）A.x2+＝1 B.ax2+bx+c＝0（a，b，c均為常數(shù)）C.（2x﹣1）（3x+2）＝5 D.（2x+1）2＝4x2﹣3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可．【詳解】解：A、分式方程，故本選項不符合題意；B、ax2+bx+c＝0，a≠0時，是一元二次方程，故本選項不符合題意；C、是一元二次方程，故本選項符合題意；D、化簡后是一元一次方程，故本選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，掌握只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2.若關(guān)于的一元二次方程有一個根是0，則的值是()A.或3 B.9 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】把代入方程中，解關(guān)于的一元二次方程，注意的取值不能使原方程的二次項系數(shù)為．【詳解】解：把代入方程中，得，解得或，當時，原方程二次項系數(shù)＋，舍去，，故選：C．【點睛】本題考查的是一元二次方程解的定義．能使方程成立的未知數(shù)的值，就是方程的解，同時，考查了一元二次方程的概念．3.已知實數(shù)是一元二次方程的根，求代數(shù)式的值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)實數(shù)是一元二次方程的根，即得出，．整體代入可得，化簡即可．【詳解】將代入，得：，即，．故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程的解，代數(shù)式求值．掌握方程的解就是使等式成立的未知數(shù)的值和利用整體代入的思想是解題關(guān)鍵．4.定義運算：，例如：．則方程的根的情況為（）A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根 D.只有一個實數(shù)根【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題目給定的定義運算為，利用判別式的意義確定方程跟的情況即可．【詳解】解：根據(jù)定義運算法則得化解得，∵，∴方程無實根．故選：C．【點睛】本題考查利用題目給定的運算法則，實則考查了一元二次方程判別式，熟練掌握判別式與方程根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5.對于一元二次方程（），下列說法：①若，則；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若方程的兩根互為相反數(shù)，則，④若是方程的一個根，則一定有成立；其中正確的（）A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的解、一元二次方程的根與判別式的關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及等式的性質(zhì)分別進行討論即可求解．【詳解】解：當時，，∴一元二次方程（）有兩個不相等的實數(shù)根或兩個相等的實數(shù)根，∴，故①正確；若方程有兩個不相等的實根，則，∴，∴方程必有兩個不相等的實根，故②正確；若方程的兩根互為相反數(shù)，則，∵，，∴，則，故③正確；若是方程的一個根，∴，當時，成立，故④不一定成立；故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程的解、一元二次方程的根與判別式的關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及等式的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程的解、一元二次方程的根與判別式的關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的平面圖形叫做軸對稱圖形；繞某一點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原圖形重合，那么這個圖形是中心對稱圖形進行判斷即可．【詳解】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；B．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故符合題意；C．是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故不符合題意；D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在中，，，點是邊上的一個動點，點在上，點在運動過程中始終保持．當時，則的長為（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由題目條件先證明，再利用相似三角形對應線段成比例求解的長，證明進而即可求解．【詳解】解：又故選：B．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．8.如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于點E，且DE＝B′E，則AE的長為（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB′=AB=5，設AE=CE=x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】∵將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，∴AB′=AB=5，∵DE=B′E，∴AE=CE，設AE=CE=x，∴DE=5-x，∵∠D=90°，∴AD2+DE2=AE2，即42+（5-x）2=x2，解得：x=，∴AE=，故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9.如圖，在中，點為上一點，連接，過點作交于點，若，，，則（）A. B.3 C. D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線判定，后運用相似三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選C．【點睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.如圖所示，邊長為的正方形．．中，對角線，交于點，在線段上，連接，作交于點，連接交于點，則下列結(jié)論：；；；若，則，正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由“”可證，可得，，由四邊形的內(nèi)角和定理可證，可得；通過證明，可得；通過證明，可得，通過證明，可得，可得結(jié)論；通過證明，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，四邊形是正方形，，，又，，，，，，，又，，，，故正確；，，，，又，，，，故正確；．．，，，，，，，，，，，，故正確；，，，，，，又，，，，，故正確，故選：D．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共24分）11.在一次足球邀請賽中，參賽每兩個隊之間都要比賽一場，共比賽28場，設共有個隊參賽，根據(jù)題意，可列方程為______．【答案】【解析】【分析】每一隊需要與其余的個隊比賽一場，且參賽的每兩個隊之間只比賽一場，因此有個隊參賽，比賽場數(shù)為場，據(jù)此列方程即可.【詳解】解：設共有個隊參賽，根據(jù)題意，可列方程.故答案為：.【點睛】本題考查了一元二次方程應用，抓住比賽場數(shù)問題的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.12.多項式的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】先利用分組分解法和配方法進行因式分解，再根據(jù)平方的非負性即可求解．【詳解】解：，∵，，∴，∴當時，原式最小值為；，故答案為：．【點睛】本題考查因式分解和平方的非負性，熟練掌握完全平方公式和配方法是解題的關(guān)鍵．13.已知關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)根，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第_____象限．【答案】四【解析】【分析】先根據(jù)一元二次方程無實數(shù)根得到，求出，即可得到一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)根，∴，∴，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，∴一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限．故答案為：四【點睛】本題考查了根據(jù)一元二次方程根的判別式，一次函數(shù)的圖象等知識．一元二次方程的根與判別式有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當時，方程有兩個相等的實數(shù)根，當時，方程沒有實數(shù)根．熟知一元二次方程根的判別式和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14.已知m，n是方程的兩個根，則式子的值是______．【答案】27【解析】【分析】利用一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，采用整體代入求解．【詳解】解：∵m，n是方程的兩個根，∴，，m+n=3，∴m3-10m+n=m（3m+2）-10m+n=3-8m+n=3（3m+2）-8m+n=m+n+6=3+6=9，∴∴=9×3=27．故答案為：27．【點睛】本題考查了一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，利用整體思想代入求值是解題的關(guān)鍵．15.如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長和相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑.如果，且量得，則零件的厚度x為_______．【答案】cm【解析】【分析】求出和相似，利用相似三角形對應邊成比例列式計算求出，再根據(jù)外徑的長度解答．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴（cm），∵外徑為10cm，∴，∴（cm）．故答案為cm．【點睛】本題主要考查了相似三角形的應用，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．16.如圖，在中，，，，動點從點開始沿著邊向點以的速度移動，動點從點開始沿著邊點以的速度移動．若、兩點同時開始運動，當點運動到點時停止，點也隨之停止．運動過程中，若以、、為頂點的三角形與相似，則運動時間為__________s．【答案】或【解析】【分析】設點運動的時間為，則，，，再分兩種情況求值，當時，，可列方程；當時，，可列方程，解方程分別求出相應的值即可．【詳解】設點運動的時間為，則，，，當時，，，，；，當時，，，，；綜上所述，運動時間為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，動點問題的求解，數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學思想的運用等知識與方法，正確地用代數(shù)式表示出相似三角形的對應邊的長度是解本題的關(guān)鍵．17.如圖，在平面直角坐標系中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點、分別落在點、處，點在軸上，再將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在軸上，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在軸上，依次進行下去…，若點、，則點的橫坐標為______．【答案】【解析】【分析】可求，，，，可得當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，即可求解．【詳解】解：由題意得，，，，，，，，，，，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，當時，，，故答案∶【點睛】本題考查了動點坐標規(guī)律，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵你．18.如圖，，D為射線上的動點，連接，將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，當時，的長為_____．【答案】【解析】【分析】將繞點旋轉(zhuǎn)，得到，從而得到，，得到為等腰直角三角形，進而推出，過點作，求出的長，進而求出的長．【詳解】解：∵將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得線段，∴，將繞點旋轉(zhuǎn)，得到，過點作于點，則：，∴，∴，∴在中，，∴，在中，，即：，∴．故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形，勾股定理．通過旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造特殊三角形，是解題的關(guān)鍵．三、用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋啃☆}4分，共16分）19.解方程（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）（2），（3），（4），【解析】【分析】（1）根據(jù)公式法解一元二次方程，即可求解；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程，即可求解．（3）先化為一般形式，然后根據(jù)因式分解法解一元二次方程；（4）根據(jù)因式分解法解一元二次方程，即可求解．【小問1詳解】解：即∴，，∴，解得：；【小問2詳解】解：，即，∴，∴或，解得：，；【小問3詳解】解：，即，∴，∴，即或，解得：，；【小問4詳解】解：，∴，∴或，解得：，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．四、解答題（2024題每題8分，25題10分，共50分）20.某服裝廠生產(chǎn)一批服裝，2019年該類服裝的出廠價是200元/件，2020年，2021年連續(xù)兩年改進技術(shù)，降低成本，2021年該類服裝的出廠價調(diào)整為162元/件．（1）這兩年此類服裝的出廠價下降的百分比相同，求平均下降率．（2）2021年某商場從該服裝廠以出廠價購進若干件此類服裝，以200元/件銷售時，平均每天可銷售20件．為了減少庫存，商場決定降價銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，單價應降低多少元?【答案】（1）平均下降率為10%；（2）單價應降低15元．【解析】【分析】（1）設平均下降率為x，然后根據(jù)題意可直接列方程求解；（2）設單價應降低y元，根據(jù)題意可得每天的銷售量為(20+2y)件，然后根據(jù)題意可列方程求解．【詳解】解：（1）設平均下降率為x，由題意可得：200(1?x)2=162，解得：x1=0.1，x2=1.9（不符合題意，舍去），∴x=0.1=10%，答：平均下降率為10%．（2）設單價應降低y元，根據(jù)題意可得：(200?162?y)(20+y)=1150，解得：y1=13，y2=15，

根據(jù)題意，為了減少庫存，所以應該降低15元，答：單價應降低15元．【點睛】本題主要考查一元二次方程的實際應用，熟練掌握一元二次方程的實際應用是解題的關(guān)鍵．21.如圖，已知△ABC是等邊三角形，在△ABC外有一點D，連接AD，BD，CD，將△ACD繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABE，AD與BE交于點F，∠BFD＝97°．（1）求∠ADC的大??；（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，BE＝4，求AD的長．【答案】（1）23°；（2）．【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，由三角形的內(nèi)角和定理可求解；（2）連接DE，可證△AED是等邊三角形，可得∠ADE＝60°，AD＝DE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ACD≌△ABE，可得CD＝BE＝4，由勾股定理可求解．【詳解】解：（1）∵將△ACD繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABE，∴AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，∵∠BFD＝97°＝∠AFE，∴∠E＝180°?97°?60°＝23°，∴∠ADC＝∠E＝23°；（2）如圖，連接DE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△AED是等邊三角形，∴∠ADE＝60°，AD＝DE，∵將△ACD繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABE，∴△ACD≌△ABE，∴CD＝BE＝4，∵∠BDC＝7°，∠ADC＝23°，∠ADE＝60°，∴∠BDE＝90°，∴DE＝＝＝，∴AD＝DE＝．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵．22.已知關(guān)于的方程．（1）求證：取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）若等腰的一邊長為4，另兩邊長，恰好是這個方程的兩個根，求的周長．【答案】（1）見解析（2）的周長為10【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義證明即可；（2）當邊長為4的邊為腰時，則可知方程有一個根為4，代入可求得k的值，則可求得方程的另一根，進而求得周長；當邊長為4的邊為底時，可知方程有兩個相等的實數(shù)根，可求得k的值，再解方程，確定出三邊長，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得此情況舍去．【小問1詳解】證明：∵，∴無論取何值，方程總有實數(shù)根；【小問2詳解】解：當邊長為4的邊為腰時，則可知方程有一個實數(shù)根為4，∴，解得，∴方程為，解得或，∴、的值分別為2、4，∴的周長為；當邊長為4的邊為底時，則，即方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，即，解得，∴方程為，解得，此時，不符合三角形的三邊關(guān)系，舍去；綜上，的周長為10．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式的意義，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23.在中，，，動點從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度向點勻速運動同時動點從點出發(fā)以每秒4個單位長度的速度向點勻速運動，在的右側(cè)作，交的延長線于點，設運動時間為秒，當為等腰三角形時，求的值．【答案】值為或或【解析】【分析】作于，證明得出，即可求證，則，然后進行分類討論：①當時，②當時，③當時．【詳解】解：作于，∵，∴，∵，∴，，∴，∴∴，∴，∴，①若，則，，∴，∴，解得；②若，則，∴，∴，∴，解得；③若，作于，于，取中點，作交于，連接，則，∵，，∴，，由可得，，，，，∴