《計數(shù)原理》參考課件

北師大版同步教材參考課件計數(shù)原理課標闡釋思維脈絡(luò)1.了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.2.能準確應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題.學習目標青島是一座美麗的海濱城市,空氣清新,海水清澈,海岸線綿長.在海濱城市邊吃海鮮邊吹海風很愜意,城市生活也很悠閑.小明決定“五一”期間從棗莊坐火車到濟南,再于次日乘汽車到青島旅游,一天中火車有3班,汽車有2班,他將如何安排行程?情境引入一、分類加法計數(shù)原理原理內(nèi)容完成一件事,如果有n類辦法,且:第一類辦法中有m1種不同的方法,第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.探究新知利用分類加法計數(shù)原理解題的注意事項(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事可以有哪些辦法,怎么才算是完成這件事.(2)完成這件事的n類辦法,無論用哪類辦法中的哪種方法都可以單獨完成這件事,而不需要用到其他的方法.(3)確立恰當?shù)姆诸悩藴?準確地對“完成這件事的辦法”進行分類,要求每一種方法必屬于某一類辦法,不同類辦法的任意兩種方法不同,也就是分類必須既不重復(fù)也不遺漏.從集合的角度看,若完成一件事分A,B兩類辦法,則A∩B=?,A∪B=I(I表示全集).素養(yǎng)提升微思考分類加法計數(shù)原理有什么特點?提示:(1)各種方法之間相互獨立,都能獨立完成這件事,只需將各種方法相加.(2)首先要根據(jù)具體的問題確定一個分類標準,在標準下進行分類,然后對每類辦法計數(shù).微練習某學生去書店,發(fā)現(xiàn)兩本好書,決定至少買其中一本,其購買方法共有(

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A.1種 B.2種 C.3種 D.4種解析:有兩類不同的辦法:買一本或兩本,各類購買方法依次有2種或1種,故購買方法共有2+1=3種.故選C.答案:C探究新知二、分步乘法計數(shù)原理原理內(nèi)容完成一件事,如果需要分成n個步驟,且:做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.探究新知利用分步乘法計數(shù)原理解題的注意事項(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事需要幾步.(2)完成這件事需要分成若干個步驟,只有每個步驟都完成了,才算完成這件事,無論缺少哪一步,這件事都不可能完成.(3)根據(jù)題意正確分步,要求各步之間必須連續(xù),只有按照這幾步逐一去做,才能完成這件事,各步之間既不能重復(fù)也不能遺漏.(4)對于同一個題目,標準不同,分步也不同.分步的基本要求:一是完成一件事,必須且只需連續(xù)做完幾步,既不漏步也不重步;二是不同步驟的方法不能互相替代.素養(yǎng)提升微思考分步乘法計數(shù)原理有什么特點?提示:分步乘法計數(shù)原理的特點是每一步中都要使用一種方法才能完成要做的事情,概括地說是分步到達、相互聯(lián)系.微練習一個袋子里裝有7張不同的中國移動手機卡,另一個袋子里裝有8張不同的中國聯(lián)通手機卡,某人想得到一張中國移動卡和一張中國聯(lián)通卡,供自己今后使用,則不同的取法種數(shù)為(

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A.78 B.15 C.87 D.56解析:由分步乘法計數(shù)原理知,有7×8=56種不同的取法.答案:D探究新知三、兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法.探究新知2.區(qū)別

分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨立”確保不重復(fù)探究新知(1)兩個原理的區(qū)別在于“分類”與“分步”.若完成一件事需“分類思考”,且這n類辦法是相互獨立的,無論用哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨完成這件事,則用分類加法計數(shù)原理.若完成這件事需分為n個步驟,且這n個步驟相互依存,具有連續(xù)性,當且僅當這n個步驟依次全都完成后,這件事才完成,則用分步乘法計數(shù)原理.(2)處理具體問題時要注意兩點:一是合理分類,準確分步.分類時,要不重不漏;分步時,要合理設(shè)計步驟、順序,使各步互不干擾.對于一些較復(fù)雜的題目,往往既要分類又要分步.二是特殊優(yōu)先,一般在后.解含有特殊元素、特殊位置的計數(shù)問題時,應(yīng)優(yōu)先安排特殊元素,優(yōu)先確定特殊位置,再考慮其他元素與其他位置.素養(yǎng)提升微練習某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區(qū)支教,有多少種不同的選法?解:由題意知,有1人既會英語又會日語,6人只會英語,2人只會日語.方法一:分兩類.第一類:從只會英語的6人中選1人有6種選法,從會日語的3人中選1人有3種選法.此時共有6×3=18(種)選法.第二類:從“全能”的人中選1人有1種選法,從只會日語的2人中選1人有2種選法,此時有1×2=2(種)選法.所以由分類加法計數(shù)原理知,共有18+2=20(種)選法.探究新知方法二:設(shè)既會英語又會日語的人為甲,則甲有入選和不入選兩類情形,入選后又分兩種情況:(1)教英語;(2)教日語.第一類:甲入選.(1)甲教英語,再從只會日語的2人中選1人,由分步乘法計數(shù)原理,有1×2=2(種)選法;(2)甲教日語,再從只會英語的6人中選1人,由分步乘法計數(shù)原理,有1×6=6(種)選法.故甲入選的不同選法共有2+6=8(種).第二類:甲不入選.可分兩步:第一步,從只會英語的6人中選1人有6種選法;第二步,從只會日語的2人中選1人有2種選法.由分步乘法計數(shù)原理,有6×2=12(種)不同的選法.綜上,共有8+12=20(種)不同的選法.探究新知利用分類加法計數(shù)原理解題例1在所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個?分析根據(jù)情況安排個位、十位上的數(shù)字.先確定分類標準,再求出每一類的個數(shù),最后得結(jié)論.解:方法一:分析個位數(shù),可分以下幾類:個位是9,則十位可以是1,2,3,…,8中的一個,故有8個;個位是8,則十位可以是1,2,3,…,7中的一個,故有7個;同理,個位是7的有6個;個位是6的有5個;……;個位是2的只有1個.由分類加法計數(shù)原理知,滿足條件的兩位數(shù)有1+2+3+4+5+6+7+8=36(個).典例講解方法二:按十位數(shù)上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類,在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個,7個,6個,5個,4個,3個,2個,1個,由分類加法計數(shù)原理知,符合題意的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).典例講解方法三:將個位比十位數(shù)字大的兩位數(shù)一一寫出:12,13,14,15,16,17,18,19,23,24,25,26,27,28,29,34,35,36,37,38,39,45,46,47,48,49,56,57,58,59,67,68,69,78,79,89.共有36個符合題意的兩位數(shù).典例講解反思感悟

利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路(1)分類:將完成這件事的辦法分成若干類;(2)計數(shù):求出每一類中的方法數(shù);(3)結(jié)論:將每一類中的方法數(shù)相加得最終結(jié)果.歸納總結(jié)延伸探究

本例中條件不變,求個位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)的兩位數(shù)的個數(shù).解:當個位數(shù)字是8時,十位數(shù)字取9,只有1個.當個位數(shù)字是6時,十位數(shù)字可取7,8,9,共3個.當個位數(shù)字是4時,十位數(shù)字可取5,6,7,8,9,共5個.同理可知,當個位數(shù)字是2時,共7個.當個位數(shù)字是0時,共9個.由分類加法計數(shù)原理知,符合條件的數(shù)共有1+3+5+7+9=25(個).變式訓練利用分步乘法計數(shù)原理解題例2已知a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},r∈{8,9},則方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示多少個不同的圓?分析確定一個圓的方程需要分別確定出圓心的橫坐標、縱坐標、圓的半徑,可以用分步乘法計數(shù)原理解決.解:完成表示不同的圓這件事,可以分為三步:第一步:確定a有3種不同的選取方法;第二步:確定b有4種不同的選取方法;第三步:確定r有2種不同的選取方法;由分步乘法計數(shù)原理知,方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圓共有3×4×2=24(個).典例講解反思感悟

利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路(1)分步:將完成這件事的過程分成若干步;(2)計數(shù):求出每一步中的方法數(shù);(3)結(jié)論:將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果.歸納總結(jié)4張卡片的正、反面分別標有0與1,2與3,4與5,6與7,將其中3張卡片排放在一起,可組成

個不同的三位數(shù).

解析:分三個步驟:第一步:百位可放8-1=7個數(shù);第二步:十位可放6個數(shù);第三步:個位可放4個數(shù).根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可以組成N=7×6×4=168個不同的三位數(shù).答案:168變式訓練兩個原理的綜合應(yīng)用例3編號為A,B,C,D,E的五個小球,放到如圖所示的五個盒子中,要求每個盒子只能放一個小球,且A球不能放到1,2號,B球必須放到與A相鄰的盒子中,有多少種不同的放法?解:根據(jù)A球的位置分三類.(1)若A球放入3號盒里,則B球只能放在4號盒里,剩下的三個盒子分別放C,D,E三球,共有3×2×1=6種放法.(2)若A球放入5號盒子里,則B球只能放入4號盒中,剩下的三個盒子分別放C,D,E三球,共有3×2×1=6種放法.(3)若A球放入4號盒子里,則B球可以放到2號、3號或5號盒子中,剩下的三個盒子分別放C,D,E三球,有3×3×2×1=18種放法.綜合上述,由分類加法計數(shù)原理得不同放法共有6+6+18=30種.典例講解反思感悟

應(yīng)用兩個計數(shù)原理解題的策略對于兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用問題,一般是先分類再分步,分類時要設(shè)計好標準,設(shè)計好分類方案,防止重復(fù)和遺漏;分步時要注意步與步之間的連續(xù)性,同時應(yīng)合理設(shè)計步驟的順序,使各步互不干擾,也可以根據(jù)題意恰當合理地畫出示意圖或者列出表格,使問題的實質(zhì)直觀地顯現(xiàn)出來,從而便于我們解題.歸納總結(jié)用5種不同的顏色給圖中的四個區(qū)域涂色,每個區(qū)域涂一種顏色,若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色,則共有多少種不同的涂色方法?1234變式訓練解:第一類,1號區(qū)域與4號區(qū)域同色,此時可分三步來完成,第一步,涂1號區(qū)域和4號區(qū)域,有5種涂法;第二步,涂2號區(qū)域,只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可,因此有4種涂法;第三步,涂3號區(qū)域,只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可,因此也有4種涂法.由分步乘法計數(shù)原理知,有5×4×4=80種涂法.第二類,1號區(qū)域與4號區(qū)域不同色,此時可分四步來完成,第一步,涂1號區(qū)域,有5種涂法;第二步,涂4號區(qū)域,只要不與1號區(qū)域同色即可,因此有4種涂法;第三步,涂2號區(qū)域,只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可,因此有3種涂法;第四步,涂3號區(qū)域,只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可,因此也有3種涂法.由分步乘法計數(shù)原理知,有5×4×3×3=180種涂法.依據(jù)分類加法計數(shù)原理知,不同涂色的方法種數(shù)為80+180=260.變式訓練模型法模型法就是通過構(gòu)造圖形,利用形象、直觀的圖形幫助分析解決問題的方法.由0,1,2,3,4,5,6這七個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?典例講解解:由于首位數(shù)字不能為0,偶數(shù)的末位數(shù)字必須是偶數(shù)數(shù)字,且當首位取某個偶數(shù)數(shù)字(如2)時,末位數(shù)字不能取該偶數(shù)數(shù)字,因此可先分類,再分步.(1)當首位取奇數(shù)數(shù)字(可取1,3,5中任一個)時,末位數(shù)字可取0,2,4,6中任一個,而百位數(shù)字不能取與這兩個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字,十位數(shù)字則不能取與這三個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字,故共有3×4×5×4=240(種)取法.(2)當首位取2,4,6中的某個偶數(shù)數(shù)字時,末位數(shù)字可取3個偶數(shù)數(shù)字中任一個,百位數(shù)字不能取與上述重復(fù)的數(shù)字,十位數(shù)字不能取與這三個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字,故共有3×3×5×4=180(種)取法.故可以組成240+180=420(個)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).典例講解(1)對于這類問題,我們可用假設(shè)分析法和模型法來分析,如本例可用“”和“

”等模型來分析.(2)在解決與數(shù)字排列有關(guān)的問題時,應(yīng)特別注意其限制條件.排列時,要遵循特殊位置、特殊元素優(yōu)先安排的原則.歸納總結(jié)1.由0,1,2三個數(shù)字組成的三位數(shù)(允許數(shù)字重復(fù))的個數(shù)為(

)A.27 B.18 C.12 D.6解析:分三步,依次取個位、十位、百位上的數(shù)字,分別有3種、3種、2種取法,故共可得3×3×2=18個不同的三位數(shù).答案:B2.三人踢毽子,互相傳遞,每人每次只能踢一下.由甲開始踢,經(jīng)過4次傳遞后,毽子又被踢回甲,則不同的傳遞方式共有(

)A.4種 B.5種 C.6種 D.12種解析:若甲先傳給乙,則有甲→