高考數(shù)學一輪復習專練7函數(shù)的單調(diào)性與最值

七函數(shù)的單調(diào)性與最值(時間:45分鐘分值:105分)【基礎落實練】1.(5分)下列函數(shù)中,定義域是R且為增函數(shù)的是 ()A.y=x+sinx B.y=exC.y=lnx D.y=|x|【解析】選A.對于A,函數(shù)y=x+sinx的定義域是R,且y'=1+cosx≥0,所以y是R上的增函數(shù),滿足題意;對于B,函數(shù)y=ex=1ex是R上的減函數(shù),對于C,函數(shù)y=lnx的定義域是(0,+∞),所以不滿足題意;對于D,函數(shù)y=|x|=x,x≥0-x,2.(5分)函數(shù)f(x)=lg(x24)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ()A.(0,+∞) B.(∞,0)C.(2,+∞) D.(∞,2)【解析】選C.由復合函數(shù)的單調(diào)性知,要使f(x)單調(diào)遞增,需x2-4>0,3.(5分)函數(shù)f(x)=1x2+1在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值分別是A.12,15 B.C.2,1 D.1,1【解析】選A.因為y=x2+1在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且y>1,所以f(x)=1x2+1在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)=1x2+1在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值分別是f(1)=112+14.(5分)函數(shù)f(x)=2-xx+1,x∈(m,n]的最小值為0,則mA.(1,2) B.(1,2)C.[1,2) D.[1,2)【解析】選D.因為f(x)=2-xx+1=1+3x+1在(∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,且當x∈(m,n]時最小值為0,即f(n)=0,n=2,所以m<n=2.又函數(shù)f(x)的定義域分為兩段,x=2在(1,+∞)上,故m≥1,5.(5分)已知定義在R上的函數(shù)f(x),對任意x∈(0,π),有f(x)f(x)=0,且x1,x2>0時,有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,設a=f(2A.a<b<c B.b<c<aC.a<c<b D.c<b<a【解析】選A.因為對任意x∈(0,π),f(x)f(x)=0,所以f(2)=f(2),因為x1,x2>0時,有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上單調(diào)遞增,因為2<2<3,所以f(2)<f(2)<f(3),即f6.(5分)(多選題)關于函數(shù)y=4-(x+1)A.在區(qū)間[1,0]上單調(diào)遞減B.單調(diào)遞增區(qū)間為[3,1]C.最大值為2D.沒有最小值【解題指南】先求出函數(shù)定義域,令t=4(x+1)2,根據(jù)二次函數(shù)的性質,由已知解析式,逐項判斷,即可得出結果.【解析】選ABC.由4(x+1)2≥0得3≤x≤1,即函數(shù)y=4-(x+1令t=4(x+1)2,則t=4(x+1)2的圖象是開口向下、對稱軸為x=1的拋物線,所以函數(shù)t=4(x+1)2在[3,1]上單調(diào)遞增,在[1,1]上單調(diào)遞減.又y=t單調(diào)遞增,所以y=4-(x+1)2在[3,1]上單調(diào)遞增,在[1,1]上單調(diào)遞減,故A,B正確;ymax=4-(-1+1)2當x=1時,y=4-(1+1)2=0,則ymin=0,故7.(5分)函數(shù)y=x2+2|x|+1的單調(diào)遞增區(qū)間為____________,單調(diào)遞減區(qū)間為________________.

【解析】y=-即y=-(畫出函數(shù)圖象如圖所示,則其單調(diào)遞增區(qū)間為(∞,1]和[0,1],單調(diào)遞減區(qū)間為[1,0]和[1,+∞).答案:(∞,1]和[0,1][1,0]和[1,+∞)8.(5分)函數(shù)f(x)=x+1x在[2,13]上的最大值是【解析】易知f(x)在[2,13]上單調(diào)遞減即f(2)為最大值,為212=3答案:39.(5分)函數(shù)y=2x+x-1的最小值為【解析】方法1(單調(diào)性法):函數(shù)y=2x+x-1的定義域為[1,+∞),因為函數(shù)y=2x與y=x-1故y=2x+x-1在[1,+∞)所以當x=1時,ymin=2+1-即函數(shù)y=2x+x-1的最小值為方法2(換元法):令x-1=t,則t≥0,x=t2+1,所以原函數(shù)轉化為f(t)=2t2+t+2=2(t+14)2易知在t∈[0,+∞)時,函數(shù)f(t)單調(diào)遞增,所以當t=0時,f(t)min=2,故函數(shù)y=2x+x-1的最小值為答案:210.(10分)已知函數(shù)f(x)=x+2(1)寫出函數(shù)f(x)的定義域和值域;(2)證明:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,并求f(x)在x∈[2,8]上的最大值和最小值.【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}.又f(x)=1+2x,所以函數(shù)f(x)的值域為{y|y≠1}(2)由題意可設0<x1<x2,則f(x1)f(x2)=(1+2x1)(1+2x2)=2又0<x1<x2,所以x1x2>0,x2x1>0,所以f(x1)f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.在x∈[2,8]上,f(x)的最大值為f(2)=2,最小值為f(8)=54【能力提升練】11.(5分)(2023·蘭州模擬)若函數(shù)f(x)=ln(ax2)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為 ()A.(0,+∞) B.(2,+∞)C.(0,2] D.[2,+∞)【解析】選D.在函數(shù)f(x)=ln(ax2)中,令u=ax2,函數(shù)y=lnu在(0,+∞)上為增函數(shù),而函數(shù)f(x)=ln(ax2)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則函數(shù)u=ax2在(1,+∞)上單調(diào)遞增,且?x>1,ax2>0,因此a>0,a所以實數(shù)a的取值范圍為[2,+∞).12.(5分)(多選題)下列函數(shù)有最小值的是 ()A.f(x)=x2+1x2 B.f(x)=2xC.f(x)=x-1x+1 D.f(x)=【解析】選AD.對于A,f(x)=x2+1x當且僅當x2=1x2,即x=±1時等號成立,故f(x)min=2,A對于B,當x>0時,f(x)=2x+2x≥22當且僅當2x=2x,即x=1時等號成立當x<0時,f(x)=2(x)+2-x≥22(-x)·2-x=4,當且僅當2(x)=2-x,即x=1時等號成立,故f(x)≤4.所以f(x)=2x+2對于C,f(x)=x-1x+1=12x+1的值域為{y|對于D,由題意可得x≥0x+1>0,故f(x)=lg(x+1)的定義域為[0,+∞).因為y=lgu在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,u=x+1在定義域[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=lg(x+1)在定義域[0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(x)=lg(x+1)≥f(0)=0,故f(x)=lg(x+1)有最小值0,D正確.13.(5分)若函數(shù)y=||x|1x2|在{x|1≤|x|≤4,x∈R}上的最大值為M,最小值為m,則MmA.3116 B.2 C.94 D【解析】選A.可令|x|=t,則1≤t≤4,y=t1t易知y=t1t2在[1,4]所以其最小值為11=0,最大值為2116=3116,則m=0,M=3116,則Mm14.(5分)能說明“若函數(shù)f(x)和g(x)在R上都是增函數(shù),則h(x)=f(x)g(x)在R上為增函數(shù)”為假命題的函數(shù)f(x)和g(x)的解析式分別是________,________.

【解析】根據(jù)題意,“若函數(shù)f(x)和g(x)在R上都是增函數(shù),則h(x)=f(x)g(x)在R上為增函數(shù)”為假命題,即函數(shù)f(x),g(x)在R上均為增函數(shù),而函數(shù)h(x)=f(x)g(x)在R上不是增函數(shù),可考慮f(x),g(x)均為一次函數(shù),可取f(x)=x,g(x)=x,則函數(shù)f(x)和g(x)在R上都是增函數(shù),但函數(shù)h(x)=f(x)g(x)=x2在R上不是增函數(shù).答案:f(x)=xg(x)=x(答案不唯一)15.(10分)設函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),F(x)=f(1)若f(1)=0,且對任意實數(shù)x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式;(2)在(1)的條件下,當x∈[2,2]時,g(x)=f(x)kx是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍.【解析】(1)因為f(1)=0,所以b=a+1.由f(x)≥0恒成立,知a>0且在方程ax2+bx+1=0中,Δ=b24a=(a+1)24a=(a1)2≤0,所以a=1,b=2,從而f(x)=x2+2x+1.所以F(x)=((2)由(1)可知f(x)=x2+2x+1,所以g(x)=f(x)kx=x2+(2k)x+1,由g(x)在[2,2]上是單調(diào)函數(shù),知2-k2≤2或2-k2≥2,得k≤2或k≥6.即實數(shù)k的取值范圍為16.(10分)已知f(x)=x2+2x+a(1)當a=12時,求函數(shù)f(x)的最小值(2)若對任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)當a=12時,f(x)=x+1任取1≤x1<x2,則f(x1)f(x2)=(x1x2)+(12x112因為1≤x1<x2,所以x1x2>1,所以2x1x21>0.又x1x2<0,所以f(x1)f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.所以f(x)在[1,+∞)上的最小值為f(1)=72(2)在區(qū)間[1,+∞)上,f(x)=x2+2x+ax>0恒成立?x2+2設g(x)=x2+2x+a(x≥1),則g(x)min>0.又g(x)=(x+1)2+a1,其圖象的對稱軸為x=1,且開口向上,所以g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)在[1,+∞)上的最小值為g(1)=3+a.由3+a>0,得a>3,所以a的取值范圍是(3,+∞).【素養(yǎng)創(chuàng)新練】17.(5分)已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R,對任意x1,x2且x1≠x2,都有f(x1)-f(A.y=f(x)+x是增函數(shù)B.y=f(x)+x是減函數(shù)C.y=f(x)是增函數(shù)D.y=f(x)是減函數(shù)【解析】選A.不妨令x1<x2,所以x1x2<0,因為f(x1)-f(x2)x1-x2>1?f(x1)f(x2)<(x1x2)?f(令g(x)=f(x)+x,所以g(x1)<g(x2),又x1<x2,所以g(x)=f(x)+x是增函數(shù).18.(5分)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù),而函數(shù)y=f(x)x在區(qū)間I上是增函數(shù),那么稱函數(shù)y=f(x)是區(qū)間I上的“緩減函數(shù)”,區(qū)間I叫“緩減區(qū)間”.可以證明函數(shù)f(x)=xa+bx(a>0,b>0)的單調(diào)遞增區(qū)間為(∞