湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題A卷

湖北省2024年云學(xué)名校聯(lián)盟高二年級5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：黃岡中學(xué)命題人：胡小琴鄭齊愛審題人：襄陽五中曹標(biāo)平咸寧高中陳小燕考試時間：2024年5月20日14:3016:30時長：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.計算的值為（）．A.1 B.0 C.20 D.21【答案】D【解析】【分析】結(jié)合公式，進行求解．【詳解】計算得．故選：D．2.已知等差數(shù)列，等比數(shù)列，滿足，，則（）．A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)計算即可得出結(jié)果.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，，可得，即，數(shù)列是等比數(shù)列，，可得，可得，則．故選：B．3.已知函數(shù)，則（）．A.2 B.1 C.0 D.【答案】A【解析】【分析】由題意先求出，所以，對原函數(shù)求導(dǎo)，求解出即可.【詳解】由題意得，且，從而.故選：A.4設(shè)隨機變量，已知，則（

）A.0.95 B.0.05 C.0.975 D.0.425【答案】A【解析】【分析】服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對稱性可求得其概率．【詳解】.故選：A.5.的展開式中含項的系數(shù)為（）．A. B. C.50 D.10【答案】D【解析】【分析】求出二項式展開式的通項，再分析指數(shù)情況求出含項的系數(shù).【詳解】的展開式通項為，令，3，得的展開式中含項的系數(shù)為．故選：D6.設(shè)某批產(chǎn)品中，由甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占，，，已知甲、乙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率分別為，.現(xiàn)從該批產(chǎn)品中任取一件，若取到的是次品的概率為，則推測丙車間的次品率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)事件表示取到的是次品，，，表示取到的產(chǎn)品是甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)的，由全概率公式求.【詳解】設(shè)事件表示取到的是次品，，，表示取到的產(chǎn)品是甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)的，則，，,,，.由全概率公式：.即，.故選：A7.在數(shù)學(xué)中，自然常數(shù)．小布打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進行排列得到密碼．如果排列時要求8不排最后一個，兩個2相鄰，那么小布可以設(shè)置的不同的密碼個數(shù)為（）．A.30 B.32 C.36 D.48【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：①排在最后一位；②不排在最后一位

，由加法計數(shù)原理計算即可.【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況：①2排在最后一位，則倒數(shù)第二位也是2，再從剩下4個位置選出2個，安排兩個8，最后安排7和1，此時有個不同的密碼；②2不排在最后一位，則倒數(shù)第一位安排7或1，將兩個2看成一個整體，與兩個8和7或1中剩下的數(shù)排列，此時有個不同的密碼；則一共有個不同的密碼．故選：C．8.已知函數(shù)，對任意，，且，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造新函數(shù)，再由函數(shù)的單調(diào)性，求出a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，易知函數(shù)在上是增函數(shù)，不妨設(shè)，則．由，所以．所以，即．設(shè)，則在區(qū)間上是減函數(shù)．所以在時恒成立，因為，所以在時恒成立，即在時恒成立，即．而在區(qū)間上是增函數(shù)，所以的最大值為，所以，又，所以．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分．9.已知是等比數(shù)列，是其前n項和，滿足，則下列說法中正確的有（）A.若是正項數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列B.，，一定是等比數(shù)列C.若存在，使對都成立，則是等差數(shù)列D.若存在，使對都成立，則是等差數(shù)列【答案】AC【解析】【分析】A選項，設(shè)出公比，得到方程，結(jié)合是正項數(shù)列，得到公比，得到是單調(diào)遞增數(shù)列；B選項，舉出反例；C選項，根據(jù)對都成立，得到，從而得到為常數(shù)列，為公差為0的等差數(shù)列；D選項，結(jié)合C選項，得到當(dāng)為偶數(shù)時，，為奇數(shù)時，，D錯誤.【詳解】A選項，設(shè)公比為，故，解得或，若是正項數(shù)列，則，，故，故是單調(diào)遞增數(shù)列，A正確；B選項，當(dāng)且為偶數(shù)時，，，均為0，不合要求，B錯誤：C選項，若，則單調(diào)遞增，此時不存在，使對都成立，若，此時，故存在，使得對都成立，此時為常數(shù)列，為公差為0的等差數(shù)列，C正確；D選項，由C選項可知，，故當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，顯然不等差數(shù)列，D錯誤.故選：AC.10.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加假期社區(qū)服務(wù)活動，社區(qū)服務(wù)活動共有“關(guān)懷老人”、“環(huán)境檢測”、“圖書義賣”這三個項目，每人都要報名且限報其中一項．記事件A為“恰有兩名同學(xué)所報項目相同”，事件B為“只有甲同學(xué)一人報‘關(guān)懷老人’項目”，則（）．A.四名同學(xué)的報名情況共有64種B.“每個項目都有人報名”的報名情況共有36種C.“四名同學(xué)最終只報了兩個項目”的概率是D.【答案】BCD【解析】【分析】A選項，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到A錯誤；B選項，將四名志愿者分為2，1，1三組，由分步乘法計數(shù)原理得到共有36種；C選項，分兩種情況，有3人報名了1個項目，另外1人報名了1個和每2個人報名了1個項目，分別計算出項目數(shù)，相加得到答案；D選項，先計算出和，利用條件概率求解公式得到答案.【詳解】對于A，由題意可知，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)每人有3種選擇，故四名同學(xué)的報名情況共有種，A錯誤；對于B，現(xiàn)將四名志愿者分為2，1，1三組，共有種情況，再將其分到三個活動中，共有種，由分步乘法計數(shù)原理得到種，故“每個項目都有人報名”的報名情況共有36種，B正確；對于C，四名同學(xué)最終只報了兩個項目，若有3人報名了1個項目，另外1人報名了1個項目，此時有種情況，若每2個人報名了1個項目，此時有種情況，綜上，共有種情況，“四名同學(xué)最終只報了兩個項目”的概率是，C正確；對于D，事件A：先從4名同學(xué)選出2人，組成一組，再進行全排列，故，事件：甲同學(xué)1人報名‘關(guān)懷老人’項目，剩余3人分為2組，和剩余的2個項目進行全排列，故，所以，D正確．故選：BCD．11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）．A.若在R上單調(diào)遞增，則B.若，則過點能作兩條直線與曲線相切C.若有兩個極值點，，且，則a的取值范圍為D.若，且的解集為，則【答案】AC【解析】【分析】A.由導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用參變分離，轉(zhuǎn)化為最值問題，即可求解；B.首先設(shè)切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點的方程有2個實數(shù)根，利用導(dǎo)數(shù)以及零點存在性定理，即可判斷；C.轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有2個零點，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解；D.首先求解不等式，再將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，即可求解.【詳解】對于A，對求導(dǎo)得：，因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，記，則，因為，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，函數(shù)在處取得最大值，所以，即，故選項A正確；對于B，時，，，設(shè)圖象上一點，則，故過點的切線方程為，將代入上式得，整理得，構(gòu)造函數(shù)，則，構(gòu)造函數(shù)，則，令得，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以函數(shù)單調(diào)遞增，又，，即方程在區(qū)間僅有一解，從而在R上也僅有一解，所以過點只能作一條直線與曲線相切，B選項錯誤；對于C，因為函數(shù)有兩個極值點，，所以有兩個零點，，即方程有兩個解為，，記，因為，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，函數(shù)在處取得最大值，方程有兩個解為，等價于與圖像有兩個不同公共點，所以，所以，C選項正確；對于D，由，得，等價于，即，當(dāng)時，，，又，故，所以，當(dāng)時，，無解，故的解集為，此時，當(dāng)時，，，從而D錯誤．故選：AC．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題前3個選項都是利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題，尤其是BC選項，屬于函數(shù)零點問題，B選項轉(zhuǎn)化為判斷零點各數(shù)，C選項是已知零點個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機變量，且期望，則方差__________．【答案】2.1【解析】【分析】根據(jù)二項分布的期望公式求出，再根據(jù)二項分布的方差公式即可得解.【詳解】因為隨機變量，所以，解得，所以．故答案為：.13.若定義域都為R的函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，滿足對任意實數(shù)x都有，則__________．【答案】2024【解析】【分析】對兩邊同時求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)得，再利用賦值法與累加法即可得解.【詳解】對，兩邊同時求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)得，則，，，，從而．故答案為：202414.各數(shù)位數(shù)字之和等于6（數(shù)字可以重復(fù)）的四位數(shù)個數(shù)為__________（請用數(shù)字作答）．【答案】56【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為隔板法，解決問題.【詳解】設(shè)，，，對應(yīng)個位到千位上的數(shù)字，則，且，相當(dāng)于6個相同的球排成一排，每個球表示1，先拿一個球裝入，轉(zhuǎn)化為5個球裝入4個盒子，每盒可空，等價于9個球用3個隔板分成4組（各組不可為空），故共有種．故答案為：56．四、解答題：本題共5小題，共77分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知一個袋內(nèi)有4只不同的紅球，5只不同的白球．（1）若取一只紅球記2分，取一只白球記1分，現(xiàn)從袋中任取5只球，且兩種顏色的球都要取到，使總分不小于8分的取法有多少種？（用數(shù)字作答）（2）在條件（1）下，當(dāng)總分為8分時，先取球再將取出的球隨機排成一排，求紅球互不相鄰的不同排法有多少種？（用數(shù)字作答）【答案】（1）45（2）480【解析】【分析】（1）設(shè)取出個紅球個白球，依題意可確定或，再由組合數(shù)公式計算可得；（2）總分為分，則取的個數(shù)為紅球個，白球個，先將球取出，再利用插空法排列，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得.【小問1詳解】設(shè)取出個紅球個白球，依題意可得，因為，所以或，∴符合題意的取法種數(shù)有種．【小問2詳解】總分為分，則取的個數(shù)為紅球個，白球個，將取出的球排成一排分兩步完成，第一步先取球，共有種，第二步再排，先把個白球全排列，再將個紅球插空，共有，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同排法有種．16.在的展開式中，前3項的系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列．（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項及各項系數(shù)和；（2）求展開式中所有的有理項．【答案】（1）,（2）；；【解析】【分析】（1）借助等差中項的性質(zhì)與二項式展開式的通項公式計算可得，再借助二項式系數(shù)的增減性與賦值法即可得解；（2）借助二項式展開式的通項公式計算即可得.【小問1詳解】展開式的通項公式為，因為前3項的系數(shù)絕對值成等差數(shù)列，且前三項系數(shù)為，，，所以，即，所以，（或舍去）因為，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為第5項，即，令得，即展開式各項系數(shù)和為；【小問2詳解】由，則，，，令，∴，4，8，即當(dāng)、4、8時對應(yīng)的項為有理項，所以所有有理項為：；；．17.某校為了解高二學(xué)生每天的作業(yè)完成時長，在該校高二學(xué)生中隨機選取了100人，對他們每天完成各科作業(yè)的總時長進行了調(diào)研，結(jié)果如下表所示：時長t（小時）人數(shù)34334218用表格中的頻率估計概率，且每個學(xué)生完成各科作業(yè)時互不影響，（1）從該校高二學(xué)生中隨機選取1人，估計該生可以在3小時內(nèi)完成各科作業(yè)的概率；（2）從樣本“完成各科作業(yè)的總時長在2.5小時內(nèi)”的學(xué)生中隨機選取3人，其中共有X人可以在2小時內(nèi)完成各科作業(yè)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從該校高二學(xué)生（學(xué)生人數(shù)較多）中隨機選取3人，其中共有人可以在3小時內(nèi)完成各科作業(yè)，人在3小時及以上完成各科作業(yè)，試寫出數(shù)學(xué)期望，并比較其大小關(guān)系.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）所以，，．【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可；（2）由題意可知X的所有取值，再利用古典概型的概率公式求出相應(yīng)概率，進而得出分布列，再結(jié)合期望公式求解即可；（3）由題意可知，，再結(jié)合二項分布的數(shù)學(xué)期望求解.【小問1詳解】設(shè)“從該校高二學(xué)生中隨機選取1人，這個學(xué)生可以在3小時內(nèi)完成各科作業(yè)”為事件A，所以．【小問2詳解】因為樣本中“完成各科作業(yè)的總時長在2.5小時內(nèi)”的學(xué)生有（人），其中可以在2小時內(nèi)完成的有3人，若從這7人中隨機取3人，則X的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以X的分布列為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望為．【小問3詳解】由題意可知，，，所以，，所以．18.已知等差數(shù)列與正項等比數(shù)列滿足，且，20，既等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，數(shù)列的前n項和，滿足對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），．（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件得到，求出公比和公差，得到數(shù)列和的通項公式；（2）法1：利用錯位相減法求和得到，變形得到，構(gòu)造，作差得到，求出實數(shù)的取值范圍；法2：裂項相消法得到，變形得到，構(gòu)造，作差得到，求出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因為，20，既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，故，20，的公差為0，公比為1，所以．又，設(shè)公差為d、公比為，則，解得或（舍去），所以，．【小問2詳解】法1：由（1）可得，所以，，所以，所以．因為對任意的，不等式恒成立，即對任意的，不等式恒成立，所以對任意的，不等式恒成立，令，則，所以，…，從而對，，所以，即