湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題A卷

湖北省2024年云學(xué)名校聯(lián)盟高二年級(jí)5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：黃岡中學(xué)命題人：胡小琴鄭齊愛(ài)審題人：襄陽(yáng)五中曹標(biāo)平咸寧高中陳小燕考試時(shí)間：2024年5月20日14:3016:30時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.計(jì)算的值為（）．A.1 B.0 C.20 D.21【答案】D【解析】【分析】結(jié)合公式，進(jìn)行求解．【詳解】計(jì)算得．故選：D．2.已知等差數(shù)列，等比數(shù)列，滿足，，則（）．A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，，可得，即，數(shù)列是等比數(shù)列，，可得，可得，則．故選：B．3.已知函數(shù)，則（）．A.2 B.1 C.0 D.【答案】A【解析】【分析】由題意先求出，所以，對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，求解出即可.【詳解】由題意得，且，從而.故選：A.4設(shè)隨機(jī)變量，已知，則（

）A.0.95 B.0.05 C.0.975 D.0.425【答案】A【解析】【分析】服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可求得其概率．【詳解】.故選：A.5.的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）．A. B. C.50 D.10【答案】D【解析】【分析】求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，再分析指數(shù)情況求出含項(xiàng)的系數(shù).【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，3，得的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為．故選：D6.設(shè)某批產(chǎn)品中，由甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占，，，已知甲、乙車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率分別為，.現(xiàn)從該批產(chǎn)品中任取一件，若取到的是次品的概率為，則推測(cè)丙車(chē)間的次品率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)事件表示取到的是次品，，，表示取到的產(chǎn)品是甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的，由全概率公式求.【詳解】設(shè)事件表示取到的是次品，，，表示取到的產(chǎn)品是甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的，則，，,,，.由全概率公式：.即，.故選：A7.在數(shù)學(xué)中，自然常數(shù)．小布打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行排列得到密碼．如果排列時(shí)要求8不排最后一個(gè)，兩個(gè)2相鄰，那么小布可以設(shè)置的不同的密碼個(gè)數(shù)為（）．A.30 B.32 C.36 D.48【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：①排在最后一位；②不排在最后一位

，由加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況：①2排在最后一位，則倒數(shù)第二位也是2，再?gòu)氖Ｏ?個(gè)位置選出2個(gè)，安排兩個(gè)8，最后安排7和1，此時(shí)有個(gè)不同的密碼；②2不排在最后一位，則倒數(shù)第一位安排7或1，將兩個(gè)2看成一個(gè)整體，與兩個(gè)8和7或1中剩下的數(shù)排列，此時(shí)有個(gè)不同的密碼；則一共有個(gè)不同的密碼．故選：C．8.已知函數(shù)，對(duì)任意，，且，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造新函數(shù)，再由函數(shù)的單調(diào)性，求出a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在上是增函數(shù)，不妨設(shè)，則．由，所以．所以，即．設(shè)，則在區(qū)間上是減函數(shù)．所以在時(shí)恒成立，因?yàn)?，所以在時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立，即．而在區(qū)間上是增函數(shù)，所以的最大值為，所以，又，所以．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)或不選的得0分．9.已知是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，滿足，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.若是正項(xiàng)數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列B.，，一定是等比數(shù)列C.若存在，使對(duì)都成立，則是等差數(shù)列D.若存在，使對(duì)都成立，則是等差數(shù)列【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)，設(shè)出公比，得到方程，結(jié)合是正項(xiàng)數(shù)列，得到公比，得到是單調(diào)遞增數(shù)列；B選項(xiàng)，舉出反例；C選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)都成立，得到，從而得到為常數(shù)列，為公差為0的等差數(shù)列；D選項(xiàng)，結(jié)合C選項(xiàng)，得到當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，，D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)公比為，故，解得或，若是正項(xiàng)數(shù)列，則，，故，故是單調(diào)遞增數(shù)列，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，，均為0，不合要求，B錯(cuò)誤：C選項(xiàng)，若，則單調(diào)遞增，此時(shí)不存在，使對(duì)都成立，若，此時(shí)，故存在，使得對(duì)都成立，此時(shí)為常數(shù)列，為公差為0的等差數(shù)列，C正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，顯然不等差數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加假期社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，社區(qū)服務(wù)活動(dòng)共有“關(guān)懷老人”、“環(huán)境檢測(cè)”、“圖書(shū)義賣(mài)”這三個(gè)項(xiàng)目，每人都要報(bào)名且限報(bào)其中一項(xiàng)．記事件A為“恰有兩名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目相同”，事件B為“只有甲同學(xué)一人報(bào)‘關(guān)懷老人’項(xiàng)目”，則（）．A.四名同學(xué)的報(bào)名情況共有64種B.“每個(gè)項(xiàng)目都有人報(bào)名”的報(bào)名情況共有36種C.“四名同學(xué)最終只報(bào)了兩個(gè)項(xiàng)目”的概率是D.【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得到A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，將四名志愿者分為2，1，1三組，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得到共有36種；C選項(xiàng)，分兩種情況，有3人報(bào)名了1個(gè)項(xiàng)目，另外1人報(bào)名了1個(gè)和每2個(gè)人報(bào)名了1個(gè)項(xiàng)目，分別計(jì)算出項(xiàng)目數(shù)，相加得到答案；D選項(xiàng)，先計(jì)算出和，利用條件概率求解公式得到答案.【詳解】對(duì)于A，由題意可知，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)每人有3種選擇，故四名同學(xué)的報(bào)名情況共有種，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，現(xiàn)將四名志愿者分為2，1，1三組，共有種情況，再將其分到三個(gè)活動(dòng)中，共有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得到種，故“每個(gè)項(xiàng)目都有人報(bào)名”的報(bào)名情況共有36種，B正確；對(duì)于C，四名同學(xué)最終只報(bào)了兩個(gè)項(xiàng)目，若有3人報(bào)名了1個(gè)項(xiàng)目，另外1人報(bào)名了1個(gè)項(xiàng)目，此時(shí)有種情況，若每2個(gè)人報(bào)名了1個(gè)項(xiàng)目，此時(shí)有種情況，綜上，共有種情況，“四名同學(xué)最終只報(bào)了兩個(gè)項(xiàng)目”的概率是，C正確；對(duì)于D，事件A：先從4名同學(xué)選出2人，組成一組，再進(jìn)行全排列，故，事件：甲同學(xué)1人報(bào)名‘關(guān)懷老人’項(xiàng)目，剩余3人分為2組，和剩余的2個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行全排列，故，所以，D正確．故選：BCD．11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）．A.若在R上單調(diào)遞增，則B.若，則過(guò)點(diǎn)能作兩條直線與曲線相切C.若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則a的取值范圍為D.若，且的解集為，則【答案】AC【解析】【分析】A.由導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用參變分離，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，即可求解；B.首先設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點(diǎn)的方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根，利用導(dǎo)數(shù)以及零點(diǎn)存在性定理，即可判斷；C.轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解；D.首先求解不等式，再將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，即可求解.【詳解】對(duì)于A，對(duì)求導(dǎo)得：，因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，記，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，函數(shù)在處取得最大值，所以，即，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，時(shí)，，，設(shè)圖象上一點(diǎn)，則，故過(guò)點(diǎn)的切線方程為，將代入上式得，整理得，構(gòu)造函數(shù)，則，構(gòu)造函數(shù)，則，令得，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以函數(shù)單調(diào)遞增，又，，即方程在區(qū)間僅有一解，從而在R上也僅有一解，所以過(guò)點(diǎn)只能作一條直線與曲線相切，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，，即方程有兩個(gè)解為，，記，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，函數(shù)在處取得最大值，方程有兩個(gè)解為，等價(jià)于與圖像有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，所以，所以，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由，得，等價(jià)于，即，當(dāng)時(shí)，，，又，故，所以，當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，故的解集為，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，從而D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題前3個(gè)選項(xiàng)都是利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題，尤其是BC選項(xiàng)，屬于函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，B選項(xiàng)轉(zhuǎn)化為判斷零點(diǎn)各數(shù)，C選項(xiàng)是已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機(jī)變量，且期望，則方差__________．【答案】2.1【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式求出，再根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式即可得解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，解得，所以．故答案為：.13.若定義域都為R的函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，則__________．【答案】2024【解析】【分析】對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)得，再利用賦值法與累加法即可得解.【詳解】對(duì)，兩邊同時(shí)求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)得，則，，，，從而．故答案為：202414.各數(shù)位數(shù)字之和等于6（數(shù)字可以重復(fù)）的四位數(shù)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________（請(qǐng)用數(shù)字作答）．【答案】56【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為隔板法，解決問(wèn)題.【詳解】設(shè)，，，對(duì)應(yīng)個(gè)位到千位上的數(shù)字，則，且，相當(dāng)于6個(gè)相同的球排成一排，每個(gè)球表示1，先拿一個(gè)球裝入，轉(zhuǎn)化為5個(gè)球裝入4個(gè)盒子，每盒可空，等價(jià)于9個(gè)球用3個(gè)隔板分成4組（各組不可為空），故共有種．故答案為：56．四、解答題：本題共5小題，共77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知一個(gè)袋內(nèi)有4只不同的紅球，5只不同的白球．（1）若取一只紅球記2分，取一只白球記1分，現(xiàn)從袋中任取5只球，且兩種顏色的球都要取到，使總分不小于8分的取法有多少種？（用數(shù)字作答）（2）在條件（1）下，當(dāng)總分為8分時(shí)，先取球再將取出的球隨機(jī)排成一排，求紅球互不相鄰的不同排法有多少種？（用數(shù)字作答）【答案】（1）45（2）480【解析】【分析】（1）設(shè)取出個(gè)紅球個(gè)白球，依題意可確定或，再由組合數(shù)公式計(jì)算可得；（2）總分為分，則取的個(gè)數(shù)為紅球個(gè)，白球個(gè)，先將球取出，再利用插空法排列，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)取出個(gè)紅球個(gè)白球，依題意可得，因?yàn)?，所以或，∴符合題意的取法種數(shù)有種．【小問(wèn)2詳解】總分為分，則取的個(gè)數(shù)為紅球個(gè)，白球個(gè)，將取出的球排成一排分兩步完成，第一步先取球，共有種，第二步再排，先把個(gè)白球全排列，再將個(gè)紅球插空，共有，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同排法有種．16.在的展開(kāi)式中，前3項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列．（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)及各項(xiàng)系數(shù)和；（2）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．【答案】（1）,（2）；；【解析】【分析】（1）借助等差中項(xiàng)的性質(zhì)與二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算可得，再借助二項(xiàng)式系數(shù)的增減性與賦值法即可得解；（2）借助二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)榍?項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值成等差數(shù)列，且前三項(xiàng)系數(shù)為，，，所以，即，所以，（或舍去）因?yàn)?，所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，即，令得，即展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為；【小問(wèn)2詳解】由，則，，，令，∴，4，8，即當(dāng)、4、8時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，所以所有有理項(xiàng)為：；；．17.某校為了解高二學(xué)生每天的作業(yè)完成時(shí)長(zhǎng)，在該校高二學(xué)生中隨機(jī)選取了100人，對(duì)他們每天完成各科作業(yè)的總時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如下表所示：時(shí)長(zhǎng)t（小時(shí)）人數(shù)34334218用表格中的頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生完成各科作業(yè)時(shí)互不影響，（1）從該校高二學(xué)生中隨機(jī)選取1人，估計(jì)該生可以在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)的概率；（2）從樣本“完成各科作業(yè)的總時(shí)長(zhǎng)在2.5小時(shí)內(nèi)”的學(xué)生中隨機(jī)選取3人，其中共有X人可以在2小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從該校高二學(xué)生（學(xué)生人數(shù)較多）中隨機(jī)選取3人，其中共有人可以在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)，人在3小時(shí)及以上完成各科作業(yè)，試寫(xiě)出數(shù)學(xué)期望，并比較其大小關(guān)系.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，（3）所以，，．【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可；（2）由題意可知X的所有取值，再利用古典概型的概率公式求出相應(yīng)概率，進(jìn)而得出分布列，再結(jié)合期望公式求解即可；（3）由題意可知，，再結(jié)合二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)“從該校高二學(xué)生中隨機(jī)選取1人，這個(gè)學(xué)生可以在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)”為事件A，所以．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)闃颖局小巴瓿筛骺谱鳂I(yè)的總時(shí)長(zhǎng)在2.5小時(shí)內(nèi)”的學(xué)生有（人），其中可以在2小時(shí)內(nèi)完成的有3人，若從這7人中隨機(jī)取3人，則X的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以X的分布列為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望為．【小問(wèn)3詳解】由題意可知，，，所以，，所以．18.已知等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，且，20，既等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），．（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件得到，求出公比和公差，得到數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）法1：利用錯(cuò)位相減法求和得到，變形得到，構(gòu)造，作差得到，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；法2：裂項(xiàng)相消法得到，變形得到，構(gòu)造，作差得到，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?0，既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，故，20，的公差為0，公比為1，所以．又，設(shè)公差為d、公比為，則，解得或（舍去），所以，．【小問(wèn)2詳解】法1：由（1）可得，所以，，所以，所以．因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，即對(duì)任意的，不等式恒成立，所以對(duì)任意的，不等式恒成立，令，則，所以，…，從而對(duì)，，所以，即