15解直角三角形（B卷能力拓展）-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）

1.5解直角三角形學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________B卷（能力拓展）一、選擇題1．已知，如圖，梯形中，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，則有AB，進(jìn)而求得DF、AE的長(zhǎng)，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖，分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．則有，∴．又∵，∴，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了通過(guò)作輔助線綜合利用解直角三角形、直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出.輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．2．（2021·日照市九年級(jí)一模）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB：BC＝3：2，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC，過(guò)點(diǎn)C作CE∥DB，BE、CE交于點(diǎn)E，連接DE，則tan∠EDC＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥直線DC交線段DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接OE交BC于點(diǎn)G．根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判斷四邊形OBEC是菱形，則OE與BC垂直平分，易得EF＝AD＝，CF＝OE＝AB．所以由銳角三角函數(shù)定義作答即可．【詳解】解：∵矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB：BC＝3：2，∴設(shè)AB＝3x，BC＝2x．如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥直線DC交線段DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接OE交BC于點(diǎn)G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四邊形BOCE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四邊形BOCE是菱形．∴OE與BC垂直平分，∴EF＝AD＝＝x，OE∥AB，∴四邊形AOEB是平行四邊形，∴OE＝AB，∴CF＝OE＝AB＝x．∴tan∠EDC＝．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形．3．（2021·杭州市九年級(jí)二模）如圖，已知中，，，分別為，的中點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)作的平行線與的角平分線交于點(diǎn)，連結(jié)，若，，則的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意延長(zhǎng)DF交AB于H，過(guò)F作FT⊥AB于T，連接CF，設(shè)DF=x，運(yùn)用三角形中位線定理、全等三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)定義構(gòu)建方程，求出x即可得出答案．【詳解】解：延長(zhǎng)DF交AB于H，過(guò)F作FT⊥AB于T，連接CF，

設(shè)DF=x，

∵DH∥AC，D為BC的中點(diǎn)，

∴H為AB的中點(diǎn)，

∴BH=AH，

∴DH是△ABC的中位線，

∴DH=AC=1，

∴FH=1x，

∵FA平分∠CAB，F(xiàn)E⊥AC，F(xiàn)T⊥AB，

∴FE=FT，

∵E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)E⊥AC，

∴CF=AF，

在Rt△CFE和Rt△AFT中，

，

∴Rt△CFE≌Rt△AFT（HL），

∴AE=AT=1，

∵∠FAE=∠AFH=∠FAH，

∴FH=AH=BH=1x，

∴TH=1（1x）=x，

∵∠C=∠BDH=∠TFH，

∴sin∠C=sin∠TFH，

∴，

解得：或（舍去），

∴，

∵DE=，

∴.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．4．（2021·常熟市九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，四邊形中，，，，把沿著翻折得到，若，線段長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知，求得，延長(zhǎng)交于，可得，則，再過(guò)點(diǎn)作，設(shè)，則，，，在中，根據(jù)，代入數(shù)值，即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于，再過(guò)點(diǎn)作，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，則，，設(shè)，則，，∴，∴在中，，即，解得：，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題目考查三角形的綜合，涉及的知識(shí)點(diǎn)有銳角三角函數(shù)、折疊等，熟練掌握三角形的有關(guān)性質(zhì)，正確設(shè)出未知數(shù)是順利解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2021·陜西西安市九年級(jí)二模）如圖，的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)上，，若點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為_(kāi)_____．【答案】6【分析】過(guò)A、B作軸于C，軸于D，易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，由此即可求得k的值．【詳解】過(guò)A、B作軸于C，軸于D，如圖：B在反比例函數(shù)的圖象上，設(shè)，則，，∵，，∴，∵，且，∴，∴，∴，，∴，把代入得：．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與幾何的綜合題，作出輔助線，證明是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．（2021·山東蓬萊九年級(jí)一模）如圖，Rt△OA0A1在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以O(shè)A1為直角邊向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，以O(shè)A2為直角邊向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法進(jìn)行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，……，Rt△OA2020A2021，若點(diǎn)A0（－1，0），則點(diǎn)A2021的橫坐標(biāo)為_(kāi)_________________．【答案】【分析】由30°直角三角形性質(zhì)解直角三角形求出、，根據(jù)圖形變化得出規(guī)律，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，，∴，又，，∴，同理：，的長(zhǎng)度為；，與重合，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形和坐標(biāo)變化規(guī)律；熟練掌握30°直角三角形性質(zhì)，通過(guò)計(jì)算得出規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（2021·陜西西安市九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形紙片中，，將菱形紙片的一角翻折，使點(diǎn)A落在的中點(diǎn)處，折痕為，點(diǎn)N，M分別在邊上，則________．【答案】【分析】分別連接、，且交MN于點(diǎn)O，作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．由為中點(diǎn)，即可證明．設(shè)，則，利用含角的直角三角形的性質(zhì)可求出，，．在中，利用勾股定理即可求出，即得．在中，再次利用勾股定理，即可得出．由題意易證，即得出，即可求出，最后由翻折的性質(zhì)即可求出．【詳解】分別連接、，且交MN于點(diǎn)O，作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∴．∵，∴，，設(shè)，則，∴，，．∴在中，．∴．在中，．∵，，∴，∴，即，∴，∴由翻折可知．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，等邊三角形“三線合一”，勾股定理以及三角形相似的判定和性質(zhì)．正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題8．（2021·河南省淮濱縣九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交射線于點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處．（1）當(dāng)時(shí)，如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，①的長(zhǎng)為_(kāi)_______；②求證：．（2）當(dāng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上時(shí)，如圖，此時(shí)的長(zhǎng)為_(kāi)_______；________；（3）當(dāng)時(shí)，求的正弦值．【答案】（1）①12；②見(jiàn)解析；（2），；（3）或．【分析】（1）①根據(jù)△ABE∽△FCE，可得，即＝1，進(jìn)而得到CF的長(zhǎng)；②根據(jù)四邊形ABCD為正方形，可得∠F＝∠BAF，由折疊可知：∠BAF＝∠MAF，即可得出∠F＝∠MAF，進(jìn)而得到AM＝FM．（2）根據(jù)∠CAE＝∠CFE，可得FC＝AC，再根據(jù)等腰Rt△ABC中，AC＝AB＝12，即可得到CF的長(zhǎng)為12；由折疊可得，BE＝B'E，再根據(jù)等腰Rt△CEB'中，CE＝B'E＝BE，即可得出；（3）分兩種情況討論：①點(diǎn)E在線段BC上，②點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，分別設(shè)DM＝x，根據(jù)Rt△ADM中，AM2＝AD2＋DM2，得到關(guān)于x的方程，求得x的值，最后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：①如圖，由可得：，∴，即，∴的長(zhǎng)為．故答案為：．②證明：∵四邊形為正方形，∴，∴，由折疊可知：，∴，∴．（2）如圖2，由折疊可得，∠BAE＝∠CAE，由ABCD可得，∠BAE＝∠CFE，∴∠CAE＝∠CFE，∴FC＝AC，又∵等腰Rt△ABC中，AC＝AB＝12，∴CF＝12，即CF的長(zhǎng)為12，由折疊可得，BE＝B'E，∴等腰Rt△CEB'中，CE＝B'E＝BE，∴；故答案為：；；①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖3，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，由可得：，∴，即，∴，由②可知．設(shè)，則，則，在中，，即，解得：，則，∴．②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4由可得：，∴，即，∴，則，設(shè)，則，在中，，即，解得：，則，∴．綜上所述：當(dāng)時(shí)，的正弦值為或．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題（3）的關(guān)鍵是運(yùn)用分類討論思想，依據(jù)勾股定理列方程進(jìn)行計(jì)算求解，解題時(shí)注意分類思想與方程思想的運(yùn)用．9．（2021·重慶實(shí)外九年級(jí)三模）如圖，已知在直角中，，為邊上一點(diǎn)，連接，過(guò)作，交邊于點(diǎn)，（1）如圖1，若，，，求；圖1（2）如圖2，作的角平分線交于點(diǎn)，連接，若，求證：；圖2（3）如圖3，在（1）的條件下，為邊的中點(diǎn)，為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折，得到，連接，以為斜邊向右作等腰直角三角形，連接，求的最小值．圖3【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）運(yùn)用銳角三角函數(shù)以及勾股定理分別求出和的值，運(yùn)用三角形面積公式計(jì)算即可；（2）過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)已知求證，然后證明，即可得出，結(jié)果可得；（3）連接，在上方作等腰直角三角形，連接，根據(jù)已知可得四邊形為正方形，運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)一步證明，求出，當(dāng)共線時(shí)，最小，求出即可．【詳解】解：（1）在中，，∵，，∴，∴，∵，∴，