2019高三數(shù)學(xué)理北師大版一輪教師用書第5章　第3節(jié)　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和[考綱](教師用書獨(dú)具)1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第84頁)[基礎(chǔ)知識(shí)填充]1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N＋，q為非零常數(shù))．(2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列，那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)，G2＝ab，G＝±eq\r(ab)，那么G叫作a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.2．等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1(q＝1)，,\f(a1(1－qn),1－q)＝\f(a1－anq,1－q)(q≠1).))3．等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N＋)，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k)；(3)若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍然是等比數(shù)列；(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.[基本能力自測(cè)]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)滿足an＋1＝qan(n∈N＋，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．()(2)G為a，b的等比中項(xiàng)?G2＝ab.()(3)若{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．()(4)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝an，則其前n項(xiàng)和為Sn＝eq\f(a(1－an),1－a).()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則公比q＝()A．－eq\f(1,2)B．－2C．2D.eq\f(1,2)D[由通項(xiàng)公式及已知得a1q＝2①，a1q4＝eq\f(1,4)，②由②÷①得q3＝eq\f(1,8)，解得q＝eq\f(1,2).故選D.]3．(2017·北京高考)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則eq\f(a2,b2)＝________.1[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，則由a4＝a1＋3d，得d＝eq\f(a4－a1,3)＝eq\f(8－(－1),3)＝3，由b4＝b1q3得q3＝eq\f(b4,b1)＝eq\f(8,－1)＝－8，∴q＝－2.∴eq\f(a2,b2)＝eq\f(a1＋d,b1q)＝eq\f(－1＋3,－1×(－2))＝1.]4．(教材改編)在9與243中間插入兩個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)為__________．27,81[設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的兩個(gè)數(shù)分別為9×3＝27,27×3＝81.]5．(2015·全國卷Ⅰ)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝126，則n＝__________.6[∵a1＝2，an＋1＝2an，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．又∵Sn＝126，∴eq\f(2(1－2n),1－2)＝126，解得n＝6.](對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第85頁)等比數(shù)列的基本運(yùn)算(1)在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前3項(xiàng)和S3＝21，則公比q的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或eq\f(1,2)(2)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于__________．(1)C(2)2n－1[(1)根據(jù)已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝7，,a1＋a1q＋a1q2＝21，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))②÷①得eq\f(1＋q＋q2,q2)＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－eq\f(1,2).(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q3＝9，,a\o\al(2,1)·q3＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,q＝\f(1,2).))又{an}為遞增數(shù)列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2，))∴Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.][規(guī)律方法]解決等比數(shù)列有關(guān)問題的兩種常用思想1方程的思想：等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程組求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解.2分類討論的思想：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).[跟蹤訓(xùn)練](1)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞(2)(2018·廣州綜合測(cè)試(二))在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，aeq\o\al(2,n＋2)＋4aeq\o\al(2,n)＝4aeq\o\al(2,n＋1)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140176】(3)(2017·洛陽統(tǒng)考)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＋8a4＝0，則eq\f(S4,S3)＝()A．－eq\f(5,3) B．eq\f(15,7)C.eq\f(5,6) D．eq\f(15,14)(1)B(2)2eq\s\up12(eq\f(n＋1,2))(3)C[(1)設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2，所以S7＝eq\f(a1(1－q7),1－q)＝eq\f(a1(1－27),1－2)＝381，解得a1＝3.故選B.(2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，由aeq\o\al(2,n＋2)＋4aeq\o\al(2,n)＝4aeq\o\al(2,n＋1)，an＞0，得(anq2)2＋4aeq\o\al(2,n)＝4(anq)2，整理得q4－4q2＋4＝0，解得q＝eq\r(2)或q＝－eq\r(2)(舍去)，所以an＝2×2eq\s\up12(eq\f(n－1,2))＝2eq\s\up12(eq\f(n＋1,2)).(3)在等比數(shù)列{an}中，因?yàn)閍1＋8a4＝0，所以q＝－eq\f(1,2)，所以eq\f(S4,S3)＝eq\f(\f(a1(1－q4),1－q),\f(a1(1－q3),1－q))＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))4,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))3)＝eq\f(\f(15,16),\f(9,8))＝eq\f(5,6).]等比數(shù)列的判定與證明(2016·全國卷Ⅲ)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若S5＝eq\f(31,32)，求λ.[解](1)證明：由題意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝eq\f(1,1－λ)，故a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(λ,λ－1).因此{(lán)an}是首項(xiàng)為eq\f(1,1－λ)，公比為eq\f(λ,λ－1)的等比數(shù)列，于是an＝eq\f(1,1－λ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ－1)))eq\s\up12(n－1).(2)由(1)得Sn＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ－1)))eq\s\up12(n).由S5＝eq\f(31,32)得1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ－1)))eq\s\up12(5)＝eq\f(31,32)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,λ－1)))eq\s\up12(5)＝eq\f(1,32).解得λ＝－1.[規(guī)律方法]等比數(shù)列的三種常用判定方法1定義法：若eq\f(an＋1,an)＝qq為非零常數(shù)，n∈N＋，則{an}是等比數(shù)列.2等比中項(xiàng)法：若數(shù)列{an}中，an≠0，且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2n∈N＋，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.3通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qnc，q均是不為0的常數(shù)，n∈N＋，則{an}是等比數(shù)列.易錯(cuò)警示：1前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，后者常用于選擇題、填空題中的判定.2若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.[跟蹤訓(xùn)練]設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[解](1)證明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＋1＝4an＋2，①,Sn＝4an－1＋2(n≥2)，②))①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首項(xiàng)b1＝3，公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝eq\f(3,4)，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公差為eq\f(3,4)的等差數(shù)列．∴eq\f(an,2n)＝eq\f(1,2)＋(n－1)·eq\f(3,4)＝eq\f(3n－1,4)，故an＝(3n－1)·2n－2.等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(1)已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}滿足a6－aeq\o\al(2,7)＋a8＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b2b8b11＝()A．1 B．2C．4 D．8(2)已知{an}為各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140177】A．150 B．－200C．150或－200 D．400或－50(1)D(2)A[(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6＋a8＝2a7.由a6－aeq\o\al(2,7)＋a8＝0，可得a7＝2，所以b7＝a7＝2.由等比數(shù)列的性質(zhì)得b2b8b11＝b2b7b12＝beq\o\al(3,7)＝23＝8.(2)依題意，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，所以S40－S30＝S10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c