第07講菱形(3大考點(diǎn)9種題型強(qiáng)化訓(xùn)練)_第1頁(yè)
第07講菱形(3大考點(diǎn)9種題型強(qiáng)化訓(xùn)練)_第2頁(yè)
第07講菱形(3大考點(diǎn)9種題型強(qiáng)化訓(xùn)練)_第3頁(yè)
第07講菱形(3大考點(diǎn)9種題型強(qiáng)化訓(xùn)練)_第4頁(yè)
第07講菱形(3大考點(diǎn)9種題型強(qiáng)化訓(xùn)練)_第5頁(yè)
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第07講菱形1.經(jīng)歷探索菱形的概念與性質(zhì)的過(guò)程,在操作活動(dòng)和觀察、分析過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的主動(dòng)探究習(xí)慣和初步的審美意識(shí),進(jìn)一步了解和體會(huì)說(shuō)理的基本方法.2.了解菱形的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用.3.掌握四邊形是菱形的條件,經(jīng)歷探索四邊形是菱形的條件,在活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的探究意識(shí)和有條理地表達(dá)能力一.菱形的性質(zhì)(1)菱形的定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.(2)菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì);②菱形的四條邊都相等;③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;④菱形是軸對(duì)稱圖形,它有2條對(duì)稱軸,分別是兩條對(duì)角線所在直線.(3)菱形的面積計(jì)算①利用平行四邊形的面積公式.②菱形面積=ab.(a、b是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度)二.菱形的判定①菱形定義:一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形);②四條邊都相等的四邊形是菱形.幾何語(yǔ)言:∵AB=BC=CD=DA∴四邊形ABCD是菱形;③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形(或“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”).幾何語(yǔ)言:∵AC⊥BD,四邊形ABCD是平行四邊形∴平行四邊形ABCD是菱形三.菱形的判定與性質(zhì)(1)依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形.不管原四邊形的形狀怎樣改變,中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形.(2)菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形(對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為矩形,對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為菱形.)(3)菱形是在平行四邊形的前提下定義的,首先它是平行四邊形,但它是特殊的平行四邊形,特殊之處就是“有一組鄰邊相等”,因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法.題型一:根據(jù)菱形的性質(zhì)求角度一、單選題1.(2023下·江蘇鹽城·八年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,在菱形中,,的垂直平分線交對(duì)角線于點(diǎn)F,E為垂足,連接,則的度數(shù)是(

A. B. C. D.【答案】C【分析】先連接,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得,再根據(jù)菱形的性質(zhì)證明≌,進(jìn)而得出,可知,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得,進(jìn)而得出答案.【詳解】連接.∵是的垂直平分線,∴.∵,且菱形具有軸對(duì)稱性,∴.∵四邊形是菱形,∴,,∴.∵,∴≌,∴,∴,∴,∴.

故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定等,構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.2.(2023下·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,在菱形紙片中,,點(diǎn)在邊上,將菱形紙片沿折疊,點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn),且是的垂直平分線,則的大小為(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】連接,根據(jù)是的垂直平分線,得到,結(jié)合得到是等邊三角形,即可得到,根據(jù)四邊形是菱形得到,根據(jù)折疊即可得到答案;【詳解】解:連接,∵是的垂直平分線,∴,∵,∴是等邊三角形,∴,∵四邊形是菱形,∴,∴,∵菱形紙片沿折疊,點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn),∴,∴,故選D;【點(diǎn)睛】本題考查菱形的折疊問(wèn)題,三角形內(nèi)角和定理,菱形的性質(zhì),垂直平分線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是得到是等邊三角形.二、填空題3.(2023下·江蘇連云港·八年級(jí)校考階段練習(xí))如圖,菱形中,,若對(duì)角線,則菱形的周長(zhǎng)為.

【答案】12【分析】利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定及性質(zhì)可得,再利用菱形的周長(zhǎng)計(jì)算公式即可求解.【詳解】解:四邊形是菱形,,,,又,,解得:,是等邊三角形,,菱形的周長(zhǎng)為:,故答案為:12.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定及性質(zhì),熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題4.(2022下·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,點(diǎn)E是菱形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AC是對(duì)角線,∠BAC:∠ACE=2:7,求∠B的度數(shù).【答案】【分析】設(shè),則,先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得,建立方程求出值,最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得.【詳解】解:由題意,設(shè),則,四邊形是菱形,,,又,,解得,,.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.5.(2023下·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,在菱形中,于點(diǎn),于點(diǎn).,求的度數(shù).

【答案】【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)可知,,同理可知,根據(jù)于點(diǎn),于點(diǎn),可知,從而得到.【詳解】解:在菱形中,,,,于點(diǎn),于點(diǎn),,在和中,,.【點(diǎn)睛】本題考查菱形中求角度,熟記菱形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.題型二:根據(jù)菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)一、解答題1.(2023下·江蘇泰州·八年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H,連接,若,,求的長(zhǎng).

【答案】【分析】利用菱形的面積求得的長(zhǎng)度,再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解即可.【詳解】解:菱形中,對(duì)角線相交于點(diǎn)O,則為的中點(diǎn),∴由可得,∵∴又為的中點(diǎn)∴【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì),直角三角形斜邊中線等于斜邊一半,解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí).2.(2023下·江蘇常州·八年級(jí)校考期中)如圖,在菱形中,對(duì)角線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)證明:四邊形是平行四邊形;(2)若,,求的面積.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定證明即可;(2)利用菱形的性質(zhì)得出,即可求的面積.【詳解】(1)證明∵四邊形是菱形,∴,∴,∵,即,∴,∴,∴四邊形是平行四邊形;(2)解:∵四邊形是菱形,,∴,∴,∵四邊形是平行四邊形,∴,,∴.【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和判定問(wèn)題,關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的判定解答即可.3.(2023下·江蘇南通·八年級(jí)校考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中,直線(k是常數(shù),)與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,且點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)如圖1,將直線繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交x軸于點(diǎn)C,求直線的解析式;(3)在(2)的條件下,直線上有一點(diǎn)M,坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)P,若以A、B、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)(2)直線的解析式為;(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或;;【分析】(1)令,解得,即可求解;(2)過(guò)點(diǎn)A作,過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線交過(guò)點(diǎn)B與x軸的平行線于點(diǎn)M,交過(guò)點(diǎn)D與x軸的平行線于點(diǎn)N,證明,得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為,再用待定系數(shù)法即可求解;(3)當(dāng)是邊時(shí),點(diǎn)A向右4個(gè)單位向上2個(gè)單位得到點(diǎn)B,同樣,點(diǎn)向右4個(gè)單位向上2個(gè)單位得到,且,即可求解;當(dāng)是對(duì)角線時(shí),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和即可求解.【詳解】(1)解:令,解得,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為;(2)解:過(guò)點(diǎn)A作,過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線交過(guò)點(diǎn)B與x軸的平行線于點(diǎn)M,交過(guò)點(diǎn)D與x軸的平行線于點(diǎn)N,如圖,∵,故為等腰直角三角形,∴,∵,,∴,∵,∴,∴,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為,設(shè)直線的解析式為,則,解得,∴直線的解析式為;(3)解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,點(diǎn),∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為,①當(dāng)是邊時(shí),點(diǎn)A向右4個(gè)單位向上2個(gè)單位得到點(diǎn)B,同樣,點(diǎn)向右4個(gè)單位向上2個(gè)單位得到,且,則或,解得或或(不合題意的值已舍去),故點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或;②當(dāng)是對(duì)角線時(shí),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和得:,解得,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為,綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或;【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用,掌握一次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、三角形全等等,注意分類求解是解題的關(guān)鍵.4.(2023下·江蘇泰州·八年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),,將四邊形繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度α得到四邊形,此時(shí)邊與邊交于點(diǎn)P,邊與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q,連接.

(1)四邊形的形狀是___________.(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)為等腰三角形時(shí),求P點(diǎn)坐標(biāo).(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,四邊形能否是菱形?若能,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo),若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)矩形(2)當(dāng)為等腰三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或(3)四邊形不可能是菱形,理由見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)矩形的判定方法,坐標(biāo)特點(diǎn)進(jìn)行解答即可;(2)分三種情況:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),分別畫(huà)出圖形求出結(jié)果即可;(3)延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)E,根據(jù)菱形的性質(zhì)得出,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),求出,證明,說(shuō)明不可能是菱形.【詳解】(1)解:∵,,,∴軸,軸,∴,∴四邊形為矩形;故答案為:矩形.(2)解:∵,,,∴,,∵四邊形為矩形,∴;當(dāng)時(shí),

在中根據(jù)勾股定理得:,∴,∴;當(dāng)時(shí),過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D,如圖所示:

∵,,∴,∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為;當(dāng)時(shí),

在中根據(jù)勾股定理得:,∴;綜上分析可知,當(dāng)為等腰三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或.(3)解:四邊形不可能是菱形,理由如下:延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)E,如圖所示:

根據(jù)解析(2)當(dāng)時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為,∴,∴,根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知,,∵四邊形為矩形,∴,,∴,∴,∵,,∴,∴,∵,,∴四邊形為平行四邊形,∴,∴,∴不可能是菱形.【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖象,矩形的判定和性質(zhì),菱形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合,并注意進(jìn)行分類討論.題型三:根據(jù)菱形的性質(zhì)求面積一、解答題1.(2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)??计谥校┤鐖D,點(diǎn)O是菱形對(duì)角線的交點(diǎn),,,連接,交于F.(1)求證:;(2)如果,,求菱形的面積.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)216【分析】(1)通過(guò)證明四邊形是矩形來(lái)推知;(2)利用(1)中的、,結(jié)合已知條件,在中,由勾股定理求得,.然后由菱形的對(duì)角線互相平分和菱形的面積公式進(jìn)行解答.【詳解】(1)解:證明:四邊形是菱形,.,,四邊形是平行四邊形,四邊形是矩形,;(2)由(1)知,,,,在中,由勾股定理得,,,四邊形是菱形,,,菱形的面積是:.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理矩形的判定與性質(zhì),掌握菱形的對(duì)角線互相垂直平分是解題的關(guān)鍵.2.(2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,四邊形是菱形,對(duì)角線,交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證:;(2)若,求四邊形的面積.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】(1)證明四邊形為平行四邊形,得出,根據(jù)菱形性質(zhì)得出即可證明結(jié)論;(2)根據(jù)勾股定理,先求出對(duì)角線的長(zhǎng),再根據(jù)即可解決問(wèn)題.【詳解】(1)證明:四邊形是菱形,∴,,∵,∴四邊形是平行四邊形,∴,∴.(2)解:∵四邊形是菱形,∴,,,,∴,,,∴,∵四邊形是平行四邊形,∴,,∴.【點(diǎn)睛】本題注意考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理,解題的關(guān)鍵是證明是平行四邊形,記住菱形的對(duì)角線互相垂直,屬于中考??碱}型.3.(2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州市立達(dá)中學(xué)校??计谀┒x:如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為,那么稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”.

(1)已知是“準(zhǔn)直角三角形”,,若,則______.(2)如圖,在菱形中,,,連接,若正好為一個(gè)準(zhǔn)直角三角形,求菱形的面積.【答案】(1)或(2)【分析】(1)分情況討論,從或者兩種情況討論,算出的值;(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到,,,求得,連接交于點(diǎn),根據(jù)等邊三角形的判定定理得到是等邊三角形.求出,得到,再根據(jù)勾股定理計(jì)算出的值,最后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算出結(jié)果.【詳解】(1)解:當(dāng)時(shí),,,,解得,當(dāng)時(shí),,根據(jù)三角形的內(nèi)角和為,,綜上所述,或;(2)解:四邊形是菱形,,,,,,正好為一個(gè)準(zhǔn)直角三角形,,,,,連接交于點(diǎn),是等邊三角形,,,,,故,,.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì),勾股定理,等邊三角形的判定和性質(zhì),正確理解“準(zhǔn)直角三角形”是解題的關(guān)鍵.題型四:根據(jù)菱形的性質(zhì)證明一、解答題1.(2023下·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí))如圖,已知菱形,,E、F分別是、的中點(diǎn),連接、.(1)求證:四邊形是矩形;(2)若,求菱形的面積.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】此題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)和矩形的判定,(1)可證明是等邊三角形,根據(jù)中點(diǎn)得出,進(jìn)一步求得四邊形是平行四邊形,即可得出答案;(2)利用等邊三角形求得菱形的面積.【詳解】(1)證明:∵四邊形是菱形,∴,又∵,∴是等邊三角形,∵E是的中點(diǎn),∴,∴,∵E、F分別是、的中點(diǎn),∴,,∵四邊形是菱形,∴且,∴且,則四邊形是平行四邊形,又∵,∴四邊形是矩形;(2)∵是等邊三角形,,∴.2.(2023下·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,在菱形中,對(duì)角線,交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),延長(zhǎng)到點(diǎn),使得,連接.

(1)求證:四邊形是矩形;(2)連接,若,,求的長(zhǎng)【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到且,再證,推出四邊形是平行四邊形,根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論;(2)由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得,再由勾股定理得,即可得出答案.【詳解】(1)證明:四邊形是菱形,且,,,,,四邊形是平行四邊形,,,平行四邊形是矩形;(2)解:四邊形是菱形,,,,由(1)可知,,,在中,,.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定,菱形的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線性質(zhì),勾股定理等知識(shí);正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.3.(2023下·江蘇鹽城·八年級(jí)校考期中)如圖,點(diǎn)是菱形對(duì)角線的交點(diǎn),,,連接,交于.

(1)求證:四邊形是矩形;(2)若,,求的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析(2)5【分析】(1)根據(jù),判定四邊形是平行四邊形,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得,從而證得四邊形是矩形;(2)由菱形的性質(zhì)可得,,,由勾股定理可得,再由矩形的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】(1)證明:,,四邊形是平行四邊形,四邊形是菱形,,,四邊形是矩形;(2)解:四邊形是菱形,,,,,,,,四邊形是矩形,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形和菱形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.4.(2023下·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校考階段練習(xí))如圖,在菱形中,對(duì)角線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)若,求菱形的面積.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)24【分析】(1)根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直推出,即可證明;(2)根據(jù)菱形的面積公式求解.【詳解】(1)證明:四邊形是菱形,,,,又,,,,,四邊形是平行四邊形;(2)解:四邊形是平行四邊形,,菱形中,,,菱形的面積.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定,菱形的性質(zhì)和面積,解題的關(guān)鍵是掌握菱形的對(duì)角線互相垂直.題型五:根據(jù)菱形的定義判定菱形1.(2023下·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí))如圖,四邊形為矩形,為中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交、于點(diǎn)、,連接、.

(1)求證:四邊形是菱形.(2)若,,求的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定,矩形的性質(zhì),勾股定理.(1)由條件可先證四邊形為平行四邊形,再結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)可證得結(jié)論;(2)由菱形的性質(zhì)可求得,設(shè),在和中,分別利用勾股定理可得到關(guān)于的方程,可求得的長(zhǎng).【詳解】(1)證明:為中點(diǎn),,為的垂直平分線,,,,.∵四邊形ABCD是矩形,,,,∴,四邊形平行四邊形.又,四邊形是菱形;(2)解:∵四邊形是菱形,,,,,,設(shè),在中,,在中,.,解得,.2.(2023下·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)??茧A段練習(xí))已知:如圖,中,的平分線交于點(diǎn),的平分線交于點(diǎn),、交于點(diǎn).

(1)則四邊形的形狀為;請(qǐng)說(shuō)明你的理由(2)僅用無(wú)刻度的直尺在的右側(cè),邊上找一點(diǎn),連接,使得(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法);連接,,若平行四邊形的面積為,則四邊形的面積是.【答案】(1)菱形,理由見(jiàn)解析;(2)作圖見(jiàn)解析,.【分析】()根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證明,從而可得,同理可得,再由可得四邊形是菱形;()連接,交于點(diǎn),連接,延長(zhǎng)交于點(diǎn),點(diǎn)即為所求,證明,可得結(jié)論.【詳解】(1)四邊形是菱形,理由:∵四邊形是平行四邊形,∴,∴,∵的平分線交于點(diǎn),∴,∴,∴,同理:,∴,∵,∴四邊形是平行四邊形,∵,∴四邊形是菱形;(2)如圖,連接,交于點(diǎn),連接,延長(zhǎng)交于點(diǎn),

∴點(diǎn)即為所求.∵四邊形是平行四邊形,∴,,∵,∴,∴四邊形是平行四邊形,∴,∵四邊形是菱形,∴,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查了作圖復(fù)雜作圖,平行四邊形的性質(zhì),菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定,平行四邊形的判定.題型六:根據(jù)對(duì)角線互相垂直判定菱形1.(2023下·江蘇泰州·八年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,O為平行四邊形的邊的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接.

(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)①當(dāng)與滿足___________時(shí),四邊形是矩形.②當(dāng)與滿足___________時(shí),四邊形是菱形.請(qǐng)選擇一個(gè)給予證明.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①;②【分析】(1)先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到,則,由此證明得到,據(jù)此可證明結(jié)論;(2)①只需要滿足,則四邊形是矩形,由于可得,因此只需要滿足即可;②只需要滿足,即則四邊形是菱形,則只要滿足即可.【詳解】(1)證明:∵四邊形是平行四邊形,∴,∴,∵O為邊的中點(diǎn),∴,∴,∴,又∵,∴四邊形是平行四邊形;(2)解:①當(dāng)時(shí),四邊形是矩形,理由如下:∵四邊形是平行四邊形,四邊形是平行四邊形,∴,∴,∵,∴,∴四邊形是矩形;②當(dāng)時(shí),四邊形是菱形,理由如下:∵,∴,∴,∵四邊形是平行四邊形,∴,∴,∴四邊形是菱形.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定,矩形的判定,菱形的判定,等腰三角形三線合一定理,熟知相關(guān)特殊四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵.題型七:根據(jù)四邊相等判定菱形1.(2023下·江蘇泰州·八年級(jí)??计谥校┤鐖D,中,.

(1)作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)C;(要求:尺規(guī)作圖,不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)所作的圖中,連接,連接,交于點(diǎn)O.①求證:四邊形是菱形;②取的中點(diǎn)E,連接,若,求點(diǎn)E到的距離.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析;②點(diǎn)E到的距離是【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的畫(huà)法,過(guò)點(diǎn)A作的垂線段并延長(zhǎng)一倍,得對(duì)稱點(diǎn)C;(2)①根據(jù)菱形的判定即可求解;②過(guò)B點(diǎn)作于F,根據(jù)菱形的性質(zhì),勾股定理得到再根據(jù)三角形面積公式即可求解.【詳解】(1)解:如圖所示:點(diǎn)C即為所求;

(2)解:①證明:∵,∴,∵C是點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),∴,∴,∴四邊形是菱形;②過(guò)B點(diǎn)作于F,

∵四邊形是菱形,∴,∵E是的中點(diǎn),,∴,∴∴,∵四邊形是菱形,∴,∵∴,∴∵故點(diǎn)E到的距離是.【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖以及軸對(duì)稱變換的作法、菱形的判定與性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),勾股定理,三角形面積等知識(shí),得出,的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.題型八:菱形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用1.(2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)儀征市第三中學(xué)校考階段練習(xí))在中,的平分線交線段于點(diǎn),交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn),以、為鄰邊作.

(1)如圖1,證明:.(2)如圖2,若,是的中點(diǎn),求的度數(shù);(3)如圖3,若,請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】(1)由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可證明;(2)首先證明四邊形為正方形,再證明可得,,再根據(jù)可得到的度數(shù);(3)延長(zhǎng)交于H,連接,求證平行四邊形為菱形,得出為全等的等邊三角形,證明,即可得出答案.【詳解】(1)(1)∵平分,∴,∵四邊形是平行四邊形,∴,,∴,,∴,∴;(2)如圖,連接,

∵,四邊形是平行四邊形,∴四邊形是矩形,∵四邊形是平行四邊形,,∴四邊形為菱形.∴,∴四邊形為正方形.∵,∴,∵M(jìn)為中點(diǎn),∴,∴,在和中,∵∴,∴,.∴,∴是等腰直角三角形,∴;(3),延長(zhǎng)交于H,連接.

∵,,∴四邊形為平行四邊形,∵,平分,∴,,,∴為等腰三角形,∴,∴平行四邊形為菱形,∴為全等的等邊三角形,∴,,∵,,,∴,在與中,∵,∴,∴∴.【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形的判定方法,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別,同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法.2.(2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,已知矩形.

(1)用直尺和圓規(guī)分別在、邊上找點(diǎn)E、F,使得四邊形是菱形;(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法,并給出證明.)(2)若,,求菱形的周長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析(2)20【分析】(1)連接,作的垂直平分線交,于點(diǎn)E,F(xiàn),則四邊形為菱形;由是的垂直平分線得,,,再證和全等得,進(jìn)而得,據(jù)此可判定四邊形為菱形;(2)設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x,則菱形的的周長(zhǎng)為,在中由勾股定理求出x即可.【詳解】(1)解:連接,利用直尺和圓規(guī)作線段的垂直平分線交,于點(diǎn)E,F(xiàn),則點(diǎn)E,F(xiàn)為所求.如圖,

證明如下:設(shè)與交于點(diǎn)O,∵四邊形為矩形,∴,,∴,∵是的垂直平分線,∴,,,在和中,,∴,∴,∴,∴四邊形為菱形,∴點(diǎn)E,F(xiàn)為所求作的點(diǎn).(2)解:設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x,則菱形的的周長(zhǎng)為,在中,,,,由勾股定理得:,即:,解得:,∴菱形的的周長(zhǎng)為.答:菱形的周長(zhǎng)為20.【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本尺規(guī)作圖,菱形的判定和性質(zhì),矩形的性質(zhì),勾股定理等,解答此題的關(guān)鍵熟練掌握利用直尺和圓規(guī)作已知線段的垂直平分線的方法與步驟,理解四條邊都相等的四邊形是菱形.3.(2023下·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在中,,D是的中點(diǎn),E是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證:四邊形是菱形;(2)若,,求菱形的面積.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)24【分析】(1)先證明,得,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等可得四邊形是平行四邊形,由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得:,根據(jù)菱形的判定即可證明四邊形是菱形;(2)先根據(jù)菱形和三角形的面積可得:,即可解答.【詳解】(1)證明:∵E是的中點(diǎn),∴,∵,∴,在和中,∵,∴,∴,∵D是的中點(diǎn),∴,∴四邊形是平行四邊形,∵,D是的中點(diǎn),∴,∴四邊形是菱形;(2)解:∵,,,∴,∴,∴【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、三角形和菱形的面積,解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上基礎(chǔ)知識(shí).題型九:根據(jù)菱形的對(duì)稱性求最小值1.(2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末)在正方形中,,E、F分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn),以、為邊作平行四邊形.

(1)如圖1,連接,交于點(diǎn)O,若.①試說(shuō)明與的關(guān)系;②線段最小值是__________;(2)如圖2,若四邊形為菱形,判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.【答案】(1)①且,理由見(jiàn)解析;②(2)【分析】(1)①根據(jù)正方形的性質(zhì),得出,再判斷和全等,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解答;②由平行四邊形的性質(zhì)可得,設(shè),則,由勾股定理可得,可得的最小值,然后求得的最小值即可解答;(2)設(shè),再根據(jù)點(diǎn)E為中點(diǎn)菱形的性質(zhì),再通過(guò)勾股定理即可解答.【詳解】(1)解:①:且,理由如下:∵四邊形為正方形,∴,在和中,,,∴,∵,∴,即,∵四邊形是平行四邊形,∴,∴且.②解:∵平行四邊形,∴,設(shè),∵,,則,∴,即,∴的最小值為18,的最小值為,∴的最小值為.故答案為:.(2)解:設(shè),,∵,,則,∵四邊形為菱形,∴,由勾股定理可得:,即,解得∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握全等三角形的判定、平行四邊形是解題關(guān)鍵.2.(2023下·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中)在邊長(zhǎng)為6的菱形中,,點(diǎn)E、F是邊、上的點(diǎn),連接.(1)如圖1,將沿翻折使B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在中點(diǎn)上,此時(shí)四邊形是什么四邊形?并說(shuō)明理由.(2)如圖2,若,以為邊在右側(cè)作等邊;①連接,當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí),求的長(zhǎng)度.②直接寫(xiě)出的最小值.【答案】(1)菱形,理由見(jiàn)解析;(2)①或3;②.【分析】(1),連接,先證明是等邊三角形,可知,再根據(jù)翻折的性質(zhì)得出,,然后根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得出答案;(2)①作,作,先求出,,再根據(jù)證明,然后根據(jù)得出答案;當(dāng)時(shí),根據(jù)得出答案.②先確定點(diǎn)G的位置,根據(jù)勾股定理求出答案.【詳解】(1)答:菱形,理由如下:連接,在菱形中,,∴,∴是等邊三角形,∴.在等邊中,是的中線,∴,由翻折可得,,,∴,∴,∴,,∴,,∴四邊形是平行四邊形.又∵,∴四邊形是菱形;(2)①解:過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)N,在中,,,∴,.∵,,∴.∵,,∴,∴,,當(dāng)時(shí),,∴;當(dāng)時(shí),在中,,,∴,∴,∴.綜上,的長(zhǎng)度為或3.②最小值是.如圖,根據(jù)題意可知點(diǎn)G在上,且,當(dāng)時(shí),最短.∵,,∴,.在中,,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定,等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,等腰三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理等,構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵.一.選擇題(共10小題)1.(2023春?金湖縣期中)菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8,它的面積為A.5 B.20 C.24 D.48【分析】根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半,計(jì)算即可.【解答】解:菱形的面積為:;故選:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì),掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2.(2023春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中)如圖所示,在菱形中,若,,則菱形的面積為A.20 B.24 C.26 D.32【分析】由菱形的性質(zhì)得,,,由勾股定理求出,則,由菱形面積公式即可得出答案.【解答】解:連接交于點(diǎn),如圖所示:四邊形是菱形,,,,,,,菱形的面積,故選:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及菱形面積公式等知識(shí);熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.3.(2023春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中)如圖,已知是菱形的邊上一點(diǎn),且,那么的度數(shù)為A. B. C. D.【分析】由菱形的性質(zhì)得出,,,則,得,再由三角形內(nèi)角和定理求出,即可得出答案.【解答】解:四邊形是菱形,,,,,,,,故選:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí),熟練掌握菱形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4.(2023春?宜興市期末)如圖,下列條件之一能使平行四邊形是菱形的為①;②;③;④.A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③【分析】菱形的判定方法有三種:①定義:一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;②四邊相等的四邊形是菱形;③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.據(jù)此判斷即可.【解答】解:①中,,根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形,即可判定是矩形,而不能判定是菱形;故①錯(cuò)誤.②中,,根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形,即可判定是菱形;故②正確;③中,,根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,即可判定是菱形;故③正確;④、中,,根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形,即可判定是矩形,而不能判定是菱形;故④錯(cuò)誤;故選:.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的判定與矩形的判定定理.此題難度不大,注意掌握菱形的判定定理是解此題的關(guān)鍵.5.(2023春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考)如圖,在中,于,,分別是,的中點(diǎn),連接,,當(dāng)滿足下列哪個(gè)條件時(shí),四邊形為菱形A. B. C. D.【分析】可根據(jù)三角形的中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定,分析得出當(dāng)滿足條件或時(shí),四邊形是菱形.【解答】解:要使四邊形是菱形,則應(yīng)有,,分別為,的中點(diǎn),,,,,,,當(dāng)點(diǎn)應(yīng)是的中點(diǎn),而,應(yīng)是等腰三角形,應(yīng)添加條件:或.則當(dāng)滿足條件或時(shí),四邊形是菱形.故選:.【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是菱形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì),掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵.6.(2023春?江都區(qū)月考)如圖,菱形對(duì)角線,,則菱形高長(zhǎng)為A. B. C. D.【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出、,然后利用勾股定理列式求出,再根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半和底乘以高兩種方法列式計(jì)算即可得解.【解答】解:菱形對(duì)角線,,,,,根據(jù)勾股定理,,菱形的面積,即,解得.故選:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,根據(jù)菱形的面積的兩個(gè)求解方法列出方程是解題的關(guān)鍵.7.(2023春?海陵區(qū)期中)菱形的周長(zhǎng)為,則菱形的面積的最大值為A. B. C. D.【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出菱形的邊長(zhǎng),可設(shè),根據(jù)勾股定理求出,再根據(jù)三角形面積公式可求菱形的面積的最大值.【解答】解:菱形的周長(zhǎng)為,菱形的邊長(zhǎng)是,設(shè),由勾股定理可得,菱形的面積,當(dāng)時(shí),菱形的面積的最大值是.故選:.【點(diǎn)評(píng)】考查了菱形的性質(zhì),勾股定理,三角形面積計(jì)算,關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出的長(zhǎng).8.(2023春?吳江區(qū)月考)在下列條件中,能判定平行四邊形為菱形的是A. B. C. D.【分析】由菱形的判定和矩形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【解答】解:、,,平行四邊形為矩形,故選項(xiàng)不符合題意;、,平行四邊形為矩形,故選項(xiàng)不符合題意;、,平行四邊形為菱形,故選項(xiàng)符合題意;、由,不能判定平行四邊形為菱形,故選項(xiàng)不符合題意;故選:.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定.熟記菱形的判定是解題的關(guān)鍵.9.(2023春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中)下列說(shuō)法正確的是A.平行四邊形的對(duì)角線互相垂直 B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 C.菱形的對(duì)角線相等 D.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形【分析】由菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【解答】解:、平行四邊形的對(duì)角線互相平分,故選項(xiàng)不符合題意;、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形,故選項(xiàng)不符合題意;、菱形的對(duì)角線互相垂直平分,故選項(xiàng)不符合題意;、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形,故選項(xiàng)符合題意;故選:.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì),熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.10.(2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考)如圖,已知菱形與菱形全等,菱形可以看作是菱形經(jīng)過(guò)怎樣的圖形變化得到?下列結(jié)論:①經(jīng)過(guò)1次平移和1次旋轉(zhuǎn);②經(jīng)過(guò)1次平移和1次翻折;③經(jīng)過(guò)1次旋轉(zhuǎn),且平面內(nèi)可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)共有3個(gè).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【分析】依據(jù)旋轉(zhuǎn)變換以及軸對(duì)稱變換,分別畫(huà)圖可得結(jié)論.【解答】解:①如圖1,先將菱形向右平移,再繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形,故①正確;②如圖2,將菱形先平移,再沿直線翻折可得菱形,故②正確;③如圖3,經(jīng)過(guò)1次旋轉(zhuǎn),且平面內(nèi)可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)有和,共有2個(gè),故③不正確;故選:.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和幾何變換,在軸對(duì)稱變換下,對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)直線(段或者平行,或者交于對(duì)稱軸,且這兩條直線的夾角被對(duì)稱軸平分.在旋轉(zhuǎn)變換下,對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.二.填空題(共8小題)11.(2023春?鹽城月考)在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形是菱形.若點(diǎn)的坐標(biāo)是,點(diǎn)的坐標(biāo)是.【分析】過(guò)、作軸,軸,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得,再證明,可得,然后可得點(diǎn)坐標(biāo).【解答】解:過(guò)、作軸,軸,點(diǎn)的坐標(biāo)是,,四邊形是菱形,,,,軸,軸,,在和中,,,,,.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的性質(zhì),以及全等三角形的判定與性質(zhì),關(guān)鍵是掌握菱形四邊相等.12.(2023春?東臺(tái)市期中)已知:一菱形的面積為,一條對(duì)角線長(zhǎng)為,則該菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為.【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì),菱形面積.、是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度),進(jìn)而得出答案.【解答】解:一菱形的面積為,一條對(duì)角線長(zhǎng)為,該菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為:.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及整式的除法,正確掌握菱形面積求法是解題關(guān)鍵.13.(2023春?玄武區(qū)期中)如圖,將沿射線方向平移得到,當(dāng)滿足條件時(shí)(填一個(gè)條件),能夠判定四邊形為菱形.【分析】由題意可證四邊形是平行四邊形,根據(jù)菱形的判定,可得滿足條件.【解答】解:滿足條件為將沿射線方向平移得到,四邊形是平行四邊形平行四邊形是菱形.故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定,平移的性質(zhì),熟練運(yùn)用平移的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.14.(2023春?建鄴區(qū)校級(jí)期中)如圖,在中,,分別以、為圓心取的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn).連接、.若,則.【分析】首先根據(jù)作圖得出四邊形是菱形,然后根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可.【解答】解:連接,如圖.分別以、為圓心取的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn),,,,四邊形是菱形,,,,.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì),根據(jù)作圖得出,進(jìn)而判定四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵.15.(2023春?沭陽(yáng)縣期中)如圖,在菱形中,對(duì)角線,相交于點(diǎn),,,直線交于點(diǎn),則的長(zhǎng)為4.8.【分析】由菱形的性質(zhì)得,再由勾股定理得,然后由菱形面積公式得,即可解決問(wèn)題.【解答】解:四邊形是菱形,,,,,,,即,,故答案為:4.8.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí),熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.16.(2023春?江都區(qū)期中)如圖,菱形的對(duì)角線,相交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),連接,若,,則菱形的面積為30.【分析】由菱形的性質(zhì)得,,,則,再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出的長(zhǎng)度,然后由菱形的面積公式求解即可.【解答】解:四邊形是菱形,,,,,,,是斜邊上的中線,,菱形的面積,故答案為:30.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì),直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì),菱形的面積公式等知識(shí);熟練掌握菱形的性質(zhì),求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.17.(2023春?灌云縣月考)如圖,已知,且,請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件,答案不唯一,使成為菱形.(只需添加一個(gè)即可)【分析】可以添加條件,根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形可判定出結(jié)論.【解答】解:,,,四邊形是平行四邊形,,平行四邊形是菱形,故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定和平行四邊形的判定,能熟記菱形的判定定理是解此題的關(guān)鍵,答案不唯一.18.(2023春?吳江區(qū)期中)如圖,兩條寬都為的紙條交叉成角重疊在一起,則重疊四邊形的面積為.【分析】過(guò)點(diǎn)作于,過(guò)點(diǎn)作于,先證四邊形是平行四邊形,再證平行四邊形是菱形,然后由銳角三角函數(shù)定義求出的長(zhǎng),即可解決問(wèn)題.【解答】解:如圖,過(guò)點(diǎn)作于,過(guò)點(diǎn)作于,由題意可得,,,四邊形是平行四邊形,,,平行四邊形是菱形,,,,,,即重疊四邊形的面積為,故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)定義等知識(shí),求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.三.解答題(共8小題)19.(2023春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中)如圖,在菱形中,,分別是,邊上的點(diǎn),連接,,,且.求證:.【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.【解答】證明:四邊形是菱形,,,在與中,,,,.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握菱形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.20.(2023春?沭陽(yáng)縣期末)如圖,在中,對(duì)角線所在直線上有兩點(diǎn)、,滿足,連接、、、.(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)若,則當(dāng)30時(shí),四邊形是菱形.【分析】(1)連接,交于點(diǎn),由平行四邊形的性質(zhì)得出,,證出,由平行四邊形的判定可得出結(jié)論;(2)證明是等邊三角形,由等邊三角形的性質(zhì)得出,則四邊形是菱形,由菱形的性質(zhì)證出,,得出,由菱形的判定可得出結(jié)論.【解答】(1)證明:連接,交于點(diǎn),四邊形是平行四邊形,,,又,,即,四邊形是平行四邊形;(2)解:當(dāng)時(shí),四邊形是菱形.,,,,,是等邊三角形,,四邊形是平行四邊形,四邊形是菱形,,,,由(1)可知,四邊形是平行四邊形,四邊形是菱形.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì),熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.21.(2023春?建鄴區(qū)校級(jí)期中)如圖,在四邊形中,,,對(duì)角線,交于點(diǎn),平分,過(guò)點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接.(1)求證:四邊形是菱形.(2)若,,求的長(zhǎng).【分析】(1)根據(jù)題意先證明四邊形是平行四邊形,再由可得平行四邊形是菱形;(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出的長(zhǎng)以及,利用勾股定理求出的長(zhǎng),再根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得出,即可解答.【解答】(1)證明:,,為的平分線,,,,,,,四邊形是平行四邊形,,平行四邊形是菱形;(2)解:四邊形是菱形,對(duì)角線,交于點(diǎn),,,,,在中,,,,,在中,,為中點(diǎn),.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等知識(shí),熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.22

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