第07講菱形（3大考點(diǎn)9種題型強(qiáng)化訓(xùn)練）

第07講菱形1.經(jīng)歷探索菱形的概念與性質(zhì)的過(guò)程，在操作活動(dòng)和觀察、分析過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的主動(dòng)探究習(xí)慣和初步的審美意識(shí)，進(jìn)一步了解和體會(huì)說(shuō)理的基本方法.2.了解菱形的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用.3.掌握四邊形是菱形的條件，經(jīng)歷探索四邊形是菱形的條件，在活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的探究意識(shí)和有條理地表達(dá)能力一．菱形的性質(zhì)（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．（2）菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；④菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．（3）菱形的面積計(jì)算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積＝ab．（a、b是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度）二．菱形的判定①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；②四條邊都相等的四邊形是菱形．幾何語(yǔ)言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四邊形ABCD是菱形；③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．幾何語(yǔ)言：∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形∴平行四邊形ABCD是菱形三．菱形的判定與性質(zhì)（1）依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形．不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形．（2）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形（對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為矩形，對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為菱形．）（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法．題型一：根據(jù)菱形的性質(zhì)求角度一、單選題1．（2023下·江蘇鹽城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對(duì)角線于點(diǎn)F，E為垂足，連接，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)證明≌，進(jìn)而得出，可知，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而得出答案．【詳解】連接．∵是的垂直平分線，∴．∵，且菱形具有軸對(duì)稱性，∴．∵四邊形是菱形，∴，，∴．∵，∴≌，∴，∴，∴，∴．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形紙片中，，點(diǎn)在邊上，將菱形紙片沿折疊，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，且是的垂直平分線，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)是的垂直平分線，得到，結(jié)合得到是等邊三角形，即可得到，根據(jù)四邊形是菱形得到，根據(jù)折疊即可得到答案；【詳解】解：連接，∵是的垂直平分線，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∵菱形紙片沿折疊，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，∴，∴，故選D；【點(diǎn)睛】本題考查菱形的折疊問(wèn)題，三角形內(nèi)角和定理，菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到是等邊三角形．二、填空題3．（2023下·江蘇連云港·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，菱形中，，若對(duì)角線，則菱形的周長(zhǎng)為．

【答案】12【分析】利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定及性質(zhì)可得，再利用菱形的周長(zhǎng)計(jì)算公式即可求解．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，又，，解得：，是等邊三角形，，菱形的周長(zhǎng)為：，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題4．（2022下·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AC是對(duì)角線，∠BAC：∠ACE＝2：7，求∠B的度數(shù)．【答案】【分析】設(shè)，則，先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得，建立方程求出值，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得．【詳解】解：由題意，設(shè)，則，四邊形是菱形，，，又，，解得，，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2023下·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在菱形中，于點(diǎn)，于點(diǎn)．，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)可知，，同理可知，根據(jù)于點(diǎn)，于點(diǎn)，可知，從而得到．【詳解】解：在菱形中，，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查菱形中求角度，熟記菱形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．題型二：根據(jù)菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)一、解答題1．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接，若，，求的長(zhǎng)．

【答案】【分析】利用菱形的面積求得的長(zhǎng)度，再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解即可．【詳解】解：菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，則為的中點(diǎn)，∴由可得，∵∴又為的中點(diǎn)∴【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．2．（2023下·江蘇常州·八年級(jí)校考期中）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定證明即可；（2）利用菱形的性質(zhì)得出，即可求的面積．【詳解】（1）證明∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，即，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵四邊形是菱形，，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，,∴．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的判定解答即可．3．（2023下·江蘇南通·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線（k是常數(shù)，）與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)如圖1，將直線繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交x軸于點(diǎn)C，求直線的解析式；(3)在（2）的條件下，直線上有一點(diǎn)M，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若以A、B、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)直線的解析式為；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或；；【分析】（1）令，解得，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線交過(guò)點(diǎn)B與x軸的平行線于點(diǎn)M，交過(guò)點(diǎn)D與x軸的平行線于點(diǎn)N，證明，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為，再用待定系數(shù)法即可求解；（3）當(dāng)是邊時(shí)，點(diǎn)A向右4個(gè)單位向上2個(gè)單位得到點(diǎn)B，同樣，點(diǎn)向右4個(gè)單位向上2個(gè)單位得到，且，即可求解；當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和即可求解．【詳解】（1）解：令，解得，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）解：過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線交過(guò)點(diǎn)B與x軸的平行線于點(diǎn)M，交過(guò)點(diǎn)D與x軸的平行線于點(diǎn)N，如圖，∵，故為等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為；（3）解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，①當(dāng)是邊時(shí)，點(diǎn)A向右4個(gè)單位向上2個(gè)單位得到點(diǎn)B，同樣，點(diǎn)向右4個(gè)單位向上2個(gè)單位得到，且，則或，解得或或（不合題意的值已舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或；②當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和得：，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或；【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、三角形全等等，注意分類求解是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，將四邊形繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度α得到四邊形，此時(shí)邊與邊交于點(diǎn)P，邊與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，連接．

(1)四邊形的形狀是___________．(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形能否是菱形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)矩形(2)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或(3)四邊形不可能是菱形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)矩形的判定方法，坐標(biāo)特點(diǎn)進(jìn)行解答即可；（2）分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別畫(huà)出圖形求出結(jié)果即可；（3）延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)E，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出，證明，說(shuō)明不可能是菱形．【詳解】（1）解：∵，，，∴軸，軸，∴，∴四邊形為矩形；故答案為：矩形．（2）解：∵，，，∴，，∵四邊形為矩形，∴；當(dāng)時(shí)，

在中根據(jù)勾股定理得：，∴，∴；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，如圖所示：

∵，，∴，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，

在中根據(jù)勾股定理得：，∴；綜上分析可知，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或．（3）解：四邊形不可能是菱形，理由如下：延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)E，如圖所示：

根據(jù)解析（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∵四邊形為矩形，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴不可能是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖象，矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，并注意進(jìn)行分類討論．題型三：根據(jù)菱形的性質(zhì)求面積一、解答題1．（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)O是菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，，，連接，交于F．(1)求證：；(2)如果，，求菱形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)216【分析】（1）通過(guò)證明四邊形是矩形來(lái)推知；（2）利用（1）中的、，結(jié)合已知條件，在中，由勾股定理求得，．然后由菱形的對(duì)角線互相平分和菱形的面積公式進(jìn)行解答．【詳解】（1）解：證明：四邊形是菱形，．，，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，；（2）由（1）知，，，，在中，由勾股定理得，，，四邊形是菱形，，，菱形的面積是：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理矩形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的對(duì)角線互相垂直平分是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是菱形，對(duì)角線，交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明四邊形為平行四邊形，得出，根據(jù)菱形性質(zhì)得出即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理，先求出對(duì)角線的長(zhǎng)，再根據(jù)即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，∴，，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴．（2）解：∵四邊形是菱形，∴，，，，∴，，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題注意考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是證明是平行四邊形，記住菱形的對(duì)角線互相垂直，屬于中考?？碱}型．3．（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谀┒x：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為，那么稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．

(1)已知是“準(zhǔn)直角三角形”，，若，則______．(2)如圖，在菱形中，，，連接，若正好為一個(gè)準(zhǔn)直角三角形，求菱形的面積．【答案】(1)或(2)【分析】（1）分情況討論，從或者兩種情況討論，算出的值；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，求得，連接交于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的判定定理得到是等邊三角形．求出，得到，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出的值，最后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算出結(jié)果．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，，解得，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，，綜上所述，或；（2）解：四邊形是菱形，，，，，，正好為一個(gè)準(zhǔn)直角三角形，，，，，連接交于點(diǎn)，是等邊三角形，，，，，故，，．

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確理解“準(zhǔn)直角三角形”是解題的關(guān)鍵．題型四：根據(jù)菱形的性質(zhì)證明一、解答題1．（2023下·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知菱形，，E、F分別是、的中點(diǎn)，連接、．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求菱形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】此題主要考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)和矩形的判定，（1）可證明是等邊三角形，根據(jù)中點(diǎn)得出，進(jìn)一步求得四邊形是平行四邊形，即可得出答案；（2）利用等邊三角形求得菱形的面積．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∵E是的中點(diǎn)，∴，∴，∵E、F分別是、的中點(diǎn)，∴，，∵四邊形是菱形，∴且，∴且，則四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形；（2）∵是等邊三角形，，∴．2．（2023下·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長(zhǎng)【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到且，再證，推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，再由勾股定理得，即可得出答案．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，且，，，，，四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形是矩形；（2）解：四邊形是菱形，，，，由（1）可知，，，在中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·江蘇鹽城·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)是菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，，，連接，交于．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)5【分析】（1）根據(jù)，判定四邊形是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，從而證得四邊形是矩形；（2）由菱形的性質(zhì)可得，，，由勾股定理可得，再由矩形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，，四邊形是矩形；（2）解：四邊形是菱形，，，，，，，，四邊形是矩形，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形和菱形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．4．（2023下·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求菱形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)24【分析】（1）根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直推出，即可證明；（2）根據(jù)菱形的面積公式求解．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，，，，又，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：四邊形是平行四邊形，，菱形中，，，菱形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)和面積，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的對(duì)角線互相垂直．題型五：根據(jù)菱形的定義判定菱形1．（2023下·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形為矩形，為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交、于點(diǎn)、，連接、．

(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理．（1）由條件可先證四邊形為平行四邊形，再結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)可求得，設(shè)，在和中，分別利用勾股定理可得到關(guān)于的方程，可求得的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：為中點(diǎn)，，為的垂直平分線，，，，．∵四邊形ABCD是矩形，，，，∴，四邊形平行四邊形．又，四邊形是菱形；（2）解：∵四邊形是菱形，，，，，，設(shè)，在中，，在中，．，解得，．2．（2023下·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，中，的平分線交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，、交于點(diǎn)．

(1)則四邊形的形狀為；請(qǐng)說(shuō)明你的理由(2)僅用無(wú)刻度的直尺在的右側(cè)，邊上找一點(diǎn)，連接，使得（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；連接，，若平行四邊形的面積為，則四邊形的面積是．【答案】(1)菱形，理由見(jiàn)解析；(2)作圖見(jiàn)解析，．【分析】（）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證明，從而可得，同理可得，再由可得四邊形是菱形；（）連接，交于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求，證明，可得結(jié)論．【詳解】（1）四邊形是菱形，理由：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵的平分線交于點(diǎn)，∴，∴，∴，同理：，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

∴點(diǎn)即為所求．∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了作圖復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定，平行四邊形的判定．題型六：根據(jù)對(duì)角線互相垂直判定菱形1．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，O為平行四邊形的邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)①當(dāng)與滿足___________時(shí)，四邊形是矩形．②當(dāng)與滿足___________時(shí)，四邊形是菱形．請(qǐng)選擇一個(gè)給予證明．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①；②【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，則，由此證明得到，據(jù)此可證明結(jié)論；（2）①只需要滿足，則四邊形是矩形，由于可得，因此只需要滿足即可；②只需要滿足，即則四邊形是菱形，則只要滿足即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵O為邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：①當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，理由如下：∵四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形；②當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，理由如下：∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，菱形的判定，等腰三角形三線合一定理，熟知相關(guān)特殊四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．題型七：根據(jù)四邊相等判定菱形1．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，．

(1)作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)C；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖中，連接，連接，交于點(diǎn)O．①求證：四邊形是菱形；②取的中點(diǎn)E，連接，若，求點(diǎn)E到的距離．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②點(diǎn)E到的距離是【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的畫(huà)法，過(guò)點(diǎn)A作的垂線段并延長(zhǎng)一倍，得對(duì)稱點(diǎn)C；（2）①根據(jù)菱形的判定即可求解；②過(guò)B點(diǎn)作于F，根據(jù)菱形的性質(zhì)，勾股定理得到再根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示：點(diǎn)C即為所求；

（2）解：①證明：∵，∴，∵C是點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形是菱形；②過(guò)B點(diǎn)作于F，

∵四邊形是菱形，∴，∵E是的中點(diǎn)，，∴，∴∴，∵四邊形是菱形，∴，∵∴，∴∵故點(diǎn)E到的距離是．【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖以及軸對(duì)稱變換的作法、菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等知識(shí)，得出，的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．題型八：菱形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用1．（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)儀征市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，的平分線交線段于點(diǎn)，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，以、為鄰邊作．

(1)如圖1，證明：．(2)如圖2，若，是的中點(diǎn)，求的度數(shù)；(3)如圖3，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可證明；（2）首先證明四邊形為正方形，再證明可得，，再根據(jù)可得到的度數(shù)；（3）延長(zhǎng)交于H，連接，求證平行四邊形為菱形，得出為全等的等邊三角形，證明，即可得出答案．【詳解】（1）（1）∵平分，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴；（2）如圖，連接，

∵，四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形，∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形為菱形．∴，∴四邊形為正方形．∵，∴，∵M(jìn)為中點(diǎn)，∴，∴，在和中，∵∴，∴，．∴，∴是等腰直角三角形，∴；（3），延長(zhǎng)交于H，連接．

∵，，∴四邊形為平行四邊形，∵，平分，∴，，，∴為等腰三角形，∴，∴平行四邊形為菱形，∴為全等的等邊三角形，∴，，∵，，，∴，在與中，∵，∴，∴∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形的判定方法，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．2．（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知矩形．

(1)用直尺和圓規(guī)分別在、邊上找點(diǎn)E、F，使得四邊形是菱形；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，并給出證明．）(2)若，，求菱形的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)20【分析】（1）連接，作的垂直平分線交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形為菱形；由是的垂直平分線得，，，再證和全等得，進(jìn)而得，據(jù)此可判定四邊形為菱形；（2）設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，則菱形的的周長(zhǎng)為，在中由勾股定理求出x即可．【詳解】（1）解：連接，利用直尺和圓規(guī)作線段的垂直平分線交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，則點(diǎn)E，F(xiàn)為所求．如圖，

證明如下：設(shè)與交于點(diǎn)O，∵四邊形為矩形，∴，，∴，∵是的垂直平分線，∴，，，在和中，，∴，∴，∴，∴四邊形為菱形，∴點(diǎn)E，F(xiàn)為所求作的點(diǎn)．（2）解：設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，則菱形的的周長(zhǎng)為，在中，，，，由勾股定理得：，即：，解得：，∴菱形的的周長(zhǎng)為．答：菱形的周長(zhǎng)為20．【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本尺規(guī)作圖，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵熟練掌握利用直尺和圓規(guī)作已知線段的垂直平分線的方法與步驟，理解四條邊都相等的四邊形是菱形．3．（2023下·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)24【分析】（1）先證明，得，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等可得四邊形是平行四邊形，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：，根據(jù)菱形的判定即可證明四邊形是菱形；（2）先根據(jù)菱形和三角形的面積可得：，即可解答．【詳解】（1）證明：∵E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，D是的中點(diǎn)，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵，，，∴，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、三角形和菱形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)．題型九：根據(jù)菱形的對(duì)稱性求最小值1．（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在正方形中，，E、F分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，以、為邊作平行四邊形．

(1)如圖1，連接，交于點(diǎn)O，若．①試說(shuō)明與的關(guān)系；②線段最小值是__________；(2)如圖2，若四邊形為菱形，判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)①且，理由見(jiàn)解析；②(2)【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，再判斷和全等，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解答；②由平行四邊形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，由勾股定理可得，可得的最小值，然后求得的最小值即可解答；（2）設(shè)，再根據(jù)點(diǎn)E為中點(diǎn)菱形的性質(zhì)，再通過(guò)勾股定理即可解答．【詳解】（1）解：①：且，理由如下：∵四邊形為正方形，∴，在和中，，，∴，∵，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴且．②解：∵平行四邊形，∴，設(shè)，∵，，則，∴，即，∴的最小值為18，的最小值為，∴的最小值為．故答案為：．（2）解：設(shè)，，∵，，則，∵四邊形為菱形，∴，由勾股定理可得：，即，解得∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定、平行四邊形是解題關(guān)鍵．2．（2023下·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）在邊長(zhǎng)為6的菱形中，，點(diǎn)E、F是邊、上的點(diǎn)，連接．(1)如圖1，將沿翻折使B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在中點(diǎn)上，此時(shí)四邊形是什么四邊形？并說(shuō)明理由．(2)如圖2，若，以為邊在右側(cè)作等邊；①連接，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)度．②直接寫(xiě)出的最小值．【答案】(1)菱形，理由見(jiàn)解析；(2)①或3；②．【分析】（1），連接，先證明是等邊三角形，可知，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得出答案；（2）①作，作，先求出，，再根據(jù)證明，然后根據(jù)得出答案；當(dāng)時(shí)，根據(jù)得出答案．②先確定點(diǎn)G的位置，根據(jù)勾股定理求出答案．【詳解】（1）答：菱形，理由如下：連接，在菱形中，，∴，∴是等邊三角形，∴．在等邊中，是的中線，∴，由翻折可得，，，∴，∴，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形.又∵，∴四邊形是菱形；（2）①解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)N，在中，，，∴，．∵，，∴．∵，，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，在中，，，∴，∴，∴．綜上，的長(zhǎng)度為或3．②最小值是．如圖，根據(jù)題意可知點(diǎn)G在上，且，當(dāng)時(shí)，最短．∵，，∴，．在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．一．選擇題（共10小題）1．（2023春?金湖縣期中）菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8，它的面積為A．5 B．20 C．24 D．48【分析】根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，計(jì)算即可．【解答】解：菱形的面積為：；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，在菱形中，若，，則菱形的面積為A．20 B．24 C．26 D．32【分析】由菱形的性質(zhì)得，，，由勾股定理求出，則，由菱形面積公式即可得出答案．【解答】解：連接交于點(diǎn)，如圖所示：四邊形是菱形，，，，，，，菱形的面積，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及菱形面積公式等知識(shí)；熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知是菱形的邊上一點(diǎn)，且，那么的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】由菱形的性質(zhì)得出，，，則，得，再由三角形內(nèi)角和定理求出，即可得出答案．【解答】解：四邊形是菱形，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春?宜興市期末）如圖，下列條件之一能使平行四邊形是菱形的為①；②；③；④．A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③【分析】菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等的四邊形是菱形；③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．據(jù)此判斷即可．【解答】解：①中，，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，即可判定是矩形，而不能判定是菱形；故①錯(cuò)誤．②中，，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可判定是菱形；故②正確；③中，，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可判定是菱形；故③正確；④、中，，根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，即可判定是矩形，而不能判定是菱形；故④錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的判定與矩形的判定定理．此題難度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．5．（2023春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）如圖，在中，于，，分別是，的中點(diǎn)，連接，，當(dāng)滿足下列哪個(gè)條件時(shí)，四邊形為菱形A． B． C． D．【分析】可根據(jù)三角形的中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定，分析得出當(dāng)滿足條件或時(shí)，四邊形是菱形．【解答】解：要使四邊形是菱形，則應(yīng)有，，分別為，的中點(diǎn)，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)應(yīng)是的中點(diǎn)，而，應(yīng)是等腰三角形，應(yīng)添加條件：或．則當(dāng)滿足條件或時(shí)，四邊形是菱形．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是菱形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．6．（2023春?江都區(qū)月考）如圖，菱形對(duì)角線，，則菱形高長(zhǎng)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出、，然后利用勾股定理列式求出，再根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半和底乘以高兩種方法列式計(jì)算即可得解．【解答】解：菱形對(duì)角線，，，，，根據(jù)勾股定理，，菱形的面積，即，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)菱形的面積的兩個(gè)求解方法列出方程是解題的關(guān)鍵．7．（2023春?海陵區(qū)期中）菱形的周長(zhǎng)為，則菱形的面積的最大值為A． B． C． D．【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出菱形的邊長(zhǎng)，可設(shè)，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)三角形面積公式可求菱形的面積的最大值．【解答】解：菱形的周長(zhǎng)為，菱形的邊長(zhǎng)是，設(shè)，由勾股定理可得，菱形的面積，當(dāng)時(shí)，菱形的面積的最大值是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出的長(zhǎng)．8．（2023春?吳江區(qū)月考）在下列條件中，能判定平行四邊形為菱形的是A． B． C． D．【分析】由菱形的判定和矩形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：、，，平行四邊形為矩形，故選項(xiàng)不符合題意；、，平行四邊形為矩形，故選項(xiàng)不符合題意；、，平行四邊形為菱形，故選項(xiàng)符合題意；、由，不能判定平行四邊形為菱形，故選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定．熟記菱形的判定是解題的關(guān)鍵．9．（2023春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是A．平行四邊形的對(duì)角線互相垂直 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 C．菱形的對(duì)角線相等 D．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形【分析】由菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：、平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故選項(xiàng)不符合題意；、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)不符合題意；、菱形的對(duì)角線互相垂直平分，故選項(xiàng)不符合題意；、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知菱形與菱形全等，菱形可以看作是菱形經(jīng)過(guò)怎樣的圖形變化得到？下列結(jié)論：①經(jīng)過(guò)1次平移和1次旋轉(zhuǎn)；②經(jīng)過(guò)1次平移和1次翻折；③經(jīng)過(guò)1次旋轉(zhuǎn)，且平面內(nèi)可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)共有3個(gè)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】依據(jù)旋轉(zhuǎn)變換以及軸對(duì)稱變換，分別畫(huà)圖可得結(jié)論．【解答】解：①如圖1，先將菱形向右平移，再繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，故①正確；②如圖2，將菱形先平移，再沿直線翻折可得菱形，故②正確；③如圖3，經(jīng)過(guò)1次旋轉(zhuǎn)，且平面內(nèi)可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)有和，共有2個(gè)，故③不正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和幾何變換，在軸對(duì)稱變換下，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)直線（段或者平行，或者交于對(duì)稱軸，且這兩條直線的夾角被對(duì)稱軸平分．在旋轉(zhuǎn)變換下，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．二．填空題（共8小題）11．（2023春?鹽城月考）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是菱形．若點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是．【分析】過(guò)、作軸，軸，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再證明，可得，然后可得點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：過(guò)、作軸，軸，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，四邊形是菱形，，，，軸，軸，，在和中，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形四邊相等．12．（2023春?東臺(tái)市期中）已知：一菱形的面積為，一條對(duì)角線長(zhǎng)為，則該菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，菱形面積．、是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度），進(jìn)而得出答案．【解答】解：一菱形的面積為，一條對(duì)角線長(zhǎng)為，該菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及整式的除法，正確掌握菱形面積求法是解題關(guān)鍵．13．（2023春?玄武區(qū)期中）如圖，將沿射線方向平移得到，當(dāng)滿足條件時(shí)（填一個(gè)條件），能夠判定四邊形為菱形．【分析】由題意可證四邊形是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定，可得滿足條件．【解答】解：滿足條件為將沿射線方向平移得到，四邊形是平行四邊形平行四邊形是菱形．故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定，平移的性質(zhì)，熟練運(yùn)用平移的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．14．（2023春?建鄴區(qū)校級(jí)期中）如圖，在中，，分別以、為圓心取的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)．連接、．若，則．【分析】首先根據(jù)作圖得出四邊形是菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：連接，如圖．分別以、為圓心取的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，，，，四邊形是菱形，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)作圖得出，進(jìn)而判定四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵．15．（2023春?沭陽(yáng)縣期中）如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，直線交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為4.8．【分析】由菱形的性質(zhì)得，再由勾股定理得，然后由菱形面積公式得，即可解決問(wèn)題．【解答】解：四邊形是菱形，，，，，，，即，，故答案為：4.8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023春?江都區(qū)期中）如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，，則菱形的面積為30．【分析】由菱形的性質(zhì)得，，，則，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出的長(zhǎng)度，然后由菱形的面積公式求解即可．【解答】解：四邊形是菱形，，，，，，，是斜邊上的中線，，菱形的面積，故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)，菱形的面積公式等知識(shí)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．17．（2023春?灌云縣月考）如圖，已知，且，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，答案不唯一，使成為菱形．（只需添加一個(gè)即可）【分析】可以添加條件，根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形可判定出結(jié)論．【解答】解：，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定和平行四邊形的判定，能熟記菱形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，答案不唯一．18．（2023春?吳江區(qū)期中）如圖，兩條寬都為的紙條交叉成角重疊在一起，則重疊四邊形的面積為．【分析】過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，先證四邊形是平行四邊形，再證平行四邊形是菱形，然后由銳角三角函數(shù)定義求出的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，由題意可得，，，四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形是菱形，，，，，，即重疊四邊形的面積為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）19．（2023春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）如圖，在菱形中，，分別是，邊上的點(diǎn)，連接，，，且．求證：．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：四邊形是菱形，，，在與中，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．20．（2023春?沭陽(yáng)縣期末）如圖，在中，對(duì)角線所在直線上有兩點(diǎn)、，滿足，連接、、、．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，則當(dāng)30時(shí)，四邊形是菱形．【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，由平行四邊形的性質(zhì)得出，，證出，由平行四邊形的判定可得出結(jié)論；（2）證明是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出，則四邊形是菱形，由菱形的性質(zhì)證出，，得出，由菱形的判定可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：連接，交于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，，又，，即，四邊形是平行四邊形；（2）解：當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形．，，，，，是等邊三角形，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，，，由（1）可知，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2023春?建鄴區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形中，，，對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求證：四邊形是菱形．（2）若，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)題意先證明四邊形是平行四邊形，再由可得平行四邊形是菱形；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出的長(zhǎng)以及，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得出，即可解答．【解答】（1）證明：，，為的平分線，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形；（2）解：四邊形是菱形，對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，，，在中，，，，，在中，，為中點(diǎn)，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22