河南省多校2023-2024學年高一下學期4月期中聯(lián)考試題數(shù)學

絕密★啟用前試卷類型：A2023—2024學年（下）高一年級期中考試數(shù)學考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則復數(shù)（）A.B.C.D.2.一個圓柱的側面展開圖是長為4，寬為2的矩形，則該圓柱的軸截面的面積為（）A.32B.C.D.3.若在已知和的條件下，有兩個解，則的取值范圍是（）A.B.C.D.4.如圖所示，水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖為，其中，，那么為（）A.等邊三角形B.等腰直角三角形C.鈍角三角形D.三邊互不相等的三角形5.已知平面向量，則在上的投影向量為（）A.B.C.D.6.在中，邊上的中線為，點滿足，則（）A.B.C.D.7.一個高為的圓錐形容器（容器壁厚度忽略不計）內部能完全容納的最大球的半徑為，若，則這個圓錐的體積與這個最大球的體積之比為（）A.B.C.D.8.在中，已知為銳角，，若的最小值為，則（）A.B.C.D.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.存在只有三個面的多面體B.平行六面體的六個面都是平行四邊形C.長方體是直四棱柱D.棱臺的側面都是梯形10.如圖，已知長方形中，，則（）A.的最小值為2B.當時，與的夾角余弦值為C.當時，D.對任意的11.已知銳角三角形的內角所對的邊分別是，且的外接圓半徑為，，則（）A.B.C.D.面積的最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一個正四棱錐的底面邊長為1，高為，則該正四棱錐的表面積為__________.13.已知復數(shù)，若為純虛數(shù)，則實數(shù)__________.14.如圖，在多面體中，已知是邊長為2的正方形，且均為正三角形，則該多面體的體積為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）（1）已知復數(shù)在復平面內對應的點在第一象限，，且，求；（2）已知復數(shù)在復平面內對應的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍.16.（15分）如圖，已知在中，是邊的中點，且，設與交于點.記，（1）用表示向量；（2）若，且，求.17.（15分）如圖（1）所示，四邊形為水平放置的四邊形的斜二測直觀圖，其中.（1）在圖（2）所示的直角坐標系中畫出四邊形，并求四邊形的面積；（2）若將四邊形以直線為軸旋轉一周，求旋轉形成的幾何體的體積及表面積.18.（17分）如圖，已知四面體的棱長均為6，棱的中點分別為，用平面截四面體，得到三棱臺.（1）求三棱臺的體積；（2）若為棱上的動點，求的最小值，并求取最小值時線段的長度.19.（17分）在中，內角所對的邊分別為，已知.（1）求的外接圓面積；（2）若為的內心，求周長的最大值.2023—2024學年（下）高一年級期中考試數(shù)學（A卷）答案一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.答案A命題意圖本題考查復數(shù)的基本運算.解析.2.答案D命題意圖本題考查圓柱的基本性質.解析若4為底面周長，則圓柱的高為2，此時圓柱的底面直徑為，其軸截面的面積為；若2為底面周長，則圓柱的高為4，此時圓柱的底面直徑為，其軸截面的面積為.3.答案C命題意圖本題考查解三角形的應用.解析因為三角形有兩個解，所以，所以，即.4.答案B命題意圖本題考查斜二測畫法的概念.解析根據(jù)斜二測畫法還原，則，且，所以為等腰直角三角形.5.答案A命題意圖本題考查平面向量的投影向量以及向量的坐標運算.解析因為，所以，所以在上的投影向量為.6.答案A命題意圖本題考查平面向量的線性運算.解析為的中點，7.答案D命題意圖本題考查球與圓錐的基本結構和相關計算.解析作圓錐的軸截面，如圖，由題可知，圓錐的底面半徑，則，所以8.答案C命題意圖本題考查平面向量的綜合運算.解析設的內角的對邊分別為.因為，所以當時，取得最小值，則，所以，又為銳角，故.因為，所以，所以，所以，所以.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.答案BCD命題意圖本題考查空間幾何體的相關概念.解析面數(shù)最少的多面體是三棱錐，它有四個面，故A錯誤；由平行六面體的定義知，平行六面體的六個面都是平行四邊形，故B正確；長方體的側棱都和底面垂直，所以是直四棱柱，故C正確；由棱臺的結構特征知，棱臺的側面都是梯形，故D正確.10.答案AC命題意圖本題考查平面向量的綜合運算.解析以為坐標原點，分別以向量的方向為軸的正方向建立平面直角坐標系，則.對于，因為，所以，當，即時，有最小值，且最小值為2，故A正確；對于，當時，與的夾角余弦值為，故B錯誤；對于C，當時，，而，故C正確；對于，當時，有最小值，且最小值為，當或1時，的值為1，所以對任意的，故D錯誤.11.答案BC命題意圖本題考查正弦定理與余弦定理的應用.解析由正弦定理可得，又，所以，結合條件可知，故C正確.因為，所以，因為是銳角三角形，所以，故錯誤，正確.由余弦定理，得，所以，又，所以，解得，當且僅當時，等號成立，所以，則面積的最大值為，故D錯誤.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.答案4命題意圖本題考查棱錐的基本結構.解析如圖，四棱錐為正四棱錐，高，底面邊長.過點作，垂足為，連接，則斜高.所以正四棱錐的表面積.13.答案8命題意圖本題考查復數(shù)的相關概念和四則運算.解析因為為純虛數(shù)，所以且，得.14.答案命題意圖本題考查簡單的組合體的體積計算.解析如圖，分別過點作的垂線，垂足分別為，連接，則平面將多面體分成兩個同樣的三棱錐和一個直三棱柱，容易求得，取的中點，連接，易得多面體的體積四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.命題意圖本題考查復數(shù)的四則運算?幾何意義.解析（1）設，由題意得解得.復數(shù)在復平面內對應的點在第一象限，..（2），依題意可得解得.實數(shù)的取值范圍是.16.命題意圖本題考查平面向量在幾何問題中的應用.解析（1），，.（2）三點共線，由得，，即，，.另解：.17.命題意圖本題考查斜二測畫法的概念以及旋轉體的有關計算.解析（1）在直觀圖中，則在四邊形中，所以四邊形如圖所示：由圖可知，四邊形為直角梯形，所以面積為.（2）直角梯形以直線為軸，旋轉一周形成的幾何體可以看成圓柱加上一個同底的圓錐，由（1）可知幾何體的底面圓半徑，圓柱的高，圓錐的高，母線長.所以該幾何體的體積.表面積.18.命題意圖本題考查棱錐與棱臺的結構特征以及相關計算.解析（1）作點在平面內的射影，連接.根據(jù)題意可知，是等邊三角形的中心，則，，即四面體的高為.所以，所以.（2）如圖所示，將平面與展開到同一平面，可知.在中，，由余弦定理得，即.由已知得點到的距離是點到的距離的2倍，所以，所以，在中，設，由