浙江省重點(diǎn)中學(xué)四校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)四校聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科試題卷考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)（填涂）；3.所有答案必須寫(xiě)在答題卷上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的）1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接計(jì)算得到，然后根據(jù)虛部的定義即可.【詳解】，所以.故選：B.2.已知向量，，若與共線，則（）A. B.4 C. D.或4【答案】D【解析】【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示，再解方程即可.【詳解】由兩向量共線可知，即，解得或.故選：D.3.如圖，的斜二測(cè)直觀圖為等腰直角三角形，其中，則的面積為（）A. B. C.6 D.【答案】D【解析】【分析】將直觀圖還原為原圖，如圖，求出，進(jìn)而求出，即可求解.【詳解】將直觀圖還原為原圖，如圖，由，，所以，所以，則，即原平面圖形的面積是．故選：D4.某同學(xué)堅(jiān)持夜跑鍛煉身體，他用記錄了連續(xù)周每周的跑步總里程（單位：千米），其數(shù)據(jù)分別為17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（）A.12 B.16 C.17 D.18.5【答案】C【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，再根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】依題意這個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為：，，，，，，，，，，又，所以分位數(shù)為從小到大排列的第八個(gè)數(shù)，即為.故選：C5.已知，，分別是三內(nèi)角，，的對(duì)邊，則“”是“為直角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】在中，由，利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和及三角形內(nèi)角取值范圍求出，所以“”是“為直角三角形”的充分條件；舉出反例可以說(shuō)明“”不是“為直角三角形”的必要條件；最后選出答案即可.【詳解】在中，由正弦定理可得：，由，可得：，所以，因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以為直角三角形，故“”是“為直角三角形”的充分條件；若為直角三角形，設(shè)，，則，所以，所以，所以“”不是“為直角三角形”的必要條件；即“”是“為直角三角形”的充分不必要條件.故選：A.6.某同學(xué)有一個(gè)形如圓臺(tái)的水杯如圖所示，已知圓臺(tái)形水杯的母線長(zhǎng)為6cm，上?下底面圓的半徑分別為4cm和2cm.為了防燙和防滑，水杯配有一個(gè)杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如圖中陰影部分所示，則杯套的表面積為（不考慮水杯材質(zhì)和杯套的厚度）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意得到杯套的形狀可看作一個(gè)圓臺(tái)，求出該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)及上、下底面圓的半徑，然后結(jié)合圓臺(tái)的側(cè)面積公式、圓的面積公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意，杯套的形狀可看作一個(gè)圓臺(tái)，且該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是圓臺(tái)形水杯的母線長(zhǎng)的，即4cm，下底面圓的半徑為圓臺(tái)形水杯的下底面圓的半徑，即2cm，上底面圓的半徑是，所以杯套的表面積.故選：C.7.如圖，平行四邊形中，，.現(xiàn)將沿起，使二面角大小為120°，則折起后得到的三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出輔助線，找到二面角的平面角，并得到球心的位置，利用半徑相等得到方程，求出外接球半徑，得到表面積.【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，兩直線相交于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，⊥，則⊥，由于⊥，故即為二面角平面角，則，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因?yàn)椤停?，，平面，故⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，又，平面，則⊥平面，，取的中點(diǎn)，則外接球球心在平面的投影為，即⊥平面，連接，，則，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，則，，，由余弦定理得，設(shè)，則，故，由勾股定理得，，故，解得，故外接球半徑為，外接球表面積為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑8.正方形邊長(zhǎng)為1，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，滿足的點(diǎn)的軌跡分別與，交于，兩點(diǎn)，令，分別為和方向上的單位向量，，為任意實(shí)數(shù)，則的最小值為（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題意確定，的位置，然后設(shè)，利用平面向量的減法運(yùn)算可得，，，最后求點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，計(jì)算長(zhǎng)度即可得到答案.【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡與相交于，即，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡與相交于，即.設(shè)，則，，.于是,設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，所以點(diǎn)共線的時(shí)候取得最小值，即.故選：B.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.設(shè)是不同的直線，是不同的平面，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，B，D選項(xiàng)，可以舉出相應(yīng)的反例否定，而C選項(xiàng)可以直接證明.【詳解】對(duì)于A，若，，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，，則，從而有，，但不滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，，所以，因?yàn)槭遣煌钠矫?，所以，故C正確；對(duì)于D，若，，則或或與斜交，故D錯(cuò)誤.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)空間中的位置關(guān)系的判定.10.已知，，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.有最小值 B.有最小值C.有最小值 D.有最小值【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A，直接利用基本不等式式即可；對(duì)于B，利用乘“1”法即可；對(duì)于C，代換，再利用乘“1”法即可；對(duì)于D，化簡(jiǎn)表達(dá)式得到，再利用和不能同時(shí)為零即可否定結(jié)論.詳解】對(duì)于A，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，有，而由于和不相等，從而它們不能同時(shí)為零，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于使用基本不等式及不等式的性質(zhì)求出或否定最值.11.如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（）A.存在點(diǎn)使得B.若點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.若點(diǎn)滿足平面時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是正六邊形D.當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足時(shí)，二面角的最大值為60°【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)各選項(xiàng)的條件，分別確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，判斷軌跡的形狀，求軌跡周長(zhǎng)，求二面角，進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)A：如圖：當(dāng)點(diǎn)位于邊上時(shí)，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；對(duì)B：如圖：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)軌跡為矩形，其中分別為，中點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)軌跡的周長(zhǎng)為：，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：如圖：當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)軌跡是正六邊形，其中均為棱的中點(diǎn)，故C正確；對(duì)D：如圖：當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足時(shí)，點(diǎn)軌跡是以為圓心，以1為半徑圓弧，則即為二面角的平面角，所以當(dāng)與的中點(diǎn)重合時(shí)，二面角取得最大值，此時(shí)，因?yàn)?，所?故D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題經(jīng)常利用不動(dòng)點(diǎn)的位置和動(dòng)點(diǎn)位置關(guān)系，利用線面、面面平行或垂直的判定定理和性質(zhì)定理，找出動(dòng)點(diǎn)的軌跡進(jìn)而計(jì)算出其軌跡長(zhǎng)度.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知向量滿足，則向量在上的投影向量為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】由投影向量的公式計(jì)算可得.【詳解】，又在上的投影向量為，故答案為：.13.若，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】3【解析】【分析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義確定復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，問(wèn)題化為圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大值，即可得結(jié)果.【詳解】令且，又，所以，即，所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓上，又表示圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而圓心到原點(diǎn)距離為，所以的最大值為.故答案為：314.在中，，，的外接圓為圓O，P為圓O上的點(diǎn)，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由已知條件利用三角形面積公式，向量的數(shù)量積和三角恒等變換，得，，的外接圓半徑，，由向量的模和夾角討論運(yùn)算結(jié)果的取值范圍.【詳解】，又，由，解得，由，得，則有，.，則有，，則有，所以有，，的外接圓為圓O，P為圓O上的點(diǎn)，由正弦定理得的外接圓半徑，則有，，，，為中點(diǎn)，，，當(dāng)與方向相同時(shí)，有最大值，當(dāng)與方向相反時(shí)，有最小值，所以的最大值為，最小值為，即的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用，本題利用向量數(shù)量積的定義結(jié)合了圖形幾何性質(zhì)求解.四、解答題（本題共5題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）求樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)；（3）已知落在的平均成績(jī)是56，方差是7，落在的平均成績(jī)?yōu)?5，方差是4，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差.【答案】（1）；（2）84；（3）平均值62，方差23.【解析】【分析】（1）利用每組小矩形的面積之和為1即可求得a的值.（2）利用頻率分布直方圖結(jié)合第75百分位數(shù)的求法即可求得答案.（3）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式可求得兩組成績(jī)的總平均數(shù)；根據(jù)由樣本方差計(jì)算總體方差公式可求得兩組成績(jī)的總方差.【小問(wèn)1詳解】由每組小矩形的面積之和為1得，所以.【小問(wèn)2詳解】成績(jī)落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，顯然第75百分位數(shù)，由，解得，所以第75百分位數(shù)為84.【小問(wèn)3詳解】由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，所以；由樣本方差計(jì)算總體方差公式，得總方差為.16.如圖，在直三棱柱中，，，四邊形為正方形.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，然后結(jié)合面面垂直的判定定理即可得證；（2）根據(jù)定義得出為二面角的平面角，結(jié)合解三角形知識(shí)即可得解.【小問(wèn)1詳解】由平面為正方形，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，所以，又，且，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面平?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橹苯侨切沃校?所以，所以為等邊三角形.又因?yàn)闉榈妊切?所以取得中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，所以為二面角的平面角.因?yàn)橹苯侨切沃校?在等邊三角形中，所以在三角形中，.所以二面角的余弦值為.17.請(qǐng)從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答（如未作出選擇，則按照選擇①評(píng)分.選擇的編號(hào)請(qǐng)?zhí)顚?xiě)到答題卡對(duì)應(yīng)位置上）在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，若______，（1）求角的大小；（2）若，為邊上一點(diǎn)，，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若選①，則由正弦定理、三角恒等變換可得，由此即可得解；若選②，則由正弦定理、余弦定理可得，由此即可得解；若選③，則由正弦定理三角恒等變換可得，進(jìn)一步即可得解.（2）在中，由余弦定理得，對(duì)，兩邊平方整理得，聯(lián)立解出，結(jié)合三角形面積公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】若選①，因?yàn)?，由正弦定理得，即，所以，由，得，所以，即，因?yàn)椋?若選②，由，化簡(jiǎn)得.由正弦定理得：，即，所以.因?yàn)椋?若選③，由正弦定理得，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，?【小問(wèn)2詳解】由（1）知，且，在中，由余弦定理得，即①，由于，所以，平方，即②.由①②得：，，所以的面積為，即所求面積為.18.在菱形中，，以為軸將菱形翻折到菱形，使得平面平面，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面平行的判定定理證明平面平面，從而根據(jù)線面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）法1：根據(jù)面面垂直得線面垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解線面夾角即可；法2：根據(jù)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，利用等體積轉(zhuǎn)化求解到平面的距離，從而轉(zhuǎn)化求解直線與平面所成角得正弦值.【小問(wèn)1詳解】平面平面平面.同理可得平面.又平面，平面平面.平面平面.【小問(wèn)2詳解】法1：取中點(diǎn)，易知.平面平面，平面平面，又平面，平面.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則.從而，得.又，設(shè)平面的法向量，有，得，解得，取，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.法2：取中點(diǎn)，則是平行四邊形，所以.從而與平面所成角即為與平面所成角，設(shè)為.過(guò)作交于，過(guò)作交于，過(guò)作交于.因平面平面，平面平面，又平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，從而平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，從而平?所以的長(zhǎng)即為到平面的距離.由，可得.又，所以到平面的距離設(shè)為即為到平面的距離，即.又，可得.在中，，所以，得.所以