【北京卷】北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考（10.5-10.7）數(shù)學(xué)試卷+解析

數(shù)學(xué)試題1.設(shè)集合M={2m-1,m-3}，若-3∈M，則實數(shù)m=()A.0B.-1C.0或-1D.0或1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論2m-1=-3和m-3=-3兩種情況，求解m并檢驗集合的互異性，可得到答案.【詳解】設(shè)集合M={2m-1,m-3}，若-3∈M，:-3∈M，:2m-1=-3或m-3=-3，當(dāng)2m-1=-3時，m=-1，此時M={-3,-4}；當(dāng)m-3=-3時，m=0，此時M={-3,-1}；所以m=-1或0.故選：CA.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=n2-2n【答案】A【解析】【分析】等差數(shù)列通項公式與前n項和公式．本題還可用排除，對B，5S45【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關(guān)于首項與公差的方程，解出首項與公差，在適當(dāng)計算即可做了判斷.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指對數(shù)的性質(zhì)，分別求三個數(shù)的范圍，再比較大小.1.50.30.3故選：B【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則計算出=2i，求出模長.2故選：D5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù)的是()A.B.C.y=lgxD.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)和指對函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，逐一檢驗選項，得出答案.選項A，y=是非奇非偶函數(shù)，是區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù)，錯誤；選項B，y=是偶函數(shù)，是區(qū)間(0,+∞)上的減函數(shù)，錯誤；選項C，y=lgx是偶函數(shù)，是區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù)，正確；選項D，y=是奇函數(shù)，是區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù)，錯誤；故選：CA.6B.5C.5D.6【答案】C【解析】出實數(shù)t的值. 2222故選：C.A.若a+b=0，則f(x)為奇函數(shù)B.若a+b=，則f(x)為偶函數(shù)C.若ba=，則f(x)為偶函數(shù)D.若ab=π,則f(x)為奇函數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)選項中a,b的關(guān)系，代入f(x)的解析式，對AD用特值說明f(x)不是奇函數(shù)，對BC用奇偶性的定義驗證即可.【詳解】f(x)的定義域為R，f(0)=cosa一sina=0不恒成立，故f(x)不是奇函數(shù)；f(x)，故f(x)為偶函數(shù)，B正確；故f(x)不是偶函數(shù)，故C錯誤；若f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=0，而f(0)=一cosb+sinb=0不恒成立，故f(x)不是奇函數(shù)；故選：B,若對任意的x≤1有f(x+2m)+f(x)>0恒成立，則實數(shù)m的取值A(chǔ).【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義證明f(x)為奇函數(shù)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的性質(zhì)化簡不等式可得m的取值范圍.函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，又當(dāng)x>0時，f(x)=·為單調(diào)遞減函數(shù)，所以不等式f(x+2m)+f(x)>0可化為f(x+2m)>f(一x)，由已知對任意的x≤1有x<-m恒成立，所以1<-m，即m<-1，故m的取值范圍是(-∞,-1).故選：A. A.3-1B.3+1C.2D.2-3【答案】A【解析】【分析】先確定向量a-、b-所表示的點的軌跡，一個為直線，一個為圓，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求最小值..re2222 因此，-的最小值為圓心(2,0)到直線y=±、i3x的距離=v3減去半徑1，為s3-1.選A.【點睛】以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運算，將問題轉(zhuǎn)化為解方程、解不等式、求函數(shù)值域或直線與曲線的位置關(guān)系，是解決這類問題的一般方法.10.已知函數(shù)f(x)=·+k，若存在區(qū)間[a,b]，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域為[a+1,b+1]則實數(shù)k的取值范圍為()A.(-1,+∞)B.(-1,0]【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知即得故可知··,ib+1是方程x2-x-k=0的兩個不同非負實根，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求出.【詳解】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知即可得到即可知·a+1,·b+1是方程x2-x-k=0的兩個不同非負實根，所以故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：利用函數(shù)的單調(diào)性以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.【答案】##0.5【解析】【分析】由三角函數(shù)定義得到cosα=再由誘導(dǎo)公式求出答案.【詳解】由三角函數(shù)定義得cosα=由誘導(dǎo)公式得=cosα=故答案為：12.記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若Sn=2an+1，則S6=.【答案】-63【解析】【分析】首先根據(jù)題中所給的Sn=2an+1，類比著寫出Sn+1從而確定出數(shù)列{an}為等比數(shù)列，再令n=1，結(jié)合a1,S1的關(guān)系，求得a1=-1，之后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求得S6的值.所以數(shù)列{an}是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以=-63，故答案是-63.點睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的求和問題，在求解的過程中，需要先利用題中的條件，類比著往后寫一個式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項之間的關(guān)系，從而確定出該數(shù)列是等比數(shù)列，之后令n=1，求得數(shù)列的首項，最后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求解即可，只要明確對既有項又有和的式子的變形方向即可得結(jié)果.【解析】況，得到不等式，求出答案.14.若函數(shù)f(x)=Acosx-sinx(A>0)的最大值為2，則A=，f(x)的一個對稱中心為_______答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式對函數(shù)f(x)進行化簡，再根據(jù)最大值求出A，最后利用余弦型函數(shù)求出對稱中心.又函數(shù)f(x)的最大值為2，則·=2， (π)故答案為：3，|(3,0, (π)15.對于函數(shù)y=f(x)，若在其定義域內(nèi)存在x0，使得x0f(x0)=1成立，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P.（1）下列函數(shù)中具有性質(zhì)P的有.①f(x)=-2x+2（2）若函數(shù)f(x)=alnx具有性質(zhì)P，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】①.①②④②.a＞0或a≤-e.【解析】（2）問題轉(zhuǎn)化為方程xlnx=有根，令g(x)=xlnx，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，得所令函數(shù)的單調(diào)性及最值，由此可求得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】解1）在x≠0時，有解，即函數(shù)具有性質(zhì)P，令-2x+2，即-2x2+2·i2x-1=0，)具有性質(zhì)P；令此方程無解不具有性質(zhì)P；)有交點，所以ln有根，所以綜上所述，具有性質(zhì)P的函數(shù)有：①②④;（2）f(x)=alnx具有性質(zhì)P，顯然a≠0，方程xlnx=有根，'g當(dāng)-1<x<時，g'所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)x>時， 上單調(diào)遞增，'g(x)>0，所以g(x)在【點睛】方法點評：解決本題的關(guān)鍵是審清題意，把方程的解轉(zhuǎn)化為兩個圖象有交點，本題考查的是方程的根，新定義，函數(shù)的值域，是方程和函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度比較大.已知，使VABC存在且唯一確定，并解決下面的問題：（1）求角B的大小；（2）3或4（2）求VABC的面積.2兀（2）VABC的面積為1.【解析】【分析】（1）選①,利用三邊關(guān)系可判斷VABC不存在；選②：利用余弦定理可求得角B的值；選③：利用正弦定理可求得tanB的值，結(jié)合角B的取值范圍可求得角B的值；（2）利用余弦定理可求得c的值，再利用三角形的面積公式可求得VABC的面積.【小問1詳解】選①：因為c=4，則a+b<c，則VABC不存在；2選③：:acosB=bsinA，則sinAcosB=sinAsinB，【小問2詳解】17.已知Sn是等差數(shù)列{αn}的前n項和，S5=a11=20，數(shù)列{bn}是公比大于1的等比數(shù)列，且b=b6，（1）求數(shù)列{αn}和{bn}的通項公式；設(shè)cn=，求使cn取得最大值時n的值.n【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項及前n項和公式求出首項與公差，即可求出數(shù)列{αn}的通項公式，再求出數(shù)列{bn}的首項與公比，即可得{bn}的通項公式；（2）先求出{cn}的通項，再利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可得出答案.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{αn}的公差為d，設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>1)，則，解得所以bn=2n；【小問2詳解】234，0,c4c5所以當(dāng)n=3或4時，cn取得最大值.（1）求f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）若函數(shù)y=f(x)一a在x∈[,]存在零點，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】【分析】（1）化簡函數(shù)=3sin結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程上有解，以2x一為整體，結(jié)合正弦函數(shù)圖象運算求解.【小問1詳解】,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T==π,令-+2kπ￡2x-￡+2kπ,k?Z，則-+kπ#x+kπ,kZ，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】a3故實數(shù)a的取值范圍是[0,3].（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）當(dāng)a>0時，求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上有且僅有一個零點.當(dāng)a>0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明過程見解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，然后通過對a分情況討論，研究導(dǎo)數(shù)的符號研究函數(shù)的單調(diào)性2）結(jié)合第一問的結(jié)果，判斷出函數(shù)在(0,1)上的單調(diào)性，然后結(jié)合端點處的函數(shù)值的符合證明【小問1詳解】當(dāng)a=0時，f,，由f,>0得：x<2，故此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為(|(一,2),當(dāng)a>0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】由（1）可知，當(dāng)a>0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，而，所以f在上所以f(0).f(1)<0，由零點存在性定理可得函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上有且僅有一個零點（1）求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；（2）求f(x)在區(qū)間[一1,1]上的最大值；（3）設(shè)實數(shù)a使得f(x)+x>aex對x∈R恒成立，寫出a的最大整數(shù)值，并說明理由.（3）2，理由見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出f(0)，即可得出切線方程；（2）求出函數(shù)在區(qū)間[一1,1]上的單調(diào)性，求出最值即可；數(shù)的單調(diào)性和最小值，進而得證.【小問1詳解】所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=一x.【小問2詳解】令g(x)在[1,1]上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x∈(1,x0)時，f,(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；1)時，f,(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以max=f【小問3詳解】理由如下：不等式f(x)+x>aex恒成立等價于a<sinx一恒成立. xeh,(x)與h(x)的情況如下：x1h,(x)一0+h(x)1e(1)=，當(dāng)x趨近正無窮大時，h(x)<0，且h(x)無限趨近于0，因為sinx∈[1,1]，所以φ(x)的最小值小于1且大于2.（1）對于數(shù)列{an}：1,2,3，列出集合T的所有元素；（2）若an=2n是否存在i,j∈N*，使得S(i,j