復(fù)習(xí)平行四邊形（備作業(yè)）2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊系列（人教版）（解析版）

專題復(fù)習(xí)平行四邊形

一、單選題

1.(2022?江蘇,八年級專題練習(xí))已知，如圖長方形八8CD中，AB=3,4)=9,將此長方形折疊，使

點(diǎn)8與點(diǎn)D重合，折痕為EF,則ABEF的面積為()

A.6B.7.5C.12D.15

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，BE=DE,設(shè)A￡=x,則￡D=8E=9-x,在直角△A8E中，根據(jù)勾股定理可得3?

+/=(9-x)2,即可得到8E的長度，由翻折性質(zhì)可得，NBEF=NFED,由矩形的性質(zhì)可得NFED=N

BFE,即可得出△外「是等腰三角形，BE=BF,即可得出答案.

【詳解】

解：設(shè)AE=x,貝I]￡D=8E=9-x,

根據(jù)勾股定理可得，3?+*=(9-x)2,

解得：x=4,

由翻折性質(zhì)可得，NBEF=NFED,

'."AD//BC,

:.NFED=NBFE,

：.ZBEF=ZBFE,

：.BE=BF=5,

.?.5z8FE=，x5x3=7.5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了翻折的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，熟練應(yīng)用相關(guān)知識進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

2.（2022?江蘇梁溪?八年級期末）如圖，在△A8C中，AB=AC,8D=CD,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接?！?

若△ABC的周長為20cm,則aCDE的周長為（）

A.10cmB.12cmC.14cmD.16cm

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理求出根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案.

【詳解】

解：?.?點(diǎn)￡為AC的中點(diǎn)，

：.AE=CE,

：BD=CD,

.\Df=yAB,

,/A4BC的周長為20,即AB+BC+AC=20cm,

：.ACDE=DE+CD+CE=1(AB+BC+AC)=10cm,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的

關(guān)鍵.

3.(2022?浙江上城?八年級期末)在RhABC中，ZACB=90°,分別以A點(diǎn)，8點(diǎn)為圓心以大于;A8為

半徑畫弧，兩弧交于￡,F,連接瓦■交A3于點(diǎn)。，連接C。，以C為圓心，8長為半徑作弧，交AC于

G點(diǎn)，則CG:A8=()

A.1：A/5B.1：2C.1:6D,1：72

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)尺規(guī)作圖可知EF是A8的垂直平分線，從而CD=CG=；AB,然后可求CG：A8的值.

【詳解】

解：根據(jù)尺規(guī)作圖可知EF是AB的垂直平分線,

二。是中點(diǎn),

：.CD=CG=-AB,

2

：.CG：AB=-AB：AB=1:2,

2

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了尺規(guī)作圖-作線段的垂直平分線，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊的

中線的中線等于斜邊的一半是解本題的關(guān)鍵.

4.（2022?廣西博白?九年級期末）如圖，四邊形ABC。是菱形，對角線47,8。交于點(diǎn)。，E是邊4?

的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFLBD,EGLAC,點(diǎn)F,G為垂足，若AC=10,8D=24,則FG的長為（）

c

A.6.5B.8C.10D.12

【答案】A

【解析】

【分析】

由菱形的性質(zhì)得出OA=OC=5,OB=OD=12,AC±BD,根據(jù)勾股定理求出/W=13,由直角三角形斜邊上

的中線等于斜邊的一半求出0￡=6.5,證出四邊形EF0G是矩形，得到E0=GF即可得出答案.

【詳解】

解:連接。E,

???四邊形A8CD是菱形，

：.0A=0C=5,0B=0D=12,AC1BD,

在R&0D中，AD=^AO2+DO2=13,

又是邊AD的中點(diǎn)，

.I1

：.OE=-AD=-xl3=6.S,

22

\'EF±BD,EGLAC,AC1,BD,

：.ZEFO=90°,ZEGO=90°,ZGOF=90°,

四邊形EFOG為矩形，

：.FG=OE=6.5.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線定理等知識；熟練掌握菱形的性

質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?天津津南?八年級期中）下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

B.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

C.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

D.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)平行四邊形的判定逐項(xiàng)分析即可得.

【詳解】

解：A、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，正確，則此項(xiàng)不符合題意；

B、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，正確，則此項(xiàng)不符合題意；

C、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可能是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故原命題錯(cuò)誤,

此項(xiàng)符合題意；

D、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，正確，則此項(xiàng)不符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的判定，熟記平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵.

6.（2022?重慶八中九年級期末）如圖，在DABCO中，ND4M=19。，DEL5c于E,OE交AC于點(diǎn)F,

M為AF的中點(diǎn)，連接DM,若AF=2CD,則NCDM的大小為（）.

A.112°B.108°C.104°D.98°

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)平行四邊形及垂直的性質(zhì)可得尸為直角二角形，再由直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的

一半可得40=怵=。"，由等邊對等角及三角形外角的性質(zhì)得出NDMC=NEO/=38。，根據(jù)三角形

內(nèi)角和定理即可得出.

【詳解】

解：???四邊形A8C。為平行四邊形，

AD//BC,

"DELBC,

：-DEA.AD,

??.?ADF為直角三角形，

為”的中點(diǎn),

■■AM^MF=DM,

.■AF=2DM,ZMDA=ZMAD=190,

■:AF=2CD,

:.DM=CD,

：.ZDMC=ZDCM=ZMDA+^MAD=38°,

NCDM=180°-ZDCM-NDMC=180°-38°-38°=104°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

題目主要考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，等邊對等角及三角形

外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

第H卷（非選擇題）

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二、填空題

7.（2021?全國?八年級期中）在菱形48co中，ZA=60°,其所對的對角線長為2,則菱形A8C。的面

積是_.

【答案】2#>

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)證得△AB。是等邊三角形，得到。8,利用勾股定理求出由菱形的性質(zhì)求出菱形

的面積.

【詳解】

解：如圖所小：

??,在菱形ABCD中，NB4J=60。，其所對的對角線長為2,

:.AD=AB,AC±BD,BO=DO,AO=CO,

二4的是等邊三角形，

則Afi=4）=2,

故8O=?O=1,

則AO=*7AB2—BO2=44—1=G，故AC=2-73，

則菱形ABC。的面積=gx2x26=2。.

故答案為：26.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理，正確得出菱形的另一條對角線的長是解題關(guān)鍵.

8.（2021?山東省青島實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，AC為正方形ABC。的對角線，E為AC上

一點(diǎn)，連接￡8,ED,當(dāng)/血=126。時(shí)，的度數(shù)為.

【答案】18。##18度

【解析】

【分析】

由〃S45〃可證△DCEgZXBCE,可得NCED二NCE8=gN8ED=63。，由三角形的外角的性質(zhì)可求解.

【詳解】

證明：???四邊形八8CD是正方形，

：.AD=CD=BC=AB,ZDAE=ZBAE=ZDCA=ZBCA=45°f

在ZkDCE和ZiBCE中，

CD=BC

/BCE=/DCE,

CE=CE

:.△DCE/ABCE(SAS),

Z.ZCED=ZCEB=^ZBED=63",

,/ZCED=ZCAD+ZADE,

：.NAD￡=63°-45°=18°,

故答案為:18°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明ADCE四△BCE是本題的關(guān)鍵.

9.（2021?黑龍江?哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，ZACB=90°,AC=BC,。為外一點(diǎn),

且AO=8Q,D￡J_AC交C4的延長線于￡點(diǎn)，若AE=1,EO=3,則BC=.

【答案】2

【解析】

【分析】

過點(diǎn)D作DMLCB于M,證出/ME=/D8M,判定得到DM=DE=3,證明四邊形CEDM

是矩形，得至UCE=DM=3,由AE=1,求出BC=AC=2.

【詳解】

解：'：DELAC,

/.Zf=ZC=90",

，CB//ED,

過點(diǎn)。作。仞_LCB于M,則NM=9CT=NE,

V4D=BD,

：.ZBAD=ZABD,

???心8C,

：.ZCAB=ZCBAf

:?NDAE=NDBM,

：./\ADE^/\BDM,

：.DM=DE=3,

VZ￡=ZC=ZM=90°,

???四邊形CEDM是矩形，

：.CE=DM=3,

VA￡=1,

.?.BC=AC=2f

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，等邊對等角證明角度相等，正確引出輔助

線證明/△8DM是解題的關(guān)鍵.

10.（2021?全國?八年級期中）如圖，菱形A8CD中，AB=\2,ZABC=60°,點(diǎn)E在4B邊上，且8E=2AE,

動(dòng)點(diǎn)尸在BC邊上，連接PE,將線段正繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至線段PF,連接AF,則線段Af長的

最小值為_.

【答案】4G

【解析】

【分析】

在8C上取一點(diǎn)G,使得BG=BE,連接EG,EF,作直線FG交AO于7,過點(diǎn)A作A//LGF于證

明/8GF=120。，推出點(diǎn)尸在射線G廠上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)尸與H重合時(shí)，A尸的值最

小，求出A"即可.

【詳解】

解：在8c上取一點(diǎn)G,使得8G=8E,連接EG,EF,作直線FG交于T,過點(diǎn)A作AHJ_GR于H.

?.”=60。，BE=BG,

.1△BEG是等邊三角形,

EB=EG,NfiEG=4BGE=60°,

\PE=PF,N￡7*=60。，

」.AE//是等邊三角形，

?,.NPEF=60。，EF=EP,

??NBEG=NPEF,

??.4BEP=4GEF,

在ABEP和AGEF中，

BE=GE

</BEP=/GEF,

PE=PF

:ZEPwAGEF(SAS),

:.ZEGF=ZB=60°,

/.ZBGF=120°,

???點(diǎn)/在射線GF上運(yùn)動(dòng)，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)尸與”重合時(shí)，A/的值最小,

?：AB=n.BE=2AE,

；.BE=8,AE=4,

???ZBEG=ZEGF=af,

：.GT//AB

U：BG//AT

???四邊形ABGT是平行四邊形，

^AT=BG=BE=89ZA77/=N5=60。，

ZTAH=30°

TH=-AH

2

在用AA777中，AT2+TH2=AH2

：.+(^AH)2=AH2

：.AH=46,

，AF的最小值為46，

故答案為：4后.

【點(diǎn)睛】

本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用

輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

11.(2021?北京廣渠門中學(xué)教育集團(tuán)八年級期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABC。的頂

點(diǎn)。在x軸上，邊BC在y軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(12,13),則點(diǎn)C的坐標(biāo)是—.

【答案】(0,-5)

【解析】

【分析】

在RtaODC中，利用勾股定理求出OC即可解決問題.

【詳解】

解：,:A(12,13),

：.0D=12,AD=13,

：四邊形ABCD是菱形，

：.CD=AD=13,

在RtaODC中，OC=y]CD2-OD2=5?

：.C(0,-5).

故答案為：(0,-5)

【點(diǎn)睛】

本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

12.(2021?湖北?云夢縣實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校八年級期末)如圖，已知A。為AABC的高，AD=BC,以A8

為底邊作等腰RtAABE,E尸〃4),交AC于F,連ED,EC,有以下結(jié)論:①慫△BCE；(2)C￡±AB；

③BD=2EF;④SABDE=SAACE；其中正確的是—.

【答案】①③

【解析】

【分析】

只要證明AADEnMCE,△KAEaADBE,EF是41CK的中位線即可---判斷;

【詳解】

解：如圖延長CE交AO于K,交ABfH.設(shè)AO交班于0.

?.?NODB=NOEA,ZAOE=/DOB,

：.NOAE=NOBD,

??AE=BE，AD=BC,

:.MDE合MCE,故①正確，

:.ZAED=ZBEC,DE=EC,

ZAEB=ZDEC=90°f

ZECD=ZABE=45°f

?/ZA//C=ZABC+ZHCB=90°+Z￡BC>90°,

.?.EC不垂直A3,故②錯(cuò)誤，

???ZAEB=ZHED,

:.ZAEK=ZBED,

,;AE=BE,^KAE=ZEBD,

..&KAE=ADBE,

:.BD=AK,

???拉依是等腰直角三角形，OE平分NCDK,

;.EC=EK,

?：EFI/AK,

AF=FC,

.\AK=2EF,

..BD=2EF,故③正確，

?；EK=EC,

??S“KE~S“EC，

?:NKAE三9BE、

??^AKAE=S^DE?

「?=5必Q，故④正確.

故答案是：①③.

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，解題

的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

13.（2021?全國?八年級期中）將矩形紙片A8CD（AB<BC）沿過點(diǎn)8的直線折疊，使點(diǎn)A落在8c邊

上的點(diǎn)F處，折痕為BE（如圖1）；再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)。落在8E上的點(diǎn)。處，折痕為EG

（如圖2）：再展開紙片（如圖3）,則圖3中NFEG的大小是_.

【答案】22.5°

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，ZA=ZEFB=90Q,AB=BF,以及紙片ABC。為矩形可得，NAEF為直角,進(jìn)而可以

判斷四邊形A8FE為正方形，進(jìn)而通過NAEB,/8EG的角度計(jì)算出NFEG的大小.

【詳解】

解：由折疊可知

/.ZA=ZEFB=90°,AB=BF,

?.?紙片ABC。為矩形，

J.AE//BF,

：.ZAEF=180°-ZBFE=90°,

,：AB=BF,NA=NAEF=NEFB=90°,

...四邊形八8FE為正方形，

,ZAEB=45°,

：.N8EC?=180°—45°=135°,

：.ZBEG=135°^2=67.5°,

：.NFEG=67.5°-45°=22.5°.

【點(diǎn)睛】

本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，以及平行的相關(guān)性質(zhì)，能夠?qū)⒄叫闻c矩

形的性質(zhì)相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

14.（2022?四川省成都市七中育才學(xué)校八年級期末）如圖，在AABC中，ZACB=90°,AB=45,BC=\,

P是線段AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B重合），將ABCP沿CP所在直線翻折，得至連接長4,

當(dāng)*4取最小值時(shí)，則AP的值為.

【解析】

【分析】

根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知8C=C8，=1,當(dāng)A、B'、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，有最小值，根據(jù)題意

作圖，過P點(diǎn)作PH1_8C,PQ1AC,得到四邊形PQC”是正方形，利用面積法求出PQ的長，再根據(jù)勾

股定理求出AP的長.

【詳解】

解：?.?在AABC中，NACB=90。，ABf,BC=\

:.ACZAB—BC?=2

由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知：BC=CB'=1,故當(dāng)A、B'、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，A3'有最小值，

過P點(diǎn)作PH_L8C,PQ1AC,

ZACB=ZPHC=ZPQC=90°

二四邊形PQCH是矩形

:翻轉(zhuǎn)

/.△BCP^AfiXP

：.PH=PQ

，四邊形PQCH是正方形

設(shè)PQ=x,則PH=x

,:S^ABC=SjiAPC+S^PBC

.,LBC.AC=rBCxPH^PQxAC

B|J—xlx2=-xlxx+—xx2

222

2

解得

故答案為："I指.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、線段的性質(zhì)，根據(jù)題意找到"的位置是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

15.（2021?江蘇鹽都?八年級階段練習(xí)）如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)八落在平面

上的F點(diǎn)處，DF交BC于點(diǎn)、E,CD=5,DB=13,求BE的長.

F

【答案】堞169

【解析】

【分析】

由矩形的性質(zhì)可知A8=DC,/A=NC=90。，由翻折的性質(zhì)可知NA8=8F,/A=/F=90。，于是可得

到NF=NC,8F=DC,然后依據(jù)AA5可證明△DCETaBFE,依據(jù)勾股定理求得8C的長，由全等三角

形的性質(zhì)可知8E=DE,最后再△￡￡）（：中依據(jù)勾股定理可求得ED的長，從而得到8￡的長.

【詳解】

解：???四邊形A8CD為矩形，

：.AB=CD,/A=/C=90°

:由翻折的性質(zhì)可知NF=NA,BF=AB,

：.BF=DC,ZF=ZC.

ZF=ZC

在△口《￡與aBEF中，■BF=CD

NBEF=NDEC

在RtaBDC中，由勾股定理得：BC=yjBD^CD1=12.

■:/\DCEmABFE,

，BE=DE.

設(shè)BE=DE=x,貝1JEC=12-x.

22

在Rtz\CD￡中，C￡2+CC>2=DE2,即（12_x）2+5=x.

解得：乂=賢

169

.?.DaCu.—一

24

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、矩形的性質(zhì)，依據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程是解

題的關(guān)鍵.

16.(2021?全國?八年級專題練習(xí))如圖所示，正方形ABC。中，點(diǎn)E,F分別為BC,8上一點(diǎn)，點(diǎn)M

為￡F上一點(diǎn)，D,M關(guān)于直線AF對稱.

(1)求證：B,M關(guān)于AE對稱;

(2)若NEFC的平分線交AE的延長線于G,求證：AG=42AF.

【答案】⑴見解析；(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)由已知可證A￡MF三AM4產(chǎn)，/^BAE^^MAE,即可得證；

(2)由上述結(jié)論可得ZE4F=45。，再證AAFG為等腰直角三角形.

【詳解】

解：連結(jié)AM,DM,BM,

D.______k

/—

*：D.M關(guān)于直線AF對稱，

.?.4F垂直平分DM,

：.AD=AM,FD=FM,

：.〉DA2AMAF,

：.^AMF=ZADF=ZAME=ZABE=90°,AM=AB,AE=AEf

：.^BAE^^MAE,

；?EM=EB,

JAE垂直平分8M,

:.B、M關(guān)于AE對稱;

(2)由(1)知ABA慮AMAE,

平分N8EF,

Z.ZEAF=-/8AD=45。，

2

又AF平分NDFE,FG平分NEFC,

/.ZAFG=90°.

.?.△AFG為等腰直角三角形,

?*-AG=6AF.

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形綜合題，主要考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理，三角形的面積

等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定難度.準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.有關(guān)45。角的問題，往往利用全等，

構(gòu)造等腰直角三角形，使問題迅速獲解.

17.（2022?全國?八年級）如圖，將長方形A8CD沿著對角線BD折疊，使點(diǎn)C落在U處，交AD于

點(diǎn)、E.

（1）試判斷ABDE的形狀，并說明理由；

（2）若48=6,8c=18,求△BDE的面積.

【答案】（1）見解析；（2）30

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)可得結(jié)果；

(2)設(shè)。E=x,則BE=x,AE=18-x,在中，由勾股定理列方程求解.

【詳解】

解：(1)△BDE是等腰三角形.

由折疊可知，ZCBD=ZEBD,

'JAD//BC,

:.NCBD=NEDB,

:./EBD=NEDB,

：.BE=DE,

即△BDE是等腰三角形；

(2)設(shè)DE=x,則BE=x,AE=18-x,

在RtAABE中,由勾股定理得:AB2+AE2=BE2即62+(18-X)2=^,

解得：x=10,

所以SABDE=yDExAB=|xl0x6=30.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的判定，矩形與折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)以及定

理是解本題的關(guān)鍵.

18.(2021?全國?八年級專題練習(xí))在長方形紙片ABCD中，點(diǎn)E是邊8上的一點(diǎn)，將△AED沿AE所

在的直線折疊，使點(diǎn)。落在點(diǎn)F處.

(1)如圖1,若點(diǎn)F落在對角線AC上，且N8AC=54。，則ND4E的度數(shù)為°.

(2)如圖2,若點(diǎn)F落在邊BC上，且AB=C0=6,AD=BC=10,求CE的長.

(3)如圖3,若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AF的延長線交8C于點(diǎn)G,且AB=CD=6,AD=BC=10,求CG的長.

Q0

【答案】(1)18；(2)CE的長為§；(3)CG的長為證.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得/￡MC=36。，根據(jù)折疊的性質(zhì)得/￡ME=18。；

(2)根據(jù)矩形性質(zhì)得N8=NC=90。，8c=AD=10,CD=A8=6,根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF=AD=10,

EF=ED,根據(jù)勾股定理得8F=8,則CF=2,設(shè)CE=x,則￡F=￡D=6-x,根據(jù)勾股定理得2?+/=(6-x)?,

解得：X、，即CE的長為］：

(3)連接EG,,由題意得DE=CE,由折疊的性質(zhì)得：AF=AD=10,NAFE=ND=90。，F(xiàn)E=DE,則

ZFFG=ZC=90°,由HL得Rt^CEG名RtZsFEG,則CG=FG,設(shè)CG=FG=y,則AG=10+y,BG=10-y,

99

在AtZ\A8G中，由勾股定理得6+(10-y)2=(10+y)2,解得y=而，即cG的長為伍.

【詳解】

解：(1)?.?四邊形A8CD是矩形,

：.ZDAB=90°,

：.ZDAC=90°-ZB/4C=90o-54°=36°,

,//\AED沿AE所在的直線折疊,使點(diǎn)。落在點(diǎn)F處,

Z.ZDAE=ZEAC=^NDAC=gX36°=18°,

故答案為：18；

(2)I?四邊形A8CD是長方形，

.?.ZB=ZC=90",BC=AD=10,CD=A8=6,

由折疊的性質(zhì)得：AF=AD=10,EF=ED,

?*-BF=ylAF2-AB2=V102-62=8，

：.CF=BC-BF=10-8=2,

設(shè)CE=x,貝I」￡F=ED=6-x,

在RtZ\CEF中，由勾股定理得：

22+X2=(6-X)',

4+x2=36—12x+x2

12x=32

Q

解得：X=?

Q

即CE的長為］；

（3）解：如圖所示，連接EG,

;點(diǎn)￡是。＞的中點(diǎn)，

/.DE=CE,

由折疊的性質(zhì)得：AF=ZID=10,ZAFE=ZD=90°,FE=DE,

：.ZEFG=ZC=90°,

在RtACEG和RtAFEG中，

jEG=EG

[CE^FE'

：.Rt^CEG^Rt/\FEG(HL),

：.CG=FG,

設(shè)CG=FG=y,貝1JAG=AF+FG=10+y,BG=BC-CG^IO-y,

在RtZViBG中，由勾股定理得：

36+100-20)，+/=100+20)，+/,

40y=36

Q

解得:y=',

9

即CG的長為

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握并靈

活運(yùn)用這些知識點(diǎn).

19.（2021?全國?八年級期中）在等腰RSABC中,ZACB=90°,D,E是邊AC,BC上的點(diǎn)，且滿足AD=CE,

連接過點(diǎn)C作。E的垂線，垂足為F,交A8于點(diǎn)G.

⑴點(diǎn)D如圖所示.

①請依題意在下圖中補(bǔ)全圖形；

②猜想DE與CG的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）連接DG,GE,若48=2,直接寫出四邊形CDGE面積的最小值.

【答案】（1）①作圖見解析；②DE=CG,證明見解析；

（嗚

【解析】

【分析】

（1）①按照題意作圖即可；②如圖1過點(diǎn)。作DHHC交A8于連接CH交DE于。，連接EH,

ZA=ZB=45°,ZADH=90°,ZA=ZDHA=45°,DA=DH=CE,四邊形DHEC是平行四邊形，ZDCE=90°,四

邊形。HEC是矩形，矩形對角線相等且互相平分可知，DE=CH,OD=OC,ZODC=ZOCD,證明/CDE=

NBCG=NACH,△ACH/ZXBCG,進(jìn)而可說明DE=CG.

(2)如圖2,由(1)可知DE=CG,CGLDE,5/必於CDGE=g,D￡?CG=；?CG2；可知面積最小即CG的

值最短；根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)CGU8時(shí)，CG的值最短，由4G=G8,/ACB=90°,可知CG=gAB=l,

進(jìn)而可求四邊形面積的最小值.

(1)

解：①圖形如圖1所示.

②結(jié)論：DE=CG.

證明：如圖1中，過點(diǎn)。作D”，AC交A8于H,連接CH交?！暧凇?，連接EH.

圖1

'：AC=BC,ZACB=90°

Z4=ZB=45"

'：AD±DH

：.NADH=90°

，ZA=ZDHA=45°

；.DA=DH

,:AD=CE

：.DH=CE

:ZADH=ZACB=90°

：.DH//BC

，四邊形DHEC是平行四邊形

,?ZDCE=90°

???四邊形DHEC是矩形

；.DE=CH,OD=OC=OE=OH

：.ZODC=ZOCD

'：CG±DE

AZCDE+ZDCG=90°,ZDCG+ZBCG=90°

：.ZCDE=ZBCG=ZACH

在△4CH和aBCG中

ZACH=/BCG

*.?<CA=CB

/A=ZB=45。

A/XACH^^BCG(ASA)

：.CH=CG

:.DE二CG.

⑵

解：如圖2

圖2

由(1)可知OE=CG,CG±DE

2

：.S兩組彩CDGE=1?DE?CG=；?CG

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)CG_LAB時(shí)，CG的值最短

"：CA=CB,CG±AB

：.AG=GB

：.CG=^-AB=1

2

四邊形CDGE的