2024-2025學年高中數(shù)學第1章算法初步1.1.1算法的概念學案新人教A版必修3

1.1算法與程序框圖1.學習目標核心素養(yǎng)1．通過回顧解二元一次方程組的方法，了解算法的思想．(重點)2．了解算法的含義和特征．(重點)3．讀懂算法并能用自然語言表述簡潔的算法．(難點、易錯點)1．通過算法概念的理解，培育邏輯推理素養(yǎng)．2．借助算法的設(shè)計，養(yǎng)成數(shù)學建模素養(yǎng).1．算法的概念12世紀的算法指的是用阿拉伯數(shù)字進行算術(shù)運算的過程數(shù)學中的算法通常是指根據(jù)肯定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟現(xiàn)代算法通?？梢跃幊捎嬎銠C程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題思索：解決一個問題的算法是唯一的嗎？[提示]不唯一．如解二元一次方程組的算法有加減消元法和代入消元法兩種，但不同的算法有優(yōu)劣之分．2．算法的特征(1)有限性：一個算法的步驟是有限的，它應(yīng)在有限步驟操作之后停止．(2)確定性：算法中的每一步應(yīng)當是確定的，并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不是模棱兩可的．(3)邏輯性：算法從初始步驟起先，分為若干個明確的步驟，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能進行下一步，而且每一步都是正確無誤的，從而組成具有很強邏輯性的步驟序列．(4)普遍性：一個確定的算法，應(yīng)當能夠解決一類問題．(5)不唯一性：求解某一個問題的算法不肯定只有唯一的一個，也可以有不同的算法．3．算法的設(shè)計目的計算機解決任何問題都要依靠于算法，只有將解決問題的過程分解為若干個明確的步驟，即算法，并用計算機能夠接受的“語言”精確地描述出來，計算機才能夠解決問題．1．下列可以看成算法的是()A．學習數(shù)學時，課前預習，課上仔細聽講并記好筆記，課下先復習再做作業(yè)，之后做適當?shù)木毩曨}B．今日餐廳的飯真好吃C．這道數(shù)學題難做D．方程2x2－x＋1＝0無實數(shù)根A[A是學習數(shù)學的一個步驟，所以是算法．]2．下列對算法的理解不正確的是()A．算法可以無止境地運行下去B．算法的步驟是不行逆的C．同一個問題可以有不同的算法D．算法中的每一步都應(yīng)當有效地執(zhí)行，并得到確定的結(jié)果A[A項中，由于算法具有有限性，因此不行能無止境地運行下去，不正確；B項中，算法中的步驟是根據(jù)依次一步步進行下去的，因此是不行逆的，正確；C、D項符合算法的特征，正確．]3．下列問題中，不行以設(shè)計一個算法求解的是()A．二分法求方程x2－3＝0的近似解B．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋5＝0,x－y＋3＝0))C．求半徑為3的圓的面積D．推斷函數(shù)y＝x2在R上的單調(diào)性D[A、B、C選項中的問題都可以設(shè)計算法解決，D選項中的問題由于x在R上取值無窮盡，所以不能設(shè)計一個算法求解．]4．下面是某人出家門先打車去火車站，再坐火車去北京的一個算法，請補充完整．第一步，出家門．其次步，______________.第三步，坐火車去北京．[答案]打車去火車站算法的概念理解【例1】下列各式中S的值不行以用算法求解的是()A．S＝1＋2＋3＋4B．S＝1＋2＋3＋4＋…C．S＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,100)D．S＝12＋22＋32＋…＋1002B[由算法的概念可知：求解某一類問題的算法必需是有限步的，B項不知其多少步完成，A，C，D可在有限步內(nèi)完成．所以S值不行以用算法求解的是選項B.]解答這類問題的方法為特征推斷法主要從以下三個方面推斷：1看是否滿意可執(zhí)行性；2看是否滿意確定性；3看是否滿意有限性.此外，算法的不唯一性也要考慮到.eq\o([跟進訓練])1．下列描述不能看作算法的是()A．做米飯須要刷鍋，淘米，添水，加熱這些步驟B．洗衣機的運用說明書C．解方程2x2＋x－1＝0D．利用公式S＝πr2計算半徑為4的圓的面積，就是計算π×42C[A、B、D項都描述了解決問題的過程，可以看作算法，而C項只描述了一個事實，沒說明怎么解決問題，不是算法．]算法的閱讀及應(yīng)用【例2】下面給出了一個問題的算法：第一步，輸入三個數(shù)，并分別用a，b，c表示．其次步，比較a與b的大小，假如a<b，則交換a與b的值．第三步，比較a與c的大小，假如a<c，則交換a與c的值．第四步，比較b與c的大小，假如b<c，則交換b與c的值．第五步，輸出a，b，c.以上算法要解決的問題是________，假如輸入的三個數(shù)分別是6,28,14，則輸出三數(shù)的依次為________．思路點撥：可嘗試先賦a，b，c的值為6,28,14，用詳細數(shù)值去執(zhí)行算法步驟，從而得到啟示．輸入三個數(shù)a，b，c，并按從大到小的依次輸出28,14,6[法一：特別值法：第一步，輸入a＝6，b＝28，c＝14.其次步，因為a<b，則令a＝28，b＝6.第三步，因為a>c，不做改變．第四步，因為b<c，故令b＝14，c＝6.第五步，輸出28,14,6.通過上述過程可知，此算法解決的問題是：對隨意輸入的三個數(shù)a，b，c，按從大到小的依次輸出．法二：一般方法：第一步是給a，b，c賦值．其次步運行后a>b.第三步運行后a>c.第四步運行后b>c，所以a>b>c.第五步運行后，顯示a，b，c的值，且從大到小排列．]算法作用的理解方法一個算法的作用往往并不自不待言，這時我們可以結(jié)合詳細數(shù)值去執(zhí)行一下并從中得出規(guī)律.eq\o([跟進訓練])2．給出下面一個算法：第一步，給出三個數(shù)x，y，z.其次步，計算M＝x＋y＋z.第三步，計算N＝eq\f(1,3)M.第四步，輸出M，N.則上述算法是()A．求和 B．求余數(shù)C．求平均數(shù) D．先求和再求平均數(shù)D[由算法過程可知，M為給出三個數(shù)之和，N為這三個數(shù)的平均數(shù)．]算法的設(shè)計[探究問題]假設(shè)家中生火燒水泡茶有以下幾個步驟：a．生火；b.將涼水倒入鍋中；c.找茶葉；d.洗茶壺、茶碗；e.用開水沖茶．1．你能說出在家中泡茶的步驟嗎？[提示]b→a→c→d→e2．從上述例子分析，你能說出設(shè)計算法步驟的要求嗎？[提示](1)算法必須要解決一類問題．(2)要保證算法步驟合理有效．(3)要使算法步驟盡量簡潔好用．【例3】已知函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－1x≤－1，,x3x>－1，))試設(shè)計一個算法輸入x的值，求對應(yīng)的函數(shù)值．思路點撥：[解]算法如下：第一步，輸入x的值．其次步，當x≤－1時，計算y＝－x2－1；否則執(zhí)行第三步．第三步，計算y＝x3.第四步，輸出y.1．(變條件)該例條件若改為“已知函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x>0,0，x＝0,x＋1，x<0))”試設(shè)計一個算法輸入x的值，求對應(yīng)的函數(shù)值．[解]算法如下：第一步，輸入x的值．其次步，若x>0，則y＝－x＋1，然后執(zhí)行第四步；否則執(zhí)行第三步．第三步，若x＝0，則y＝0，然后執(zhí)行第四步，否則y＝x＋1.第四步；輸出y的值．2．(變結(jié)論)已知函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－1x≤－1,x3x>－1))，下面是輸入x的值，求對應(yīng)的函數(shù)值的一個算法，請?zhí)羁眨旱谝徊?，輸入x.其次步，若x>－1，輸出________；否則執(zhí)行第三步．第三步，輸出________．當輸入x的值為1時，輸出的結(jié)果為________．[答案]x3－x2－11設(shè)計算法的四個步驟1．算法的特點：有限性、確定性、邏輯性、普遍性、不唯一性．2．算法設(shè)計的要求(1)寫出的算法必需能夠解決一類問題(如推斷一個整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，求隨意一個方程的近似解等)，并且能夠重復運用．(2)要使算法盡量簡潔，步驟盡量少．(3)要保證能夠一步一步執(zhí)行，每步執(zhí)行的操作必需準確，不能含混不清，而且在有限步后能得到結(jié)果．1．推斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)求解一類問題的算法是唯一的． ()(2)算法必需在有限步驟操作之后解決問題． ()(3)算法執(zhí)行后肯定產(chǎn)生確定的結(jié)果． ()[答案](1)×(2)√(3)√2．下列敘述中，①植樹須要運苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟；②按依次進行下列運算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…99＋1＝100；③從青島乘火車到濟南，再從濟南乘飛機到廣州；④3x>x＋1；⑤求全部能被3整除的正數(shù)，即3,6,9,12，….能稱為算法的個數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5B[由算法的含義與特征知：①②③都是算法；④中，3x>x＋1不是明確的步驟，不滿意確定性；⑤中步驟是無窮的，與有限性沖突．]3．已知一個學生的語文成果為89分，數(shù)學成果為96分，外語成果為99分．求他的總分和平均分的一個算法為：第一步，取A＝89，B＝96，C＝99.其次步，_____________________________________________.第三步，_____________________________________________.第四步，輸出計算的結(jié)果．[答案]計算總分D＝A＋B＋C計算平均分E＝eq\f(D,3)4．設(shè)計一個算法，求表面