教案第二講摩擦角

PAGEPAGE92014級高一物理競賽培訓(xùn)第一講摩擦角（兩課時)高一物理組郭金朋1、“千斤頂”中的學(xué)問【例1】在固定的斜面上放一物體,并對它施加一豎直向下的壓力，物體與斜面間的摩擦因數(shù)為μ。求斜面傾角θ的最大值，使得當θ≤θm時,無論豎直向下的壓力有多大,物體也不會滑下。θθ分析：如圖,物體受四個力，重力和壓力的合力為G+F,靜摩擦力Fs，斜面支持力FN。將G+F分解為F1和F2，根據(jù)平衡條件得FN=F2=（G+F）cosθFs=F1=(G+F）sinθ物體不會滑下的條件是Fs小于最大靜摩擦力Fm，而Fm=μFN，從而有:（G+F）sinθ≤（G+F）cosθ化簡得θ≤arctanμ所以只要θ≤arctanμ，無論F有多大，物體也不會滑下.說明:“千斤頂”螺旋實際可以看作是＜μ的彎曲斜面。2、推力的極大值(自鎖）【例2】在機械設(shè)計中，常用到下面的力學(xué)裝置，如圖只要使連桿AB與滑塊m所在平面法線的夾角θ小于某個值,那么無論連桿AB對滑塊施加多大的作用力，都不可能使之滑動,且連桿AB對滑塊施加的作用力越大，滑塊就越穩(wěn)定，工程力學(xué)上稱為‘自鎖’現(xiàn)象。則自鎖時θ應(yīng)滿足什么條件?設(shè)滑塊與所在平面間的動摩擦因數(shù)為μ。分析：將連桿AB對滑塊施加的推力F分解，且F遠遠大于mg，可以忽略。則滑塊m不產(chǎn)生滑動的條件為Fsinθ＜μFcosθ化簡得自鎖的條件為θ＜arctanμ。3、拉力的極小值【例3】在水平面上放有一質(zhì)量為m的物體,物體與地面的動摩擦因數(shù)為μ,現(xiàn)用力F拉物體，使其勻速運動，怎樣施加F才能最小.分析：設(shè)拉力與水平面間的夾角為θ，將拉力F分解,并列出平衡方程，由動摩擦力公式得Fcosθ=μ(mg—Fsinθ），化簡為（其中令）當時F有最小值：，且θ=arctanμ。4、破冰船中的道理【例4】1999年，中國首次北極科學(xué)考察隊乘坐我國自行研制的“雪龍”號科學(xué)考察船.“雪龍”號科學(xué)考察船不僅采用特殊的材料，而且船體的結(jié)構(gòu)也滿足一定的條件，以對付北極地區(qū)的冰塊和冰層。它是靠本身的重力壓碎周圍的冰塊，同時又將碎冰塊擠向船底，如果碎冰塊仍擠在冰層與船體之間，船體由于受到巨大的側(cè)壓力而可能解體.為此，船體與豎直方向之間必須有一傾角α。設(shè)船體與冰塊之間的動摩擦因數(shù)為μ.試問使壓碎的冰塊能被擠壓向船底，α角應(yīng)滿足的條件。分析:冰塊受到三個力：冰層對冰塊的水平向后的擠壓力，船體對冰塊的側(cè)壓力F,以及沿船體方向的摩擦力(冰塊的重力和浮力可以忽略）。將F分解，如圖FN=F1=FcosαFf=μFN能使壓碎的冰塊被擠壓向船底必須滿足的條件為F2＞Ff,有Fsinα＞μFcosα化簡得α＞arctanμ5、壓延機原理【例5】壓延機由兩輪構(gòu)成，兩輪的直徑均為d=50mm，輪間的間隙為a=5mm,兩輪按反方向轉(zhuǎn)動,如圖中箭頭所示。已知燒紅的鐵板和鑄鐵輪之間的摩擦因數(shù)為μ=0。1，問能壓延的鐵板厚度b是多少？分析：鐵板的A、B兩點和鑄鐵輪接觸,接觸點與轉(zhuǎn)軸連線的夾角為α。在A點鐵板受到FN1和Ff1兩個力,在B點鐵板受到FN2和Ff2兩個力，如圖所示。要使鐵板能壓延鐵板所受合力必須向右，則α＜θ=arctanμ則鐵板的最大厚度為bm=a+2（r—rcos）=7。48mm所以能壓延的鐵板厚度b＜7。48mm【例6】物體放在水平面上，用與水平方向成30°的力拉物體時，物體勻速前進。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速前進,求物體與水平面之間的動摩擦因素μ。答案：引進全反力R,對物體兩個平衡狀態(tài)進行受力分析，再進行矢量平移，得到圖18中的左圖和中間圖（注意：重力G是不變的,而全反力R的方向不變、F的大小不變），φm指摩擦角。再將兩圖重疊成圖的右圖.由于灰色的三角形是一個頂角為30°的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊……故有：φm=15°。最后,μ=tgφm=0。268.【例7】如圖2—1—7所示用力F推一放在水平地面上的木箱，質(zhì)量為M，木箱與地面間摩擦因數(shù)為問：當力F與豎直成夾角多大時,力F再大也無法推動木箱?［思路分析］本題屬于物體平衡問題，一般方法是用平衡條件列方程求極值，但這里用摩擦角的概念分析,問題會更加簡單．解：選物體為研究對象,受力如圖2—1—8所示，其受四個力作用而靜止，將彈力N和摩擦力f合成作出全反力F．當物體將要發(fā)生滑動時,靜摩擦角0。滿足tg0=,由平衡條件知當0<〈0時,物體出現(xiàn)自瑣現(xiàn)象,也就是說此時無論用多大的力都不會使物體推動,故角屬于范圍(0,0)。一個接觸面的平衡問題【例8】一物體質(zhì)量為m,置于傾角為的斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為，若要使物體沿斜面勻速向上滑動,求拉力的最小值。解析：本題有兩種解法，一種是根據(jù)平衡條件利用數(shù)學(xué)建模得到后再求極值，另一種是引入全反力(摩擦角）化四力平衡為三力平衡根據(jù)矢量三角形直觀快速地求解。解法一:（利用平衡條件求解)設(shè)拉力與斜面夾角為θ，則由平衡條件可得：即有令，則有解法二：（引入摩擦角)如圖1所示，設(shè)，則由平衡條件和矢量三角形可得：當拉力F垂直于全反力方向時此時F的拉力最小，即：【例9】結(jié)構(gòu)均勻的梯子AB，靠在光滑豎直墻上，已知梯子長為L，重為G，與地面間的動摩擦因數(shù)為μ，如圖所示，1，求梯子不滑動，梯子與水平地面夾角θ的最小值θ0；2,當θ=θ0時，一重為P的人沿梯子緩慢向上，他上到什么位置,梯子開始滑動?分析：本題有兩種解法:解法一是根據(jù)物體的平衡條件求解，這是常規(guī)解法；另一解法是分析出它臨界條件θ0再引入摩擦角解。解法一：（1)如圖2所示，平衡條件可得：由上述3式可解得:（2）如圖3所示，由平衡條件可得:由上述3式可解得：解法二：（1）（引入摩擦角）如圖4所示，，由平衡條件可得：所以有（2）如圖5所示,將梯子和人的重力用其等效重力代替，當?shù)刃е亓Φ闹匦倪€在梯子重心下面時梯子還不會滑倒，當?shù)刃е亓Φ闹匦倪€在梯子重心上面時梯子就會滑倒，所以當人上到梯子一半即L/2時，梯子開始滑動。兩個接觸面的平衡問題【例10】一架均勻梯子,一端放置在水平地面上，另一端靠在豎直的墻上,梯子與地面及梯子與墻的靜摩擦系數(shù)分別為μ1、μ2，求梯子能平衡時與地面所成的最小夾角。分析：此題同樣有兩種解法，為了節(jié)省篇幅,接下來只介紹引入摩擦角的解法。此題是多點摩擦的問題，而且又是多點同時滑動，所以系統(tǒng)達到臨界平衡狀態(tài)（極限平衡狀態(tài)）時，即梯子與水平所成的夾角最小時，各處摩擦力均達到最大值.現(xiàn)把兩端點的受力用全反力表示，則梯子就只受三個力，且三個力必共點。解：如圖6所示,，，由平衡條件和幾何關(guān)系可得：即梯子與地面所成的最小的角為[思考題]質(zhì)量為m的均勻梯子,一端在堅直光滑的墻上，另一端置于粗糙的水平地面上,靜摩擦系數(shù)為μ，一個質(zhì)量為M的人沿梯往上爬，為了保證該人的安全，對梯子的放置有什么要求?(答案：）【例12】一梯子長為L，斜靠在豎直的墻壁上，梯子的傾角為,與水平地面間的靜摩擦系數(shù)為，與豎直墻面間的靜摩擦系數(shù)為為,不計梯子的重力，求:重為G的人沿梯子能上升的最大高度。解:以梯子和人組成的系統(tǒng)為研究對象，如圖所示，建立直角坐標系：地面對梯子的全反力F1的直線方程：y=－(x－Lcos）（1）豎直墻面對梯子的全反力F2的直線方程：y=tanx+Lsin(2）梯子AB的直線方程：y=－tan（x－Lcos）（3）當人達最高時，梯子將要滑動，此時有：tan=tan=代入上式由（1)、（2)兩式可得F1與F2的交點P坐標為：x=代入（3）式得人達到的最大高度為：y==令h=Lsin則：y==討論：（1）當tan時,y,說明人可到達梯子的頂端，即：ymax=Lsin。也就是說，梯子的傾角大于某一臨界角時（tan=)，梯子會處于自鎖狀態(tài)。這種情況在實際中正是人們所希望的，因此人們通常把梯子放得陡一些，使得人無論爬到梯子的任何位置,梯子都將因自鎖而不至滑倒,而且梯子與水平地面間的靜摩擦系數(shù)越大，臨界角就會越小，梯子會更容易實現(xiàn)自鎖狀態(tài).（2）、當tan時，y〈h,說明人不能到達梯子的頂端，即：ymax=如果此題考慮到梯子的重力,則上述結(jié)果便是人與梯子系統(tǒng)重心的最大高度，根據(jù)系統(tǒng)重心的計算公式，也可計算出人沿梯子上升的最大高度。小結(jié)：由于摩擦角與全反力所在直線的斜率存在著特殊的關(guān)系,所以在解決此類有關(guān)全反力及摩擦角的問題時，應(yīng)首選“坐標法"，這樣可避免解繁瑣的三角形，使解題的目的性更加明確,從而達到事半功倍的效果?！纠?2】如圖9所示，每側(cè)梯長為的折梯置于鉛垂平面內(nèi),已知A、B兩處動摩擦因數(shù)分別為μA=0.2、μB=0。6，不計梯重，求人能爬多高而梯不滑到。解析：這是多點摩擦不同時滑動的平衡問題，比前面的例題要復(fù)雜。如果地面與梯的摩擦系數(shù)足夠大,則梯子不會滑到,現(xiàn)兩邊的摩擦系數(shù)較小，所以梯子有可能滑到，所以必須對A、B分別分析。解：由題意可得：,如果從A開始往上爬,爬到如圖所示時梯子將滑到，此時受力如圖9所示，設(shè)此時人離A端的距離為S,則由平衡條件和幾何關(guān)系可得：所以從A端能爬的最大高度為如果從B端開始往上爬，爬到如圖所示時梯子將滑到，此時受力如圖10所示，這將不可能，因為A梯早就滑動了或A梯早就轉(zhuǎn)動了。綜上所述,人能爬的最大高度是。［想一想]為什么人在梯子上爬時,水平地面對另一邊梯子的作用力必須沿梯子方向？解題經(jīng)驗小結(jié):引入摩擦角的好處:通過全反力的等效替代,可以減少力的個數(shù)，化多力平衡問題為三力平衡問題；可以迅速確定臨界平衡狀態(tài)；把平衡問題的判斷轉(zhuǎn)化為尋求角度之間的關(guān)系,這是求解平衡問題的重要思路。【例13】如圖1-15，兩把相同的均勻梯子AC和BC,由C端的鉸鏈連起來,組成人字形梯子，下端A和B相距6m，C端離水平地面4m,總重200N，一人重600N,由B端上爬,若梯子與地面的靜摩擦因數(shù)μ＝0.6，則人爬到何處梯子就要滑動？解:進行受力分析，如圖所示，把人和梯子看成一個整體，整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)：