高一下學(xué)期第一次月考填空題壓軸題十五大題型專練【含答案解析】

2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考填空題壓軸題十五大題型專練【人教A版（2019）】題型1題型1相等向量與共線向量1．（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點(diǎn)和中心為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與向量OA相等的向量有3個(gè).

【解題思路】根據(jù)相等向量的定義及正六邊形的性質(zhì)即可求解.【解答過程】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和相等向量的定義知，與向量OA相等的向量有DO，CB，EF，共3個(gè).故答案為：3.2．（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作MN//AB，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點(diǎn)或終點(diǎn)的所有有向線段表示的向量中，相等向量有2對(duì).

【解題思路】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合已知條件，可推得OM=ON，即可得出答案.【解答過程】由題意CD∥AB可知，△OCD∽△OAB，所以O(shè)COA=OD因?yàn)镸N//AB，所以O(shè)CAC=ON所以，ONAB=OM又M，O，N三點(diǎn)共線，所以O(shè)M=NO，故答案為：2.3．（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在△ABC中，D,E,F分別為AB,AC,BC的中點(diǎn)．圖中與DE相等的向量為BF,FC【解題思路】根據(jù)相等向量的定義判斷.【解答過程】由幾何性質(zhì)，DE，BF平行且相等，DE，F(xiàn)C平行且相等，所以DE=故答案為：BF,4．（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，四邊形ABCD和ABDE都是邊長(zhǎng)為1的菱形，已知下列說法:①AE，②AB∥DE，DE∥③與AB相等的向量有3個(gè)；④與AE共線的向量有3個(gè)⑤與向量DC大小相等、方向相反的向量為DE，其中正確的是①②④⑤.(填序號(hào))【解題思路】根據(jù)平面向量的概念幾何平面圖形的性質(zhì)逐個(gè)分析即可求出結(jié)果.【解答過程】①由兩菱形的邊長(zhǎng)都為1，故①正確；②正確；③與AB相等的向量是ED，DC，故③錯(cuò)誤；④與AE共線的向量是E故答案為：①②④⑤.題型2題型2向量線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用5．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）已知△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)D滿足DA+DB5．【解題思路】取AB的中點(diǎn)F，則CD=【解答過程】如圖，取AB的中點(diǎn)F，則DA+故CD=4DF，故C、D故S△ABC

故答案為：5.6．（23-24高一下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）已知S△ABC=3，點(diǎn)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)且MA+2MB=CM，則【解題思路】取AC的中點(diǎn)D，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算判斷出點(diǎn)M的位置，進(jìn)而可得出答案.【解答過程】取AC的中點(diǎn)D，因?yàn)镸A+2MB=CM，所以即MD=BM，所以點(diǎn)M為所以S△MBC故答案為：347．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且BD=2DC，過點(diǎn)D的直線EF與直線AB相交于E點(diǎn)，與直線AC相交于F點(diǎn)（E，F(xiàn)交兩點(diǎn)不重合）.若AE=λAB，AF=μAC，則【解題思路】先用AB,AC表示AD，利用已知代入表達(dá)式，結(jié)合D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線可得【解答過程】因?yàn)锽D=2DC，所以所以AD=又AE=λAB，所以AB=所以AD=因?yàn)镈，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以13λ+2故λ+μ=λ+μ當(dāng)且僅當(dāng)μ3λ=2λ3μ，結(jié)合即λ+μ的最小值為1+2故答案為：1+28．（23-24高一下·山西·期中）在四邊形ABCD中，BC=2AD，點(diǎn)P是四邊形ABCD所在平面上一點(diǎn)，滿足PA+10PB+PC+10PD=0.設(shè)s,t【解題思路】設(shè)出梯形ABCD兩底的長(zhǎng)，取AB，CD，BD，AC的中點(diǎn)M，N，X，Y，并探討它們的關(guān)系，結(jié)合已知向量等式確定點(diǎn)P的位置并求出PX，再由三角形、梯形面積公式求解即得.【解答過程】在四邊形ABCD中，BC=2AD，則四邊形ABCD是梯形，且AD//BC，令A(yù)D=2，記M，N，X，Y分別是AB，CD，BD，AC的中點(diǎn)，顯然MX//AD,NY//AD,MN//AD，于是點(diǎn)M，X，Y，N順次共線并且MX=XY=YN=1，顯然PA+PC=2PY，PB+因此點(diǎn)P在線段XY上，且PX=111，設(shè)A到MN的距離為由面積公式可知ts故答案為：211題型3題型3向量的數(shù)量積問題9．（23-24高一下·江西新余·階段練習(xí)）向量a，b滿足a=2，b=3，a+b=5，那么【解題思路】利用向量的模公式即可求解.【解答過程】由a+b=5，得a因?yàn)閍=2，b所以a2=a代入（*）式得4+2a?b故答案為：6.10．（24-25高一上·河北保定·期中）在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，BM=λBC，CN=2NA，若AM?BN=?6【解題思路】用AB、AC作為一組基地表示出AM、BN，再由數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【解答過程】因?yàn)锽M=λBC，所以又CN=2NA，所以則BN=又AB=2，AC=3，∠BAC=60°，所以AC?所以AM=?1?λAB又AM?BN=?6，即3λ?3=?6故答案為：?1.11．（23-24高一下·上?！て谀┰谄矫鎯?nèi)，若有a=2，b=a?b=4，c?【解題思路】根據(jù)題意，得到cosa,b=12，所以a,b=π3，作OA=a,OB=b，則∠AOB=π3，連接AB，取AB的中點(diǎn)D，連接OD，作OC【解答過程】由向量a=2，b=a可得cosa,b如圖所示，作OA=a,OB=連接AB，取AB的中點(diǎn)D，連接OD，則OD=因?yàn)閏?a?2c作OC=c，連接AC,CD，則AC=所以點(diǎn)C在以AD為直徑的圓上，所以當(dāng)C運(yùn)動(dòng)到圓的最右側(cè)時(shí)，OC在OB上的投影最大，此時(shí)c?由OG=OA?因?yàn)椤鰾EH∽△BAG，且AE=14所以O(shè)C在OB上的最大投影為1+3所以c?故答案為：7+2312．（23-24高一下·上海松江·期末）如圖，直徑AB=4的半圓，D為圓心，點(diǎn)C在半圓弧上，∠ADC=π4，線段AC上有動(dòng)點(diǎn)P，則DP?BA的最小值為【解題思路】先分別過C、P作CG⊥BA、PE⊥BA交BA于點(diǎn)G和E，求出DG，設(shè)BA,DP=θ，接著根據(jù)數(shù)量積定義以及題中所給條件求得DP【解答過程】分別過C、P作CG⊥BA交BA于點(diǎn)G，作PE⊥BA交BA于點(diǎn)E，則DG=設(shè)BA,DP=θ由題可知DG≤DE≤所以42≤DP?BA故答案為：42題型4題型4向量的夾角（夾角的余弦值）問題13．（23-24高一下·云南德宏·期中）已知a，b為單位向量，且a⊥b，若c=3a?【解題思路】根據(jù)兩個(gè)向量夾角的余弦公式求得結(jié)果.【解答過程】根據(jù)題意知a，b為單位向量，且a⊥b，若所以a=1，b=1，c=則cosa,c故答案為：π614．（23-24高一下·四川涼山·期末）已知a為非零向量，若向量b在a上的投影向量為a，則cos3a+b,【解題思路】由投影向量定義得b?a|【解答過程】由已知可得b?a|而3a易知cos=3ab2當(dāng)且僅當(dāng)15即t=15時(shí)，等號(hào)成立，即最小值為故答案為：4515．（23-24高一下·天津靜?！るA段練習(xí)）已知向量a=22，b=4，且(2a+b)?b=32【解題思路】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式求解即可.【解答過程】設(shè)向量a與b的夾角為θ，因?yàn)?2a所以2×22所以cosθ=因?yàn)?°≤θ≤180故答案為：45°16．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）在任意四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AD，BC上，且AE=13AD，BF=13BC，AB=2，CD=6，EF=3，則AB與【解題思路】由EF=EA+AB+【解答過程】由EF=EA+又EF=由①+②可得3EF故DC2=9EF2+4AB2則36=81+16?12×3×2cosθ，解得故答案為：6172題型5題型5平面向量基本定理的應(yīng)用17．（23-24高一下·上海金山·階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AE=λAB+μAD，則λμ的值為【解題思路】畫出圖形，由向量的加法結(jié)合平面向量的基本定理計(jì)算即可；【解答過程】如圖，∵在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，

∴AE=AB+∴根據(jù)平面向量基本定理得，λ=1,μ=1λμ=1故答案為：1318．（24-25高一下·黑龍江·階段練習(xí)）如圖所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，點(diǎn)G為AE上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則向量FG用AB與AD表示為FG=?5【解題思路】根據(jù)平面向量的基本定理結(jié)合線性運(yùn)算求解.【解答過程】由題意可得：AE=所以FG=故答案為：FG=?19．（23-24高一下·甘肅白銀·期末）趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間一個(gè)小正方形組成）.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)AD=λAB+μAC（λ，μ∈R），若DF=2AF【解題思路】因?yàn)榇笕切问堑冗吶切危钥梢酝ㄟ^建系的方法進(jìn)行求解.【解答過程】不妨設(shè)AF=1，則AD=3，如圖，由題可知∠ADB=2π由AB得AB=13，所以AC=13，所以B13,0，又BDsin∠BAD=ABsin所以DADcos∠BAD,AD所以AD=211326,因?yàn)锳D=λAB+μ解得λ=913μ=故答案為：3.20．（23-24高一下·廣西·階段練習(xí)）已知D,E分別為△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn)，線段BE和CD相交于點(diǎn)P，若AD=3DB，DP=λPC，CE=μEA，其中λ>0,μ>0．則【解題思路】利用平面向量基本定理得到AP=11+λ?34AB【解答過程】如圖所示：因?yàn)锳D=3DB又DP=λPCCE=μEAAP=AD∵B,P,E三點(diǎn)共線，∴341+λ∴1λ+2μ≥22故答案為：42題型6題型6\o"平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示"\t"/gzsx/zj168404/_blank"平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示21．（23-24高一下·遼寧葫蘆島·開學(xué)考試）已知點(diǎn)A(?1,1),B(3,2),D(0,5)，若BC=3AD，AC與BD交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為3【解題思路】設(shè)Cx,y,Mx1,y1，利用BC【解答過程】結(jié)合題意：設(shè)Cx,y,Mx1,由BC=3AD，可得：x?3,y?2=31,4，解得因?yàn)锽C=3AD，所以△DMA～△BMC所以AM=14AC，即即點(diǎn)M的坐標(biāo)為34故答案為：3422．（23-24高一下·上?！て谥校┤鐖D所示，⊙O是正六邊形A1A2A3A4A5A6的外接圓，若點(diǎn)P【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)Px,y，寫出相關(guān)向量得到方程組，解出λ,μ，則得到λ+μ【解答過程】如圖，以直線A6A3為x軸，線段A則A1?1,?3,A則A1A因?yàn)锳1P=λ即x+1,y+3則x+1=3λ?μy+3=則λ+μ=33y+1，因?yàn)楣蚀鸢笧椋?323．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知A2,4,B?4,6，若AC=3【解題思路】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示進(jìn)行計(jì)算即可.【解答過程】因?yàn)锳2,4所以AB=?6,2則AC=又AD=則CD=故答案為：11,?1124．（23-24高一下·北京豐臺(tái)·期末）根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊作出的正方形面積之和.現(xiàn)在對(duì)直角三角形CDE按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形.若AF=xAB+yAD，則x+y=【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【解答過程】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以AB,AD為設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，則正方形DEHI的邊長(zhǎng)為3a，正方形EFGC邊長(zhǎng)為可知A0,0，B2a,0，D則xF=3+1又AF=xAB即2ax=3+32a故答案為：4+3題型7題型7向量共線、垂直的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示25．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a=?1,2,b=x,6，若a【解題思路】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，及向量平行的坐標(biāo)表示進(jìn)行計(jì)算即可.【解答過程】由題意得a?22a又a?2所以?10?2?x解得x=?3．故答案為：?3.26．（23-24高一下·河北滄州·期中）已知向量a=1,1，b=1,m．若?λ∈0,+∞，a【解題思路】根據(jù)a+λb⊥a?1λb可得：【解答過程】因?yàn)閍+λb⊥因?yàn)閍→a?由1+λ,1+λm?1?1λ,1?mλ=0因?yàn)樯鲜綄?duì)任意λ∈0,+∞都成立，所以1+m=0?故答案為：?1.27．（23-24高一下·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知向量AB=?1,2，AC=2,3，AD=m,?3，若B，C，D【解題思路】根據(jù)題意求BC,【解答過程】由題意可得：BC若B，C，D三點(diǎn)共線，可知BC//則m+1=?15，解得m=?16.故答案為：?16.28．（23-24高三上·北京西城·階段練習(xí)）已知向量a=2,4,b=1,0【解題思路】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算與垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求解即可.【解答過程】a→故答案為：2.題型8題型8用向量解決夾角、線段的長(zhǎng)度問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示29．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M，則∠DMF的余弦值為?210【解題思路】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，分別求出兩向量ED,【解答過程】以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖，

因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為a，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)AB=a，則Ea2,0，F(xiàn)a,a則ED=而∠DMF等于ED與AF所成的角．所以cos∠DMF=故答案為：?230．（24-25高一下·河北石家莊·階段練習(xí)）已知AB=a+b,AC=a?2b,|【解題思路】設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則2AD【解答過程】設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則2AD所以2AD所以4AD所以AD=故答案為：13231．（23-24高一下·山東聊城·期末）如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，M是BC的中點(diǎn)，AN=23AC，設(shè)AM與BN相交于點(diǎn)P

【解題思路】用AB和AC表示AM和BN，根據(jù)cos∠MPN=cos<AM,BN>以及【解答過程】因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以AM=|AM|=12AB因?yàn)锳N=23|BN|=23AC所以AM?BN=12AB+1所以cos∠MPN=cos<AM,BN故答案為：193832．（23-24高一下·山東濟(jì)寧·期中）已知兩點(diǎn)E,F分別是四邊形ABCD的邊AD,BC的中點(diǎn)，且AB=3，CD=2，∠ABC=45°，∠BCD=75°，則線段EF的長(zhǎng)為是【解題思路】作AH//CD，交BC于點(diǎn)H，可知∠BAH=60°；利用向量線性運(yùn)算可得到2EF【解答過程】作AH//CD，交BC于點(diǎn)H，則∴∠BAH=180°?∵EF=EA又EA=?ED，BF=?∴EF2=∴EF故答案為：192題型9題型9向量與幾何最值（范圍）問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示33．（23-24高三上·天津·期末）在梯形ABCD中，AB//CD,AB=BC=2,CD=1,∠BCD=120°,P、Q分別為線段BC和線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BP=λBC,DQ=12λ【解題思路】以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB為x軸，過點(diǎn)B且垂直于直線AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出DP?AQ關(guān)于λ的函數(shù)關(guān)系式，求出λ的取值范圍，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得【解答過程】以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB為x軸，過點(diǎn)B且垂直于直線AB的直線為y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A?2,0、C?1,3、D?2,3由題意可得0≤λ≤10≤12λAQ=所以，DP?由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)fλ=1在12,33上單調(diào)遞減，且則23因此，DP?AQ的取值范圍是故答案為：2334．（23-24高一下·江蘇無錫·期末）點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的三條邊上任意一點(diǎn)，則|PA+PB+PC【解題思路】構(gòu)建直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0,3),B(?1,0),C(1,0)且P(x,3【解答過程】不妨假設(shè)P在AB上且A(0,3所以，P在y=3(x+1)且?1≤x≤0，設(shè)則PA=(?x,?3x)，PB所以PA+故|PA當(dāng)x=?12時(shí)，|PA故答案為：3.35．（23-24高一下·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）在2022年2月4日舉行的北京冬奧會(huì)開幕式上，貫穿全場(chǎng)的雪花元素為觀眾帶來了一場(chǎng)視覺盛宴，象征各國(guó)?各地區(qū)代表團(tuán)的91朵“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界，順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊形ABCDEF.已知正六邊形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是其內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則AP?FC的最大值是3【解題思路】由已知，作PP′⊥AB，由正六邊形的性質(zhì)得AP?FC=2AP【解答過程】由已知，正六邊ABCDEF中，得AP?作PP′⊥AB要使AP?AB最大，必須讓所以AP?如圖可知，當(dāng)P在C處時(shí)，AP′最大，從而此時(shí)|AP所以AP?FC故答案為：3.36．（23-24高一下·浙江金華·期末）已知非零向量AB與AC滿足ABAB+ACAC?BC=0，且AB?AC=22,AB【解題思路】根據(jù)向量的幾何意義得到∠BAC的平分線與BC垂直，并計(jì)算出AE=32，CB=2【解答過程】ABAB,ACAC分別表示AB與AC方向的單位向量，故又ABAB+ACAC?由三線合一得到AB=AC，取BC的中點(diǎn)E，因?yàn)锳B?AC=

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，EA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則B2設(shè)D2?m,3m，則DB?當(dāng)m=210時(shí)，DB?故答案為：?1題型10題型10\o"正、余弦定理判定三角形形狀"\t"/gzsx/zj168411/_blank"正、余弦定理判定三角形形狀

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示37．（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）在△ABC中，c?acosB=(2a?b)cosA（a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊），則【解題思路】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式化簡(jiǎn)推理即得.【解答過程】在△ABC中，c?acosB=(2a?b)cos而sinC=sin(A+B)=于是cosA(sinB?sinA)=0，則cosA=0或sinB=所以△ABC為等腰或直角三角形.故答案為：等腰或直角三角形.38．（23-24高一下·河南三門峽·期中）已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=b+ccosB+cosC【解題思路】由正弦定理以及兩角和的正弦公式整理可得cosA(sinC+【解答過程】由正弦定理以及a=b+ccosB+所以sin=sin化簡(jiǎn)可得：cosA(因?yàn)?<B<π，0<C<π，所以sinB>0，sin因?yàn)?<A<π，所以A=π2故答案為：直角三角形.39．（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足2b=a+c，若4cos2B?8cosB+3=0【解題思路】先求出B的余弦值，再用余弦定理求出邊長(zhǎng)關(guān)系，最后判斷三角形形狀即可.【解答過程】由4cos解得cosB=12∵B∈0,π，∴∵2b=a+c，∴b=a+c∴cosB=整理，得a2+c2?2ac=0∴△ABC為等邊三角形.故答案為：等邊三角形.40．（23-24高三上·山東青島·期中）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，給出以下命題：①若tanA+tanB+②若acosA=bcos③若bcosC+ccos④若acosA=以上命題中，所有真命題的序號(hào)為①③④．【解題思路】①利用切弦關(guān)系及三角恒等變換、三角形內(nèi)角性質(zhì)可得tanA+【解答過程】①tan=sinCcosAcosB所以A,B,C都為銳角，正確；②由正弦邊角關(guān)系：sinAcosA=sinB所以A=B或2A+2B=π（A+B=π2③由正弦邊角關(guān)系：sinBcosC+所以A=B，故△ABC為等腰三角形，正確；④由asinA=bsin且A,B,C∈(0,π)，故A=B=C，則故答案為：①③④.題型11題型11三角形（四邊形）的面積問題

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示41．（23-24高一下·四川遂寧·階段練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c，已知c=1,b>c,sinBsinC=210，且asin【解題思路】由正弦定理得a2?b2=2bc+c2，再結(jié)合余弦定理cosA=b2+c2【解答過程】因?yàn)閍sin在△ABC中，由正弦定理得a2?b由余弦定理得cosA=b2+c因?yàn)樵凇鰽BC中，由正弦定理asinA=所以sinBsinC=所以a2=b所以b=2或b=22（舍）所以△ABC故答案為：1242．（23-24高一下·江蘇常州·期末）已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，2(a2+b2?c2【解題思路】先由已知條件結(jié)合余弦定理和sin2C+cos2C=1,C∈【解答過程】在△ABC中，由2(a2整理得sinC=22cosC，由而sin2C+cos由c=2及余弦定理，得4=a解得ab≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3因此S△ABC=12ab故答案為：2.43．（23-24高一下·北京·期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=22，∠B=2∠D=2π3，記△ABC與△ACD的面積分別為S1，S2，則

【解題思路】根據(jù)余弦定理得BC2?AC2=?22【解答過程】在△ABC中，由余弦定理得cosB=即?12=在△ACD中，由余弦定理得cosD=即12=8+C又S1所以S2由②?①，得CD2?B得CD?BC=22，代入③得S故答案為：2344．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，已知(2b?c)cosA?acosC=0，點(diǎn)D在邊BC上，AD是內(nèi)角A的角平分線，且AD=3，則△ABC面積的最小值是【解題思路】利用正弦定理將邊化角，即可求出A，再由角平分線可得面積線段可得b，c的關(guān)系，再由基本不等式可得bc的最小值，進(jìn)而求出該三角形面積的最小值．【解答過程】因?yàn)?2b?c)cos由正弦定理可得(2sin即2sin所以2sinBcos因?yàn)锽∈(0,π)，則sinB>0而A∈(0,π)，則因?yàn)锳D是內(nèi)角A的角平分線，所以∠BAD=∠CAD=π因?yàn)镾△ABC=S△ABD+可得3bc=3(b+c)因?yàn)閎+c≥2bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立，即3所以bc≥12，所以△ABC的面積S△ABC=1所以該三角形的面積的最小值為33故答案為：33題型12題型12求\o"求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍"\t"/gzsx/zj168411/_blank"三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示45．（23-24高一下·四川瀘州·期中）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c=2,B=π3，則△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為(3+【解題思路】由正弦定理可以把a(bǔ)+b表示為角C的函數(shù)，由銳角三角形得出角C的取值范圍，進(jìn)而可得a+b的取值范圍.【解答過程】在銳角△ABC中，c=2,B=π3，0<C<π2，由正弦定理，得a=csinA所a+b=3cosC+由π12<C2<π4因此1+3<a+b<1+32?3故答案為：(3+346．（23-24高三上·安徽淮南·階段練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若△ABC是銳角三角形且角A=2B，則ab的取值范圍為(2【解題思路】由正弦定理可以把邊的比值關(guān)系轉(zhuǎn)化為角B的關(guān)系，之后利用銳角三角形得到角B的范圍，之后求解即可.【解答過程】解：由正弦定理asinA=因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以0<A<π20<B<π20<C<π所以22<cos所以ab的取值范圍為(故答案為：(247．（23-24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）已知△ABC的外接圓O的半徑為733，AC的長(zhǎng)為7,△ABC周長(zhǎng)的最大值為【解題思路】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出角B，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解即得.【解答過程】由△ABC的外接圓O的半徑為733且AC=7，得而0<B<π，則B=π3或B=當(dāng)B=π3≥(AB+BC)2?3因此當(dāng)AB=BC=7時(shí)，(AB+BC)max=14，當(dāng)B=2π3≥(AB+BC)2?因此當(dāng)AB=BC=73時(shí)，(AB+BC)max=14而143+7<21，所以故答案為：21.48．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若C=2A，則2c+ba的取值范圍是(22【解題思路】根據(jù)已知條件，利用正弦定理邊角互化結(jié)合三角恒等變換將目標(biāo)式化為角A的函數(shù)關(guān)系，再求A的取值范圍，根據(jù)函數(shù)值域即可求得結(jié)果．【解答過程】因?yàn)镃=2A，則sinC=sin2A=2又sinB=故由正弦定理可得：2c+ba=sin又△ABC為銳角三角形，故可得A∈(0,π解得A∈(π6,由于y=4cos2A+4當(dāng)cosA=22故4cos即b+2ca故答案為：(22題型13題型13復(fù)數(shù)的模的幾何意義

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示49．（23-24高一下·上?！て谀┮阎獜?fù)數(shù)z滿足z=1，則z?3+4i的取值范圍是4,6【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，即可求得z?3+4i【解答過程】解：z=1表示zz?3+4i的幾何意義表示單位圓上的點(diǎn)和3,?4∴最小距離為32+?4∴z?3+4i的取值范圍為故答案為：4,6.50．（23-24高一下·湖南·期中）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|≤2，且|z?1||z?i|=1，則復(fù)數(shù)【解題思路】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡得解.【解答過程】由|z|≤2，得在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓及內(nèi)部，由|z?1||z?i|=1，得|z?1|=|z?i|，則點(diǎn)Z到即點(diǎn)Z在以(1,0),(0,1)為端點(diǎn)的線段的中垂線y=x上，因此點(diǎn)Z的軌跡是直線y=x在上述圓O及內(nèi)部，顯然直線y=x過圓心，所以所求軌跡長(zhǎng)度為4.故答案為：4.51．（23-24高一下·浙江紹興·階段練習(xí)）已知z∈C，且|z?i|=1，i為虛數(shù)單位，則z+3?5i的最大值是【解題思路】設(shè)z=x+yi(x,y∈R)，根據(jù)|z?i|=1得出【解答過程】設(shè)z=x+yi(x,y∈R)，由則x2+(y?1)2=1?而z+3?5i=(x+3)+(y?5)如圖所示，顯然最大距離是(?3,5)與圓心(0,1)的連線加上半徑長(zhǎng)，即最大值為(?3?0)2故答案為：6.52．（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知三個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2,z3，并且z1=z2=z3=1【解題思路】根據(jù)給定條件，以向量OZ1，OZ【解答過程】由OZ1?以向量OZ1，OZ

由z1=z2=1，得z1=1,z2由z3=1，得復(fù)數(shù)z3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z因此z1+z|ZZ3所以z1+z故答案為：[2題型14題型14根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果求復(fù)數(shù)特征

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示53．（23-24高一下·陜西寶雞·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z=2i1+i，則復(fù)數(shù)【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)得到z=1+i【解答過程】因?yàn)閦=2所以z=1?i，所以z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為故答案為：第四象限.54．（23-24高三下·安徽·開學(xué)考試）若復(fù)