高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提高第一輪專題復(fù)習(xí)專題03數(shù)列求通項(xiàng)(構(gòu)造法、倒數(shù)法)(典型題型歸類訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

專題03數(shù)列求通項(xiàng)（構(gòu)造法、倒數(shù)法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：構(gòu)造法 2題型二：倒數(shù)法 3三、數(shù)列求通項(xiàng)（構(gòu)造法、倒數(shù)法）專項(xiàng)訓(xùn)練 5一、必備秘籍1.構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.標(biāo)準(zhǔn)模型：（為常數(shù)，）或（為常數(shù)，）類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列（1）形如，可通過(guò)兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.（2）形如，可通過(guò)兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，換元令：，則原式化為：，先利用構(gòu)造法類型1求出，再求出的通項(xiàng)公式.（3）形如的數(shù)列，可通過(guò)兩邊同除以，變形為的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.2.倒數(shù)法用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過(guò)兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過(guò)兩邊取“倒”，變形為，可通過(guò)換元：，化簡(jiǎn)為：（此類型符構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.）二、典型題型題型一：構(gòu)造法例題1．（2023秋·江西宜春·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)（）A． B．C． D．例題2．（多選）（2023秋·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則（

）A． B． C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 D．為等比數(shù)列例題3．（2023春·山東淄博·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為例題4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為．例題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，且，求.例題6．（2023·四川綿陽(yáng)·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．例題7．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；例題8．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；題型二：倒數(shù)法例題1．（多選）（2023春·云南玉溪·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，則（

）A．為等比數(shù)列B．的通項(xiàng)公式為C．為單調(diào)遞減數(shù)列D．的前n項(xiàng)和例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則．例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式，且首項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，求的通項(xiàng)公式．例題5．（2023春·遼寧錦州·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的首項(xiàng)，，.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；例題6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，.(1)求證：；例題7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列：三、數(shù)列求通項(xiàng)（構(gòu)造法、倒數(shù)法）專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023春·河南許昌·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．二、填空題2．（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則滿足的最小正整數(shù)．3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）數(shù)列中，，，則．4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列中，，，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式.5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則三、解答題7．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：求通項(xiàng).8．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）已知：，時(shí)，，求的通項(xiàng)公式．9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，.若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；．四、雙空題17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若，，則；若，，則.

專題03數(shù)列求通項(xiàng)（構(gòu)造法、倒數(shù)法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：構(gòu)造法 2題型二：倒數(shù)法 5三、數(shù)列求通項(xiàng)（構(gòu)造法、倒數(shù)法）專項(xiàng)訓(xùn)練 8一、必備秘籍1.構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.標(biāo)準(zhǔn)模型：（為常數(shù)，）或（為常數(shù)，）類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列（1）形如，可通過(guò)兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.（2）形如，可通過(guò)兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，換元令：，則原式化為：，先利用構(gòu)造法類型1求出，再求出的通項(xiàng)公式.（3）形如的數(shù)列，可通過(guò)兩邊同除以，變形為的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.2.倒數(shù)法用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過(guò)兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過(guò)兩邊取“倒”，變形為，可通過(guò)換元：，化簡(jiǎn)為：（此類型符構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.）二、典型題型題型一：構(gòu)造法例題1．（2023秋·江西宜春·高三校考開(kāi)學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解法一：在遞推公式的兩邊同時(shí)除以，得①，令，則①式變?yōu)?，即，所以?shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，所以，即，所以，所以，解法二：設(shè)，則，與比較可得，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，故選：D例題2．（多選）（2023秋·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則（

）A． B． C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 D．為等比數(shù)列【答案】ABC【詳解】由得，兩式相減得，，又當(dāng)時(shí)，，則，故為首項(xiàng)是1，公差為的等差數(shù)列，即.顯然A、C正確；，故B正確；由通項(xiàng)公式易得，，，三者不成等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．例題3．（2023春·山東淄博·高二校考期中）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為【答案】【詳解】由得，故為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，所以所以.故答案為：例題4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為．【答案】【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，即，所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，則，令數(shù)列的前項(xiàng)和為，則故答案為：例題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，且，求.【答案】【詳解】由，得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以，即.當(dāng)時(shí)，，此式也滿足，故.例題6．（2023·四川綿陽(yáng)·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，則，整理得，故，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以．所以例題7．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由于，故，，∴，∴，，∴，，，可得，所以數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為2的一個(gè)等比數(shù)列；例題8．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）數(shù)列中，，由，可得又，則數(shù)列是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，則，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為題型二：倒數(shù)法例題1．（多選）（2023春·云南玉溪·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，則（

）A．為等比數(shù)列B．的通項(xiàng)公式為C．為單調(diào)遞減數(shù)列D．的前n項(xiàng)和【答案】BCD【詳解】因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，即，故選項(xiàng)B正確；根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項(xiàng)C正確；的前項(xiàng)和，故選項(xiàng)D正確,故選：BCD.例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則．【答案】【詳解】設(shè)，令得：，解得：；，化簡(jiǎn)得，，所以，從而，故，又，所以是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，從而，故．故答案為：例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式，且首項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【詳解】令．先求出數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)，解得．將不動(dòng)點(diǎn)代入遞推公式，得，整理得，，∴．令，則，．∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．∴的通項(xiàng)公式為．將代入，得．∴．例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，求的通項(xiàng)公式．【答案】．【詳解】由題意，，所以，則，而，故是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．于是．例題5．（2023春·遼寧錦州·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的首項(xiàng)，，.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，取倒得，所以，因?yàn)椋?，所以是，的等比?shù)列，所以．例題6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，.(1)求證：；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：假設(shè)，因，，則，解得或，于是得或，與題設(shè)且矛盾，故假設(shè)不成立，所以成立.7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列：【答案】(1)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：由，可得，又故數(shù)列為等比數(shù)列.三、數(shù)列求通項(xiàng)（構(gòu)造法、倒數(shù)法）專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023春·河南許昌·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由得，而，故是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即.故選：D二、填空題2．（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則滿足的最小正整數(shù)．【答案】5【詳解】由，解得，又，所以．另一方面由，可得，所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以，易知是遞增數(shù)列，又，，所以滿足的最小正整數(shù)．故答案為：5．3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）數(shù)列中，，，則．【答案】【詳解】由，，可得，所以，即(定值)，故數(shù)列以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以．故答案為：．4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考階段練習(xí)）數(shù)列中，，，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則.故答案為：5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.【答案】．【詳解】∵，所以，即，∴是等差數(shù)列，而，所以，所以．故答案為：．6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則【答案】【詳解】，令，則，∴又，，∴；故答案為：；三、解答題7．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：求通項(xiàng).【答案】【詳解】取倒數(shù)：，故是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為2，，∴.8．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）已知：，時(shí)，，求的通項(xiàng)公式．【答案】【詳解】設(shè)，所以，∴，解得：，又，∴是以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，∴．9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，.若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【詳解】將代入已知可得.因?yàn)?，所以，所以有，所?又，所以，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，，所以，.10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】．【詳解】解：由，得：，∴，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，得．11．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，．(1)求；【答案】(1)【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，兩邊同除以得，因?yàn)?，所以，因此?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.12．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為(1)試求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）由題意，兩邊同時(shí)除以，將其變形為，即，15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.求數(shù)列