高考數學復習解答題提高第一輪專題復習專題03圓錐曲線中的三角形(四邊形)面積問題(含定值、最值、范圍問題)(典型題型歸類訓練)(學生版+解析)

專題03圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題（含定值、最值、范圍問題）(典型題型歸類訓練)一、必備秘籍1、弦長公式（最常用公式，使用頻率最高）2、三角形面積問題直線方程：3、焦點三角形的面積直線過焦點的面積為注意：為聯立消去后關于的一元二次方程的二次項系數4、平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯立后消去后的一元二次方程的系數.5、范圍問題首選均值不等式，其實用二次函數，最后選導數均值不等式變式：作用：當兩個正數的積為定值時求出這兩個正數的和的最小值；當兩個正數的和為定值時求出這兩個正數的積的最大值注意：應用均值不等式求解最值時，應注意“一正二定三相等”圓錐曲線經常用到的均值不等式形式列舉：（1）（注意分三種情況討論）（2）當且僅當時，等號成立（3）當且僅當時等號成立.（4）當且僅當時，等號成立(5)當且僅當時等號成立.二、典型題型題型一：三角形面積（定值問題）1．（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）如圖，橢圓和圓，已知橢圓C的離心率為，直線與圓O相切．(1)求橢圓C的標準方程；(2)橢圓C的上頂點為B，EF是圓O的一條直徑，EF不與坐標軸重合，直線BE、BF與橢圓C的另一個交點分別為P、Q，求的面積的最大值．2．（2024上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓離心率等于，長軸長為4.(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與軌跡交于兩點，為坐標原點，直線的斜率之積等于，試探究的面積是否為定值，并說明理由.3．（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）已知點在拋物線上，斜率為的直線與交于兩點，記直線的斜率分別為(1)證明：為定值:(2)若，求的面積．題型二：四邊形面積（定值問題）1．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，過點的兩條直線，分別與橢圓交于另一點A，B，且直線，，的斜率滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明直線過定點；(3)橢圓C的焦點分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．2．（2024上·天津河北·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點為，短軸長為2.過點且不平行于坐標軸的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為.(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值；(3)延長線段與橢圓交于點，若四邊形為平行四邊形，求此時直線的斜率及四邊形的面積.3．（2023上·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）已知橢圓的左、右焦點為，，若上任意一點到兩焦點的距離之和為，且點在上.(1)求橢圓的方程；(2)在（1）的條件下，若點，在上，且(為坐標原點)，分別延長，交于，兩點，則四邊形的面積是否為定值？若為定值，求四邊形的面積，若不為定值，請說明理由.題型三：三角形面積（最值，范圍問題）1．（2024上·江西吉安·高二江西省峽江中學校考期末）已知拋物線C：的焦點F在x軸正半軸上，過F的直線l交C于A，B兩點，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點，其中B，D在x軸上方，M，N分別為，的中點．已知當l的斜率為2時，．(1)求拋物線C的解析式；(2)試判斷直線是否過定點，若過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；(3)設G為直線與直線的交點，求面積的最小值．2．（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）如圖，橢圓和圓，已知橢圓C的離心率為，直線與圓O相切．(1)求橢圓C的標準方程；(2)橢圓C的上頂點為B，EF是圓O的一條直徑，EF不與坐標軸重合，直線BE、BF與橢圓C的另一個交點分別為P、Q，求的面積的最大值．3．（2024上·廣東廣州·高二華南師大附中?？计谀┮阎?，圓，是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡是曲線．(1)求曲線的方程；(2)過作一條不平行于坐標軸的直線交曲線于兩點，過點作軸的垂線交于點，求面積的最大值．4．（2024·吉林長春·東北師大附中校聯考模擬預測）已知橢圓的兩焦點，且橢圓過.(1)求橢圓的標準方程；(2)設橢圓的左?右頂點分別為，直線交橢圓于兩點（與均不重合），記直線的斜率為，直線的斜率為，且，設，的面積分別為，求的取值范圍題型四：四邊形面積（最值，范圍問題）1．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，過點的兩條直線，分別與橢圓交于另一點A，B，且直線，，的斜率滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明直線過定點；(3)橢圓C的焦點分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．2．（2024上·湖南婁底·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點為，離心率，橢圓上一動點到的距離的最小值為.(1)求橢圓的標準方程；(2)設斜率為的直線過點，交橢圓于兩點，記線段的中點為，直線交直線于點，直線交橢圓于兩點，求的大小，并求四邊形面積的最小值.3．（2024上·山西大同·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓經過點，一個焦點在直線上．(1)求橢圓的方程；(2)設經過原點的兩條互相垂直的直線分別與橢圓相交于，兩點和，兩點．求四邊形的面積的最小值．4．（2024上·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的焦點坐標，且過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線與橢圓交于，兩點，且，關于原點的對稱點分別為，，若是一個與無關的常數，求此時的常數及四邊形面積的最大值.三、專項訓練1．（2024上·天津河北·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點為，短軸長為2.過點且不平行于坐標軸的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為.(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值；(3)延長線段與橢圓交于點，若四邊形為平行四邊形，求此時直線的斜率及四邊形的面積.2．（2024上·遼寧·高三校聯考期末）已知橢圓（）的離心率為，左?右焦點分別為，.過的直線交橢圓于，兩點，過的直線交橢圓于，兩點，且，垂足為，.(1)求橢圓的標準方程；(2)求四邊形的面積的最小值.3．（2024上·重慶九龍坡·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，焦距為2．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與橢圓相交于兩點，且．求的面積．4．（2024上·河北滄州·高二泊頭市第一中學校考階段練習）已知橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，點均在橢圓上．(1)求橢圓的離心率；(2)過原點且經過第一、三象限的直線與橢圓交于兩點，點為橢圓右頂點，點為橢圓上頂點，求四邊形面積的最大值．5．（2024上·天津寧河·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，右焦點為.(1)求橢圓的方程；(2)設直線與橢圓交于A，B兩點，求的面積.8．（2024上·上海·高二上海市吳淞中學?？计谀┤鐖D，設是橢圓的下焦點，直線與橢圓相交于、兩點，與軸交于點.(1)求以為圓心，短軸長為半徑的圓的標準方程；(2)判斷直線與斜率之和是否為常數，若成立，求出常數值；否則說明理由；(3)求面積的最大值.9．（2024上·甘肅蘭州·高二?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校瑘A與圓內切，且與圓外切，記動圓M的圓心的軌跡記為曲線C．直線與曲線C相交于P，Q兩點．(1)求曲線C的方程；(2)若是一個與m無關的定值，求此時k的值及△OPQ的面積的最大值．10．（2024上·江蘇無錫·高二無錫市第一中學?？计谀┮阎獧E圓的左右焦點分別為，，且橢圓過點，直線與橢圓相交于，兩點．(1)求橢圓的方程；(2)若不過原點且不平行于坐標軸，記線段的中點為，求證：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；(3)若，求面積的取值范圍．專題03圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題（含定值、最值、范圍問題）(典型題型歸類訓練)一、必備秘籍1、弦長公式（最常用公式，使用頻率最高）2、三角形面積問題直線方程：3、焦點三角形的面積直線過焦點的面積為注意：為聯立消去后關于的一元二次方程的二次項系數4、平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯立后消去后的一元二次方程的系數.5、范圍問題首選均值不等式，其實用二次函數，最后選導數均值不等式變式：作用：當兩個正數的積為定值時求出這兩個正數的和的最小值；當兩個正數的和為定值時求出這兩個正數的積的最大值注意：應用均值不等式求解最值時，應注意“一正二定三相等”圓錐曲線經常用到的均值不等式形式列舉：（1）（注意分三種情況討論）（2）當且僅當時，等號成立（3）當且僅當時等號成立.（4）當且僅當時，等號成立(5)當且僅當時等號成立.二、典型題型題型一：三角形面積（定值問題）1．（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）如圖，橢圓和圓，已知橢圓C的離心率為，直線與圓O相切．(1)求橢圓C的標準方程；(2)橢圓C的上頂點為B，EF是圓O的一條直徑，EF不與坐標軸重合，直線BE、BF與橢圓C的另一個交點分別為P、Q，求的面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據題意得到，再根據離心率得到，即可得到答案.（2）首先設直線，與橢圓聯立得到，從而得到，即可得到橢圓的標準方程：；（2）由題意知直線，的斜率存在且不為0，，不妨設直線的斜率為，則直線．由，得，或，所以.用代替，得則，，，設，則．當且僅當，即，即時取等號，所以.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.2．（2024上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓離心率等于，長軸長為4.(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與軌跡交于兩點，為坐標原點，直線的斜率之積等于，試探究的面積是否為定值，并說明理由.【答案】(1)(2)是定值1，理由見解析【分析】（1）列出關于的方程組求解后可得標準方程；（2）設，直線方程代入橢圓方程整理后應用韋達定理得，代入斜率乘積化簡得出的關系，然后由弦長公式計算弦長，再由點到直線距離公式求得三角形的高，從而計算三角形面積可得結論．【詳解】（1）由題意得，解得，

所以橢圓的方程為.（2）設，聯立直線和橢圓方程可得：，消去可得：，所以，即，則，

，，把韋達定理代入可得：，而點到直線的距離，所以，

把代入，則，可得是定值1．【點睛】方法點睛：本題考查橢圓中三角形面積為定值問題，一般設出交點坐標，直線方程與橢圓方程聯立方程組消元后應用韋達定理，并把此結論代入題設條件得出參數關系，由弦長公式求得弦長，由點到直線距離公式求高，計算三角形面積，并根據參數關系化簡得結論．3．（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）已知點在拋物線上，斜率為的直線與交于兩點，記直線的斜率分別為(1)證明：為定值:(2)若，求的面積．【答案】(1)證明見解析；(2)48.【分析】（1）求出拋物線的方程，設出直線的方程，與的方程聯立，借助韋達定理及斜率坐標公式計算即得.（2）由（1）的結論求出，進而求出直線的方程，利用弦長公式及點到直線的距離公式求解即得.【詳解】（1）由點在拋物線上，得，拋物線，設直線的方程為，，顯然，所以為定值.（2）由，得，則，由（1）知，，，解得，直線的方程為，，而點到直線的距離，所以的面積.題型二：四邊形面積（定值問題）1．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，過點的兩條直線，分別與橢圓交于另一點A，B，且直線，，的斜率滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明直線過定點；(3)橢圓C的焦點分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據條件列出方程組，解出即可；（2）設直線，聯立直線和橢圓方程，消元后，利用，建立方程，解出后驗證即可；（3）設直線，聯立直線和橢圓方程，消元后，利用韋達定理得到條件，利用進行計算，換元法求值域即可.【詳解】（1）由題設得，解得，由得，即，整理得，因為，得，解得或，時，直線過定點，不合題意，舍去；時，滿足，所以直線過定點．（3））由（2）得直線，所以，由，整理得，，由題意得，因為，所以，所以，令，，所以，在上單調遞減，所以的范圍是．

2．（2024上·天津河北·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點為，短軸長為2.過點且不平行于坐標軸的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為.(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值；(3)延長線段與橢圓交于點，若四邊形為平行四邊形，求此時直線的斜率及四邊形的面積.【答案】(1)(2)證明見解析(3)斜率為，【分析】（1）根據橢圓的焦點、短軸長求出即可得解；（2）設直線的方程為，聯立橢圓方程，求出弦中點，得出斜率即可得證；（3）由題意為線段的中點，表示出點坐標，代入橢圓求解斜率，再由點到直線距離求出高可得三角形面積，即可得解.【詳解】（1）由題意知，又，解得.橢圓的方程為.（2）由題意，設直線的方程為，由方程組消去得.顯然，，故為定值.（3）如圖，

若四邊形為平行四邊形，則為線段的中點，即點在橢圓上，，解得，即；結合（2）可得，，設點到直線的距離為，則，即3．（2023上·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）已知橢圓的左、右焦點為，，若上任意一點到兩焦點的距離之和為，且點在上.(1)求橢圓的方程；(2)在（1）的條件下，若點，在上，且(為坐標原點)，分別延長，交于，兩點，則四邊形的面積是否為定值？若為定值，求四邊形的面積，若不為定值，請說明理由.【答案】(1)(2)四邊形的面積為定值，理由見解析.【分析】（1）根據定義可求出，利用點在橢圓上列方程即可求出，進而得到橢圓方程；（2）設直線的方程，，，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理結合，得到與的關系，由弦長公式和點到直線距離公式即可得到，根據圖象對稱性即可計算四邊形的面積.【詳解】（1）因為上任意一點到兩焦點的距離之和為，所以，即.又因為點在上，所以，則，故橢圓的方程為.（2）四邊形的面積為定值，理由如下：當直線斜率為0時，因為，不妨設，則，則，，則，因為，所以，即，即，則，又原點到的距離，所以四邊形的面積，綜上，所以四邊形的面積為定值..【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.題型三：三角形面積（最值，范圍問題）1．（2024上·江西吉安·高二江西省峽江中學?？计谀┮阎獟佄锞€C：的焦點F在x軸正半軸上，過F的直線l交C于A，B兩點，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點，其中B，D在x軸上方，M，N分別為，的中點．已知當l的斜率為2時，．(1)求拋物線C的解析式；(2)試判斷直線是否過定點，若過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；(3)設G為直線與直線的交點，求面積的最小值．【答案】(1)(2)過定點，定點為(3)8【分析】（1）根據直線的斜率為2時列方程，得到即可得到拋物線方程；（2）分別聯立直線與拋物線、直線與拋物線方程得到點，的坐標，從而得到直線的方程，即可得到直線過定點；（3）聯立直線與的方程得到，根據點，的坐標和不等式得到，通過分析、和三種情況得到，從而可得面積的最小值.【詳解】（1）

設，，由題意得，，當直線的斜率為2時，直線的方程為，聯立得，則，，則，所以拋物線的解析式為.（2）由（1）得，設直線的方程為，的方程為，設，，因為直線與直線垂直，所以，當時，：，即，因為，所以直線的方程為，故當時，，此時過定點，當時，由得，此時直線的方程為，同樣經過點，所以直線過定點，該定點為.（3）由拋物線方程得，，則：，同理可得：，聯立得，即，由，同理，故，當時，有，則點在軸上方，點亦在軸上方，，直線過定點，所以此時，同理時，點在軸下方，點亦在軸下方，，故此時，當且僅當時，，，所以恒成立，且時等號成立，故，所以的面積最小值為8.【點睛】方法點睛：求定點問題常見的兩種方法：（1）從特殊入手，求出定點，再證明這個點與變量無關；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定點.2．（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）如圖，橢圓和圓，已知橢圓C的離心率為，直線與圓O相切．(1)求橢圓C的標準方程；(2)橢圓C的上頂點為B，EF是圓O的一條直徑，EF不與坐標軸重合，直線BE、BF與橢圓C的另一個交點分別為P、Q，求的面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據題意得到，再根據離心率得到，即可得到答案.（2）首先設直線，與橢圓聯立得到，從而得到，即可得到（2）由題意知直線，的斜率存在且不為0，，不妨設直線的斜率為，則直線．由，得，或，所以.用代替，得則，，，設，則．當且僅當，即，即時取等號，所以.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.3．（2024上·廣東廣州·高二華南師大附中?？计谀┮阎?，圓，是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡是曲線．(1)求曲線的方程；(2)過作一條不平行于坐標軸的直線交曲線于兩點，過點作軸的垂線交于點，求面積的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據給定條件，結合對稱的性質可得，再利用橢圓的定義求解即得.（2）設出直線的方程，與曲線的方程聯立，結合韋達定理及三角形面積公式求出面積的函數關系，并求出最大值即得.【詳解】（1）連接，由線段的垂直平分線和半徑相交于點，得，而圓的半徑為，則，因此曲線是以為左右焦點，長軸長的橢圓，顯然焦距，則，所以曲線的方程是.（2）設直線的方程為，，則，由消去得，顯然，則，于是的面積，當且僅當，即時取等號，所以面積的最大值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數法，若題目的條件和結論能體現某種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值或范圍．4．（2024·吉林長春·東北師大附中校聯考模擬預測）已知橢圓的兩焦點，且橢圓過.(1)求橢圓的標準方程；(2)設橢圓的左?右頂點分別為，直線交橢圓于兩點（與均不重合），記直線的斜率為，直線的斜率為，且，設，的面積分別為，求的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得：，求解即可；（2）先確定直線的斜率必不為0，設其方程為，聯立橢圓方程，結合韋達定理，結合題意可得直線恒過軸上一定點.從而可求得，進而可求解.【詳解】（1）由題意可得：，解得，所以橢圓的方程為：；（2）依題意，，設，直線斜率為.若直線的斜率為0，則點關于軸對稱，必有，不合題意.所以直線的斜率必不為0，設其方程為，與橢圓的方程聯立得，所以，且因為是橢圓上一點，滿足，所以，則，即.因為所以，此時，故直線恒過軸上一定點.因此，所以，令，當即時，取得最大值..【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.題型四：四邊形面積（最值，范圍問題）1．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，過點的兩條直線，分別與橢圓交于另一點A，B，且直線，，的斜率滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明直線過定點；(3)橢圓C的焦點分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據條件列出方程組，解出即可；（2）設直線，聯立直線和橢圓方程，消元后，利用，建立方程，解出后驗證即可；（3）設直線，聯立直線和橢圓方程，消元后，利用韋達定理得到條件，利用進行計算，換元法求值域即可.【詳解】（1）由題設得，解得，所以的方程為；（2）由題意可設，設，，由，整理得，．由韋達定理得，，由得，即，整理得，因為，得，解得或，時，直線過定點，不合題意，舍去；時，滿足，所以直線過定點．（3））由（2）得直線，所以，由，整理得，，由題意得，因為，所以，所以，令，，所以，在上單調遞減，所以的范圍是．

2．（2024上·湖南婁底·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點為，離心率，橢圓上一動點到的距離的最小值為.(1)求橢圓的標準方程；(2)設斜率為的直線過點，交橢圓于兩點，記線段的中點為，直線交直線于點，直線交橢圓于兩點，求的大小，并求四邊形面積的最小值.【答案】(1)(2)，3【分析】（1）由題意，結合平方關系即可得解.（2）由題意設，直線的方程為，聯立橢圓方程，結合韋達定理、中點坐標公式得坐標，方程，聯立進而得坐標，可以發(fā)現，所以，由四邊形對角線互相垂直，以及弦長公式、同理思想可表示出面積，結合基本不等式的相關推論即可得解.【詳解】（1）設橢圓的半焦距為，由已知，求得，所以.所以橢圓的方程為.（2）由已知橢圓的右焦點為，設，直線的方程為，聯立，可得.則.于是有.因為的中點為，所以，因此直線的斜率，因為直線交直線于點，所以，故直線的斜率為，即得，因此直線與直線垂直，所以，所以.因為，所以直線的方程為，同理可得，所以四邊形的面積.因為，當且僅當，即時等號成立，所以，故四邊形面積的最小值為3.【點睛】關鍵點睛：第二問求的關鍵是先用的斜率表示出的斜率，結合到角公式可以得夾角，事實上可以得，問題就簡單了，然后由弦長公式、同理思想表示出四邊形面積，即可順利得解.3．（2024上·山西大同·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓經過點，一個焦點在直線上．(1)求橢圓的方程；(2)設經過原點的兩條互相垂直的直線分別與橢圓相交于，兩點和，兩點．求四邊形的面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題設易得，結合橢圓定義及兩點距離公式求得，進而可得橢圓方程；（2）討論直線斜率，設直線方程并聯立橢圓求相交弦長，進而得到四邊形的面積關于直線斜率的表達式，即可得求最小值.【詳解】（1）由題意，橢圓的左、右焦點分別為，，即，所以，即，，所以橢圓的方程為．（2）①當直線的斜率不存在或為0時，，，，分別為橢圓的四個頂點，所以．②當直線的斜率存在且不為0時，設，則，設，，，，聯立，解得，即，所以，同理，所以．令，則，，所以，，當時，又，所以四邊形的面積的最小值為．4．（2024上·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的焦點坐標，且過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線與橢圓交于，兩點，且，關于原點的對稱點分別為，，若是一個與無關的常數，求此時的常數及四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)28，【分析】（1）由橢圓的定義求出，再由焦點坐標求出，再由，即可得出答案；（2）聯立直線與橢圓方程，消去y，由韋達定理表示出，因為是一個與無關的常數，所以，求出，再表示出四邊形的面積，由二次函數的性質求解即可得出答案.【詳解】（1）點到橢圓兩焦點的距離和為，.又，故，故橢圓方程為.（2）依題意，可得四邊形為平行四邊形，故，設，，則，由，消掉可得，可得，，∴.若上式與無關，故，.故此時常數為28.此時，，，而原點到的距離，四邊形的面積，此時，滿足成立.

【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.三、專項訓練1．（2024上·天津河北·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點為，短軸長為2.過點且不平行于坐標軸的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為.(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值；(3)延長線段與橢圓交于點，若四邊形為平行四邊形，求此時直線的斜率及四邊形的面積.【答案】(1)(2)證明見解析(3)斜率為，【分析】（1）根據橢圓的焦點、短軸長求出即可得解；（2）設直線的方程為，聯立橢圓方程，求出弦中點，得出斜率即可得證；（3）由題意為線段的中點，表示出點坐標，代入橢圓求解斜率，再由點到直線距離求出高可得三角形面積，即可得解.【詳解】（1）由題意知，又，解得.橢圓的方程為.（2）由題意，設直線的方程為，由方程組消去得.顯然，設，則.為線段的中點，，，故為定值.（3）如圖，

若四邊形為平行四邊形，則為線段的中點，即點在橢圓上，，解得，即；結合（2）可得，，設點到直線的距離為，則，即2．（2024上·遼寧·高三校聯考期末）已知橢圓（）的離心率為，左?右焦點分別為，.過的直線交橢圓于，兩點，過的直線交橢圓于，兩點，且，垂足為，.(1)求橢圓的標準方程；(2)求四邊形的面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由幾何關系得，結合離心率得橢圓的方程；（2）按兩條相互垂直的直線斜率是否存在分類討論，當直線BD的斜率存在且不為零時，設直線BD的方程為，與橢圓方程聯立，用弦長公式求，同理得，表示出四邊形的面積并求最小值.【詳解】（1）因為，垂足為，O為的中點，所以，即，又因為離心率，所以，，橢圓的方程為.（2）當直線BD的斜率不存在或斜率為零時，四邊形ABCD的面積為；當直線BD的斜率存在且不為零時，設直線BD的方程為，，，聯立方程組，得，則，，，由，及橢圓的對稱性，，四邊形ABCD的面積，當且僅當，即時，等號成立，因為，所以四邊形ABCD的面積最小值為.【點睛】關鍵點點睛：當直線BD的斜率存在且不為零時，由弦長公式得，求的長可根據直線AC過定點且與直線BD垂直，結合橢圓的對稱性通過用代直接得到.3．（2024上·重慶九龍坡·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，焦距為2．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與橢圓相交于兩點，且．求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據橢圓焦距及離心率即可得；（2）聯立橢圓方程后，利用韋達定理及可得的值，即可求出的面積.【詳解】（1）∵橢圓：的離心率為，故，又焦距為2，故，即有，，則，∴橢圓的方程為；（2）聯立，消去整理得，由，則，設，，則，，故，則，化簡得，即，滿足，故，又點到直線的距離，∴的面積，故的面積為.4．（2024上·河北滄州·高二泊頭市第一中學?？茧A段練習）已知橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，點均在橢圓上．(1)求橢圓的離心率；(2)過原點且經過第一、三象限的直線與橢圓交于兩點，點為橢圓右頂點，點為橢圓上頂點，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系數法，結合題目中的已知點，建立方程組，根據橢圓離心率的計算公式，可得答案；（2）設出函數解析式，聯立方程，求得交點坐標，利用分割法，整理函數解析式，結合基本不等式，可得答案.【詳解】（1）設橢圓的方程為，點均在橢圓上，，解得，橢圓的方程為，橢圓的離心率．（2）由題意，設直線的方程為，設，其中，聯立，得，，由題設，，四邊形的面積為：，當且僅當，即時，上式取等號．四邊形面積的最大值為．5．（2024上·天津寧河·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，右焦點為.(1)求橢圓的方程；(2)設直線與橢圓交于A，B兩點，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題設可得、，進而寫出橢圓方程；（2）聯立橢圓與直線，應用韋達定理、弦長公式及點線距離公式求，進而求面積.【詳解】（1）由題設且，則，故，所以.（2）聯立直線與橢圓，可得，顯然，所以，，故，而到的距離，所以的面積為.6．（2024上·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）在以下三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并作答.條件①：直線的法向量為；條件②：與直線平行；條件③：與直線垂直.已知直線經過且___________.(1)求直線方程；(2)若點是直線上的動點，過點做的兩條切線，切點分別為，兩點，求四邊形的面積的最小值.【答案】(1)所選條件見解析，；(2)5.【分析】（1）選擇①，根據法向量得到直線的一個方向向量，即得斜率，點斜式寫出直線方程；選擇②③，由平行、垂直關系設所求直線方程，將已知點代入求參數，即得直線方程；（2）由圓切線性質，問題化為先求，再求四邊形的面積的最小值.【詳解】（1）若選擇①：由法向量，可得直線的一個方向向量，可得，于是，代入并整理得，綜上，直線方程為；若選擇②：與直線平行，可設直線方程為，，將代入，則有，解得，整理得，綜上，直線方程為；若選擇③：與直線垂直，可設直線方程為，將代入，則有，解得，整理得綜上，直線方程為.（2）由題意，圓的方程為，得圓心為，半徑為，則到距離為，即直線與圓相離，而，，，當時，，此時面積的最小值為.7．（2024上·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為F，M為拋物線上一點，且在第一象限內.過作拋物線的兩條切線，，A，B是切點；射線交拋物線于.(1)求直線的方程（用M點橫坐標表示）；(2)求四邊形面積的最小值.【答案】(1)(2)16【分析】（1）利用導數求則切線和的方程，由點坐標同時滿足和的方程，得直線的方程；（2）設直線的方程，表示出弦長，再求A、B