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2022-2023學(xué)年山西省大同市第一中學(xué)高三復(fù)習(xí)質(zhì)量監(jiān)測(cè)(五)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是()A.B.C.D.2.若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),則它的一條對(duì)稱(chēng)軸方程可能是()A. B. C. D.3.已知函數(shù),,若成立,則的最小值是()A. B. C. D.4.如圖,在正方體中,已知、、分別是線(xiàn)段上的點(diǎn),且.則下列直線(xiàn)與平面平行的是()A. B. C. D.5.《九章算術(shù)》“少?gòu)V”算法中有這樣一個(gè)數(shù)的序列:列出“全步”(整數(shù)部分)及諸分子分母,以最下面的分母遍乘各分子和“全步”,各自以分母去約其分子,將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡(jiǎn),又用最下面的分母去遍乘諸(未通者)分子和以通之?dāng)?shù),逐個(gè)照此同樣方法,直至全部為整數(shù),例如:及時(shí),如圖:記為每個(gè)序列中最后一列數(shù)之和,則為()A.147 B.294 C.882 D.17646.過(guò)雙曲線(xiàn)左焦點(diǎn)的直線(xiàn)交的左支于兩點(diǎn),直線(xiàn)(是坐標(biāo)原點(diǎn))交的右支于點(diǎn),若,且,則的離心率是()A. B. C. D.7.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表示對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試,先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為001,002,……,599,600.從中抽取60個(gè)樣本,下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行:若從表中第6行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù),則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是()A.324 B.522 C.535 D.5788.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是,則()A.2 B.3 C.-2 D.-39.已知為圓的一條直徑,點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足不等式組則的取值范圍為()A. B.C. D.10.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足條件x+y-2?02x-y+3?0x-y?0則A.1 B.2 C.3 D.411.定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足,若,,則()A. B.0 C.1 D.212.對(duì)于函數(shù),定義滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)為的不動(dòng)點(diǎn),設(shè),其中且,若有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是()A.或 B.C.或 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,且,則______.14.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正方體),觀察向上的點(diǎn)數(shù),則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為_(kāi)___.15.已知,在方向上的投影為,則與的夾角為_(kāi)________.16.已知,,,的夾角為30°,,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若是的極值點(diǎn),求的極大值;(2)求實(shí)數(shù)的范圍,使得恒成立.18.(12分)已知函數(shù)u(x)=xlnx,v(x)x﹣1,m∈R.(1)令m=2,求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)令f(x)=u(x)﹣v(x),若函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且滿(mǎn)足1e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))求x1?x2的最大值.19.(12分)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.數(shù)列滿(mǎn)足,其前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)已知矩陣,二階矩陣滿(mǎn)足.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.21.(12分)在如圖所示的幾何體中,面CDEF為正方形,平面ABCD為等腰梯形,AB//CD,AB=2BC,點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn).(1)求證:AC//平面DQF;(2)若∠ABC=60°,AC⊥FB,求BC與平面DQF所成角的正弦值.22.(10分)如圖所示,已知平面,,為等邊三角形,為邊上的中點(diǎn),且.(Ⅰ)求證:面;(Ⅱ)求證:平面平面;(Ⅲ)求該幾何體的體積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,,在恒成立,在恒成立,,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是,故選B.2.B【解析】
把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求出,然后驗(yàn)證各選項(xiàng).【詳解】由題意,,或,,不妨取或,若,則函數(shù)為,四個(gè)選項(xiàng)都不合題意,若,則函數(shù)為,只有時(shí),,即是對(duì)稱(chēng)軸.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸,掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.3.A【解析】分析:設(shè),則,把用表示,然后令,由導(dǎo)數(shù)求得的最小值.詳解:設(shè),則,,,∴,令,則,,∴是上的增函數(shù),又,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,是極小值也是最小值,,∴的最小值是.故選A.點(diǎn)睛:本題易錯(cuò)選B,利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值,解題時(shí)學(xué)生可能不會(huì)將其中求的最小值問(wèn)題,通過(guò)構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題,另外通過(guò)二次求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯(cuò).4.B【解析】
連接,使交于點(diǎn),連接、,可證四邊形為平行四邊形,可得,利用線(xiàn)面平行的判定定理即可得解.【詳解】如圖,連接,使交于點(diǎn),連接、,則為的中點(diǎn),在正方體中,且,則四邊形為平行四邊形,且,、分別為、的中點(diǎn),且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)面平行的判定,考查了推理論證能力和空間想象能力,屬于中檔題.5.A【解析】
根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計(jì)算,由此求得的值.【詳解】依題意列表如下:上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理,考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化,屬于基礎(chǔ)題.6.D【解析】
如圖,設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為,連接并延長(zhǎng)交右支于,連接,設(shè),利用雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)可以得到,,結(jié)合、可求離心率.【詳解】如圖,設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為,連接,連接并延長(zhǎng)交右支于.因?yàn)?,故四邊形為平行四邊形,?又雙曲線(xiàn)為中心對(duì)稱(chēng)圖形,故.設(shè),則,故,故.因?yàn)闉橹苯侨切?,故,解?在中,有,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率,注意利用雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性(中心對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng))以及雙曲線(xiàn)的定義來(lái)構(gòu)造關(guān)于的方程,本題屬于難題.7.D【解析】
因?yàn)橐獙?duì)600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào),所以編號(hào)必須是三位數(shù),因此按要求從第6行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù),大于600的,重復(fù)出現(xiàn)的舍去,直至得到第六個(gè)編號(hào).【詳解】從第6行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù),編號(hào)內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:,因?yàn)?35重復(fù)出現(xiàn),所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為,故第6個(gè)數(shù)據(jù)為578.選D.【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)數(shù)表表的應(yīng)用,正確掌握隨機(jī)數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.8.B【解析】
根據(jù)求出再根據(jù)也在直線(xiàn)上,求出b的值,即得解.【詳解】因?yàn)?,所以所以,又也在直線(xiàn)上,所以,解得所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9.D【解析】
首先將轉(zhuǎn)化為,只需求出的取值范圍即可,而表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與圓心距離,數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖所示設(shè)圓心為,則,過(guò)作直線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為B,顯然,又易得,所以,,故.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查與線(xiàn)性規(guī)劃相關(guān)的取值范圍問(wèn)題,涉及到向量的線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等知識(shí),考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸的思想,是一道中檔題.10.C【解析】
畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】如圖所示:畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù),z=x+y+1,即y=-x+z-1,z表示直線(xiàn)在y軸的截距加上1,根據(jù)圖像知,當(dāng)x+y=2時(shí),且x∈-13,1時(shí),故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵.11.C【解析】
首先判斷出是周期為的周期函數(shù),由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù),得,而,所以,所以,即的周期為.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】
根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義,利用換底公式分離參數(shù)可得;構(gòu)造函數(shù),并討論的單調(diào)性與最值,畫(huà)出函數(shù)圖象,即可確定的取值范圍.【詳解】由得,.令,則,令,解得,所以當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞減;所以在處取得極大值,即最大值為,則的圖象如下圖所示:由有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),可得得或,解得或.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用,由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值,分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)方法的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.18【解析】
將已知已知轉(zhuǎn)化為的形式,化簡(jiǎn)后求得,利用等差數(shù)列前公式化簡(jiǎn),由此求得表達(dá)式的值.【詳解】因?yàn)?,所?故填:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算,考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】總事件數(shù)為,目標(biāo)事件:當(dāng)?shù)谝活w骰子為1,2,4,6,具體事件有,共8種;當(dāng)?shù)谝活w骰子為3,6,則第二顆骰子隨便都可以,則有種;所以目標(biāo)事件共20中,所以。15.【解析】
由向量投影的定義可求得兩向量夾角的余弦值,從而得角的大?。驹斀狻吭诜较蛏系耐队盀椋磰A角為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的夾角,掌握向量投影的定義是解題關(guān)鍵.16.1【解析】
由求出,代入,進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即得.【詳解】,存在實(shí)數(shù),使得.不共線(xiàn),.,,,的夾角為30°,.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線(xiàn)定理和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1).(2)【解析】
(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合極值存在的條件可求t,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可求極大值;(2)由已知代入可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0時(shí)恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)可求.【詳解】(1),x>0,由題意可得,0,解可得t=﹣4,∴,易得,當(dāng)x>2,0<x<1時(shí),f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)1<x<2時(shí),f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,故當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得極大值f(1)=﹣3;(2)由f(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx+2≥2在x>0時(shí)恒成立可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0時(shí)恒成立,令g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,則,(i)當(dāng)t≥0時(shí),g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(1)=t﹣1≥0,解可得t≥1,(ii)當(dāng)﹣2<t<0時(shí),g(x)在()上單調(diào)遞減,在(0,),(1,+∞)上單調(diào)遞增,此時(shí)g(1)=t﹣1<﹣1不合題意,舍去;(iii)當(dāng)t=﹣2時(shí),g′(x)0,即g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,此時(shí)g(1)=﹣3不合題意;(iv)當(dāng)t<﹣2時(shí),g(x)在(1,)上單調(diào)遞減,在(0,1),()上單調(diào)遞增,此時(shí)g(1)=t﹣1<﹣3不合題意,綜上,t≥1時(shí),f(x)≥2恒成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性及極值,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)處理不等式的恒成立問(wèn)題,分類(lèi)討論思想,屬于中檔題.18.(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間是(e,+∞)(2)【解析】
(1)化簡(jiǎn)函數(shù)h(x),求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出(2)函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,則f′(x)=lnx﹣mx=0有兩個(gè)正根,由此得到m(x2﹣x1)=lnx2﹣lnx1,m(x2+x1)=lnx2+lnx1,消參數(shù)m化簡(jiǎn)整理可得ln(x1x2)=ln?,設(shè)t,構(gòu)造函數(shù)g(t)=()lnt,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值即可求出x1?x2的最大值.【詳解】(1)令m=2,函數(shù)h(x),∴h′(x),令h′(x)=0,解得x=e,∴當(dāng)x∈(0,e)時(shí),h′(x)>0,當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),h′(x)<0,∴函數(shù)h(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間是(e,+∞)(2)f(x)=u(x)﹣v(x)=xlnxx+1,∴f′(x)=1+lnx﹣mx﹣1=lnx﹣mx,∵函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,∴f′(x)=lnx﹣mx=0有兩個(gè)不等正根,∴l(xiāng)nx1﹣mx1=0,lnx2﹣mx2=0,兩式相減可得lnx2﹣lnx1=m(x2﹣x1),兩式相加可得m(x2+x1)=lnx2+lnx1,∴∴l(xiāng)n(x1x2)=ln?,設(shè)t,∵1e,∴1<t≤e,設(shè)g(t)=()lnt,∴g′(t),令φ(t)=t2﹣1﹣2tlnt,∴φ′(t)=2t﹣2(1+lnt)=2(t﹣1﹣lnt),再令p(t)=t﹣1﹣lnt,∴p′(t)=10恒成立,∴p(t)在(1,e]單調(diào)遞增,∴φ′(t)=p(t)>p(1)=1﹣1﹣ln1=0,∴φ(t)在(1,e]單調(diào)遞增,∴g′(t)=φ(t)>φ(1)=1﹣1﹣2ln1=0,∴g(t)在(1,e]單調(diào)遞增,∴g(t)max=g(e),∴l(xiāng)n(x1x2),∴x1x2故x1?x2的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和最值,考查了函數(shù)與方程的思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于難題19.(1),;(2).【解析】
(1)令可求得的值,令,由得出,兩式相減可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列,確定該數(shù)列的公比,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式,運(yùn)用數(shù)列的分組求和和裂項(xiàng)相消求和,化簡(jiǎn)可得.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,所以;當(dāng)時(shí),,得,即,所以,數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,.;(2)由(1)知數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,.,.所以.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用,注意結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,考查數(shù)列的求和方法:分組求和法和裂項(xiàng)相消求和,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.20.(1)(2)特征值為或.【解析】
(1)先設(shè)矩陣,根據(jù),按照運(yùn)算規(guī)律,即可求出矩陣.(2)令矩陣的特征多項(xiàng)式等于,即可求出矩陣的特征值.【詳解】解:(
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