2024八年級數(shù)學(xué)上冊第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三邊關(guān)系上課課件新版華東師大版

14.1勾股定理第1課時(shí)

直角三角形三邊關(guān)系第14章

勾股定理1、掌握勾股定理及其簡單應(yīng)用，理解定理的一般探究方法；2、通過利用方格紙計(jì)算面積的方法探索勾股定理，經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗(yàn)證的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，發(fā)展數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；你知道2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(ICM-2002)嗎？在這次大會上，到處可以看到一個(gè)簡潔優(yōu)美、遠(yuǎn)看像旋轉(zhuǎn)的紙風(fēng)車的圖案，它就是大會的會標(biāo).會標(biāo)采用了1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖.

1955年希臘發(fā)行的一枚紀(jì)念郵票.

這張郵票是紀(jì)念二千五百年前希臘的一個(gè)學(xué)派和宗教團(tuán)體──畢達(dá)哥拉斯學(xué)派.郵票上的圖案是根據(jù)一個(gè)著名的數(shù)學(xué)定理設(shè)計(jì)的.

觀察這枚郵票上的圖案，數(shù)數(shù)圖案中各正方形中小方格的個(gè)數(shù)，你有什么猜想？知識點(diǎn)一

直角三角形三邊的關(guān)系（圖中每一格代表一平方厘米）（1）正方形P的面積是

平方厘米；（2）正方形Q的面積是

平方厘米；（3）正方形R的面積是

平方厘米.121SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎？Sp=AC2SQ=BC2SR=AB2上面三個(gè)正方形的面積之間有什么關(guān)系？觀察正方形瓷磚鋪成的地面.

這說明在等腰直角三角形ABC中,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

那么,在一般的直角三角形中,兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方呢?想一想填一填.觀察右邊兩幅圖：完成下表（每個(gè)小正方形的面積為單位1）.A的面積B的面積C的面積左圖右圖4

？怎樣計(jì)算正方形C的面積呢？9

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9

直角三角形三邊關(guān)系的證明方法：方法一：割方法二：補(bǔ)方法三：拼分割為四個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形.補(bǔ)成大正方形，用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積.將幾個(gè)小塊拼成若干個(gè)小正方形，圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個(gè)小正方形.分析表中數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)圖中三個(gè)正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系嗎？A的面積B的面積C的面積左圖4913右圖16925結(jié)論：以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積.SA+SB=SC猜想:兩直角邊a、b與斜邊c之間的關(guān)系？ABCacba2+b2=c2由上面的探索可以發(fā)現(xiàn)：對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有a2+b2=c2，abc這種關(guān)系我們稱為勾股定理.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系.概念總結(jié)思考：怎樣證明勾股定理？左圖是弦圖的示意圖，它由4個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形組成，恰好拼成一個(gè)大正方形.大正方形的面積=c2.四個(gè)全等的直角三角形和小正方形的面積之和=.即a2+b2=c2.做一做用四個(gè)全等的直角三角形，還可以拼成如圖所示的圖形.與上面的方法類似，根據(jù)這一圖形，也能證明勾股定理.請你試一試，寫出完整的證明過程.證明：大正方形的面積=(a+b)2.四個(gè)個(gè)全等的直角三角形和小正方形的面積之和=.由題可知(a+b)2=2ab+c2，化簡可得a2+b2=c2.我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來，再進(jìn)行整式運(yùn)算，從理論上驗(yàn)證了勾股定理.典例精析【例1】求出下列直角三角形中未知邊的長度.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2x2=100x2=62+82∵x>0，

y2+52=132

y2=132-52y2=144∴y=12.(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得:AC2+BC2=AB2∵y>0，A68xCB5y13CAB∴x=10.(1)(2)練一練（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，則AB=________；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，則BC=________；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的兩邊是6和8，則它的第三邊長是________.131510或2.若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長分別為a，b，斜邊長為c，則下列關(guān)于a，b，c的關(guān)系式中不正確的是(

)A．b2＝c2－a2B．a(chǎn)2＝c2－b2C．b2＝a2－c2D．c2＝a2＋b2C3.如圖，以Rt△ABC的三條邊為直徑的半圓的面積分別為S1、S2、S3，已知S1=9，S3=25，求S2.

勾股圖中的面積關(guān)系:

以直角三角形的三邊為基礎(chǔ)，分別向外作半圓、正方形、等邊三角形，如圖，它們都形成了簡單的勾股圖.對于這些勾股圖，它們都具有相同的結(jié)論，即S3=S1+S2.與直角三角形三邊相連的圖形還可以換成正五邊形、正六邊形等，結(jié)論同樣成立.1.求下列圖中未知數(shù)x、y、z的值.x=15y=5z=78116xy144169z6255762.如圖，一個(gè)高3米，寬4米的大門，需在相對角的頂點(diǎn)間加一個(gè)加固木條，則木條的長為()A.3米B.4米

C.5米D.6米C34CBA3.如圖，正方形中的數(shù)據(jù)表示它的面積，則第三個(gè)正方形的面積為(

)A.69 B.18 C.19 D.20C2544ABC4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c.(1)若c=15，b=12，求a的長;(2)若a=11，b=60，求c的長;(3)若a∶b=3∶4，c=10，求a、b的長.解：(1)∵a2+b2=c2，∴a2=c2-b2=152-122=81.∴a=9.(2)∵a2+b2=c2，∴c2=112+602=3721.

∴c=61.(3)∵a∶b=3∶4，∴設(shè)a=3x，b=4x(x>0).∵a2+b2=c2，∴(3x)2+(4x)2=102,整理，得25x2=100，∴x2=4.∴x=2.∴a=3x=6，b=4x=8.5.如圖，在△ABC中，AB=AC，BM=CM，AB=13cm，BC=24cm.求△ABC的面積.BACM

6.如圖，小方格都是邊長為1的正方形.求四邊形ABCD的面積與周長.(精確到0.1)解：S大正方形=5×5=25，所以S四邊形ABCD=25-12.5=12.5.四個(gè)直角三角形的面積之和=1×2×+2×4×+3×3×+2×3×=12.5