山東省青島市萊西市三校聯(lián)考2023-2024學(xué)年八上期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年山東省青島市萊西市三校聯(lián)考八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）一．選擇題（共8小題，24分）1.在RtABC中，∠C=90°，sinA=，則tanA=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意，作出圖形，設(shè)，則，利用勾股定理求得，根據(jù)正切的定義求得即可．【詳解】解：如圖，在中，，，設(shè)，則，由勾股定理可得，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角形函數(shù)的定義、勾股定理解直角三角形，理解三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．2.如圖，是的直徑，內(nèi)接于，延長(zhǎng)在外相交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形，得出，根據(jù)是直徑得出，則，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：連接，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵是直徑，∴，∵，∴∴，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，垂徑定理，直徑所對(duì)的圓周角是直接，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3.如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且AE＝2ED，CE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，若S△DEF＝2，則S△BCF為（）A.4 B.6 C.9 D.18【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方即可解決問題．【詳解】解：∵AE＝2ED，∴，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，BC＝AD，∴△EDF∽△CBF，∴，∴（）2，∵S△EDF＝2，∴S△BCF＝18．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．4.如圖，一艘船由A港沿北偏東方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，則A，C兩港之間的距離是（）A. B.30 C.40 D.50【答案】D【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方位角問題、直角三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)方位角判斷三角形的形狀，然后利用勾股定理計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，由題意得：，，∴，∴，在中，，，∴A，C兩港之間的距離為，故選：D．5.如圖，在中，點(diǎn)D在線段上，請(qǐng)?zhí)砑右粭l件使，則下列條件中不正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查添加條件證明三角形相似，根據(jù)相似三角形的判定方法，兩組對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)相等，和兩組對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：在和中，，要使，只需，，或或即可；當(dāng)時(shí)，∵，∴，能使；綜上：只有選項(xiàng)A不能證明；故選A．6.如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)D，E在邊上，若，，則的長(zhǎng)度是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由于是等邊三角形，還給出，所有考慮直接把轉(zhuǎn)移到一個(gè)直角三角形中求解，那么這個(gè)角度如何利用，恰好想到過點(diǎn)A作的垂線直接得到了，可求，再利用正切，可求,最后在求．【詳解】∵是等邊三角形；∴；過點(diǎn)作的垂線，垂足為；∴；∴；∵；∴；∵；；∴；在中，；中；；∴；∴；∴；∴；∵；∴；故選．7.如圖，是的直徑，，，是上的三點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，若的半徑為，則的最小值為（）A.1 B. C. D.﹣1【答案】C【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱－最短路線問題、圓周角定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、、，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題可得＋的最小值為，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的倍求出，然后可得，再求出，根據(jù)對(duì)稱性及圖形得出，從而判斷出是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得的長(zhǎng)度．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、、，則＋的最小值，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，由對(duì)稱性可得，，，是等腰直角三角形，，即＋的最小值為．故選C．8.如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為，的半徑為，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，勾股定理求得，即當(dāng)最小時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，最小，求出即得的最小值．【詳解】解：連接，∵是的切線，∴，∵，∴，即當(dāng)最小時(shí)，有最小值，∵等邊三角形的邊長(zhǎng)為，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，∴，即的最小值為3，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，18分）9.如圖，一個(gè)小球由地面沿著坡度為的坡面向上前進(jìn)了25cm，則此時(shí)小球水平方向前進(jìn)的距離是_______cm．【答案】20【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，過作于，由，設(shè)cm，cm，則cm，即可求解．【詳解】解：如圖，過作于，由，設(shè)cm，cm，由勾股定理得：，解得，（cm）．故答案為：20．10.如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊、上，，如果，，那么_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)等，由等邊三角形的性質(zhì)可證，從而可證，從而可得，再由求出，即可求解．【詳解】解：為等邊三角形，，，，，，，，，，，，解得：；故答案：．11.如圖，湖的旁邊有一建筑物，某數(shù)學(xué)興趣小組決定測(cè)量它的高度．他們首先在點(diǎn)處測(cè)得建筑物最高點(diǎn)的仰角為，然后沿方向前進(jìn)12米到達(dá)處，又測(cè)得點(diǎn)的仰角為．請(qǐng)你幫助該小組同學(xué)，計(jì)算建筑物的高度約為___________米．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)）【答案】16【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題意可得：，米，然后設(shè)米，則米，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．詳解】解：由題意得：，米，設(shè)米，米，在中，，米，在中，，（米，，解得：，（米，建筑物的高度約為16米，故答案為：16．12.如圖，是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在上，，與相交于點(diǎn)F，是的高，若，則的長(zhǎng)等于____．【答案】【解析】【分析】如圖所示，過點(diǎn)E作于H，先求出，，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，則，求出，得到，則重合，由勾股定理得，則由勾股定理得，再利用等面積法求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作于H，∵，，∴，，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴重合，中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∵是的高，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13.如圖，已知為的直徑，，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，．則的度數(shù)等于_______度．【答案】23【解析】【分析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計(jì)算出，，再根據(jù)圓周角定理得到，則利用互余可計(jì)算出，然后計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴．故答案為：23．14.如圖，在矩形中，，，以點(diǎn)為圓心，分別以的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為__________．【答案】##【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、扇形的面積、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，得出，再根據(jù)，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可得到答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，，由題意得：，，在矩形中，，，，，，在中，，，，，故答案為：．三．解答題（共10小題，78分）15.（1）計(jì)算：．（2）計(jì)算：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在菱形中，E為邊上一點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，，求菱形的邊長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是關(guān)鍵．（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出，進(jìn)而證明結(jié)論即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，得到，即可求出菱形的邊長(zhǎng)．【小問1詳解】證明：四邊形是菱形，，，，；【小問2詳解】解：四邊形是菱形，，，，，，，，為邊長(zhǎng)，17.如圖，以線段為直徑作，交射線于點(diǎn)C，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)M．（1）求證：直線是的切線；（2）求證：；（3）若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】此題重點(diǎn)考查切線的判定、直徑所對(duì)的圓周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)．（1）連接，由證明，得，即可證明直線是的切線；（2）由線段是的直徑證明，再根據(jù)等角的余角相等證明，則；（3））由，，則，則是等邊三角形，所以，則，所以，因?yàn)槭堑冗吶切?，平分，可得，即得到的直徑?，半徑為4，再證是等邊三角形，得到，，因此，根據(jù)得到，從而利用“”證得，則陰影部分的面積等于扇形的面積．【小問1詳解】解：如圖，連接，則，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，且，∴直線是的切線；【小問2詳解】∵線段是的直徑，∴，∴，∴，，∵，∴，∴．【小問3詳解】連接交于N，∵，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∵是等邊三角形，平分，∴，，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴．18.如圖，從水平面看一山坡上的通訊鐵塔，在點(diǎn)A處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂端點(diǎn)P的仰角是，向前走9米到達(dá)B點(diǎn)，用測(cè)角儀測(cè)得塔頂端點(diǎn)P和塔底端點(diǎn)C的仰角分別是和．（1）求的度數(shù)；（2）求該鐵塔的高度．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）（2）米【解析】【分析】本題考查了仰角的定義、解直角三角形、三角函數(shù)；（1）延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)F，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得即可；（2）設(shè)米，根據(jù)，構(gòu)建方程求出x即可．【小問1詳解】延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)F，則，依題意得：，，∴．【小問2詳解】設(shè)米，∵，，∴，∴，∴米，在中，，，在中，，∴，∴，∴，∴（米），即該鐵塔的高度約為米．19.如圖，在中，，點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到，且．（1）求證：；（2）若，，求當(dāng)長(zhǎng)為多少時(shí)，．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定，證明．（1）先根據(jù)得出，證明，得出，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，證明，得出，根據(jù)，，求出，即可得出當(dāng)時(shí)，．【小問1詳解】證明：，，，，，，∴，，．【小問2詳解】解：若，，又，∴，，，，，，即當(dāng)時(shí)，．20.如圖，已知在中，，，點(diǎn)D在邊上，，連接AD，．（1）求邊的長(zhǎng)；（2）求的值．【答案】（1）9（2）【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，理解三角函數(shù)的定義和作出輔助線是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)，根據(jù)，可求出長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理可求出長(zhǎng)度，即可得到長(zhǎng)，最后由，可解出x的值．即得到長(zhǎng)．（2）作于點(diǎn)E，由，可求出長(zhǎng)，再由勾股定理可求出，繼而得到長(zhǎng)，即可求出．【小問1詳解】解：設(shè)，在中，，即，∴．∵，∴，∴，在，，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是該分式方程的解．∴．【小問2詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，在中，，∴，∵，由（1）知．∴，∴．21.某市唐朝古塔（圖1）所示，我校社會(huì)實(shí)踐小組為了測(cè)量塔的高度，如圖2：在地面上處垂直于地面豎立了高度為米的標(biāo)桿，這時(shí)地面上的點(diǎn)，標(biāo)桿的頂端點(diǎn)，塔的塔尖點(diǎn)A正好在同一直線上，測(cè)得米，將標(biāo)桿沿方向平移米到點(diǎn)處（米）．這時(shí)地面上的點(diǎn)，標(biāo)桿的頂端點(diǎn)，塔尖點(diǎn)正好又在同一直線上，測(cè)得米，點(diǎn)與塔底處的點(diǎn)在同一直線上，已知，，．請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算此塔的高度有多少米？【答案】此塔的高度有30米【解析】【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直的定義和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴（米），答：此塔的高度有30米．22.如圖，BC是⊙O直徑，點(diǎn)A是⊙O上一點(diǎn)，∠ABC＝22.5°，點(diǎn)D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AD＝OB．（1）求證：DA是⊙O的切線；（2）過點(diǎn)A作AE⊥BD交⊙O于點(diǎn)E，EO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，若⊙O的直徑為4，求線段EF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）2【解析】【分析】（1）連接AO，由∠ABC＝22.5°求出∠AOD＝45°，再由AD＝OB、OA＝OB得到∠AOD＝∠D＝45°，從而得到∠OAD＝90°，得證DA是⊙O的切線；（2）由AE⊥BD和直徑為4結(jié)合垂徑定理求得∠OAE、∠E和AE的長(zhǎng)度，再結(jié)合∠ABC的度數(shù)求出∠AFE和∠FAE的大小，從而求出線段EF的長(zhǎng)．【詳解】證明：連接OA，∵∠ABC＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ABC＝45°，∵OA＝OB，AD＝OB，∴OA＝AD，∴∠AOD＝∠D＝45°，∴∠OAD＝90°，∴DA是⊙O的切線．（2）解：∵AE⊥BD，∠AOD＝45°，∴∠OAE＝∠E＝45°，∠AOE＝90°，∵直徑為4，∴OA＝OE＝2，∴AE＝2，∵OA＝OB，∠ABC＝22.5°，∴∠OAB＝ABC＝22.5°，∴∠FAE＝∠OAB+∠OAE＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠AFE＝180°﹣∠FAE﹣∠E＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠AFE＝∠FAE，∴EF＝AE＝2．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的定義、圓周角定理、垂徑定理、等腰直角三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的判定與性質(zhì)，第一問解題的關(guān)鍵是利用圓周角定理求出∠AOD的度數(shù)和利用等邊對(duì)等角求出∠D的大小，第二問解題的關(guān)鍵是通過垂徑定理判斷出∠AFE＝∠FAE，然后利用等角對(duì)等邊求出線段EF的長(zhǎng)度．23.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，；點(diǎn)從開始沿以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊向點(diǎn)O以的速度移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用，（1）用含t的代數(shù)式表示：線段______；________．（2）當(dāng)與相似時(shí)，求出t的值．【答案】（1），；（2）或【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)：（