專題：有理數(shù)的十種運(yùn)算技巧（解析版）

有理數(shù)的十種運(yùn)算技巧題型01歸類(lèi)法【典例分析】【例1-1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）計(jì)算：；【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法，掌握運(yùn)算法則，利用加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．去括號(hào)利用，再利用加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】；【例1-2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法，掌握運(yùn)算法則，利用加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．去括號(hào)利用，再利用加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】．【例1-3】（23-24七年級(jí)上·北京朝陽(yáng)·期末）計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：．【變式演練】【變式1-1】（23-24七年級(jí)上·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）（1）計(jì)算：；

（2）計(jì)算：【答案】（1）7；（2）【分析】本題主要考查了有理數(shù)加法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)加法運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）根據(jù)有理數(shù)加法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)加法的運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算即可．【詳解】解：（1）；（2）．【變式1-2】（23-24七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）【答案】【分析】本題考查有理數(shù)加減混合運(yùn)算，涉及有理數(shù)加減運(yùn)算法則，熟記相關(guān)運(yùn)算法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：．【變式1-3】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）計(jì)算：【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的加法．解題關(guān)鍵是綜合應(yīng)用加法交換律和結(jié)合律，簡(jiǎn)化計(jì)算．此題可以運(yùn)用加法的交換律交換加數(shù)的位置，原式可變?yōu)?，然后利用加法的結(jié)合律將兩個(gè)加數(shù)相加．【詳解】解：，，，．

題型02湊整法【典例分析】【例2-1】（21-22七年級(jí)上·廣東汕頭·期中）計(jì)算：；【答案】-1【分析】本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算，有理數(shù)加法的運(yùn)算律，解題的關(guān)鍵是∶先去括號(hào)，然后利用有理數(shù)加法的運(yùn)算律和有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；【詳解】解∶原式【例2-2】（23-24七年級(jí)上·山東淄博·開(kāi)學(xué)考試）請(qǐng)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算：【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、有理數(shù)乘法運(yùn)算律、有理數(shù)加法運(yùn)算律等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算律成為解題的關(guān)鍵．運(yùn)用加法交換律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算即可；【詳解】解：【例2-3】（23-24七年級(jí)上·廣東惠州·期中）計(jì)算：．【答案】【分析】解：本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算，利用加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行運(yùn)算即可得出結(jié)果，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．【變式演練】【變式2-1】（23-24七年級(jí)上·四川成都·期中）計(jì)算：；【答案】【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算．運(yùn)用加法結(jié)合律可簡(jiǎn)便運(yùn)算；【詳解】．【變式2-2】（23-24七年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算律計(jì)算，即可求解；【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算律，熟練掌握有理數(shù)的加法運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵【變式2-3】．（23-24七年級(jí)上·北京西城·期中）計(jì)算：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算以及加法運(yùn)算律和乘法運(yùn)算律，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)加減混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)加減混合運(yùn)算法則，結(jié)合加法運(yùn)算律計(jì)算即可；【詳解】（1）解：；）解：；

題型03對(duì)消法【典例分析】【例3-1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）計(jì)算：；【答案】0【分析】本題考查了有理數(shù)加法，在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)：是同號(hào)還是異號(hào)，是否有0．從而確定用那一條法則．先算同分母分?jǐn)?shù)，再相加即可求解；【詳解】解：；【例3-2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）計(jì)算：．【答案】1【分析】此題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．原式1、3項(xiàng)結(jié)合，2、4項(xiàng)結(jié)合，計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：．【例3-3】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）用適當(dāng)方法計(jì)算：【答案】5.5【分析】本題主要考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，掌握有理數(shù)加法運(yùn)算法則和加法運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．首先運(yùn)用加法交換律將原式整理為，然后進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算即可．【詳解】解：．【變式演練】【變式3-1】（23-24七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中）計(jì)算：；【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)加法交換律和結(jié)合律運(yùn)算計(jì)算即可；【詳解】解：；【變式3-2】（23-24七年級(jí)上·福建泉州·期中）計(jì)算：；【答案】【分析】利用加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】【變式3-3】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）計(jì)算：；【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)加法，在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)：是同號(hào)還是異號(hào)，是否有0．從而確定用那一條法則．先算同分母分?jǐn)?shù)，再相加即可求解；【詳解】（2）；

題型04組合法【典例分析】【例4-1】（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）計(jì)算題：【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合計(jì)算：根據(jù)有理數(shù)的加減計(jì)算法則求解即可；【詳解】解：原式；【例4-2】（21-22七年級(jí)上·廣東廣州·開(kāi)學(xué)考試）能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算：；【答案】34【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算：利用加法交換律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算即可；【詳解】解：原式；【例4-3】（23-24七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）計(jì)算：；【答案】；【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握混合運(yùn)算的順序是解答本題的關(guān)鍵．先把減法統(tǒng)一成加法，再利用加法的交換律和結(jié)合律計(jì)算；【詳解】原式

【變式演練】【變式4-1】（23-24七年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期中）計(jì)算：；【答案】【分析】本題主要考查了加法運(yùn)算律、乘法運(yùn)算律、含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，然后按照加法交換律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算即可；【詳解】解：．【變式4-2】（23-24七年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）計(jì)算下列各題．【答案】【分析】此題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．去掉括號(hào)，將同分母分?jǐn)?shù)結(jié)合，原式可化為，結(jié)合有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，即可求解本題．【詳解】原式【變式4-3】（23-24七年級(jí)上·陜西渭南·期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查的是有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，先化為省略加號(hào)的和的形式，再結(jié)合加法的運(yùn)算律把分母相同的兩個(gè)數(shù)先加即可．【詳解】解：．

題型05分解法【典例分析】【例5-1】（23-24七年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【詳解】【例5-2】（21-22七年級(jí)上·廣東廣州）能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算：通過(guò)觀察可知分子分母的差為1，先寫(xiě)成1加減分?jǐn)?shù)單位，整數(shù)分組計(jì)算，分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)算時(shí)，根據(jù)裂項(xiàng)公式先拆分，再簡(jiǎn)算．【詳解】）解：原式．【例5-3】（23-24七年級(jí)上·山西朔州·期中）閱讀下題中的計(jì)算方法，解決問(wèn)題．(1)解：原式上面這種方法叫拆項(xiàng)法．仿照上面的拆項(xiàng)法可將拆為_(kāi)________，拆為_(kāi)________．(2)類(lèi)比上述計(jì)算方法計(jì)算：．【答案】(1)，(2)【分析】本題主要考查了有理數(shù)加減混合運(yùn)算；（1）根據(jù)題干信息進(jìn)行解答即可；（2）利用題干提供的信息，運(yùn)用有理數(shù)加減混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)加減混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．【詳解】（1）解：，，故答案為：；；（2）解：【變式演練】【變式5-1】（23-24七年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）求的值．【答案】【分析】把每一項(xiàng)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差的形式，即可求解．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題是規(guī)律探索問(wèn)題及其應(yīng)用，考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，尋找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵【變式5-2】（2023七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算：；【答案】【分析】依據(jù)“拆項(xiàng)法”計(jì)算即可；【詳解】解：原式；【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握“拆項(xiàng)法”是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算：【答案】【分析】依據(jù)“拆項(xiàng)法”計(jì)算即可．【詳解】解：原式【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握“拆項(xiàng)法”是解答本題的關(guān)鍵．

題型06變序法【典例分析】【例6-1】（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)乘除的混合運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算法則將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再利用乘法運(yùn)算律簡(jiǎn)便計(jì)算即可．【詳解】解：．【例6-2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：；【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法，關(guān)鍵是熟記有理數(shù)乘法法則與運(yùn)算定律．根據(jù)有理數(shù)乘法法則與乘法的結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算；【詳解】解：；【例6-3】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算下面各題，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算．【答案】60【分析】本題考查了分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算，有理數(shù)乘法運(yùn)算律，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．分?jǐn)?shù)連乘能約分的先約分．【詳解】【變式演練】【變式6-1】（23-24七年級(jí)上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】4【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，關(guān)鍵是運(yùn)用加法的運(yùn)算律，結(jié)合律使運(yùn)算簡(jiǎn)便．利用乘法交換律計(jì)算即可．【詳解】解：【變式6-2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：；【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法，熟記乘法法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的乘法交換律和結(jié)合律計(jì)算即可；【詳解】；【變式6-3】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）計(jì)算下列各式：；【答案】6【分析】本題考查有理數(shù)乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)乘法法則，注意計(jì)算時(shí)先確定積的符號(hào)．先確定符號(hào)，再用約分即可得答案；【詳解】

題型07逆用法【典例分析】【例7-1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算：；【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，逆用分配律簡(jiǎn)便計(jì)算是關(guān)鍵；逆用分配律把原式化為，再計(jì)算即可；【詳解】解：；【例7-2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算：；【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，逆用分配律簡(jiǎn)便計(jì)算是關(guān)鍵；逆用分配律把原式化為，再計(jì)算即可；【詳解】解：；【例7-3】（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：【答案】20190【分析】本題考查乘法分配律，運(yùn)用乘法分配律計(jì)算即可．【詳解】解：原式．【變式演練】【變式7-1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，逆用分配律簡(jiǎn)便計(jì)算是關(guān)鍵；逆用乘法分配律計(jì)算即可；【詳解】解：；【變式7-2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）用乘法運(yùn)算律，將下列各式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：．【答案】【分析】逆用乘法的分配律運(yùn)算即可．【詳解】解：；【變式7-3】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）用乘法運(yùn)算律，將下列各式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：．【答案】3【分析】逆用乘法的分配律運(yùn)算即可．【詳解】解：．

題型08觀察法【典例分析】【例8-1】（23-24七年級(jí)上·湖北武漢·期中）計(jì)算：【答案】0【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，先算乘方，再算乘除，最后運(yùn)算加減，即可作答．正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．【例8-2】（23-24七年級(jí)上·山西晉中·期中）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．注意計(jì)算的準(zhǔn)確性．利用有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：原式．【例8-3】（23-24七年級(jí)上·湖北黃岡·期中）【答案】【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，涉及分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算、乘方運(yùn)算、整數(shù)的加減運(yùn)算和的值等，掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則，混合運(yùn)算順序，熟練運(yùn)用是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)整式的加減乘除混合運(yùn)算法則，再由混合運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，后加減，先將乘方運(yùn)算、的值求出來(lái)再運(yùn)算即可得到答案．【詳解】解：．【變式演練】【變式8-1】（23-24七年級(jí)上·廣東湛江·期中）計(jì)算：．【答案】6【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，先計(jì)算乘除，再加減即可，熟知計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵。【詳解】解：原式，【變式8-2】（23-24七年級(jí)·安徽宿州·階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，原式先計(jì)算乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及零指數(shù)冪，再計(jì)算乘法和除法，最后計(jì)算加減法即可．【詳解】解：．【變式8-3】（23-24七年級(jí)上·廣東湛江·期中）計(jì)算【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，先化簡(jiǎn)絕對(duì)值和計(jì)算括號(hào)里的，再?gòu)淖笸乙来芜M(jìn)行計(jì)算即可得；掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．

題型09倒序相加法【典例分析】【例9-1】（23-24七年級(jí)上·遼寧朝陽(yáng)·期末）高斯上小學(xué)時(shí)，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計(jì)算“從1到100這100個(gè)正整數(shù)的和”，許多同學(xué)都采用了依次累加的計(jì)算方法，計(jì)算起來(lái)非常煩瑣，且易出錯(cuò)，聰明的小高斯經(jīng)過(guò)探索后，給出了下面漂亮的解答過(guò)程：解：設(shè)，①則．②①②，得．（①②兩式左右兩端分別相加，左端等于，右端等于100個(gè)101的和）所以，．③所以．后來(lái)人們將小高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”請(qǐng)你運(yùn)用上述方法計(jì)算：一條沿途有n個(gè)站點(diǎn)的高鐵線上，單向行駛的“和諧號(hào)”列車(chē)，需要印多少種車(chē)票．【答案】【分析】此題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)，正確找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，一條沿途有n個(gè)站點(diǎn)的高鐵線上，則單向行駛的“和諧號(hào)”列車(chē)需要種車(chē)票，根據(jù)“倒序相加法”即可求解．【詳解】解：由題意得：需要種車(chē)票，設(shè)①，則②，①②，得．（①②兩式左右兩端分別相加，左端等于，右端等于個(gè)n的和），，，故答案為：．【例9-2】（22-23七年級(jí)上·湖南岳陽(yáng)·期末）計(jì)算：【答案】885【分析】原式整理結(jié)合后，計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，則，上下兩式相加得，所以，即【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的加法，正確運(yùn)用倒序相加法是解答本題常用方法【例9-3】（20-21六年級(jí)上·山東威海·期中）【數(shù)學(xué)閱讀】高斯上小學(xué)時(shí)，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計(jì)算“從1到100這100個(gè)正整數(shù)的和”．許多同學(xué)都采用了依次累加的計(jì)算方法，計(jì)算起來(lái)非常繁瑣，且易出錯(cuò)．聰明的高斯經(jīng)過(guò)探索后，給出了下面的解答過(guò)程：解：設(shè)S＝1+2+3+…+100，①則S＝100+99+98+…+1．②①+②，得（即左右兩邊分別相加）：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．所以，S＝．所以，1+2+3+…+100＝5050．后來(lái)人們將高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”．【問(wèn)題解決】利用“倒序相加法”解答下面的問(wèn)題：(1)計(jì)算：1+2+3+…+101；(2)猜想：1+2+3+…+n＝；(3)利用（2）中的結(jié)論，計(jì)算：1001+1002+…+2000．【答案】(1)5151(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題目中的例子可以求得所求式子的值；（2）根據(jù)題目中的例子，可以寫(xiě)出猜想的結(jié)果；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：設(shè)S＝1+2+3+…+100+101①則S＝101+100+…+3+2+1

②①+②，2S＝102+102+102+102+102+…+102＝101×102．所以，S＝，所以，1+2+3+…+100+101＝5151；（2）解：解：設(shè)S＝1+2+3+…+n①則S＝n+…+3+2+1

②①+②，2S＝（n+1）+…+（n+1）＝（n+1）×n．猜想：1+2+3+…+n＝，故答案為：；（3）解：1001+1002…+2000=．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類(lèi)、有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化特點(diǎn)，求出所求式子的值【變式演練】【變式9-1】（22-23七年級(jí)上·廣西南寧·期中）【問(wèn)題解決】利用“倒序相加法”解答下面的問(wèn)題：計(jì)算：_________；【答案】【分析】發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化特點(diǎn)，求出所求式子的值【詳解】解：設(shè)①則②①+②，．所以，，所以，，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類(lèi)、有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化特點(diǎn)，求出所求式子的值．【變式9-2】（七年級(jí)上·河北保定·期末）高斯上小學(xué)時(shí)，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計(jì)算“從1到100這100個(gè)正整數(shù)的和”．許多同學(xué)都采用了依次累加的計(jì)算方法，計(jì)算起來(lái)非常繁瑣，且易出錯(cuò)．聰明的小高斯經(jīng)過(guò)探索后，給出了下面漂亮的解答過(guò)程．解：設(shè)S＝1+2+3+…+100

①則S＝100+99+98+…+1

②①+②，得（即左右兩邊分別相加）：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1），＝，＝100×101，所以，S＝③，所以，1+2+3+…+100＝5050．后來(lái)人們將小高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”．請(qǐng)你利用“倒序相加法”解答下面的問(wèn)題．（1）計(jì)算：1+2+3+…+101；（2）請(qǐng)你觀察上面解答過(guò)程中的③式及你運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)的類(lèi)似③式，猜想：1+2+3+…+n＝；（3）至少用兩種方法計(jì)算：1001+1002+…+2000．方法1：方法2：【答案】（1）5151；（2），（3）見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題目中的例子可以求得所求式子的值；（2）根據(jù)題目中的例子，可以寫(xiě)出猜想的結(jié)果；（3）根據(jù)題目中的例子可以用兩種方法求出所求式子的值【詳解】（1）設(shè)S＝1+2+3+…+101①，則S＝101+100+…+3+2+1②，①+②，得2S＝102+102+102+…+102＝101×102，∴S＝＝5151，即1+2+3+…+101＝5151；（2）猜想：1+2+3+…+n＝，故答案為：；（3）方法一：1001+1002+…+2000＝（1+2+3+…+2000）﹣（1+2+3+…+1000）＝﹣＝2001000﹣500500＝1500500；方法2：設(shè)S＝1001+1002+…+2000，則S＝2000+1999+…+1001，兩式相加，得2S＝1000×3001，則S＝＝1500500，即1001+1002+…+2000＝1500500．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類(lèi)、有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化特點(diǎn)，求出所求式子的值【變式9-3】（20-21七年級(jí)上·河北衡水·期中）高斯上小學(xué)時(shí)，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計(jì)算“從1到100這100個(gè)正整數(shù)的和”．許多同學(xué)都采用了依次累加的計(jì)算方法，計(jì)算起來(lái)非常煩瑣，并且容易出錯(cuò)．聰明的小高斯經(jīng)過(guò)探索后，給出了下面漂亮的解答過(guò)程解：設(shè)，①則，②①+②，得．（兩式左右兩端分別相加，左端等于，右端等于100個(gè)101的和）∴，③∴．后來(lái)人們將小高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”．（1）請(qǐng)你運(yùn)用高斯的“倒序相加法”計(jì)算：；（2）請(qǐng)你認(rèn)真觀察上面解答過(guò)程中的③式及你運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)類(lèi)似的③式，猜想________（用含的代數(shù)式表示）；（3）計(jì)算：．【答案】（1）20100；（2）；（3）2036160【分析】（1）先把1-200個(gè)數(shù)分別從小加到大，再?gòu)拇蠹拥叫?，然后兩列?shù)分別相加，可以得到200個(gè)201，算得200個(gè)201的和后再除以2即得1-200各數(shù)的和；（2）由（1）及題目例題的解析可得解答；（3）把101+102+103+?+2020看成1+2+3+?+2020的和減去1+2+3+?+100的和，再利用（2）所得代數(shù)式計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：（1）設(shè)①則②，①+②，得，所以，，所以；（2）由（1）及題目例題的解析可得：；（3）=2041210-5050【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索，通過(guò)閱讀題目材料和例題總結(jié)出計(jì)算規(guī)律，再把所得規(guī)律應(yīng)用于新問(wèn)題的解決是解題關(guān)鍵

題型10倒數(shù)法【典例分析】【例10-1】（23-24七年級(jí)上·陜西渭南·階段練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：．【答案】【分析】先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則以及運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．【例10-2】（23-24七年級(jí)上·安徽滁州·階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】．【分析】根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算順序，計(jì)算原式的倒數(shù)，即可得出答案．【詳解】解：沒(méi)有除法分配律，故解法一錯(cuò)誤；（2）原式的倒數(shù)為：，所以原式【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．【例10-3】（23-24七年級(jí)上·湖南湘西·期末）數(shù)學(xué)老師為了優(yōu)化同學(xué)們的運(yùn)算思維，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，復(fù)習(xí)有理數(shù)綜合運(yùn)算時(shí)，布置了一道有意思的計(jì)算題：請(qǐng)用不同解法計(jì)算劉聰和他的小伙伴選擇常規(guī)解法：張明開(kāi)動(dòng)腦筋，經(jīng)過(guò)觀察算式特點(diǎn)，和同學(xué)們深入分析、探究，又找到了下面這種解法：原式的倒數(shù)：所以，原式(1)請(qǐng)比較劉聰和張明兩位同學(xué)的解法，你喜歡哪位同學(xué)的解法？為什么？(2)請(qǐng)選擇你喜歡的解法計(jì)