專題：有理數(shù)的十種運算技巧（解析版）

有理數(shù)的十種運算技巧題型01歸類法【典例分析】【例1-1】（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計算：；【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法，掌握運算法則，利用加法的交換律與結(jié)合律進行計算是解題關(guān)鍵．去括號利用，再利用加法的交換律與結(jié)合律進行計算即可．【詳解】；【例1-2】（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計算：．【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法，掌握運算法則，利用加法的交換律與結(jié)合律進行計算是解題關(guān)鍵．去括號利用，再利用加法的交換律與結(jié)合律進行計算即可．【詳解】．【例1-3】（23-24七年級上·北京朝陽·期末）計算：．【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法運算，熟練掌握相關(guān)運算順序和運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：．【變式演練】【變式1-1】（23-24七年級上·北京豐臺·階段練習(xí)）（1）計算：；

（2）計算：【答案】（1）7；（2）【分析】本題主要考查了有理數(shù)加法運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)加法運算法則，準(zhǔn)確計算．（1）根據(jù)有理數(shù)加法運算法則進行計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)加法的運算律進行簡單計算即可．【詳解】解：（1）；（2）．【變式1-2】（23-24七年級上·甘肅蘭州·期中）【答案】【分析】本題考查有理數(shù)加減混合運算，涉及有理數(shù)加減運算法則，熟記相關(guān)運算法則是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：．【變式1-3】（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計算：【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的加法．解題關(guān)鍵是綜合應(yīng)用加法交換律和結(jié)合律，簡化計算．此題可以運用加法的交換律交換加數(shù)的位置，原式可變?yōu)椋缓罄眉臃ǖ慕Y(jié)合律將兩個加數(shù)相加．【詳解】解：，，，．

題型02湊整法【典例分析】【例2-1】（21-22七年級上·廣東汕頭·期中）計算：；【答案】-1【分析】本題考查了有理數(shù)的加減運算，有理數(shù)加法的運算律，解題的關(guān)鍵是∶先去括號，然后利用有理數(shù)加法的運算律和有理數(shù)的加減運算法則計算即可；【詳解】解∶原式【例2-2】（23-24七年級上·山東淄博·開學(xué)考試）請用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ嬎悖骸敬鸢浮俊痉治觥勘绢}主要考查了有理數(shù)的混合運算、有理數(shù)乘法運算律、有理數(shù)加法運算律等知識點，靈活運用相關(guān)運算律成為解題的關(guān)鍵．運用加法交換律進行簡便運算即可；【詳解】解：【例2-3】（23-24七年級上·廣東惠州·期中）計算：．【答案】【分析】解：本題考查了有理數(shù)的加法運算，利用加法交換律和結(jié)合律進行運算即可得出結(jié)果，掌握有理數(shù)的運算法則和運算律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．【變式演練】【變式2-1】（23-24七年級上·四川成都·期中）計算：；【答案】【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算．運用加法結(jié)合律可簡便運算；【詳解】．【變式2-2】（23-24七年級上·山東德州·階段練習(xí)）計算：．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法運算律計算，即可求解；【詳解】解：【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的加法運算律，熟練掌握有理數(shù)的加法運算律是解題的關(guān)鍵【變式2-3】．（23-24七年級上·北京西城·期中）計算：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)混合運算以及加法運算律和乘法運算律，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)加減混合運算法則計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)加減混合運算法則，結(jié)合加法運算律計算即可；【詳解】（1）解：；）解：；

題型03對消法【典例分析】【例3-1】（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計算：；【答案】0【分析】本題考查了有理數(shù)加法，在進行有理數(shù)加法運算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法則．先算同分母分?jǐn)?shù)，再相加即可求解；【詳解】解：；【例3-2】（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計算：．【答案】1【分析】此題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．原式1、3項結(jié)合，2、4項結(jié)合，計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：．【例3-3】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）用適當(dāng)方法計算：【答案】5.5【分析】本題主要考查有理數(shù)的加法運算，掌握有理數(shù)加法運算法則和加法運算律是解題的關(guān)鍵．首先運用加法交換律將原式整理為，然后進行有理數(shù)加法運算即可．【詳解】解：．【變式演練】【變式3-1】（23-24七年級上·吉林長春·期中）計算：；【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的運算，根據(jù)有理數(shù)加法交換律和結(jié)合律運算計算即可；【詳解】解：；【變式3-2】（23-24七年級上·福建泉州·期中）計算：；【答案】【分析】利用加法交換律和結(jié)合律進行計算即可；【詳解】【變式3-3】（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計算：；【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)加法，在進行有理數(shù)加法運算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法則．先算同分母分?jǐn)?shù)，再相加即可求解；【詳解】（2）；

題型04組合法【典例分析】【例4-1】（23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）計算題：【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合計算：根據(jù)有理數(shù)的加減計算法則求解即可；【詳解】解：原式；【例4-2】（21-22七年級上·廣東廣州·開學(xué)考試）能簡算的要簡算：；【答案】34【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算：利用加法交換律進行簡便運算即可；【詳解】解：原式；【例4-3】（23-24七年級上·河南南陽·期末）計算：；【答案】；【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握混合運算的順序是解答本題的關(guān)鍵．先把減法統(tǒng)一成加法，再利用加法的交換律和結(jié)合律計算；【詳解】原式

【變式演練】【變式4-1】（23-24七年級上·新疆烏魯木齊·期中）計算：；【答案】【分析】本題主要考查了加法運算律、乘法運算律、含乘方的有理數(shù)的混合運算等知識點，掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，然后按照加法交換律進行簡便運算即可；【詳解】解：．【變式4-2】（23-24七年級上·陜西咸陽·階段練習(xí)）計算下列各題．【答案】【分析】此題考查了有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．去掉括號，將同分母分?jǐn)?shù)結(jié)合，原式可化為，結(jié)合有理數(shù)的加減混合運算，即可求解本題．【詳解】原式【變式4-3】（23-24七年級上·陜西渭南·期中）用簡便方法計算：．【答案】【分析】本題考查的是有理數(shù)的加減混合運算，先化為省略加號的和的形式，再結(jié)合加法的運算律把分母相同的兩個數(shù)先加即可．【詳解】解：．

題型05分解法【典例分析】【例5-1】（23-24七年級上·四川眉山·階段練習(xí)）計算：．【答案】【詳解】【例5-2】（21-22七年級上·廣東廣州）能簡算的要簡算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算：通過觀察可知分子分母的差為1，先寫成1加減分?jǐn)?shù)單位，整數(shù)分組計算，分?jǐn)?shù)簡算時，根據(jù)裂項公式先拆分，再簡算．【詳解】）解：原式．【例5-3】（23-24七年級上·山西朔州·期中）閱讀下題中的計算方法，解決問題．(1)解：原式上面這種方法叫拆項法．仿照上面的拆項法可將拆為_________，拆為_________．(2)類比上述計算方法計算：．【答案】(1)，(2)【分析】本題主要考查了有理數(shù)加減混合運算；（1）根據(jù)題干信息進行解答即可；（2）利用題干提供的信息，運用有理數(shù)加減混合運算法則進行計算即可．解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)加減混合運算法則，準(zhǔn)確計算．【詳解】（1）解：，，故答案為：；；（2）解：【變式演練】【變式5-1】（23-24七年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）求的值．【答案】【分析】把每一項拆成兩個分?jǐn)?shù)的差的形式，即可求解．【詳解】解：．【點睛】本題是規(guī)律探索問題及其應(yīng)用，考查有理數(shù)的混合運算，尋找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵【變式5-2】（2023七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：；【答案】【分析】依據(jù)“拆項法”計算即可；【詳解】解：原式；【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，掌握“拆項法”是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：【答案】【分析】依據(jù)“拆項法”計算即可．【詳解】解：原式【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，掌握“拆項法”是解答本題的關(guān)鍵．

題型06變序法【典例分析】【例6-1】（24-25七年級上·河北石家莊·開學(xué)考試）計算：【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)乘除的混合運算，根據(jù)運算法則將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再利用乘法運算律簡便計算即可．【詳解】解：．【例6-2】（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）用簡便方法計算：；【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法，關(guān)鍵是熟記有理數(shù)乘法法則與運算定律．根據(jù)有理數(shù)乘法法則與乘法的結(jié)合律進行簡便運算；【詳解】解：；【例6-3】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）計算下面各題，能簡算的要簡算．【答案】60【分析】本題考查了分?jǐn)?shù)四則混合運算，有理數(shù)乘法運算律，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．分?jǐn)?shù)連乘能約分的先約分．【詳解】【變式演練】【變式6-1】（23-24七年級上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）計算：．【答案】4【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，關(guān)鍵是運用加法的運算律，結(jié)合律使運算簡便．利用乘法交換律計算即可．【詳解】解：【變式6-2】（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）用簡便方法計算：；【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法，熟記乘法法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的乘法交換律和結(jié)合律計算即可；【詳解】；【變式6-3】（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計算下列各式：；【答案】6【分析】本題考查有理數(shù)乘法運算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)乘法法則，注意計算時先確定積的符號．先確定符號，再用約分即可得答案；【詳解】

題型07逆用法【典例分析】【例7-1】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）計算：；【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，逆用分配律簡便計算是關(guān)鍵；逆用分配律把原式化為，再計算即可；【詳解】解：；【例7-2】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）計算：；【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，逆用分配律簡便計算是關(guān)鍵；逆用分配律把原式化為，再計算即可；【詳解】解：；【例7-3】（24-25七年級上·河北石家莊·開學(xué)考試）計算：【答案】20190【分析】本題考查乘法分配律，運用乘法分配律計算即可．【詳解】解：原式．【變式演練】【變式7-1】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）計算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，逆用分配律簡便計算是關(guān)鍵；逆用乘法分配律計算即可；【詳解】解：；【變式7-2】（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）用乘法運算律，將下列各式進行簡便計算：．【答案】【分析】逆用乘法的分配律運算即可．【詳解】解：；【變式7-3】（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）用乘法運算律，將下列各式進行簡便計算：．【答案】3【分析】逆用乘法的分配律運算即可．【詳解】解：．

題型08觀察法【典例分析】【例8-1】（23-24七年級上·湖北武漢·期中）計算：【答案】0【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運算，先算乘方，再算乘除，最后運算加減，即可作答．正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．【例8-2】（23-24七年級上·山西晉中·期中）計算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算．注意計算的準(zhǔn)確性．利用有理數(shù)的混合運算法則即可求解．【詳解】解：原式．【例8-3】（23-24七年級上·湖北黃岡·期中）【答案】【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，涉及分?jǐn)?shù)的乘除運算、乘方運算、整數(shù)的加減運算和的值等，掌握有理數(shù)的混合運算法則，混合運算順序，熟練運用是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)整式的加減乘除混合運算法則，再由混合運算順序，先乘方，再乘除，后加減，先將乘方運算、的值求出來再運算即可得到答案．【詳解】解：．【變式演練】【變式8-1】（23-24七年級上·廣東湛江·期中）計算：．【答案】6【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，先計算乘除，再加減即可，熟知計算法則是解題的關(guān)鍵?！驹斀狻拷猓涸?，【變式8-2】（23-24七年級·安徽宿州·階段練習(xí)）計算：．【答案】【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，原式先計算乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及零指數(shù)冪，再計算乘法和除法，最后計算加減法即可．【詳解】解：．【變式8-3】（23-24七年級上·廣東湛江·期中）計算【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，先化簡絕對值和計算括號里的，再從左往右依次進行計算即可得；掌握有理數(shù)混合運算的運算法則和運算順序是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．

題型09倒序相加法【典例分析】【例9-1】（23-24七年級上·遼寧朝陽·期末）高斯上小學(xué)時，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計算“從1到100這100個正整數(shù)的和”，許多同學(xué)都采用了依次累加的計算方法，計算起來非常煩瑣，且易出錯，聰明的小高斯經(jīng)過探索后，給出了下面漂亮的解答過程：解：設(shè)，①則．②①②，得．（①②兩式左右兩端分別相加，左端等于，右端等于100個101的和）所以，．③所以．后來人們將小高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”請你運用上述方法計算：一條沿途有n個站點的高鐵線上，單向行駛的“和諧號”列車，需要印多少種車票．【答案】【分析】此題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，正確找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，一條沿途有n個站點的高鐵線上，則單向行駛的“和諧號”列車需要種車票，根據(jù)“倒序相加法”即可求解．【詳解】解：由題意得：需要種車票，設(shè)①，則②，①②，得．（①②兩式左右兩端分別相加，左端等于，右端等于個n的和），，，故答案為：．【例9-2】（22-23七年級上·湖南岳陽·期末）計算：【答案】885【分析】原式整理結(jié)合后，計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，則，上下兩式相加得，所以，即【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的加法，正確運用倒序相加法是解答本題常用方法【例9-3】（20-21六年級上·山東威海·期中）【數(shù)學(xué)閱讀】高斯上小學(xué)時，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計算“從1到100這100個正整數(shù)的和”．許多同學(xué)都采用了依次累加的計算方法，計算起來非常繁瑣，且易出錯．聰明的高斯經(jīng)過探索后，給出了下面的解答過程：解：設(shè)S＝1+2+3+…+100，①則S＝100+99+98+…+1．②①+②，得（即左右兩邊分別相加）：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．所以，S＝．所以，1+2+3+…+100＝5050．后來人們將高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”．【問題解決】利用“倒序相加法”解答下面的問題：(1)計算：1+2+3+…+101；(2)猜想：1+2+3+…+n＝；(3)利用（2）中的結(jié)論，計算：1001+1002+…+2000．【答案】(1)5151(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題目中的例子可以求得所求式子的值；（2）根據(jù)題目中的例子，可以寫出猜想的結(jié)果；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：設(shè)S＝1+2+3+…+100+101①則S＝101+100+…+3+2+1

②①+②，2S＝102+102+102+102+102+…+102＝101×102．所以，S＝，所以，1+2+3+…+100+101＝5151；（2）解：解：設(shè)S＝1+2+3+…+n①則S＝n+…+3+2+1

②①+②，2S＝（n+1）+…+（n+1）＝（n+1）×n．猜想：1+2+3+…+n＝，故答案為：；（3）解：1001+1002…+2000=．【點睛】本題考查數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化特點，求出所求式子的值【變式演練】【變式9-1】（22-23七年級上·廣西南寧·期中）【問題解決】利用“倒序相加法”解答下面的問題：計算：_________；【答案】【分析】發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化特點，求出所求式子的值【詳解】解：設(shè)①則②①+②，．所以，，所以，，故答案為：；【點睛】本題考查數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化特點，求出所求式子的值．【變式9-2】（七年級上·河北保定·期末）高斯上小學(xué)時，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計算“從1到100這100個正整數(shù)的和”．許多同學(xué)都采用了依次累加的計算方法，計算起來非常繁瑣，且易出錯．聰明的小高斯經(jīng)過探索后，給出了下面漂亮的解答過程．解：設(shè)S＝1+2+3+…+100

①則S＝100+99+98+…+1

②①+②，得（即左右兩邊分別相加）：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1），＝，＝100×101，所以，S＝③，所以，1+2+3+…+100＝5050．后來人們將小高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”．請你利用“倒序相加法”解答下面的問題．（1）計算：1+2+3+…+101；（2）請你觀察上面解答過程中的③式及你運算過程中出現(xiàn)的類似③式，猜想：1+2+3+…+n＝；（3）至少用兩種方法計算：1001+1002+…+2000．方法1：方法2：【答案】（1）5151；（2），（3）見解析.【分析】（1）根據(jù)題目中的例子可以求得所求式子的值；（2）根據(jù)題目中的例子，可以寫出猜想的結(jié)果；（3）根據(jù)題目中的例子可以用兩種方法求出所求式子的值【詳解】（1）設(shè)S＝1+2+3+…+101①，則S＝101+100+…+3+2+1②，①+②，得2S＝102+102+102+…+102＝101×102，∴S＝＝5151，即1+2+3+…+101＝5151；（2）猜想：1+2+3+…+n＝，故答案為：；（3）方法一：1001+1002+…+2000＝（1+2+3+…+2000）﹣（1+2+3+…+1000）＝﹣＝2001000﹣500500＝1500500；方法2：設(shè)S＝1001+1002+…+2000，則S＝2000+1999+…+1001，兩式相加，得2S＝1000×3001，則S＝＝1500500，即1001+1002+…+2000＝1500500．【點睛】本題考查數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化特點，求出所求式子的值【變式9-3】（20-21七年級上·河北衡水·期中）高斯上小學(xué)時，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計算“從1到100這100個正整數(shù)的和”．許多同學(xué)都采用了依次累加的計算方法，計算起來非常煩瑣，并且容易出錯．聰明的小高斯經(jīng)過探索后，給出了下面漂亮的解答過程解：設(shè)，①則，②①+②，得．（兩式左右兩端分別相加，左端等于，右端等于100個101的和）∴，③∴．后來人們將小高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”．（1）請你運用高斯的“倒序相加法”計算：；（2）請你認(rèn)真觀察上面解答過程中的③式及你運算過程中出現(xiàn)類似的③式，猜想________（用含的代數(shù)式表示）；（3）計算：．【答案】（1）20100；（2）；（3）2036160【分析】（1）先把1-200個數(shù)分別從小加到大，再從大加到小，然后兩列數(shù)分別相加，可以得到200個201，算得200個201的和后再除以2即得1-200各數(shù)的和；（2）由（1）及題目例題的解析可得解答；（3）把101+102+103+?+2020看成1+2+3+?+2020的和減去1+2+3+?+100的和，再利用（2）所得代數(shù)式計算即可得到答案．【詳解】解：（1）設(shè)①則②，①+②，得，所以，，所以；（2）由（1）及題目例題的解析可得：；（3）=2041210-5050【點睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律探索，通過閱讀題目材料和例題總結(jié)出計算規(guī)律，再把所得規(guī)律應(yīng)用于新問題的解決是解題關(guān)鍵

題型10倒數(shù)法【典例分析】【例10-1】（23-24七年級上·陜西渭南·階段練習(xí)）用簡便方法計算：．【答案】【分析】先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)乘法分配律進行計算即可求解．【詳解】解：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的運算法則以及運算順序是解題的關(guān)鍵．【例10-2】（23-24七年級上·安徽滁州·階段練習(xí)）計算：．【答案】．【分析】根據(jù)有理數(shù)的運算順序，計算原式的倒數(shù)，即可得出答案．【詳解】解：沒有除法分配律，故解法一錯誤；（2）原式的倒數(shù)為：，所以原式【點睛】本題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握有理數(shù)的運算法則是解決本題的關(guān)鍵．【例10-3】（23-24七年級上·湖南湘西·期末）數(shù)學(xué)老師為了優(yōu)化同學(xué)們的運算思維，提高數(shù)學(xué)運算能力，復(fù)習(xí)有理數(shù)綜合運算時，布置了一道有意思的計算題：請用不同解法計算劉聰和他的小伙伴選擇常規(guī)解法：張明開動腦筋，經(jīng)過觀察算式特點，和同學(xué)們深入分析、探究，又找到了下面這種解法：原式的倒數(shù)：所以，原式(1)請比較劉聰和張明兩位同學(xué)的解法，你喜歡哪位同學(xué)的解法？為什么？(2)請選擇你喜歡的解法計