第02講認識概率

第02講認識概率知識點1：事件類型EQ\o\ac(○,1)必然事件：有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事件.EQ\o\ac(○,2)不可能事件：有些事情我們事先肯定它一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件.EQ\o\ac(○,3)不確定事件：許多事情我們無法確定它會不會發(fā)生，稱為不確定事件（又叫隨機事件）.說明：（1）必然事件、不可能事件都稱為確定性事件.（2）事件分為確定事件和不確定事件，確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，①

必然事件發(fā)生的概率為1，即P(必然事件)=1；②

不可能事件發(fā)生的概率為0,即P（不可能事件）=0；③

如果A為不確定事件，那么0<P(A)<1知識點2：概率1.定義：一般地，對于一個隨機事件A，把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機事件A發(fā)生的概率，記為P(A)．（1）一個事件在多次試驗中發(fā)生的可能性，反映這個可能性大小的數(shù)值叫做這個事件發(fā)生的概率。（2）概率指的是事件發(fā)生的可能性大小的的一個數(shù)值。2、概率的求法：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=．（1）一般地，所有情況的總概率之和為1。（2）在一次實驗中,可能出現(xiàn)的結果有限多個.（3）在一次實驗中,各種結果發(fā)生的可能性相等.（4）概率從數(shù)量上刻畫了一個隨機事件發(fā)生的可能性的大小，事件發(fā)生的可能性越大，則它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0。（5）一個事件的概率取值：0≤P（A）≤1當這個事件為必然事件時，必然事件的概率為1，即P（必然事件）＝1不可能事件的概率為0，即P（不可能事件）＝0隨機事件的概率：如果A為隨機事件，則0＜P（A）＜1（6）可能性與概率的關系事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0．求概率方法：（1）列舉法：通常在一次事件中可能發(fā)生的結果比較少時，我們可以把所有可能產生的結果全部列舉出來，并且各種結果出現(xiàn)的可能性相等時使用。等可能性事件的概率可以用列舉法而求得。但是我們可以通過用列表法和樹形圖法來輔助枚舉法。（2）列表法：當一次實驗要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子），并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果時使用。（3）列樹形圖法：當一個實驗要涉及3個或更多的因素（例如從3個口袋中取球）時，列表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結果時使用。知識點3：頻率與概率1、頻數(shù)：在多次試驗中，某個事件出現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù)2、頻率：某個事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比，叫做這個事件出現(xiàn)的頻率3、一般地，在大量重復試驗中，如果事件 A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近 ，那么，這個常數(shù)p就叫作事件A的概率，記為P（A）=P知識點5：利用頻率估計概率在同樣條件下，做大量的重復試驗，利用一個隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)，可以估計這個事件發(fā)生的概率?？键c剖析考點一：事件類型【典例1】（2022秋?天津校級期末）下列事件，是隨機事件的是（）A．任意是畫一個三角形其內角和是360° B．打開電視新聞頻道正在播報體育新聞 C．3人分成兩組一定有2人分在一組 D．擲一次骰子，向上一面點數(shù)大于0【答案】B【解答】解：A、任意是畫一個三角形其內角和是360°，是不可能事件，不符合題意；B、打開電視新聞頻道正在播報體育新聞，是隨機事件，符合題意；C、3人分成兩組一定有2人分在一組，是必然事件，不符合題意；D、擲一次骰子，向上一面點數(shù)大于0，是不可能事件，不符合題意；故選：B．【變式11】（2023秋?樂清市期中）下列事件為必然事件的是（）A．明天是雨天 B．任意擲一枚均勻的硬幣80次，正面朝上的次數(shù)是40次 C．三角形三個內角的和等于180° D．兩個數(shù)的和為負數(shù)【答案】C【解答】解：A．明天是雨天，是隨機事件，故此選項不合題意；B．任意擲一枚均勻的硬幣80次，正面朝上的次數(shù)是40次，是隨機事件，故此選項不合題意；C．三角形三個內角的和等于180°，是必然事件，故此選項符合題意；D．兩個數(shù)的和為負數(shù)，是隨機事件，故此選項不合題意．故選：C．【變式12】（2023?青山區(qū)校級模擬）守株待兔是（）A．必然事件 B．隨機事件 C．不可能事件 D．確定性事件【答案】B【解答】解：守株待兔是隨機事件，故選：B．【變式13】（2023秋?瑞安市期末）下列事件中，是不可能事件的是（）A．擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是6 B．在裝滿紅球的袋子中摸出一個黑球 C．射擊運動員射擊一次，命中靶心 D．經(jīng)過有交通信號燈的路口，恰好遇到紅燈【答案】B【解答】解：A、擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是6，是隨機事件，故此選項不符合題意；B、在裝滿紅球的袋子中摸出一個黑球，是不可能事件，故此選項符合題意；C、射擊運動員射擊一次，命中靶心，是隨機事件，故此選項不符合題意；D、經(jīng)過有交通信號燈的路口，恰好遇到紅燈，是隨機事件，故此選項不符合題意；故選：B．考點二：可能性大小【典例2】（2022秋?阿榮旗期末）擲一枚質地均勻的標有1，2，3，4，5，6六個數(shù)字的立方體骰子，骰子停止后，出現(xiàn)可能性最小的是（）A．大于3的點數(shù) B．小于3的點數(shù) C．大于5的點數(shù) D．小于5的點數(shù)【答案】C【解答】解：擲一枚質地均勻的立方體骰子，骰子的六個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，∴骰子停止后，在骰子向上的一面，有6種等可能的結果．A、點數(shù)大于3的數(shù)有4，5，6，三種情況，∴P點數(shù)大于3＝＝；B、點數(shù)小于3的數(shù)有1，2，兩種情況，∴P點數(shù)小于3＝＝；C、點數(shù)大于5的數(shù)有6，一種情況，∴P點數(shù)大于5＝；D、點數(shù)小于5的數(shù)有1，2，3，4，四種情況，∴P點數(shù)小于5＝＝；∵＞＞＞，∴點數(shù)大于5的概率最小，出現(xiàn)可能性最?。蔬x：C．【變式21】（2023?貴州）在學?？萍夹麄骰顒又?，某科技活動小組將3個標有“北斗”，2個標有“天眼”，5個標有“高鐵”的小球（除標記外其它都相同）放入盒中，小紅從盒中隨機摸出1個小球，并對小球標記的內容進行介紹，下列敘述正確的是（）A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 C．摸出“高鐵”小球的可能性最大 D．摸出三種小球的可能性相同【答案】C【解答】解：∵有3個標有“北斗”，2個標有“天眼”，5個標有“高鐵”的小球，∴小紅從盒中隨機摸出1個小球，摸出標有“北斗”的概率是＝；摸出標有“天眼”的概率是＝；摸出標有“高鐵”的概率是＝，∵＞＞，∴摸出標有“高鐵”小球的可能性最大．故選：C．【變式22】（2023秋?濱江區(qū)校級期中）把﹣6表示成兩個整數(shù)的積，共出現(xiàn)的可能性有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】C【解答】解：把﹣6表示成兩個整數(shù)的積，共出現(xiàn)的可能性有：①1×（﹣6），②（﹣1）×6，③（﹣2）×3，④2×（﹣3），共4種情況．故選：C．【變式23】（2023?河北）有7張撲克牌如圖所示，將其打亂順序后，背面朝上放在桌面上，若從中隨機抽取一張，則抽到的花色可能性最大的是（）A．（黑桃）B．（紅心）C．（梅花） D．（方塊）【答案】B【解答】解：∵抽到黑桃的概率為，抽到紅心的概率為，抽到梅花的概率為，抽到方塊的概率為，∴抽到的花色可能性最大的是紅心，故選：B．考點三：概率的意義【典例3】（2023?北京）先后兩次拋擲同一枚質地均勻的硬幣，則第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：先后兩次拋擲同一枚質地均勻的硬幣，總共有四種等可能結果，分別是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），則第一次正面向上、第二次反面向上的概率是，故選：A．【變式31】（2022秋?臺前縣校級月考）367個不同人之中，必有兩個人生日相同的概率為（）A． B． C．0.99 D．1【答案】D【解答】解：367個不同人之中，必有兩個人生日相同，是一個必然事件，故概率是1．故選：D．【變式32】（2022春?龍口市期中）一個十字路口南北方向的紅綠燈設置為紅燈30秒，綠燈60秒，黃燈3秒，小明由南向北經(jīng)過該路口遇到綠燈的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵該路口紅燈30秒，綠燈60秒，黃燈3秒，∴小明由南向北經(jīng)過該路口遇到綠燈的概率為，故選：D．【變式33】（2023春?清苑區(qū)期末）已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為，下列說法錯誤的是（）A．通過拋一枚均勻硬幣確定籃球賽中誰先發(fā)球是公平的 B．大量重復拋一枚均勻硬幣，出現(xiàn)正面朝上的頻率穩(wěn)定于 C．連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次可能都是正面朝上 D．連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上【答案】D【解答】解：拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為，就是經(jīng)過大量重復的實驗，拋一枚均勻硬幣正面朝上的頻率越穩(wěn)定在左右，因此，A．通過拋一枚均勻硬幣確定籃球賽中誰先發(fā)球是公平的，這是公平的，因此選項A不符合題意；B．大量重復拋一枚均勻硬幣，出現(xiàn)正面朝上的頻率穩(wěn)定于，這種說法是正確的，因此選項B不符合題意；C．連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此選項C不符合題意；D．連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上，這是不正確的，因此選項D符合題意；故選：D．考點四：用頻率估計概率【典例4】（2023秋?埇橋區(qū)期中）如圖1，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個長為10m，寬為6m的長方形將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當位置隨機朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（小球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計入試驗結果），他將若干次有效試驗的結果繪制成了圖2所示的折線統(tǒng)計圖，由此可估計不規(guī)則圖案的面積大約是（）A．19m2 B．21m2 C．23m2 D．25m2【答案】B【解答】解：由表可知，隨著實驗次數(shù)的增加，小球落在不規(guī)則圖案上的頻率逐漸穩(wěn)定于0.35，所以小球落在不規(guī)則圖案上的概率約為0.35，則估計不規(guī)則圖案的面積大約是10×6×0.35＝21（m2）．故選：B．【變式41】（2023?陵水縣一模）一個不透明的袋子中裝有2個紅球和若干個黃球，這些球除顏色外都相同．經(jīng)過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則袋子中的黃球個數(shù)最有可能是（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【解答】解：設袋子中黃球的個數(shù)可能有x個，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝4，經(jīng)檢驗x＝4是原方程的解，∴袋子中黃球的個數(shù)可能是4個．故選：C．【變式42】（2023秋?三元區(qū)期中）甲、乙兩位同學在一次用頻率去估計概率的實驗中，統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率，繪出的統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這結果的實驗可能是（）A．從一個裝有2個白球和1個紅球的袋子任取一個球，則取到紅球的概率 B．任意買一張電影票，座位號是偶數(shù)的概率 C．拋一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率 D．擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率【答案】A【解答】解：A、從一裝有2個白球和1個紅球的袋子中任取一球，取到紅球的概率是：≈0.33，正確；B、任意寫出一個整數(shù)，能被2整除的概率為，故此選項錯誤；C、擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為，故此選項錯誤；D、擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)某一特定面的概率為，故此選項錯誤；故選：A．【變式43】（2023秋?高州市期中）在一個不透明的布袋中裝有50個黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則布袋中白球可能有（）A．40個 B．35個 C．20個 D．15個【答案】B【解答】解：設袋中有黃球x個，由題意得＝0.3，解得x＝15，則白球可能有50﹣15＝35（個）．故選：B．過關檢測1．（2022秋?保德縣校級期末）下列事件是必然事件的是（）A．刻舟求劍 B．兩個不同溫度的物體靠在一起，發(fā)生熱傳遞 C．水溶解金屬 D．受精卵發(fā)生了基因突變【答案】B【解答】解：A、刻舟求劍，是不可能事件，不符合題意；B、兩個不同溫度的物體靠在一起，發(fā)生熱傳遞，是必然事件，符合題意；C、水溶解金屬，是不可能事件，不符合題意；D、受精卵發(fā)生了基因突變，是隨機事件，不符合題意．故選：B．2．（2022秋?市期末）從一定的高度任意拋擲一枚質地均勻的硬幣，重復次數(shù)很大時，落下后正面朝上的頻率最有可能接近的數(shù)值是（）A．0.81 B．0.52 C．1.50 D．1.01【答案】B【解答】解：當拋擲的次數(shù)很大時，正面朝上的頻率最有可能接近正面向上的概率是，故選：B．3．（2023?天山區(qū)校級二模）袋子中裝有4個黑球和2個白球，這些球的形狀、大小、質地等完全相同，在看不到球的條件下，隨機地從袋子中摸出3個球，下列事件是必然事件的是（）A．至少有一個黑球 B．至少有一個白球 C．至少有兩個黑球 D．至少有兩個白球【答案】A【解答】解：A、至少有一個黑球是必然事件，符合題意；B、至少有一個白球是隨機事件，不合題意；C、至少有兩個黑球是隨機事件，不合題意；D、至少有兩個白球是隨機事件，不合題意．故選：A．4．（2022秋?清水縣校級期末）在一個不透明的布袋中裝有30個黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則布袋中白球可能有（）A．12個 B．15個 C．18個 D．20個【答案】C【解答】解：設袋子中黃球有x個，根據(jù)題意，得：，解得：x＝12，則白球有30﹣12＝18個；故選：C．5．（2023?石景山區(qū)二模）如圖顯示了某林業(yè)部門統(tǒng)計某種樹苗在本地區(qū)相同條件下的移植成活試驗的結果．下面有四個推斷：①當移植的棵數(shù)是800時，成活的棵數(shù)是688，所以“移植成活”的概率是0.860；②隨著移植棵數(shù)的增加，“移植成活”的頻率總在0.852附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“移植成活”的概率是0.852；③與試驗相同條件下，若移植10000棵這種樹苗，可能成活8520棵；④在用頻率估計概率時，移植3000棵樹時的頻率0.852一定比移植2000棵樹時的頻率0.853更準確其中合理的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】C【解答】解：當移植的棵樹是800時，成活的棵樹是688，所以“移植成活”的頻率是0.860，但概率不一定是0.860，故①錯誤；隨著移植棵樹的增加，“移植成活”的頻率總在0.852附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“移植成活”的概率是0.852，故②正確；試驗條件下“移植成活”的概率是0.852，因此與試驗相同條件下，若移植10000棵這種樹苗，可能成活8520棵，故③正確；在用頻率估計概率時，移植3000棵樹時的頻率0.852不一定比移植2000棵樹時的頻率0.853更準確，故④錯誤；其中合理的是②③，故選：C．6．（2023春?高新區(qū)期末）某小組在“用頻率估計概率”的實驗中，統(tǒng)計了某種結果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，那么符合這一結果的實驗最有可能的是（）A．擲一枚質地均勻的硬幣，落地時結果是“正面向上” B．擲一個質地均勻的正六面體骰子，落地時朝上的面點數(shù)是6 C．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“石頭” D．袋子中有1個白球和2個黃球，只有顏色上的區(qū)別，從中隨機取出一個球是黃球【答案】B【解答】解：A、擲一枚質地均勻的硬幣，落地時結果是“正面向上”的概率為，不符合題意；B、擲一個質地均勻的正六面體骰子，落地時面朝上的點數(shù)是6的概率為，符合題意；C、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小小明隨機出的是“石頭”的概率為，不符合題意；D、袋子中有1個白球和2個黃球，只有顏色上的區(qū)別，從中隨機取出一個球是黃球的概率，不符合題意；故選：B．7．（2023秋?紹興期中）在一個不透明的口袋中裝有5個白球和若干個黑球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在25%附近，則口袋中黑球可能有（）個A．15個 B．20個 C．25個 D．30個【答案】A【解答】解：設黑球可能有x個，摸到白球的頻率穩(wěn)定在25%附近，所以摸到白球的概率為25%，，解得x＝15．故選：A．8．（2023?恩施州）縣林業(yè)部門考察銀杏樹苗在一定條件下移植的成活率，所統(tǒng)計的銀杏樹苗移植成活的相關數(shù)據(jù)如下表所示：移植的棵數(shù)a1003006001000700015000成活的棵數(shù)b84279505847633713581成活的頻率0.840.930.8420.8470.9050.905根據(jù)表中的信息，估計銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為（精確到0.1）（）A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8【答案】C【解答】解：由表格數(shù)據(jù)可得，隨著樣本數(shù)量不斷增加，這種樹苗移植成活的頻率穩(wěn)定在0.9左右，故估計銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為0.9．故選：C．9．（2023?龍川縣三模）任意擲一枚骰子，下列情況出現(xiàn)的可能性比較大的是（）A．面朝上的點數(shù)是3 B．面朝上的點數(shù)是奇數(shù) C．面朝上的點數(shù)小于2 D．面朝上的點數(shù)不小于3【答案】D【解答】解：A．面朝上的點數(shù)是3的概率為；B．面朝上的點數(shù)是奇數(shù)的概率為＝；C．面朝上的點數(shù)小于2的概率為；D．面朝上的點數(shù)不小于3的概率為＝；∴概率最大的是面朝上的點數(shù)不小于3，故選：D．10．（2023春?宿遷期末）標號為A、B、C、D的四個盒子中所裝有的白球和黑球數(shù)如下，則下列盒子最易摸到黑球的是（）A．12個黑球和4個白球 B．10個黑球和10個白球 C．4個黑球和2個白球 D．10個黑球和5個白球【答案】A【解答】解：A、摸到黑球的概率為＝0.75，B、摸到黑球的概率為＝0.5，C、摸到黑球的概率為＝，D、摸到黑球的概率為＝，故選：A．11．（2022秋?增城區(qū)校級期末）任意拋擲一只紙杯200次，經(jīng)過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)“杯口朝上”的次數(shù)為48次，則由此可以估計這只紙杯出現(xiàn)“杯口朝上”的概率為0.24．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵48÷200＝0.24，∴估計這只紙杯出現(xiàn)“杯口朝上”的概率為0.24．故答案為：0.24．12．（2023秋?南明區(qū)期中）在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這些球除顏色外都相同．小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則袋子中紅球的大約有8個．【答案】見試題解答內容【解答】解：由題意可得，20×0.4＝8（個），即袋子中紅球的個數(shù)大約有8個，故答案為：8．13．（2023?東莞市校級二模）下表是某種幼苗在一定條件下移植后成活率的試驗結果．移植總數(shù)n55020050010003000成活數(shù)m4451884769512850成活的頻率0.80.90.940.9520.9510.95則在相同條件下這種幼苗可成活的概率可估計為0.95．【答案】0.95．【解答】解：概率是大量重復實驗的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率，∴這種幼苗可成活的概率可估計為0.95，故答案為：0.95．13．（2023?鞍山二模）當今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”廣泛應用于我們的日常生活中，某興趣小組從對二維碼開展數(shù)學實驗活動．如圖，在邊長為2cm的正方形區(qū)域內通過計算機隨機擲點，經(jīng)過大量重復實驗，發(fā)現(xiàn)點落在區(qū)域內黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.7左右，據(jù)此可以估計這個區(qū)域內白色部分的總面積約為1.2cm2．【答案】1.2cm2．【解答】解：根據(jù)題意，估計這個區(qū)域內白色部分的總面積約為2×2×（1﹣0.7）＝1.2（