第八章第五節(jié)空間向量的運算及其坐標(biāo)表示

第五節(jié)空間向量的運算及其坐標(biāo)表示課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解空間直角坐標(biāo)系,會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點的位置;探索并得出空間兩點間的距離公式.2.了解空間向量的概念、空間向量基本定理、空間向量投影的概念及其意義.3.掌握空間向量的線性運算、數(shù)量積的運算及其坐標(biāo)表示.考情分析考點考法:常以空間向量的表示為載體,考查空間向量投影、線性運算、數(shù)量積的運算.空間向量數(shù)量積的運算是高考熱點,在選擇題或填空題中體現(xiàn).核心素養(yǎng):直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理.【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.空間向量有關(guān)概念(1)單位向量:模為1的向量.(2)共線向量:如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫做共線向量或平行向量.(3)共面向量:平行于同一個平面的向量.【微點撥】(1)零向量與任意向量平行;(2)空間中任意兩個向量是共面向量,任意三個向量不一定是共面向量.2.空間向量有關(guān)定理(1)共線向量定理:對空間中任意兩個向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ,使a=λb.(2)共面向量定理:如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.(3)空間向量基本定理:如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使p=xa+yb+zc.a,b,3.空間向量有關(guān)運算設(shè)a=a1,a2,a3,b=(b1(1)坐標(biāo)運算:則a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);ab=(a1b1,a2b2,a3b3);λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R.(2)數(shù)量積運算:a·b=a1b1+a2b2+a3b3=|a||b|cos<a,b>.【微點撥】向量a在向量b方向上的投影向量:acos<a,b>·bb=a·b4.空間向量有關(guān)公式(1)空間兩點間距離公式已知P1x1,y1,z1,P2(2)空間兩點的中點公式設(shè)點P(x,y,z)為P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中點,則x=(3)空間向量共線與垂直公式若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),其中b≠0,則a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0.a∥b?a=λb?x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).(4)空間向量模與夾角公式若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則|a|=a·a=cosa,b=a·b|a||【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯題號12,341.(多維辨析)(多選題)下列說法正確的是()A.若A,B,C,D是空間任意四點,則AB+BC+CD+DA=0B.|a||b|=|a+b|是a,b共線的充要條件C.空間中任意兩非零向量a,b共面D.對于空間非零向量a,b,若a·b<0,則a與b的夾角為鈍角【解析】選AC.A中由向量的運算可知正確;B中若|a||b|=|a+b|,則兩向量反向共線,若兩向量同向共線時不成立,錯誤;C正確;D中若a·b<0,則a與b可能反向,夾角等于180°.2.(選擇性必修一P6T5·變形式)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,M為A1C1與B1D1的交點.若AB=a,AD=b,AA1=c,則下列向量中與BM相等的向量是(A.12a+12b+c B.12a+1C.12a12b+c D.12a1【解析】選A.BM=BB1+B1M=AA1+12(ADAB)=c+12(ba)=3.(選擇性必修一P5例1·變形式)若a與b不共線,且m=a+b,n=ab,p=a,則()A.m,n,p共線 B.m與p共線C.n與p共線 D.m,n,p共面【解析】選D.因為(a+b)+(ab)=2a,即m+n=2p,即p=12m+12n,又m與n不共線,所以m,n,p4.(忘記開方導(dǎo)致錯誤)正四面體ABCD的棱長為2,E,F分別為BC,AD的中點,則EF的長為______.

【解析】|EF|2=EF2=(EC+CD+DF)2=EC2+CD2+DF2+2(EC·CD+EC·DF+=12+22+12+2(1×2×cos120°+0+2×1×cos120°)=2,所以|EF|=2,所以EF的長為2.答案:2【巧記結(jié)論·速算】1.對空間任意一點O,若三點P,A,B滿足PA=λPB?OP=xOA+yOB(x+y=1)?P,A,B三點共線.2.證明空間四點共面的方法對空間任意一點O,若四點P,M,A,B滿足MP=mMA+nMB?OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1)?P,M,A,B四點共面.【即時練】O為空間中任意一點,A,B,C三點不共線,且OP=34OA+18OB+tOC,若P,A,B,C四點共面,則實數(shù)【解析】因為P,A,B,C四點共面,所以34+18+t=1,所以t=答案:1【核心考點·分類突破】考點一空間向量的線性運算[例1](1)(2023·武漢模擬)如圖,M是四面體OABC的棱BC的中點,點N在線段OM上,且MN=13OM,設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,則下列向量與AN相等的向量是(A.a+13b+13c B.a+13bC.a+16b+16c D.a+16b【解析】選A.因為M是四面體OABC的棱BC的中點,MN=13OM,所以AN=ONOA=23OMOA=23×12(=13OB+13OCOA=a+13(2)在三棱柱A1B1C1ABC中,D是四邊形BB1C1C的中心,且AA1=a,AB=b,AC=c,則A1DA.12a+12b+B.12a12b+C.12a+12bD.12a+12b+【解析】選D.A1D=A1A=AA1+AB+12(B=AA1+AB+12AA1=12AA1+12AB+12AC=1【解題技法】用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點(1)用已知向量來表示某一向量,一定要結(jié)合圖形,以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量.(3)在立體幾何中,三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.【對點訓(xùn)練】如圖所示,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,設(shè)AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點,試用a,b,c(1)AP;(2)A1(3)MP+NC【解析】(1)因為P是C1D1的中點,所以AP=AA1+A1D1+D1=a+c+12AB=a+c+1(2)因為N是BC的中點,所以A1N=A1A+AB+BN=a=a+b+12AD=a+b+1(3)因為M是AA1的中點,所以MP=MA+AP=12A=12a+a+c+12b=1又NC1=NC+CC1=12BC=12c+a所以MP+NC1=1=32a+12b+3考點二共線、共面向量的應(yīng)用[例2](1)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值可以是()A.2,12 B.13C.3,2 D.2,2【解析】選A.因為a∥b,所以設(shè)b=xa,所以x(λ+1)=62(2)在正方體ABCDA1B1C1D1中,點M和N分別是矩形ABCD和BB1C1C的中心,若點P滿足DP=mDA+nDM+kDN,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,則點P可以是正方體表面上__________的點.

【解析】因為點P滿足DP=mDA+nDM+kDN,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,所以點A,M,N,P四點共面,又因為M和N分別是矩形ABCD和BB1C1C的中心,所以CN=B1N,AM=MC,連接MN,AB1,則MN∥AB1,所以△AB1C即為經(jīng)過A,M,N三點的平面與正方體的截面,故P點可以是正方體表面上線段AB1,B1C,AC上的點.答案:線段AB1(線段B1C或線段AC)上(答案不唯一)(3)如圖,已知斜三棱柱ABCA1B1C1中,點M,N分別在AC1和BC上,且滿足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k①向量MN是否與向量AB,AA1②直線MN是否與平面ABB1A1平行?【解析】①因為AM=kAC1,BN=k所以MN=MA+AB+BN=kC1A+AB+=k(C1A+BC)+AB=k(C1A=kB1A+AB=ABkAB1=ABk(=(1k)ABkAA所以由共面向量定理知向量MN與向量AB,AA1②當(dāng)k=0時,點M,A重合,點N,B重合,MN在平面ABB1A1內(nèi).當(dāng)0<k≤1時,MN不在平面ABB1A1內(nèi),又由①知MN與AB,AA1所以MN∥平面ABB1A1.【解題技法】1.共線、共面向量定理的應(yīng)用(1)向量共線可以用來判斷直線平行、三點共線;(2)向量共面可以用來判斷直線與平面平行,四點共面;(3)根據(jù)向量共線和向量共面求參數(shù)取值;(4)與a同向的單位向量為aa,反向的單位向量為aa,共線的單位向量為±2.證明四點P,M,A,B共面的方法(1)MP=xMA+yMB;(2)對空間任意一點O,OP=OM+xMA+yMB;(3)對空間任意一點O,OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1);(4)PM∥AB或PA∥MB或PB∥AM.【對點訓(xùn)練】1.已知空間中A,B,C,D四點共面,且其中任意三點均不共線,設(shè)P為空間中任意一點,若BD=6PA4PB+λPC,則λ等于()A.2 B.2 C.1 D.1【解析】選B.BD=6PA4PB+λPC,即PDPB=6PA4PB+λPC,整理得PD=6PA3PB+λPC,由A,B,C,D四點共面,且其中任意三點均不共線,可得63+λ=1,解得λ=2.2.在空間直角坐標(biāo)系中,A(1,1,2),B(1,2,3),C(1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四點共面,則()A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0C.xy+z=4 D.x+yz=0【解析】選A.因為A(1,1,2),B(1,2,3),C(1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),所以AB=(0,1,1),AC=(2,2,2),AD=(x1,y1,z+2).因為A,B,C,D四點共面,所以存在實數(shù)λ,μ使得AD=λAB+μAC,即(x1,y1,z+2)=λ(0,1,1)+μ(2,2,2),所以x-1=-2μy-1=λ+2考點三空間向量的數(shù)量積及應(yīng)用[例3](1)在正三棱錐PABC中,O是△ABC的中心,PA=AB=2,則PO·PA等于 ()A.59 B.63 C.423 【解析】選D.因為PABC為正三棱錐,O為△ABC的中心,所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥AO,所以PO·OA=0,|AO|=23·|AB|·sin60°=2故PO·PA=PO·(PO+OA)=|PO|2=|AP|2|AO|2=443=8(2)已知A(1,2,1),B(1,5,4),C(1,3,4).①求<AB,BC>;②求AC在AB上的投影向量.【解析】(2)①因為A(1,2,1),B(1,5,4),C(1,3,4),所以AB=(0,3,3),BC=(2,2,0).因為AB·BC=0×2+3×(2)+3×0=6,|AB|=32,|BC|=22,所以cos<AB,BC>=AB·BC|AB||BC|=-632×2②因為AC=(2,1,3),AB=(0,3,3),所以AC·AB=0+1×3+3×3=12.因為|AB|=32,|AC|=14,所以cos<AC,AB>=AC·AB|AC||AB|=1214×32=277,所以AC在AB上的投影向量為|AC|cos<AC,AB【解題技法】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【對點訓(xùn)練】1.已知A(1,0,0),B(0,1,1),O為坐標(biāo)原點,OA+λOB與OB的夾角為120°,則λ的值為()A.±66 B.66 C.66 【解析】選C.由于OA+λOB=(1,λ,λ),OB=(0,1,1),則cos120°=λ+λ1+2λ2·2=12,解得λ=±66.經(jīng)檢驗λ=62.已知平行六面體ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.(1)求線段AC1的長;(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值;(3)證明:AA1⊥BD.【解析】(1)如圖所示,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=則|a|=|b|=1,|c|=2.a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos120°=1.因為