第八章第七節(jié)利用空間向量研究距離問題

第七節(jié)利用空間向量研究距離問題課程標(biāo)準(zhǔn)能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題,并能描述解決這一類問題的程序,體會向量方法在研究幾何問題中的作用.考情分析考點考法:高考題常以體積為載體,考查空間中點線距、點面距.求空間幾何體的體積是高考熱點,主要在解答題中體現(xiàn).核心素養(yǎng):直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理.【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.兩點距即求空間中兩個點連線的線段長,轉(zhuǎn)化為向量的模求解.2.點到直線的距離設(shè)A是直線l上的定點,P是直線l外一點,若u是直線l的單位方向向量,AQ是AP在l上的投影向量,設(shè)AP=a,則點P到直線l的距離PQ=|AP|2【微點撥】已知向量a,直線l的單位方向向量為e,則向量a在e方向上的投影向量為acos<a,e>·e,即aa·eae·e=a·e3.點到平面的距離公式如圖,點P為平面α外一點,點A為平面α內(nèi)的定點,過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則n是直線l的方向向量,且點P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度,則PQ=|AP·n|n||=|AP·4.異面直線間的距離(1)定義:兩條異面直線間的公垂線段的長即為異面直線間的距離.(2)求解公式:如圖,設(shè)兩條異面直線a,b的公垂線的方向向量為n,這時分別在a,b上任取A,B兩點,則向量AB在n上的正射影長就是兩條異面直線a,b的距離.則d=|AB·n|n||即兩異面直線間的距離,等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯題號12,341.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是()A.點到平面的距離是該點與平面上點距離的最小值B.點到直線的距離也就是該點與直線上任一點連線長度的最小值C.直線l平行于平面α,則直線l上各點到平面α的距離相等D.直線l上兩點到平面α的距離相等,則l平行于平面α【解析】選ABC.由距離的最小性可知AB正確;C中直線l上任意點到平面α的距離相等,正確;D中直線l可能與平面α相交.2.(選擇性必修一P34例6·變形式)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,則A1A到平面B1D1DB的距離為()A.2 B.2 C.22 D.【解析】選A.由正方體性質(zhì)可知,A1A∥平面B1D1DB,A1A到平面B1D1DB的距離就是點A1到平面B1D1DB的距離,連接A1C1,交B1D1于O1(圖略),A1O1的長即為所求,由題意可得A1O1=12A1C1=23.(選擇性必修一P35練習(xí)2·變形式)直線l的方向向量為m=(1,0,1),且l過點A(1,1,1),則點P(1,2,1)到l的距離為()A.2 B.3 C.6 D.22【解析】選B.直線l的方向向量為m=(1,0,1),且l過點A(1,1,1),又點P(1,2,1),則AP=(2,1,0),則|AP|=5,又因為AP·mm=|-所以點P(1,2,1)到l的距離為(5)24.(不能正確使用公式)若兩平行平面α,β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點O和點A(2,1,1),且兩平面的一個法向量為n=(1,0,1),則兩平面間的距離是________.

【解析】依題意,平行平面α,β間的距離即為點O到平面β的距離,而OA=(2,1,1),所以平行平面α,β間的距離d=|n·OA||n|答案:2【巧記結(jié)論·速算】1.空間中的距離都是指兩個點集的元素之間距離的最小值.2.平行線間的距離可以轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.3.平面的平行線到平面的距離以及兩平行平面間的距離都可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離.【即時練】如圖正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2.動點P,Q分別在線段C1D,AC上,則線段PQ長度的最小值是()A.13 B.C.1 D.4【解析】選B.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C1(0,1,2),由題意可知,線段PQ長度的最小值為異面直線C1D與AC的公垂線的長度,則AC=(1,1,0),DC1=(0,1,2),設(shè)向量n=(x,y,z),滿足n⊥AC,n⊥DC則n·AC=-令y=2,則x=2,z=1,即n=(2,2,1),故|PQ|min=|DA·n【核心考點·分類突破】考點一點線距及其應(yīng)用[例1](1)空間中有三點P(1,2,2),M(2,3,1),N(3,2,2),則點P到直線MN的距離為()A.22 B.23 C.3 D.25【解析】選A.因為MN=(1,1,1),所以MN的一個單位方向向量為u=33(1,1,1)因為PM=(1,1,3),故|PM|=12+(-PM·u=33×(11+3)=3所以點P到直線MN的距離為PM=11-3=2(2)如圖,在棱長為1的正方體ABCDA'B'C'D'中,已知E為CC'上一點,且2CE=EC',在平面CDD'C'內(nèi)作EF∥A'B,交C'D'于點F,則直線EF與A'B之間的距離為__________.

【解析】以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AA'所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則A'(0,0,1),B(1,0,0),E(1,1,13)直線EF與A'B之間的距離等于E到直線A'B的距離,BA'=(1,0,1),BE=(0,1,13),BA'·BE|BA'|=2,|BE|=1+19cos<BA',BE>=BA'·BE|<BA',BE>∈[所以sin<BA',BE>=1-(所以直線EF與A'B之間的距離等于E到直線A'B的距離為|BE|sin<BE,BA'>=103×9510答案:38【解題技法】向量法求點到直線的距離的方法方法一:(1)求直線的方向向量.(2)計算所求點與直線上某一點所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度.(3)利用勾股定理求解.方法二:在直線上設(shè)出垂線段的垂足的坐標(biāo),利用共線和垂直求出垂足坐標(biāo),再求向量的模.方法三:(1)求直線的方向向量;(2)計算所求點與直線上某一點所構(gòu)成的向量與直線的方向向量夾角的余弦值,進而求出正弦值;(3)求出所求點與直線上某一點所構(gòu)成的向量的模,再乘以夾角的正弦值即為所求.提醒:平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離求解.【對點訓(xùn)練】如圖,ABCDEFGH是棱長為1的正方體,若P在正方體內(nèi)部且滿足AP=35AB+12AD+23AE,則PA.34 B.45 C.56 【解析】選C.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,1),所以AB=(1,0,0),AD=(0,1,0),AE=(0,0,1),則AP=35(1,0,0)+12(0,1,0)+23(0,0,1)=(35,12,2所以AP在AB上的投影向量的長度為AP·ABAB所以點P到AB的距離|AP|2考點二點面距及其應(yīng)用[例2]如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,∠APD=90°,且PA=PD,AD=PB.(1)求證:AD⊥PB;(2)(一題多法)求點A到平面PBC的距離.【解析】(1)取AD的中點O,連接OP,OB,BD,(圖略)因為底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,所以AD=AB=BD.因為O為AD的中點,所以BO⊥AD.在△PAD中,PA=PD,O為AD的中點,所以PO⊥AD.因為BO∩PO=O,所以AD⊥平面POB.因為PB?平面POB,所以AD⊥PB.(2)方法一:由題意及(1)易知OP=1,BO=3,PB=2,所以O(shè)P2+BO2=PB2,所以O(shè)P⊥OB,所以O(shè)P,OA,OB兩兩垂直,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(0,3,0),C(2,3,0),P(0,0,1),所以AP=(1,0,1),PB=(0,3,1),PC=(2,3,1),設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),則n·所以x=0不妨取y=1,則n=(0,1,3),所以點A到平面PBC的距離d=|AP·n方法二:因為PA=PD,∠APD=90°,所以PO=12AD=1,由題意及(1)知PB又AD⊥PB,BC∥AD,所以BC⊥PB,記A到平面PBC的距離為h,S△PBC=12則由VAPBC=VPABC得23h=13×12×2×2sin120°×1,所以h即A到平面PBC的距離為32【解題技法】求點面距的步驟(1)建系:建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求點坐標(biāo):寫出(求出)相關(guān)點的坐標(biāo).(3)求向量:求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(AP,α內(nèi)兩不共線向量,平面α的法向量n).(4)求距離d=|AP提醒:求線面距、面面距可轉(zhuǎn)化為點面距求解.【對點訓(xùn)練】1.如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,BC=12AB=12AA1=2,BC1=23,M為線段AB(1)證明:BC1⊥CM;(2)若E為A1C1的中點,求點A1到平面BCE的距離.【解析】(1)因為AB⊥平面BB1C1C,C1B?平面BB1C1C,所以AB⊥C1B,在△BCC1中,BC=2,BC1=23,CC1=AA1=4,所以BC2+BC12=CC12,所以CB因為AB∩BC=B,AB,BC?平面ABC,所以C1B⊥平面ABC.又因為CM?平面ABC,所以C1B⊥CM.(2)由(1)知,AB⊥C1B,BC⊥C1B,AB⊥BC,以B為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則B(0,0,0),C(2,0,0),C1(0,23,0),A1(2,23,4),E(1,23,2),BC=(2,0,0),BE=(1,23,2),設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z),則n·BC=0n令y=3,則n=(0,3,3).又因為A1C=(4,23故點A1到平面BCE的距離d=|0×4+(-22.如圖,在四棱錐OABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分別是OA,BC,AD的中點.求:(1)直線MN與平面OCD的距離;(2)平面MNR與平面OCD的距離.【解析】(1)因為OA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,所以O(shè)A⊥AD,OA⊥AB,AB⊥AD,以點A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AO所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),R(0,1,0),因為M,R分別為OA,AD的中點,則MR∥OD,因為MR?平面OCD,OD?平面OCD,所以MR∥平面OCD,因為AD∥BC且AD=BC,R,N分別為AD,BC的中點,則CN∥RD且CN=RD,所以四邊形CDRN為平行四邊形,所以RN∥CD,因為RN?平面OCD,CD?平面OCD,所以RN∥平面OCD,因為MR∩RN=R,MR,RN?平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD,因為MN?平面MNR,所以MN∥平面OCD,設(shè)平面OCD的法向量為n=(x,y,z),DC=(2,0,0),DO=(0,2,2),則n·DC=2x=0n·DO=所以,直線MN與平面OCD的距離為d1=|NC·n||(2)由(1)知平面MNR∥平面OCD,則平面MNR與平面OCD的距離為d2=|NC·n||【加練備選】

如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點,直線AC到平面PEF的距離為________.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,12,0),F(12,1,0),PE=(1,12,1),PF=(12,1,1)設(shè)平面PEF的法向量為n=(x,y,z),

則n·PE=0n·PF=0,即x+12y-z=012x+y-z=0,

解得x=y,令x=y=2,得n=(2,2,3),

因為E,F分別為AB,BC的中點,

所以EF∥AC,又EF?平面PEF,AC?平面PEF,所以考點三異面直線之間的距離[例3](1)在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,則異面直線AC與BC1之間的距離是()A.55 B.77 C.66 【解析】選D.以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),C1(0,1,3),所以CA=(2,1,0),BC1設(shè)CA和BC1的公垂線的方向向量為n=(x,y,z),則有n·CA=0n·BC所以n=(3,6,2),又AB=(0,1,0),所以異面直線AC與BC1之間的距離d=AB·nn=6(2)長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點,則異面直線BC1與AE之間的距離是()A.13 B.C.23 D.【解析】選D.如圖,連接AD1,由長方體的結(jié)構(gòu)特征可知,AB∥C1D1,AB=C1D1,則四邊形ABC1D1為平行四邊形,得BC1∥AD1,因為AD1?平面A